Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Динамическое уравновешивание. цилиндрического сосуда, частично заполненного жидкостье 11
1. Условия отсутствия дополнительных.динамических давлений при вращении системы "тело + жидкость" вокруг(закрепленной вертикальной оси:. 11
2. Постановка задачи о динамическом уравновешивании точечной корректирующей подвижной; массой; цилиндрического сосуда, содержащего жидкость ' 15
3. Дифференциальное уравнение свободной, поверхности жидкости.- 19
4. Случай малых угловых: скоростей. 24
5. Случай малых угловых: ускорений 31
. Случай больших угловых скоростей 50
7. Случай больших угловых скоростей. Круговой цилиндр 60 З-Учет массы сосуда при динамическом уравновешивании системы "тело+жидкость" 77
9. Задача о динамическом уравновешивании в: безразмерных: величинах 1 80
ГЛАВА II Динамическое уравновешивание цилиндрического сосуда, содержащего жидкость, в случае медленного изменения ее массы :. 85.
1. Условия динамического уравновешивания сосуда с жидкостью переменной массы І : 85-
2. Случай малых угловых скоростей 92
3 Случай малых угловых ускорений 97
4. Случай больших угловых скоростей . 108
Заключекние. 111
Литература
- Постановка задачи о динамическом уравновешивании точечной корректирующей подвижной; массой; цилиндрического сосуда, содержащего жидкость '
- Случай малых угловых: ускорений
- Случай малых угловых скоростей
- Случай больших угловых скоростей
Введение к работе
- З -
Актуальность темы. В химической, медицинской, металлургической, пищевой и других отраслях промышленности используются различные аппараты, которые включают в себя вращающиеся резервуары, частично заполненные жидкостью. Во многих случаях эти резервуары вращаются вокруг вертикальной оси, не совпадающей с их осью симметрии. Перемещение жидкости в резервуаре при разгоне или торможении системы делает ее изменяемой и существенно влияет на динамические давления на ось вращения. Переменные динамические давления на ось обычно нежелательны,так как приводят к преждевременному износу механизмов. В связи о этим актуальным является поиск способов динамического уравновешивания изменяемых систем и методов их расчета.
В настоящем исследовании предлагается с этой целью использовать точечную корректирующую массу,перемещением которой можно управлять. Такой способ динамического уравновешивания можно использовать в различных случаях: при инерционном " сепарировании, при гидрометаллообработке, в случав центробежного литья и т.д. Подобным же образом можно уравновешивать различные валы,имеющие полости, частично заполненные жидкостью,, и другие устройства.
Цель работы заключается в обосновании и развитии метода динамического уравновешивания сложных механических систем, включающих в себя резервуары,частично заполненные жидкостью,с помощью подвижной точечной корректирующей массы.
Методы исследования. Основные результаты получены методами вычислительной математики. Также применялись методы теории дифференциальных уравнений и графический метод.
Научная новизна работы заключается в новой постановке задачи о динамическом уравновешивании с помощью корректирующей подвижной точечной массы вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, и ее решении для ряда^ частных задач как в случае постоянной массы жидкости, так ив .случае ее изменения. Кроме того,предложеныновый метод расчета свободной поверхности жидкости при малом угловом ускорении; графический метод определения функций.являющихся пределами интегрирования при расчете положения центра масс жидкости в круговом цилиндре при большой угловой скорости вращения. '.,'""-''
.. 4 -
Практическая значимость. Если будет осуществлено перемещение корректирующей массы в соответствии с полученными законами движения,то предложенным методом может быть проведено динамическое уравновешивание различных технологических устройств, содержащих жидкость, которые вращаются вокруг вертикальной оси, не совпадащей с их осью симметрии. При разгоне или торможении таких устройств возникают' динамические давления на ось вращения, которые могут вести к преждевременному разрушению соответствующих механизмов. Чтобы избежать этого, надо каким-либо образом провести динамическое уравновешивание данной механической системы. Особенностью рассматриваемой системы является необходимость уравновешивания дополнительных динамических давлений, возникающих за счет перемещения жидкости в резервуаре. В настоящей работе с этой целью предлагается использовать точечную корректирующую массу, перемещением которой можно управлять.
