Содержание к диссертации
Введение
1 Ряды по четным-нечетным j функциям Бесселя 18
1.1 Ортогональность системы четных-нечетных j-функций Бесселя 19
1.2 Ряды Фурье-Бесселя и Дини 25
1.3 Гладкость, В-гладкость функции и порядок убывания коэффициентов 32
1.4 Ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя 36
2 Дробные В-производные Маршо-Вейля j-бесселевых разложений 45
2.1 Основные свойства обобщенного сдвига в классе четных локально интегрируемых с весом функций 45
2.2 Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо 50
2.3 Преобразование Ганкеля дробной В-производной Маршо. 54
2.4 Дробные В-производные Вейля 59
2.5 В-интегрирование дробного порядка 63
2.6 В-интегрирование Вейля дробного порядка 66
2.7 В-ядро Дирихле 67
2.8 О равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя 73
2.9 Функциональные классы Липшица, порожденные обобщенным сдвигом 81
2.10 Теорема о совпадении В-производных Маршо и Вейля на функциях из Hb 84
3 Неравенство Бернштейна для В-производных четных j-многочленов Шлемильха 89
3.1 Интерполяционная формула для В-производной четного j-многочлена Шлемильха 90
3.2 Неравенство Бернштейна для В-производной j-многочлена Шлемильха 97
3.3 Неравенство Бернштейна-Зигмунда в классе функций L|(—7Г, 7г) 99
3.4 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных j-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций 103
3.5 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо j-бесселевых многочленов Шлемильха в пространстве LPq 107
Литература 112
- Ряды Фурье-Бесселя и Дини
- Ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя
- Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо
- Неравенство Бернштейна для В-производной j-многочлена Шлемильха
Введение к работе
Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками. К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференци-рование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисе, Грюнвальд, Летников, И.А. Киприянов, П.И. Лизоркин, С.Г. Самко, А.А. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вей-ля выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.
В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя - + р р —1/2. Применяются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j-функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно называются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, на функциях из пространства Соболева Киприянова и в функциональных классах Липшица, порожденных обобщенным сдвигом. Исследования этих задач во многом опираются на работы Б.М. Левитана 40-х — 50-х годов прошлого века, посвященных изучению обобщенных сдвигов и j-функций Бесселя.
Построение дробных степеней оператора Бесселя, по типу производных Вейля, использует разложении функций по j-функциям Бесселя. Особенность последних заключается в том, что они четные. Для разложения произвольных функций в работе применяются функции Бесселя следующего вида AeVtP(x)=jp(x); AodiP = 2(p+i) ЗР+І(Х)І ранее введенные И.А. Куприяновым и В.В. Катраховым при построении алгебры сингулярных псевдодифференциальных операторов в качестве ядра соответствующего преобразования Фурье-Бесселя. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини по этим функциям получены аналог теоремы Б.М. Левитана о равномерной сходимости и теоремы о зависимости убывания коэффициентов Фурье от гладкости функций. Введены три типа В-ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде оператора обобщенной свертки (свертки, порожденной обобщенным сдвигом) с этими ядрами, при этом были установлены новые свойства обобщенного сдвига в пространстве четных локально интегрируемых функций, в частности свойство ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, в соответствующий весовой класс Лебега. Использование В-ядер Дирихле позволило доказать теорему о совпадении В-производных Маршо и Вейля в пространстве Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.
В диссертации введены новые ряды типа обобщенных рядов Шлемильха, в которых функции Струве заменены нечетными j-функциями Бесселя 2( х+1, jp+\(x). Известно, что среди рядов по функциям Бесселя (Неймана, Каптейна, Фурье-Бесселя, Дини) ряды Шлемильха наиболее напоминают тригонометрические ряды Фурье, поскольку ряды Шлемильха порождены тригонометрическими ряда ми применением интегралов Шлемильха или Сонина. Для многочлена Шлемильха по четным j-функциям Бесселя получена интерполяционная формула для дифференцирования, осуществляемого сингулярным дифференциальным оператором Бесселя типа интерполяционной формулы Рисса, хорошо известной в теории тригонометрических многочленов, причем полученная формула оказалась следствием формулы Рисса для тригонометрических многочленов и не может получиться подобным образом для других многочленов, составленных из функций Бесселя. Как следствие этой формулы получены неравенства Бернштейна для В-производной и для В-производной дробного порядка. Последние построены по типу дробных производных Маршо и Вейля. При этом использовались схемы доказательств этого неравенства для дробных производных, развитые в работах P. Civin, W. Sewe и П.И. Лизоркина. Определены коэффициенты, с которыми эти неравенства оказываются точными в том смысле, что существуют функции, на которых достигаются равенства.
Рассмотренные в диссертации вопросы актуальны в современном научном знании, поскольку дают новые подходы к некоторым аспектам теории функций Бесселя, к теории рядов Фурье-Бесселя, Ди-ни, Шлемильха и это позволит найти новые приложения в сингулярных задачах дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Введенные В-производные дробного порядка могут быть использованы при исследовании сингулярных граничных задач и во многих проблемах естествознания, где присутствует центральная или осевая симметрии.
Целью работы является построение разложений произвольной функции по j-функциям Бесселя, доказательство теорем об абсолютной и равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов Фурье по системе (в соответствующем смысле ортогональных) j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. На основе разложений по j-функциям Бесселя ввести дробные В-производные
Вейля и исследовать связь этой производной с В-производными Маршо и Лиувилля. Ввести ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя. Для четной составляющей рядов Шлемильха получить интерполяционную формулу, выражающую действие сингулярного оператора Бесселя на четный j-многочлен Шлемильха, и на основе этой формулы получить неравенства Бернштейна для В-производных и для дробных В-производных Вейля-Маршо.
