Динамика линейных операторов в пространствах аналитических функций Лишанский Андрей Александрович

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение 1

1.1 Гиперциклические линейные операторы 2

1.2 Существование гиперциклического подпространства 5

1.3 Гиперциклические одномерные возмущения унитарных операторов 8

1.4 Гиперцикличность операторов Теплица 12

2 Операторы Теплица, обладающие гиперциклическим подпространством 16

2.1 Существенный спектр линейных операторов 16

2.2 Усиленный критерий Годфруа-Шапиро 18

2.3 Доказательство теоремы 1.2.1 19

3 Гиперциклическое одномерное возмущение унитарного оператора 22

3.1 Предварительные сведения о функциональной модели одномерных воз

мущений унитарных операторов 22

3.1.1 Внутренние функции и меры Кларка 22

3.1.2 Функциональная модель 25

3.1.3 Модельные пространства в верхней полуплоскости 27

3.2 Доказательство теоремы

3.3 28

3.2.1 План доказательства 28

3.2.2 Выбор параметров 32

3.2.3 Доказательство неравенства (3.12) 34

3.2.4 Доказательство неравенства (3.13) 36

3.2.5 Сходимость и полнота 36

3.2.6 Конец доказательства теоремы 1.3.3 38

3.3 Заключительные замечания 38

4 Гиперцикличность операторов Теплица 40

4.1 Вспомогательные утверждения 40

4.2 Доказательства основных результатов 48

4.3 Характеризация Шкарина трехдиагональных теплицевых операторов 52

4.4 Открытые вопросы

• Существование гиперциклического подпространства
• Усиленный критерий Годфруа-Шапиро
• Внутренние функции и меры Кларка
• Характеризация Шкарина трехдиагональных теплицевых операторов

Введение к работе

Актуальность темы. Динамика линейных операторов в банаховых или топологических векторных пространствах — это интенсивно развивающаяся в последние 25 лет область функционального анализа. Она тесно связана с рядом направлений современного анализа, такими, как спектральная теория линейных операторов, эргодиче-ская теория, пространства аналитических функций и действующие в них операторы. Этой тематике посвящено значительное число работ.

Особую роль в линейной динамике играет понятие гиперциклического оператора, то есть оператора, у которого существует вектор, имеющий всюду плотную орбиту. Таким образом, гиперциклический оператор — это оператор, имеющий в определенном смысле хаотическое поведение. Тем не менее, оказывается, что многие естественные операторы обладают свойством гиперцикличности. Среди них — дифференциальные операторы в пространстве Фреше всех целых функций, операторы взвешенного сдвига, операторы Теплица и операторы композиции в пространстве Харди. Первые примеры гиперциклических операторов восходят к Дж. Биркгофу (1929), С. МакЛейну (1952) и С. Ролевичу (1968), однако настоящий расцвет теории гиперциклических операторов начался в конце 1980-х — начале 1990-х годов. Важные результаты по этой тематике были получены К. Китай, Ж. Годфруа, Дж. Шапиро, П. Бурдоном, Г. Сала-сом, А. Монтес-Родригесом, Е. Абакумовым, С. Гриво, А. Перисом, Ч. Ридом, Ф. Баяртом, Э. Матероном.

Современное состояние теории изложено в двух недавних монографиях Ф. Баярта и Э. Матерона¹, а также К.-Г. Гросс-Эрдманна

^:F. Bayart, Е. Matheron, Dynamics of Linear Operators, Cambridge University Press. 2009. 352 p.

и А. Периса².

Следует отметить, что гиперциклические операторы представляют интерес в связи с известным вопросом функционального анализа: любой ли линейный оператор в нормированном пространстве из некоторого класса пространств имеет нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство? Ч. Рид построил пример ограниченного линейного оператора в пространстве , для которого любой ненулевой вектор гиперциклический³. Для гильбертовых пространств вопрос остается открытым.

Цель работы. Данная работа посвящена трем актуальным вопросам теории гиперциклических операторов. Первый из них — существование замкнутых подпространств, в которых каждый ненулевой вектор является гиперциклическим для данного оператора. Второе направление работы — существование гиперциклических операторов, в определенном смысле близких к тождественному. Третья часть посвящена гиперцикличности операторов Теплица с полиномиальной аналитической частью.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Доказано существование гиперциклического подпространства
для одного класса операторов Теплица с антианалитическими сим
волами.