На зашиту выносятся следующие основные результаты: -обоснована постановка задачи о динамическом уравновешивании вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, с помощью подвижной точечной массы. Для этого были получены условия отсутствия дополнительных динамических давлений на ось вращения в предположении о квазиравновесности сос-г тояния жидкости в каждый данный момент времени;
-методы расчета свободной поверхности идеальной жидкости при неравномерном вращении резервуаров нескольких различных форм; -решения частных задач о динамическом уравновешивании при вращении цилиндрических сосудов с различными основаниями с жидким наполнением точечной корректирующей массой;
-выводы об особенностях динамического уравновешивания- таких систем при условии переменности массы жидкости в резервуаре.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались на научной конференции "Моделирование сложных механических сис-тем"(Ташкент, 19.91 г.), на сессии отделения физико-математических наук АН РК, посвященной проблемам развития механики и машиностроения в Казахстане (Алма-Ата, 1992 г.), на конференции-конкурсе молодых ученых и специалистов по математике и механике (Алматы, 1993 г.), на научной конференции "Механика и ее приложе-ния"(Ташкент,1993 г.),на семинаре кафедры теоретической механики КаэГУ (1993 г.)..
Публикации. По результатам диссертации опубликовано пять печатных работ.
Объем работы. Работа состоит из введения, двух глав , заключения и списка литературы (51 наименование). Диссертация изложена на 118 страницах машинописного текста, содержит 18 рисунков.
Постановка задачи о динамическом уравновешивании точечной корректирующей подвижной; массой; цилиндрического сосуда, содержащего жидкость '
Для: их компенсации предлагается использовать корректирующую точечную массу лг j ,которую можно пе -ремещать в пространстве в любом- направлении. Технически- это может быть, осуществлено рядом., различных способов, которые мы рассматривать не будем. Со суд изготовлен "В виде жесткой тонкой оболочки. Сосуд, стержень Л Уі ось вращения представляют собой единое твердое тело,, поэтому данную систему можно рассматривать как твердое тело, с полостью, содержащей жидкость,И: для-нее имеют место полученные ранее условия динамического уравновешивания. С 1.1.9), т. е. центр масс системы должен лежать на оси вращения и должны равняться нулю ее произведения инерции. Так как при вращении центр масс жидкости:изменяет свое положение,то для: динамического уравновешивания: надо так перемещать корректирующую: массу, чтобы: центр масс системы по-прежнему оставался на оси вращения. Поэтому, зная закон перемещения центра масс жидкости,можно найти закон движения корректирующей массы, позволяющий.компенсировать допол ия,: что появляется нительные динамические давления на: ось вращен: целью работы..
Так как задача заключается, в том, чтобы обосновать принципиальную возможность динамического уравновешивания с помощью корректирующей, массы, то.будем:искать явный.вид ее закона.движения , сделав ряд допущений..
Во-первых, как и прежде, будем полагать, что: вращение происходит таким образом, что в любой момент времени:состояние жидкости квазиравновесное ( касательная к:свободной поверхности. жидкости плоскость перпендикулярна результирующей сил инерции и тяжести),. хотя, перемещения:, жидкости- за конечные промежутки, времени: мы, учитываем.-.
Во-вторых, вследствие первого предположения мы будем пренебрегать коршлисовой силой: инерции и: ее моментом.
Кроме того, ряд допущений будет сделан в дальнейшем: Вооб-ще, надо обратить внимание на:то, что в данной работе обосновывается сам метод динамического уравновешивания с помощью подвижной: точечной.корректирующей:массы,: а:не предлагается, каких-либо 4 4 технических решений рассматриваемой проблемы.