В работе используются методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его научной школой при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.
Следующие результаты, полученные в работе являются новыми.
1. Для рядов по четным и нечетным j-функциям Бесселя получены теорема о равномерной сходимости (типа теоремы Б.М. Левитана), теоремы о порядке убывания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя и Дини в зависимости от гладкости функции. Введены обобщенные ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя.
2. Введены дробные В-интегралы и В-производные Маршо и Вейля порядка а Є (0,2), причем порядку а = 1 дробной В-производной отвечает оператор у/—В, исследована связь В-производных Маршо с В-производными Лиувилля (последние известны и ранее, исследовались в работах И.А. Киприянова, В.В Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова, С.С. Платонова). Получена теорема о совпадении этого вида дробных производных на j-бесселевых многочленах.
3. Введены пространства Липшица и Степанова, порожденные обобщенным сдвигом, получена теорема об ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова в пространство L (0,1). Для функций, представленных многочленами и рядами по четным j-функциям Бесселя введены В-производные Вейля, доказана теорема о совпадении действия В-производных Вейля и В производных Маршо в классе функций Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.
4. Получены представления В-ядер Дирихле для рядов Фурье- Бесселя и Дини по j-функциям Бесселя. Получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.
5. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог интерполяционной формулы Рисса для В-производной целого порядка.
6. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог неравенства Бернштейна для В-производных целого порядка и В-производных Вейля-Маршо произвольного порядка а 0 и обобщения этого неравенства в весовых функциональных классах Лебега и Степанова.
Работа носит теоретический характер и дает конструктивные решения содержательной математической задачи. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными и математическом анализе.
Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Репникова В.Д., в Воронежской зимней математической школе, Воронежской весенней математической школе „Современные методы в теории краевых задач", Воронеж:,2005; на международной научной конференции по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, Воронеж: 2005; на международной конференции „Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2006; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти Г.И. Петровского, Москва, 2007; на международной конференции "Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования "Москва, 2007; на герценовских чтениях „Некоторые актуальные проблемы математики и математического образо вания", Санкт-Петербург, 2008.
Основные результаты опубликованы в работах автора [32]-[46]. В работах [42], [44], [46] постановка задачи принадлежит В.Д. Репнико-ву, а доказательства основных результатов-диссертанту. В работе [40] Л.Н. Ляхову принадлежит идея применения оператора Пуассона в роли оператора преобразования, все же результаты, включая формулу Рисса для четного многочлена Шлемильха, принадлежат автору. Из совместных работ [32], [45] в диссертацию вошли только результаты полученные автором лично.
Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 19 пунктов, и цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 118 стр.
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертации, формулируется цель работы, описана ее структура, изложены основные научные результаты.
Первая глава работы посвящена построению разложений произвольной функции по j-функциям Бесселя, доказательству теорем о равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов ряда по системе ортогональных j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. Вводятся три системы четных и нечетных j-функций Бесселя, определяемые способом задания чисел Afc: ) 3Р{Хк) = ° (ЛР,П(Ж)}, п = 1,2, ... ; И) jP+i(Afc) = 0, {1, Лр п(ж)}, п = 1,2,...; гіг) Xj p(Xk) + Hjp(Xk) = 0, {ЛР)П(ж)}5 п = 1,2, ... и доказываются теоремы об ортогональности этих систем и основные свойства рядов по этим системам функций. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини получены теоремы о равномерной сходимости, типа хорошо известной теоремы Левитана. Из трех полученных результатов (соответственно для четных, нечетных и произвольных функций) приведем общую теорему.
Теорема 1.2.7. Пусть \р\ 1/2, функция f(x) Є C2(—1,1) и удовлетворяет условиям /(±1) = / (±1) = 0. Тогда ряды Фуръе-Бесселя или Дини для f(x) сходятся абсолютно и равномерно на [—1,1]. Для р —1/2 эти ряды сходятся абсолютно и равномерно вне любой окрестности начала координат.
Определение 1.3.1. Функцию f, определенную на [—1,1], будем называть В-гладкой порядка m = 1,2,3, ... на этом отрезке, если все функции (Bm f)(x), 7i = 0,l,2,3, ... непрерывны на [—1,1].
Определение 1.3.2. Будем говорить, что функция f принадлежит пространству Киприянова W 2p+ij если f Є Lp (—1,1) и Bf Є Llp+1 (-1,1).
Теорема 1.3.1. Пусть 2р+1 0 и четная функция f Є Wi™p+1 удовлетворяет условию f (1)=f (1)= ... =/(2m_1) (1)=0. Тогда коэффициенты ряда Фурье-Бесселя или Дини этой функции удовлетворяют асимптотическому равенству Сп = О (Хп т ) •
Теорема 1.3.2. Пусть р —1/2 и нечетная функция f(x) Є С2т+1([—1,1]) удовлетворяет следующим условиям
1) ДО) = / (0) = /"(0) = ... = /(2m)(0) = 0;
2) /(1) = / (1) = /"(1) = ... = /(2т)(1) = 0.
Тогда коэффициенты ряда Фуръе-Бесселя или Дини этой функции удовлетворяют асимптотическому равенству Сп = О (АГ2т+1/2) , А„ оо.