1. Получено новое теоретико-функциональное доказательство теоремы С. Гриво о существовании унитарного оператора с гиперциклическим одномерным возмущением.

2. Найдены необходимые, а также достаточные условия гиперцикличности оператора Теплица с символом, имеющим полиноми-

²K.-G. Grosse-Erdmann, A. Peris Manguillot, Linear Chaos, Springer. Berlin. 2011. 388 p. ³C. Read, A short proof concerning the. Invariant Subspace Problem // J. London Math. Soc, 34. 1986. P. 335-348.

альную аналитическую часть.

Методы исследования. В работе используются как классические (Китай, Годфруа-Шапиро), так и новые критерии гиперцикличности. Новым для этой тематики является применение функциональных моделей для различных классов линейных операторов и техники модельных подпространств пространства Харди.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании динамики линейных операторов в пространствах аналитических функций, в частности, операторов Теплица.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях: "International Workshop in Operator Theory and Applications" IWOTA-2014 (Амстердам), "St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis" (Санкт-Петербург, 2013 и 2014), "Complex analysis and related topics" (Санкт-Петербург, 2014), "Conference on Harmonic and Functional Analysis, Operator Theory and Applications" (Бордо, 2015), а также на семинаре в Санкт-Петербургском отделении Математического института РАН.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце автореферата. Все статьи опубликованы в журналах из списка ВАК (1 статья в российском журнале и 2 статьи в ведущих зарубежных журналах).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и 3 глав. Общий объем работы — 61 страница, библиография включает 34 наименования.

Существование гиперциклического подпространства

В доказательстве наследственной гиперцикличности оператора(fi(S ) мы будем использовать усиленную версию критерия Годфруа-Шапиро: Теорема (усиленный критерий Годфруа-Шапиро). Пусть Т — ограниченный линейный оператор в сепарабелъном банаховом пространстве. Предположим, что подпространства Хо = span{:r Є X : Тх = Хх для некоторого А Є С, Л 1}, Уо = span{:r Є X : Тх = Хх для некоторого А Є С, Л 1}, плотны в X. Тогда оператор Т — наследственно гиперциклический.

Доказательство: Говорят, что оператор Т в пространстве Фреше X удовлетворяет критерию гиперцикличности, если существуют всюду плотные подмножества Хо и Уо пространства X, возрастающая последовательность {rik\ положительных чисел и последовательность отображений Snk : Уо X, к 1, такая, что для любых точек х Є Хо и у Є Уо выполняются три условия:

По теореме Беса-Периса (см. [19, теорема 3.15]) если оператор Т удовлетворяет критерию гиперцикличности, то Т — наследственно гиперциклический. Остается проверить, что наш оператор удовлетворяет данному выше определению. Чтобы это сделать, возьмем в качестве XQ И УО подпро странства из условия (они плотны в X по условию теоремы). Далее, возьмем просто последовательность rik = к, & в качестве Sk берем Т , определенный на Уо- Тогда все три условия критерия гиперцикличности выполняются автоматически. Доказательство теоремы 1.2.1 Нам нужно проверить два условия теоремы Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес-Родригеса. Любую функцию if из диск-алгебры можно равномерно приблизить в Ш) последовательностью полиномов Рп. Поэтому Pn(S ) стремится к (fi(S ) в операторной норме.

Нам нужно показать, что ae((p(S )) пересекает замкнутый единичный круг. Так как ( (Т)ПТ ф 0, существуют А, /і Є Т, такие, что ty?(A) = /і. Тогда fin = РП(А) стремится к /І. По теореме об отображении существенного спектра для любого полинома Р имеем ae(P(S )) = P(ae(S )) = Р(Т). В частности, /in = Рп(Х) Є ae(Pn(S )) для любого п, и поэтому Pn(S ) — цп1 не фредгольмов.

Так как множ;ество фредгольмовых операторов открыто в операторной норме (см., например, [11, теорема 4.3.11]), множество нефредголь-мовых операторов замкнуто, откуда получаем, что предел Pn(S ) — finI, равный (fi(S ) — ці, не фредгольмов, и /І лежит в существенном спектре tp(S ). Первое условие теоремы Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес Родригеса проверено.