Пусть параметры рассматриваемой механической: системы: следующие. Угловая скорость вращения по-прежнему со .угловое ускорение 5 , масса корректирующей: массы/тг . /тг ,-, V ; ,- масса и объем жидкости,, fa - ее плотность, Массой сосуда: и: соединительных стержней" пренебрегаем.. Расчеты:будем проводить в подвижной системе координат ОX плоскость QХУ _ которой совпадает со свободной: поверхностью жидкости в случае отсутствия: вращения,расстояние от нее до нижнего основания сосуда III, а до верхнего
Итак, для того,чтобы в такой системе отсутствовали дополнительные динамические- давления, должны выполняться условия (1.1.9).Это требование позволяет;определить закон, по которому должна перемещаться точечная корректирующая, масса. Первые; равенства позволяют-определить зависимость, от времени, координат Х ОЬ") и !f&: корректирующей массы, а вторые - координаты РСЛС). Каким: именно из двух равенств воспользоваться, зависит от конкретного случая. Так как в некоторых из рассматриваемых далее случаях момсз мент инерции жидкости Jyg равен нулю, то тогда для определения зависимости; от времени координаты %xOtyточечной корректирующей1 массы можно пользоваться, очевидно, только равенством Таким образом, чтобы отсутствовали дополнительные динамические давления,корректирующая масса, согласно условию (1.1.9), должна двигаться по закону
Случай малых угловых: ускорений
Рассмотрим; случай медленного изменения скорости вращения сосуда, такого, что С эл»6 (1.5.1) Задача, как и- прежде, заключается:в том, чтобы найти закон движения коректирующей массы, перемещение в соответствии;с которым позволит компенсировать дополнительные динамические давления на ось. Поэтому теперь, для данного случая надо найти зависимость от времени свободной: поверхности жидкости. Если выполняется условие (1.5.1), то уравнение (1.3.2) будет иметь вид: Решением этого уравнения является функция 2 функция времени С Сі), как и в предыдущем -случае, определяется из условия сохранения объема. Предполагая, что цилиндрический сосуд по-прежнему имеет основанием сегмент кольца, получим,/что в таком сосуде свободная поверхность будет, описываться функцией - 32 г Z: г Z(Zj)- ±1Ш. Ь- У. (1.5.2) В любой плоскости У-соп& уравнение (1.5.2) описывает се-42 Рис;7.г " мейство парабол (рис.7), вершины которых лежат на оси 0Ї в точках с координатами (1.5.3) Кроме того, если 2- Єу , то 0 ) -- р бе/- Д;, (1.5.4) йэ й)г „А если Z «- . . c%, )-ZjumJferC 2- Я СІ-5-5) Свободная поверхность, описываемая функцией (1.5.2), пересекает ся с плоскостью ОХ У по окружности с радиусом . Ъь-Щь& (1.5.6)
Однако,начиная момента времени, когда свободнвая. .поверхность жидкости достигает, какого-либо: основания: сосуда, в уравнение (1.5.2) должны быть внесены: изменения,, так.как с дальнейшим увеличением: угловой скорости, если:это не проделать, перестанет: выполняться условие сохранения.объема: жидкости. Рассмотрим; например, случай, когда.жидкость сначала:достигает верхнего основания: сосуда, то есть сосуд, заполнен: более,, чем, наполовину:
Тогда, если после достижения свободной- поверхностью жидкости верхнего основания сосуда,она.по-прежнему описывается уравнением (1.5.2) ,то: объем,жидкости" в сосуде будет функцией времени:;
Проведем исследование данной функции. Взяв первую производную по времени-и приравняв ее нулю, получим;следующее уравнение для. определения экстремального значения функции:: V U Pect) — —-0 Так как мы:предполагаем вращение неравномерным,то это уравнение имеет единственное решение:
Причем; положив -в. зависимости (1.5.2) Uz -и = 2, получим такое же значение «о&\ т.е. функцияУ с-Ь-у достигает своего экстремального значения в- момент достижения свободной поверх-ностью жидкости:верхнего основания сосуда. Именно с этого момента объем:жидкости.и описывается рассматриваемой, функцией.Опреде - 34 лим,является ли этот экстремум максимумом или минимумом. Для этого найдем:вторую.производную по. времени.от- функции Она.будет. иметь вид-.