ВВОДЯТСЯ новые ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя по типу классических обобщенных рядов Шлемильха, где за четную составляющую берется j-функция Бесселя, а за нечетную - нечетная составляющая ядра Киприянова-Катрахова. Введем обозначение х &od,P(x) = 2(p + l)jp+1 Теорема 1.4.1. Пусть f нечетная функция, заданная на отрезке [—7Г, 7г], имеет непрерывную производную в окрестности нуля и функция д — решение уравнения Шлемилъха Ґ \ д{х cos a) sin2 a da. Jo /0 0 гм х 2У/ТГТ(ІУ-\-1/2) Тогда справедливо следующее представление функции f рядом Шлемилъха по нечетным j-функциям Бесселя f{x) = En=i Ло (ш0, где Aod,u(x) = Мх), v Є (-1/2,1/2), і г11 г71"/2 Ъ„ = , . _ „ г / / sec2l/+1 а х Т{у)у/ Т {\ - v) J-ъ Jo f{xsma) , х 4- f sin2 1 а da \ da e inx dx. x sin a Теорема 1.4.2. Если нечетная функция f представлена равномерно сходящимся на отрезке [0,7г] рядом (неполным) Шлемилъха оо /(ж) = 5 bm Aodf„ (тх) т=1 по нечетным j-функциям Бесселя А0а,и (тпх) — Щ ju(mx), і Є (— , ), mo его коэффициенты определяются по формуле 2v Г Г/2 ,_ , ч ,, Г / / fix sin Є)(sin Q)2v (cos Q)2udQx т V5Fr(i/)r(-i/) Jo Jo x sin mxdx. Ряды Шлемилъха (как и классические обобщенные) могут представлять так называемые "нуль-ряды". Для нечетных j-функций Бесселя эти ряды имеют вид X , 1 у. (-1) т=1 °° / -ЧТО -— + -?= У2 -—— Aod {mx) = 0.
Во второй главе изучается свойства обобщенного сдвига в пространствах локально интегрируемых функций и доказывается лемма об обобщенной свертке с j-бесселевым многочленом. Строятся дробные
В-производные и В-интегралы Лиувилля, Маршо, Вейля и исследуется связь между ними.
К основным свойствам обобщенного сдвига следует отнести его самосопряженность, ограниченность в соответствующем скалярном произведении и в соответствующей норме. В классах локально интегрируемых с весом функций эти свойства не выполняются. Поэтому вводятся „левые"обобщенные свертки
(/ 9)Р = f{Txf){y) д(у) y2p+1dy.
Jo
Лемма 2.1.1. Левая свертка с j-бесселевым многочленом Ап(х) = ао + Ylk=i ак Jpi k %), Р — \ (который может представлять собой конечный отрезок ряда Дини, Фурье-Бесселя или Шлемильха), будет снова j-бесселевый многочлен того эюе порядка и вида. Через LP (—а, а) будем обозначать множество четных функций /, р+1/2 для которых (х ) і f(x) Є Lq{—а, а). Норму определим равенством 2 / \f\qx2p+1dx . Jo -1/9 л / I j-\a __2ю+1 .т. \L (-a,a) Определение 2.1.1.. Пусть q 1, 2р + 1 0. Множество четных локально интегрируемых с весом х2р+1 функций с конечной нормой ті/ 2(P + 1) J2(p+1) sup [ТУ\Ґ{Х)\ X J q У2р+1 dy будем обозначать Sf и называть функциональным пространством Степанова, порожденного обобщенным сдвигом. Лемма 2.1.2. Если /є(-1,1), то Тж/ь?(-і,і) ІІ/Ь?(-і,і)-По аналогии с классическими дробными производными введем дробные В-производные, но вместо преобразования Фурье используется интегральное преобразование Ганкеля Н. Дробные В-производные Лиувилля в образах этого преобразования имеют вид ( Bfu(x)=H-1ieP НиШ Дробной В-производной Маршо порядка /? = а/2 называется к J Г( ) Г(р+1) J0 У1+а Через 5еи обозначим подпространство Л. Шварца, состоящее из четных функций, бесконечно дифференцируемых и достаточно быстро убывающих на бесконечности. Теорема 2.3.1 Пусть uGSev. Дробная В-производная Маршо порядка Р от функции и в образах преобразования Ганкеля имеет следующее представление Ъ и(х) = ІЇ-1 [аЛ [гг]] () г совпадает с В-производной Лиувилля. Дробные В-производные Вейля порядка /3 вводятся следующим образом оо (23 /) (х) = ((-Bff)(x) = Y;Xkfk3P(Xkx), а = 2(3. о Теорема 2.4.1. Пусть гпп(х) = ]Cfc=oafc Зр( кх) Тогда при /З Є (0,1) действия операторов В и Вр совпадают: (В%тп) (х) = (В тп) (х). Вводятся три типа ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде сверточного оператора, порожденного обобщенным сдвигом. І) DPjn(x) — 2_yfe=1 j 2(Afc) Зр\ЛкХ), ii) DPtn(x) = 2(p + 1) + ELi ЩЩ Jp&kx), 111) Dptn{x) = ]Cfc=l j2(Afc)(A -p2+(p+H)2) JptykX). Получены формулы 1іШп-,оо Sb(TbDp,n)(x) t2P+1 db=\, 0 x 1, lim oo (ТьОр,п)(х) t2 1 dt=\, 0 x 1, являющиеся аналогом формул Ватсона для функций Бесселя первого рода. Теорема 2.7.1 (Аналог теоремы Римана-Лебега). Пусть [a, b] С (0,1), x[a,b],0 x lu Jl \f{t)\ tP+1/2 dt oo. Тогда / f(t) (TxDp,n)(t) t2p+1 dt = o{l), Xn - oo. J a
Доказаны утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.