Хорошо известно, что условие (р(Щ П Т ф 0 влечет, что (fi{S ) удовлетворяет критерию Годфруа-Шапиро. Вкратце воспроизведем это рассуждение.

Напомним, что точечный спектр S равен ap(S ) = {А : Л 1}, и собственные вектора равняются (1,А,А2,---) Є 2(No), или, если мы перейдем к пространству Харди Н (Ш), используя естественное отождествление Н2 с 2(No), ) = X V. п \) Это ядра Коши, являющиеся воспроизводящими ядрами в пространстве Н2. Ясно, что к\, А Є , также являются собственными векторами tp(S ) с собственными числами (р(Х).

По условию ( () П Т 7 0 мы знаем, что ( () — открытое множество, пересекающее Ш) и С\Ш). Тогда понятно, что XQ = {к\} А Є Ш : ty?(A) 1} и Уо = {к\}\ Є Ш : ty?(A) 1} плотны в Я2. В самом деле, функция / Є Н2 ортогональна к\ в том и только в том случае, когда /(А) = О, а оба множества {А Є D : ty?(A) 1} и {А Є В : 1 ( )1 1} открыты. Поэтому выполнены условия критерия Годфруа-Шапиро, откуда следует наследственная гиперцикличность оператора (p(S ).

Следовательно, по теореме Гонзалеса, Леон-Сааведры и Монтес Родригеса у оператора (fi(S ) есть гиперциклическое подпростран ство. П Можно попробовать обобщить утверждение Монтес-Родригеса о том, что оператор XS , Л 1, действующий на 2(No), не имеет гиперциклического подпространства. Мы предполагаем, что верно следующее утверждение: Гипотеза. Пусть В = p(S ), где р — полином, такой, что \р(Х)\ 1 при Л = 1. Тогда оператор В не имеет гиперциклического подпространства.

Усиленный критерий Годфруа-Шапиро

Так как функции из Kg «более аналитические», чем просто функции из Н , воспроизводящие ядра могут существовать и в граничных точках. В частности, если в (и, значит, любая функция из Kg) аналитически продолжима через некоторую дугу /, можно рассматривать ядра к\, А Є /. В общем случае, согласно результату Ахерна и Кларка имеем к\ Є Kg для А Є Т тогда и только тогда, когда # (А) оо, то есть модуль угловой производной конечен.

Напомним конструкцию Кларка ортогональных базисов воспроизводящих ядер [10]. Для каждого а Є Т функция +д имеет положительную вещественную часть Ш), поэтому существует конечная положительная мера ца на Т (сингулярная относительно меры Лебега), такая что a + e(z) 1/1- \z\2 a — 6{z) 7Г JT \T — z\2 Теорема Кларка утверждает, что если для некоторого а, мера ца чисто точечная, т.е. если ца = пЦ-п$тпі т"п Т, то кТп Є Kg и система {кТп\ — ортогональный базис в Kg. Заметим также, что {тп} = 9 ({а}), и \\kTn\\22 = \e (tn)\ = 2(i-1 Пусть ц = ц1 — мера Кларка, соответствующая а = 1. Для с Є Ь2(ц) положим (Vc)(z) = (1 - ОД) / С(:ЖГ) , г Є Ш. (3.1) Как показал Кларк [10], V — унитарный оператор, действующий шЬ (р) на Kg. Более того, некасательные граничные значения функции Vc существуют и совпадают /І-П.В. С функцией с [28], и, поэтому, V можно понимать как оператор вложения Kg в L (р). В частности, если {кТп} — это ортогональный базис из воспроизводящих ядер в KQ, ТО любая функция / Є Ко Имеет ВИД f(z) = (1 - 9{z)) J2n Г= ГДЄ J2n KlVn 00.