Подстановка эсктремального значения cj c) в первое слагаемое этого выражения обратит его в нуль. Поскольку все величины, входящие во второе слагаемое, положительны в любой момент времени, а перед слагаемым стоит знак.минус,то вторая производная функции \Cj в точке экстремума меньше нуля, и, следовательно,единственный экстремум- функции Vji&) является максимумом. Таким образом, если свободная: поверхность жидкости и после достижения.: ею верхнего основания сосуда будет описываться функцией С1- 5.2), то объем жидкости будет не сохраняться, а.убывать..
Чтобы избежать этого будем действовать следующим-образом, (рис. 8). В зависимости (1.5.2) заменим второй радиус Я% на функцию времени Йо , то есть будем как бы. "сдвигать" - внешнюю стенку к внутренней, причем.так,что недостающий: объем жидкости располагается- между этой новой:стенкой и реальной, а.также между двумя кривыми, одна из: которых определяется уравнением (1.5.2), а другая: - искомой свободной поверхностью.
Тогда свободная поверхность будет описываться уравнением: 4д А С 1.5.7)
Координата точки- пересечения свободной .поверхности: жидкости; и:. верхнего основания сосуда будет, следовательно, равна Условие сохраненияобъема жидкости приводит к следующему уравнению, которое позволяет найти функцию tct)v Подставив в него функцию Д;С ); найдем его решение: & - -ш+- &о& - (1 5 8)
Очевидно, что при возрастании угловой скорости . zcb} стремится к у . Это естественно, так как мы до сих пор не учитывали, что у сосуда есть дно. Но нельзя допустить,-чтобы.не выполнялось неравенство так: как его невыполнение приведет к.тому, что стенки: сосуда поменяются местами (внешняя станет внутренней и наоборот) ,что противоречит здравому смыслу. Это условие, согласно (1.5.8), можно записать следующим образом:
Итак, подставив найденную і функцию % С) в уравнение (1.5.7), получим зависимость, описывающую свободную поверхность жидкости в случае, когда она уже достигла верхнего, но еще не достигла нижнего основания сосуда:
Случай малых угловых скоростей
Рассмотрим случай; когда выполняется!неравенство Задача.заключается в том, чтобы с. помощью условий (2.1.13) и С 2.1.14) найти закон движения: корректирующей массы, позволяющий осуществить динамическое уравновешивание. Аналогичная задача.для случая постоянной массы жидкости была решена в четвертом, параграфе главы.Г. Однако, для того, чтобы пользоваться: соотношениями (2.1..13) И (2.1.14) надо знать зависимость от времени формы; свободной поверхности: ЖИДКОСТИ.
Полученное ранее в соответствии с предположением о квазиравновесности состояния: жидкости в каждый: данный момент времени: дифференциальное уравнение, свободной поверхности жидкости (1.3. 2) будет иметь такой же вид и в рассматриваемом случае медленного изменения массы.жидкости в сосуде. Соответственно и:свободная поверхность в случае малых скоростей по-прежнему будет описываться уравнением (1.4.2). Но в отличие от случая,, когда масса жидкости была постоянна, неизвестная; функция- времени СJ СЪ ) теперь будет определяться с помощью закона изменения объема, или массы жидкости:(2.1.1). Для цилиндрического сосуда с основанием в виде сегмента кольца, она. будет равна —-А. с у, %и, следовательно, свободная поверхность в этом случае будет описываться: формулой
ІЕС 2 )=- - -&С± . (2.2.1) Теперь найдем:, закон движения:, корректирующей массы: (2.2.2) С Р 2) S CH b C - SLn
Вводя.в этот закон полученные ранее зависимости от времени координат корректирующей массы в случае постоянной массы жидкости (.1.8), его можно представить следующим образом:
Если в этом.законе положить Лс ) = 0, то он совпадет с соответствующим законом для случая постоянной: массы жидкости в сосуде. Итак, если масса жидкости изменяется по закону (2.1.1), то при корректирующей массы в соответствии с формулами (2.2.2) или (2.2.3) система будет динамически уравновешена.