Теорема 2.8.1 Пусть f интегрируемая с весом х2р+1 по отрезку [0,1] функция. Положим ао = JQ f(t) t2p+1 dt, at = щЬр /О /( ) A ( ) t2p+1 dt k = l,2,... , где2р + 1 0. Пусть x Є (а, 6), 0 а Ь 1 и функция f имеет на [a,b] ограниченное полное изменение. Тогда ряд 2(р + 1)ао + ]CfcLi ak jp( k%) сходится и его сумма равна Hf(x + 0) + f(x-0)).
Следствие 2.8.1 Пусть для функции f выполнены все требования теоремы 2.8.1 и, кроме того, эта функция непрерывна на [а, Ь\. Тогда ряд 2(р + 1)ао 4- Ylh=i ak jp{ kx) сходится равномерно на [а, Ь] и его сумма равна f(x).
Следствие 2.8.2. Пусть f периодическая четная функция на [—1,1] и пусть f Є Lp{—1,1). Если функция g{x) = І+і/2 удовлетворяет всем условиям теоремы 2.8.1, то ряд оо 2(р + 1) а0 хр+1 2 + ак ХР+І/2 jp(\kX), к=1 где а0= /о1 g(t) t2p+1 dt, ак=щ і /Q g(t) jp{Xkt) t2p+1 dt, к 1,2,... , сходится и его сумма равна (д(х + 0) + д(х — 0)).
В случае если функция д{х) непрерывна на [0,1], ряд сходится равномерно на [0,1] и его сумма равна f{x).
Определение 2.9.1. Пусть f четная функция, определенная на [—а,а). Если для любых точек х и х ± /г; принадлежащих отрезку [—а,а], обобщенное приращение функции f удовлетворяет неравен ству \f(x)-(Thf)(x)\ A\h\\ где 0 А 2 (число Л, как и в классическом случае, будем называть показателем Липшица), а А — некоторая постоянная , то f называется функцией, удовлетворяющей условию Липшица порядка X, порожденного обобщенным сдвигом. Класс функций #рЛ([-а,а]) = {f(x) : \f(x)-(Thf)(x)\ A\h\\ [x-h,x+h\ Є [-a,a]}, где A — постоянная, A — показатель Липшица, будем называть (р, X)-классом Липшица. Ниоісняя грань постоянной А называется обобщенной постоянной Липшица.
Получена теорема о непрерывности функций, удовлетворяющих обобщенному условию Липшица.
Теорема 2.9.1. Функция f Є Нр([—а,а]) не только непрерывна по отношению к сдвигу Tv, но и просто непрерывна.
Теорема 2.10.1. Пусть функция f(x) є Н , р —1; 0 А 2, представлена рядом Фурье-Бесселя или Дини оо f{x) = 2(р + 1)а0 + ]Г) ak jp{\kx) fc=i и В-3 - дробная В-производная Марию, а В@ - дробная В-производпая Вейля. При (З Є (0,1) и (3 А выполняется равенство (Baf) (х) = (В"/) (х).
Третья глава посвящена доказательству неравенства Бернштейна для дифференциального оператора Бесселя от четной составляющей многочлена Шлемильха в классе непрерывных функций, а также доказательству неравенства Бернштейна-Зигмунда на функциях, принадлежащих весовым пространствам Лебега.
Теорема 3.1.1. Для В-производной j-многочлена Шлемильха порядка п имеет место следующая интерполяционная формула
В (Sn)(x) = тЬ YLI (і ™=І ЭД1 Щ (Тп(х + вк + Єт)) , в которой Тп — тригонометрический многочлен порядка п, сопровождающий j-многочлен Шлемильха, 0 = г 7Г, г = 1,2,..., 2п .
Как следствие этой формулы получено неравенство Бернштейна для В-дифференцирования.
Теорема 3.2.1.Пусть Sn — четный j-многочлен Шлемильха порядка п иТп (х) — его сопровождающий тригонометрический многочлен (т.е. Sn(x) = TLpTn(x)) и пусть на отрезке [0,7г] выполняется неравенство \Тп(х)\ М. Тогда \Sn(x)\ М и для произвольного натурального числа к: \Вк Sn{x)\ п2к М, х Є [0,7г].
С помощью утверждений о действии обобщенного сдвига получена форма неравенства Бернштейна в весовых пространствах Лебега, рассмотренных в предыдущей главе.
Теорема 3.3.1 (Аналог неравенства Бернштейна-Зигмунда). Пусть В — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя В = 2 Н— - - .- Для j-многочлена Шлемильха Sn(x) порядка п и произвольного натурального числа к справедлива оценка \Bk(Sn)(x)\\bl(-n,n) n2k 5„LP(_WW)) где р — , 1 q со.
Обозначим Da = В?, D = -J-B. С помощью неравенства Бернштейна-Зигмунда доказано неравенство Бернштейна для дробных В-производных j-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций.