Изложим детали функциональной модели одномерных возмущений унитарных операторов. Пусть 9 — внутренняя функция в круге, такая, что 9(0) j 0. Пространство KQ инвариантно относительно оператора обратного сдвига S , однако оно не инвариантно относительно оператора сдвига Sf = zf (напомним, что проекция SQ = Pxe(Sf) оператора сдвига S — это простейший (скалярный) случай модельного оператора Секефальви-Надя-Фойяша). Поэтому для функции / Є Kg функция zf не обязательно лежит в KQ, НО легко видеть, что существует единственное разложение zf = 7 + h, где Е С — константа и h Є KQ. Более того, 7 = (9(0)) l(zf,9) — это непрерывный функционал по /. Теперь пусть if Є Н2 — функция, такая что ср f Кв) Є Ко, (3.2) /С то есть if = tp(0) + zg для некоторой функции д Є KQ. Теперь мы можем определить оператор Т = TQ на KQ ПО формуле Tf := zf - lff, (3.3) где 7/ — единственное комплексное число, такое что zf — jf(p Є KQ. Теперь мы готовы представить функциональную модель одномерных возмущений, аналогичную [1, теорема 0.6] (хотя основные идеи восходят к [20]). Напомним, что унитарный оператор называется сингулярным, если его спектральная мера сингулярна относительно меры Лебега на Т. Мы также предположим ниже, что U циклический, и поэтому с точностью до унитарной эквивалентности это оператор умножения на z в некотором пространстве L (v), где v — конечная борелевская мера на Т. За u(U) мы обозначим спектр U. Наконец, мы обозначим за р(9) граничный спектр внутренней функции #, то есть дополнение объединения всех открытых дуг /, таких, что в допускает аналитическое продолжение через /.

Теорема 3.1.1 (функциональная модель). Пусть U — циклический сингулярный унитарный оператор, такой, чтоа(и) ф Т. Тогда для любого одномерного возмущения U + R оператора U существует внутренняя функция 9 в круге, такая, что 9(0) /Ои р(9) ф Т, и функция (р Є Н2, удовлетворяющая (3.2) и такая, что оператор U + R унитарно эквивалентен оператору Т, определенному в (3.3).

Обратно, любая внутренняя функция 9, такая, что 9(0) / 0 « р(9) ф Т, и любая функция (р Є Н2, удовлетворяющая условию (3.2), соответствует некоторому одномерному возмущению U + R циклического сингулярного унитарного оператора U, такого, что o (U) ф Т.

Заметим, что для наших целей (т.е. построения гиперциклического одномерного возмущения унитарного оператора) нам нужна простая часть теоремы 3.1.1, а именно, что любой оператор Т вида (3.3) — это одномерное возмущение унитарного оператора. Это становится ясно, когда мы переходим к оператору V TV в L (р), где V — унитарный опера тор Кларка. Легко видеть, что V TV — это одномерное возмущение оператора умножения на независимую переменную в L (р).

Из определения оператора Т очевидно, что если А Є С — собственное значение Т, то ему соответствует собственный вектор Щ- Теперь, применяя теоремы 3.1.1 и 1.3.2, мы видим, что существование одномерного возмущения следует из теоремы 1.3.3. А именно, функции fn из теоремы 1.3.3 являются собственными векторами оператора Т и удовлетворяют условию теоремы 1.3.2, поэтому оператор Т гиперциклический. По теореме 3.1.1 он унитарно эквивалентен некоторому одномерному возмущению унитарного оператора U + R.

Внутренние функции и меры Кларка

Теперь положим [IN = \f N и определим внутреннюю функцию 9pj уравнением (3.9). Введем дополнительное ограничение на малость Єдг:

И снова аргумент непрерывности показывает, что мы можем занумеровать N корней Л этого уравнения (о которых нужно думать как о функциях от см) так, чтобы Л — А _1, j = 1,... , N — 1, и Л — tjy при CN — 0. Более того, по выбору дг как решения уравнения (3.14), мы имеем

Здесь мы использовали левое неравенство из (3.19). Член нивается аналогично. Так как/ІДГ 2 , оценка (3.13) доказана оце 3.2.5 Сходимость и полнота Чтобы убедиться в поточечной сходимости 9N(Z) - @(z) и N(Z) - V(z)i z Є С+, достаточно предположить лишь, что 2п[іп оо и сп — 0. У(з) По выбору параметров в разделе 3.2.2 последовательность А сходится к некоторому Aj, и отсюда следует, что / сходится к - М; поточечно в С+. С другой стороны, в силу оценки (3.12) последовательность функций / Є Н2 сходится к некоторой функции fj в Н2. Так как сходимость в Н влечет поточечную сходимость в С+, мы заключаем, что fj(z) = - Цг-Теперь мы докажем, что семейство {fj} полно в Kg. Сначала заметим, что если д Є KQ,