Теорема 3.4.1. Для j-бесселевого многочлена Шлемильха справедлива оценка [T aSn)(x)\\c М{а,р)п« \\Sn{x)\\c, с константой М(а,р), ограниченной для всех а = 2(3 и р, удовлетворяющих условиям: ає(0,2), 2р + 1 0 и вычисляемой по формуле М{а,р) = (4(р + 1)-а(2р + 1))Г(1 + )Г(а + ) Г(р + 2)Г(з± ) Г(±р) Теорема 3.4.2. Пусть Б13 — В-производная Вейля и Sn{x) — четный j-многочлен Шлемильха п Z fc=l Тогда \\(B Sn)(x)\\c М(а,р)па \\Sn(x)\\c, с константой М(а,р), ограниченной для всех а. О, а = 2(3 up — , и вычисляемой по формуле _ (4(р + 1)-а+ а )Г(а + а) ш(а,р, г(р + 2)г (з±1) Г ( =а) Доказано неравенство Бернштейна для дробных В-производных, действующих из пространства Sp,q в пространство Lvq. Теорема 3.5.1. Для В-производной дробного порядка а Є (0,2) четного j-бесселевого многочлена Шлемильха Sn(x) = f + ]Cfc=i ak 3p{kx), справедлива оценка \\(paSn){x)\\Lv М(а,р)п \\Sn(x)\\sPt (3.5.1) с константой М(а,р), ограниченной для всех а, р, а Є [0,2], 2р-\-1 0 и 1 q со и равной _ (4(р+1)-а(2р + 1))Г(і + а )Г(а+і) l,W" Г(р + 2)Г( )Г( )
Ряды Фурье-Бесселя и Дини
Многочлен (1.2.5) будем называть А-бесселевым многочленом порядка N, а его четную (при ЛР)2П = jp) или нечетную (при ЛР)2П+1 — j jp+i(Xnx)) составляющие, соответственно, четным j-многочленом или нечетным j-многочленом Бесселя. Величину SN = J [/( ) - Ы )? \х\2{Р+1) dx (1.2.6) будем называть весовым среднеквадратичном уклонением многочлена (Тдг(ж) от функции f(x) на отрезке [-1,1]. Для j-бесселевых многочленов, как и для любой ортогональной системы функций, справедлива Теорема 1.2.1. Весовое среднеквадратичное отклонение (1.2.6) будет минимальным в том случае, когда коэффициенты многочлена (1.2.1) вычисляются по формулам (1.2.2). При этом имеет место 2По аналогии с тригонометрическими многочленами, хотя здесь это название не означает, что существует преобразование, приводящее к обычному многочлену. неравенство Бесселя для ряда по А-функциям Бесселя: / 1 оо f(x) \х\2 +1 dx J2C2n \\Ар,п(х)\\2 . (1.2.7) Если для ортогональной системы функций выполняется неравенство Бесселя, то такая система называется бесселевой. Из сходимости ряда справа в неравенстве (1.2.7) следует: lim С1\\Ар,п{х)\ЦР=0. (1.2.8) 71—ЮО 2 Если предположить, что системы функций і), іі), ііі) нормированы, то 1 оо [ f{x)x2 +1 dx Y,C2n. J-1 71=0 Как видим, для /єЩ(—1,1) ряд из квадратов коэффициентов Фурье оказывается сходящимся, поэтому lim Сп = lim / f(x) Арп{х) х2{р+1/2) dx = 0 . (1.2.9) 71— 00 71—ЮО J _л Следуя обычным схемам в теории ортогональных функций (см. например [3], стр. 115) введем следующее определение Определение 1.2.1. Системы А-функций Бесселя і), іі), ііі) называются полными, если для любой функции f(x)L2(—l,l) выполняется равенство / 1 оо -і ;Й Отметим следующее простое следствие условия полноты Л-функций Бесселя: Теорема 1.2.2. Пусть функции fi(x) и /г( ) принадлежат L (—1,1), по этим функциям построены ряды по А-функциям Бесселя: fi(x) CltQ AQ{X) + Clti Лг(х) + d,2Ы ) + /а (я) С2,о Л0(ж) + С2Д ЛІ (ж) + С2,2 Л2(ж) + ... w система А-функций Бесселя полна. Тогда /1 оо Л (я;) /2(я:) И2(р+1/2) dx = Y,C C2,u Лр,п(х -1 -П L2p+1 п=0 Доказательство теоремы получено обычными средствами (см. например [47]) и мы его не приводим. Сходимость в среднем. В теории рядов Фурье известен следующий факт — если система ортогональных функций полная, то всякая функция с интегрируемым квадратом вполне определена своим рядом Фурье, независимо от того сходится этот ряд или нет. Здесь мы докажем, что похожее утверждение справедливо и для рядов по Л-функциям Бесселя для функций f(x) Є Z 2(—1,1)
Замечание 1.2.1. Необходимо отметить, что если система по А-функциям Бесселя {APjn(x)} L0 — полная, то обычная (поточечная) сходимость ряда по этой системе функций может и не иметь места, а для функций f{x) Є 1 (-1,1) и Для полной системы А-функций Бесселя сходимость в среднем всегда имеет место.
Это замечание показывает важность понятия сходимости в весовом среднем и позволяет рассматривать эту сходимость как обобщение обычной сходимости. Последнее вполне правомерно, если рассматриваемые нами ряды сходятся в весовом среднем лишь к единственной функции. Так же без доказательства приведем следующий результат
Теорема 1.2.4. Если система j-функций Бесселя {Ap n(x)} L0 полная, то всякая функция f(x) Є L2 (—1,1) вполне определена своим рядом Фурье-Бесселя или Дини независимо от того сходятся соответствующие ряды или нет.
О равномерной сходимости j-бесселевых рядов. Б.М. Левитан в работе [20] (см. также книгу [21]) заметил, что асимптотическое поведение функций Бесселя при больших значениях аргумента может служить причиной равномерной сходимости соответствующих рядов. Для рядов по j-функциям Бесселя, которые также асимптотически убывают, тоже справедливо подобное утверждение.