По теореме Кларка (см. (3.5)) норма второй суммы равна Ylm=N+l \d"m\2(J"m, чтО, ОЧЄВИДНО, СТрвМИТСЯ К НуЛЮ При N — ОО, тогда как норма первой суммы мала по предположению (3.16). Итак, мы построили последовательность д Є KQN, такую, что дм — д в L (Ж). Остается приблизить функции д линейными комбинациями функций fj. Применим рассуждение из статьи [17]. Так как {fj} — базис в KQN, МЫ можем записать д = X =i ajfj- Теперь, используя (3.12), мы получаем что стремится к 0 при N — оо. Полнота семейства {fj} доказана. 3.2.6 Конец доказательства теоремы 1.3.3.

Завершим доказательство теоремы 1.3.3. Мы построили последовательность {fj} = {jz\:}, полную в Kg. Остается проверить, что {fj} обладает свойством (3.8). Пусть j 1 и є даны. Выберем N таким, что l(N) = J и 2 є, что возможно по определению последовательности 1{п). Тогда, в силу (3.13), \\f? — JNWZ 2 N l. Также, из оценки (3.12) вытекает, что

Унитарный оператор U в нашей конструкции (так же как в конструкции в статье [17]) имеет очень специальный вид. Заметим, что если tn Є Ж. — последовательность, построенная в секции 3.2, то спектр U совпадает с {тп}, тп = f- --. Точки tn выбраны по индукции так, чтобы tjy было близко к некоторым точкам tn, 1 п N — 1, и поэтому множество {tn} имеет некоторое самоподобие. Естественным будет вопрос о том, какие унитарные операторы имеют гиперциклические одномерные возмущения. Вопрос 1. Описать циклические унитарные операторы U, такие, что U + R гиперцикличен для некоторого оператора R ранга один. В частности, неясно, когда спектр (i(U) может иметь непустую внутренность или положительную меру. Вопрос 2. Существует ли циклический унитарный оператор U, такой, что U + R гиперцикличен для некоторого оператора R ранга один и (j(U) = Т? Как и в [17], в настоящей работе спектральная мера U — чисто точечная. Вопрос 3. Построить унитарный оператор U с абсолютно непрерывной или сингулярно непрерывной (т.е. без точечных нагрузок) спектральной мерой на Т, такой, что U+R гиперциклический для некоторого оператора R ранга один.

Заметим, что функциональная модель применима к одномерным возмущениям произвольного циклического унитарного оператора с сингулярной спектральной мерой. Поэтому можно надеяться на получение дальнейшей информации о гиперциклических одномерных возмущениях унитарных операторов с использованием этой модели.

Характеризация Шкарина трехдиагональных теплицевых операторов

Начнем с доказательства необходимости в теоремах 1.4.1 и 1.4.2. Доказательство утверждения 1 в теоремах 1.4-1 и 1.4-2. По утверждению 4.1.1, если Тф гиперциклический, то функция Ф TV-листна в Ш). В частности, функция Ф однолистна в Ш), когда N = 1. Свойство (а) доказано. Ясно, что если Ш) С Ф(Ш),ІУ), то для любого ( G Т, для которого существует некасательное граничное значение Ф(С)? мы имеем Ф(С) 1-Действительно, иначе существуют Zi,... Z/v Є Ш), такие, что Ф( ) = Ф(С) и уравнение Ф( ) = w будет иметь не менее 7V+1 решения для некоторого w, достаточно близкого к Ф(С). Поэтому Ф 1 почти всюду на Т, и значит, Тф 1, что противоречит гиперцикличности.