Теорема 1.2.6. Пусть р , нечетная функция /(ж)єС2(—1,1) и удовлетворяет следующим условиям 1) в случае, когда числа Хп удовлетворяют условию гг) или гіг) требуется, чтобы f(l) = 0; 2) в случае, когда числа \п удовлетворяют условию г) или гіг) требуется, чтобы f (l) = 0. Тогда ряды Фурье-Бесселя или Дини для f(x) сходятся абсолютно и равномерно на [0,1]. Для р —1/2 эти ряды сходятся абсолютно и равномерно вне любой окрестности начала координат.
Дальнейшие рассуждения повторяют доказательство для четной функции, поскольку четные и нечетные j-функции Бесселя имеют одинаковые асимптотики. Функцию всегда можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. Это позволяет объединить теоремы 4 и 5. Теорема 1.2.7. Пусть \р\ 1/2, функция f(x) Є C2(—1,1) и удовлетворяет условиям /(±1) = / (±1) = 0. Тогда ряды Фурье-Бесселя или Дини для f(x) сходятся абсолютно и равномерно на [—1,1]. Для р —1/2 эти ряды сходятся абсолютно и равномерно вне любой окрестности начала координат.
Ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя
Вопрос о представлении функций рядами Шлемильха по четным и нечетным j-функциям Бесселя особенно интересен в связи с исключительной возможностью применения ядра Киприянова-Катрахова к теоретическим и практическим задачам с элементами симметрии. Четная часть ряда Шлемильха известна. Поэтому в исследовании нуждается нечетная составляющая с ядром Киприянова-Катрахова. Итак, рассматривается задача — представить произвольную нечетную функцию, допускающую представление в виде ряда Фурье по тригонометрической системе, рядом Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя. Известно, что одна и та же функция может быть представлена различными рядами Шлемильха. Это отчасти объясняет то, что в работе рассматриваются два подхода — через интегральное уравнение Шлемильха (см. [3]) и через интеграл Сонина для функций Бесселя первого рода (см. [2]).
Таким образом, для представления нечетной функции / в виде ряда Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя достаточно найти четную функцию д, которая разлагалась бы в ряд Фурье, допускающий почленное интегрирование и являлась бы решением следующего интегрального уравнения. Теорема 1.4.1. Пусть f - нечетная функция, заданная на отрезке [—7Г, 7г]; имеет непрерывную производную в окрестности нуля и функция g построена по функции f по формуле (1.4-7).
Как видим, правая часть этого равенства есть тригонометрический ряд, поэтому естественно предположить, что это ряд Фурье для его левой части. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. Теорема 1.4.2. Если нечетная функция f представлена равномерно сходящимся на отрезке [0,7г] рядом (неполным) Шлемильха no нечетным j-функциям Бесселя A0 u (mx) = Ц - ju{mx), ІУЄ (— , ), то его коэффициенты определяются no формуле / / f{x sin 9)(sin G)2l/ (cos 6)2l/ d9 sin mx dx. (1.4.12) Jo -/o
О существовании нуль-ряда. Как известно (см. [3], [2]), классические обобщенные ряды Шлемильха могут представлять так называемые "нуль-ряды " , т.е. существуют сходящиеся обобщенные ряды Шлемильха с ненулевыми коэффициентами, сумма которых почти всюду равна нулю. Покажем, что аналогичное свойство имеется и у рядов Шлемильха по j-функциям Бесселя.
В этом пункте мы рассмотрим утверждения, позволяющие сделать заключение о равномерной сходимости рядов Фурье-Бесселя или Дини по -функциям Бесселя по поведению коэффициентов соответствующего ряда. Для обычных рядов Фурье-Бесселя и Дини подобные утверждения известны и их можно найти в книге ([47], стр.275-285). Мы используем схемы доказательств из [47], но при этом используем другую технику на основе собственных функций сингулярного дифференциального оператора Бесселя и понятия В-дифференцируемости и принадлежности киприяновским функциональным классам.
Определение 1.3.1. Функцию f, определенную на [—1,1], будем называть В-гладкой порядка k = 1,2,3, ... па этом отрезке если все функции (Bk f){x), к = 0,1,2,3, ... непрерывны на [—1,1].
1. Порядок коэффициентов, обеспечивающий равномерную и абсолютную сходимость рядов по Л-функциям Бесселя. Если для коэффициентов ряда X n ( f ±i]) Лр п(ж) выполнено условие СП(Л) = 0(А (1+)), где є 0, то он сходится абсолютно и равномерно на [—1,1] для всех р — . Это следует из ограниченности четных и нечетных j-функций Бесселя.
Заметим, что аналогичное утверждение справедливо для классических рядов Фурье-Бесселя и Дини, но только для р 0 ([47], стр. 275). Вне некоторой фиксированной окрестности начала координат получаем существенно другой результат: ряд сходится абсолютно и равномерно, если Сп(Х) = 0(ЛР_Є-1//2), где є О, что вытекает из асимптотического поведения четных и нечетных j-функций Бесселя, когда аргумент стремится к бесконечности.
Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо
Классическое дробное дифференцирование вводится следующим образом. Пусть 0 a 1 и =щзз. Для функции f(x), заданной на отрезке [a,b], каждое из выражений РЪШ=А4- //Wf , ІЧ Л(Х)=-А4- [/Щ-, (2-2.1) v a+JA dxj (x)a v WA ; dx J (x)" v ; a x называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка аЄ (0,1), соответственно левосторонней и правосторонней (см. [31]). Если же а 1 - нецелое, то =ШМЙ / ь-/=(-)(% /. Мы пользуемся стандартными обозначениями: [а] — целая часть числа а, {а} - дробная часть числа а, т. е. а — [a] -f {а.}. Далее полагаем а = —оо, Ъ = +оо. В этом случае для дробных производных Римана-Лиувилля (соответственно левосторонней и правосторонней) используются обозначения Т , D". Для этих производных справедливо следующее представление в образах Фурье (см. [31], стр. 114): где а О, а (±гх)а = 1 ] 121 Эту конструкцию производной дробного порядка обычно называют производной Лиувилля (см. [27]). Далее нас интересуют аналоги конструкций (2.2.1) и (2.2.2), которые дают дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя. Отметим, что И.А. Киприянов в [8] (см. также [9], [10], [14]) применил схему (2.2.2) для введения дробных степеней некоторых сингулярных дифференциальных операторов в частных производных, используя вместо преобразования Фурье смешанное преобразование Фурье-Бесселя.
Дробная В-производная Лиувилля. В этих исследованиях мы будем использовать частный случай смешанного преобразования Фурье-Бесселя — интегральное преобразование Ганкеля (введено в [54]), модифицированное в [8] на основе jp-функции Бесселя (см. также книгу [9]) следующим образом /ОО #[«]() = Щ) = / и(х) jp(xO x2?+1 dx. Jo Через Cfy обозначим пространство дважды непрерывно дифференцируемых четных функций. Если utzL iRi) П C V(R±), то воспользо вавшись самосопряженностью оператора Бесселя в весовом скалярном произведении (проинтегрировав по частям), получим /ОО / оо Н[Ви]() = / Ви(х) jp(x) x2p+1 dx = и{х) Bxjp{x) x2p+1 dx = Jo Jo f u(x)jp(x )x2p+1dx. Здесь мы учли, что Bxjp(x) = (i)2jp(x) (см [20]). Как известно [8], обращение преобразования Ганкеля задается равенством Н-1[Щ)} = х) = [22Т2(р + І)]"1 #[()]( ), поэтому В-дифференцирование в образах интегрального преобразования Ганкеля задается как одномерный сингулярный псевдодифференциальный оператор [9] (-в)и(х) = н- іеча Это дает основание ввести дробные В-производные Лиувилля (по типу производных Лиувилля, построенных на основе преобразования Фурье) в виде (-Bfu(x)=H-1ie u(0} (2.2.3) Оператор Бесселя В представляет собой дифференциальный оператор второго порядка, поэтому положительное число (3 — порядок оператора Бесселя, а порядок дифференцирования надо считать равным 2(3. Далее используются обозначение а = 2/3. Отметим также, что если ввести оператор D = (—В)1/2, то его действие в образах прямого и обратного преобразования Ганкеля представится в виде одномерного сингулярного псевдодифференциального оператора (описание последних в терминах операторов преобразования содержит книга [9]) с символом 2(5: D"u( ) = Я_1Ка ()] а = 2р. (2.2.4) Отметим так же, что многомерный вариант операторов D рассмотрен в [23]. Дробная В-производная Маршо. Конечно, большой интерес представляет выражение действия (2.2.4) в виде обобщенного свер-точного оператора. В этой связи введем оператор, построенный по схеме дробной производной Маршо (см. [31], стр. 95), но на основе обобщенного сдвига / - (Vf){x) = Ji t,1 Г / (у/х -2ху жР + уА sin2? (3d(3. J- \—2 W JQ Ч J Этот оператор имеет следующий вид Bf u(x) = С(а,р) / V ; ;+а А ; ф, а - 2/?, (2.2.5) Jo У где интеграл понимается как несобственный: Г УУи){Х) dy = lim Г » -Р М dy, а константа С(а,р) будет выбрана позднее. Здесь, по сути, мы скопировали определение дробной производной Маршо, но принципиальным отличием от него является тот факт, что интеграл (2.2.5) оказывается сходящимся в нуле при 0 а 2 (это просто установить для дифференцируемых четных функций применением формулы Тейлора-Дельсарта [20]) Оператор (2.2.5) будем называть дробной В-производной Маршо порядка /3 (2(3 = а).
Замечание 2.2.2 Оператор (2.2.5) совпадает с обычной производной Маршо, если в нем обобщенный сдвиг заменить обычным и это отличает его от многомерных операторов D", введенных в [23], поскольку в последних надо дополнительно потребовать равенство нулю весового мультииндекса j. Среди конструкций дробного дифференцирования, дробная производная Маршо оказывается хорошо приспособленной для работы с интегральными преобразованиями, а дробная производная Вейля, выделяется тем, что она приспособлена для работы с периодическими функциями, представленными тригонометрическими разложениями. В этой главе изучаются аналогичные конструкции по отношению к дифференцированию многочленов и разложению по четным j-функциям Бесселя, рассмотренных в первой главе. Полученные результаты во многом напоминают классические (хотя и не могут считаться их обобщением). В частности, введенные В-производные Вейля и В-производные Маршо оказываются совпадающими на классах функций, представленных многочленами или рядами Фурье-Бесселя, Дини или Шлемильха по четным j-функциям Бесселя, позволяющими почленное дифференцирование.
Надо заметить, что обобщенному сдвигу / - (Vf)(x) = fr 1) Г / (V 2-2 cos/3 + /) sin2 /W/? присущи оригинальные свойства, которых не может быть у обычного сдвига. Например, обобщенный сдвиг не имеет обратного, функция (Ty f)(x) оказывается четной и по переменной ж, и по шагу у (независимо от четности или нечетности /). К основным свойствам обобщенного сдвига следует отнести его самосопряженность в соответствующем весовом скалярном произведении, ограниченность в весовой L -норме. Если интегрирование проводится в R\, то эти свойства хорошо известны (открыты в работах А. Ванштейна, Ж. Дельсарта, Б.М. Левитана и И.А. Киприянова, М.И. Ключанцева). Но оказалось, что в классах локально интегрируемых функций эти свойства могут не выполняться.