Наконец, если оператор Тф гиперцикличен, то т(Тф)ПТ j 0. По утвер ждению 4.1.2, (г{Тф) = С \ Ф(Р, N) и, в частности, а(ТФ) = С \ Ф(Р) при N = 1. Это завершает доказательство свойства (Ь). Следующее утверждение играет ключевую роль в доказательстве достаточных условий в теоремах 1.4.1 и 1.4.2. Теорема 4.2.1. 1. Пусть функция h Є А(Ш) инъективна в Ш) (т. е. однолистна вплоть до границы). Тогда система {hk}k o полна в Н2. 2. Пусть h Є А(Ш) N-листна в Ш) и, более того, предположим, что для любого w Є h(B) уравнение h(z) = w имеет ровно N решений в Ш). Тогда система функций {z hk : к 0, j = 0,1,..., N — 1} полна в Н2. Доказательство. 1. Пусть Q = h(B), Г = dQ, д = h l : Q —Ш). Ясно, что g допускает продолжение до непрерывной функции на Q = Q U Г. Так как Г — замкнутая жорданова кривая (без самопересечений), дополнение С \ Q связно и поэтому по теореме Мергеляна любая функция / в H(Q) П C(Q) может быть равномерно приближена аналитическими полиномами, рп{и) — f(u) равномерно в и Є Q. Поэтому pn(h(z)) — f(h(z)) равномерно по z Є Ш), откуда любая функция из І700 П С(Ш)) может быть приближена полиномами от /г.

Нетрудно показать, что условия влекут, что для любой функции /, достаточно гладкой вплоть до границы (скажем, / Є С (Ш))), существуют функции fj Є H(Q) П C(Q), j = 0,1,.. . , N - 1, такие, что /( ) = /о(ВД) + /і(ВД) + -%_і(ВД). (4.7) Здесь, как выше, Q = /г(Ш)). Действительно, для точки w с N различными прообразами z\,. .. ,ZN рассмотрим систему линейных уравнений f(zi) = Х = о zJifj(w)i I = 1,2,..., 7V, с неизвестными fj(w). Так как Z\ — локально аналитические функции от w, мы заключаем, что fj локально аналитические в таких точках и;; легко показать, что функции fj имеют устранимые особенности вюв случае кратных нулей и, значит, будут аналитическими во всем Q и непрерывными вплоть до границы.

Теперь остается заметить, что «точная TV-листность вплоть до границы» влечет, что Q является жордановой областью, С \ Q связно и по теореме Мергеляна каждая функция fj является равномерным пределом многочленов Pj m, т — оо, в Q. Поэтому сумма Х = о z Pj,m{h(z)) сходится к / равномерно в Ш). Следовательно, любая достаточно глад кая функция / принадлежит равномерному замыканию в Ш) линейной оболочки {z4ik : к О, j = О,1,... , N — 1}. Значит, эта система полна также в Н2.

Задача полноты систем {hk}k o в Н2(Ю)) или (по существу) эквивалентная задача плотности полиномов в пространстве Хар-ди Н (Q), Q = /i(D), является в общем случае глубокой проблемой, для которой не существует точных ответов (см. [31, 8, 5]). Ясно, что однолистность функции /івВ является необходимой. С другой стороны, Кохран [8] показал, что если полиномы плотны в H2(Q) и h Є А(Ш)), то Q — жор-данова область, и поэтому h однолистна в Ш) вплоть до границы. В общем случае результат Бурдона [5] говорит о том, что из плотности полиномов в H2(Q) вытекает, что h однолистна почти везде на Т.

Доказательство утверждения 2 теорем 1.4-1 и 1.4-2. Сначала рассмотрим случай N = 1, p(z) = jz. Так как по утверждению 4.1.2 (ір(Тф) D С\ Ф(), из условия (& ) следует то, что существуют открытые множества U\ С Ви [/2 С В, состоящие из собственных чисел. По критерию Годфруа-Шапиро нам остается показать, что соответствующие собственные векторы полны в Н2. Зафиксируем некоторое число Ло Є U\, и пусть h(z) = - = 1 7 - \oz + z p(z) (z)-\0 По условиям на Ф мы имеем, что h Є А(Ш)) и h инъективна в Ш). Теперь заметим, что для Л в небольшой окрестности {Л — Ао 6} точки Ло ш = 1 = у (л - х к y-\z + z(p(z) -j (7- \0z + z(p(z))k+v и ряд сходится равномерно вШ), так как функция 7 \oZ+ZLp\ ограничена в Ш). Поэтому, если / _L /д, Л — Ло , то / _L (7 - Xoz + zip{z))-lhk, к 0. По первой части утверждения 4.2.1 система {/і }& о полна в і/ . Дополнительный множитель 1/(7 — \oZ+ZLp(z)) является обратимым элементом в Н, поэтому система {(Т-Аог + Й)-1 } к также полна. Мы заключаем, что собственные вектора, соответствующие Л Є /і, полны. Доказательство для Л Є U полностью аналогично.