Неравенство Бернштейна для В-производной j-многочлена Шлемильха
Если в классической интерполяционной формуле Рисса (3.1.3) положить Тп{х) = sm(nx), то при х = О получим 1 2п 1 п=-—У —9 А - (3.2.1) 4n f-f sin2 % v Теперь сформулируем следующий результат (для тригонометрических многочленов обычно называемый неравенством Бернштейна). Теорема 3.2.1. Пусть Sn — четный j-многочлен Шлемиль-ха порядка п и Тп(х) — его сопровождающий многочлен, т.е. Sn(x)=HpTn(x) и пусть на отрезке [0,7г] выполняется неравенство \Тп(х)\ М. (3.2.2) Тогда \Sn(x)\ М. (3.2.3) и для произвольного натурального числа к \BkSn(x)\ п2к sup \Sn(x)\ п2кМ, х Є [0,тг], (3.2.4) ЖЄ[0,7Г] _ d2 , 2р+1 _d где В=- + PJ - — сингулярный дифференциальный оператор Бес Доказательство. Как известно оператор Пуассона — ограниченный и, кроме того, Пр(1) = 1. Поэтому неравенство (3.2.3) вытекает из (3.2.2).
Неравенство (3.2.6) немедленно вытекает из равенства (3.2.1). Доказательство закончено. Замечание 3.2.1 Если следовать классическим канонам, то неравенство (3.2.4) должно быть следствием неравенства (3.2.3). Но в данном случае неравенство (3.2.4) получено как следствие неравенства (3.2.2). То есть использована оценка не j-многочлена Шлемильха, а его сопровождающего тригонометрического многочлена. Тем не менее неравенство (3.2.4) точное, поскольку если предположить, что оно справедливо с константой М М, то на конкретном примере легко приходим к противоречию. А. Зигмунд (см. [6]) распространил неравенство Бернштейна с класса непрерывных функций на функции, принадлежащие классам Лебега. В этом пункте рассмотрена аналогичная задача, по отношению к В-дифференцированию, при этом роль лебеговского класса выполняют весовые пространства Лебега, рассмотренные в предыдущей главе.
Для произвольного натурального числа к мы учтем, что каждое из выражений Bk 1STl(x), Bk 2Sn, ... вновь представляет собой j-многочлен Шлемильха, поэтому из (3.3.8) имеем 11 ( ))11 (- ) n B SnWU K ... n2k\\Sn(x)\\L%{ y Доказательство закончено. Отметим, что также, как и в теореме 3.2.1 (см. замечание 3.2.1), полученный в теореме 3.3.1 результат не может быть улучшен. В самом деле, для j-бесселевого многочлена Шлемильха Sn{x) — jp(nx) неравенства, полученные в теореме, с очевидностью оказываются равенствами, поскольку в этом случае В jp(Xx) = —\2jp{Xx) и поэтому \\ВSn{x)\\Lp{_ni7r) = \\Bjp{nx)\\LPq{_ ) = п2 Ib nWIU r.Tr) 3.4. Неравенство Бернштейна для дробных В-производных j-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций Ранее мы установили, что дробные В-производные Маршо и Вей-ля совпадают на функциях, представленных равномерно сходящимися рядами и многочленами по j-функциям Бесселя (см. теорему 2.4.1 и теорему 2.8.1). Далее мы будем использовать В-производную в форме Маршо, но все утверждения справедливые для В-производных Вей-ля.
Воспользовавшись определением пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, получим 2/"Sn-r SnLP!B dt tl+a f Jo Bgngg(otir) Г _а dt = 22-S5nb?(0 / 22 (p + 1) JQ (2 - a) n2- 22 (p + 1) Существует t0, такое, что НВДгН о.тг) = И пИь о.тг)- Теперь, воспользовавшись перестановочностью операторов Бесселя и обобщенного сдвига, имеем Это касается свойства самосопряженности. Чтобы убедиться в этом рассмотрим два типа сверток (для периодических функций) левые и правые, соответственно (flig)P= [\тх/)(у)д(у)у2 Чу, Jo (fr g)P= Г Ky)(Txg)(y)y2p+1dy. Jo Если бы обобщенный сдвиг был самосопряженным оператором, эти два выражения должны совпасть. Однако, если их представить в виде (/ 9)р=С(р)) J f ( /( і-а02+ ) 9 (\Ді+ 22) z22pdZldz2: {\z\ a, z2 0} if g)p=c(p) J f У Щ g (V( i- )2+ 22) 4pdz1dz2i {\z\ a, z2 0} то несовпадение в общем случае очевидно, поскольку в первом выражении первая функция оказывается постоянной на окружности с центром в точке (ж, 0), а вторая — на окружности с центром в начале координат. Во втором же выражении наоборот. Легко привести примеры графиков функций для которых указанные „левые" и „правые" обобщенные свертки не совпадут. В общем случае для локально интегрируемых с весом функций невозможно установить неравенство, обеспечивающее ограниченность обобщенного сдвига, как оператора из L (0,a) в 1/ (0, а), поскольку связывающая соответствующее неравенство константа, вообще говоря, зависит от функции /. Поэтому роль нормы Степанова, порожденной обобщенным сдвигом, при исследовании классов весовых локально интегрируемых функций, очень существенна.