Рассматривать случай, когда жидкость достигает верхнего или нижнего основания сосуда ,не имеет смысла, так:как тогда либо время, в течение которого можно вести: расчеты по получаемым: формулам, очень мало, либо: расстояния И и Уд, . Это было показано для случая постоянной массы жидкости в 4 главы Т.. Поскольку мы предполагали, что масса жидкости изменяется медленно,, т.е. высота столба жидкости в случае отсутствия вращения убывает медленно, то это обстоятельство не внесет существенных изменений в проведенную ранее оценку.
Рас с мот рим следующий приме р для иллюс грацииі полученных з а кономерностей. Пусть рассматриваемая система имеет те же пара метры, что и: в 4 главы 1, т. е. " і
Однако теперь масса жидкости изменяется, и, чтобы определить искомый закон движения корректирующей массы, надо знать функцию «;. Скорость изменения массы жидкости будет удовлетворять поставленным условиям, если положить, что за первый оборот, совершаемый после начала наблюдения, величина, на которую изменяется масса жидкости, значительно меньше ее начальной массы:.
Покажем,, что и: в этом случае, пользуясь соотношениям! (2.1.10) и-(2.1..11),. можно получить явный вид закона движения" корректирующей, массы. Но для этого сначала надо найти функцию, описывающую зависимость формы свободной:поверхности жидкости от времени. Как и:ранее,, полагаем,- что основанием сосуда является: сегмент кольца.. В пятом параграфе главы I было получено,: что в случае малых угловых: ускорений:свободная поверхность жидкости описывается формулойЭто соотношение: можно представить также следующим образом где XfOt) зависимость от времени, координаты корректирующей массы в случае постоянной массы жидкости в сосуде. Данная зависимость была определена ранее - это первое соотношение в системе (1-5.26).
Далее, используя второе уравнение из системы.(2:.1.10), по лучим, что координата /, корректирующей массы в течение всего рассматриваемого промежутка времени остается- постоянной и равной нулю
Наконец, рассчитаем зависимость от времени координаты SS C корректирующей массы.. В данном случае мы. можем- пользоваться только первой формулой из системы (2.1.11), так как момент инер-ции Jy% равен нулю. Искомая зависимость имеет следующий вид: где вводя в эту зависимость ранее полученную функцию &і У( последнее уравнение в системе (1.5.26)), описывающую зависимость от времени координаты корректирующей, массы, в случае постоянной массы жидкости,, можно равенство (2.3.5) представить следующим образом:
Итак, если корректирующая: масса будет перемещаться по закону,, определяемому формулами (2.3.3), (2.3.4) и С 2. 3.6), то дополнительные динамические давления на .ось в ращения "возникать не будут. Если в этих: формулах. положить и г )= о ,. то
Однако, этими? формулами-можно: пользоваться, только в: том случае,, если: жидкость не: достигла какого-либо, основания; сосуда Если: же свободная поверхность в некотрый момент г = г достигает, например,, верхнего основания сосуда,- то ее зависимость от времени будет описываться другой функцией, а не полученной: ранее за внсимостью (2.3.2), которая уже не позволяет1 правильно описать закон изменения объема жидкости.
Случай больших угловых скоростей
Покажем, как.можно осуществить динамическое уравновешивание с помощью точечной корректирующей массы в случае вертикального расположения, жидкости при. больших угловых скоростях вращения, сосуда, если масса жидкости медленно изменяется. Аналогичная задача была решена для постоянной массы жидкости: в шестом параграфе главы. I. Изменение же массы жидкости, в сосуде приведет к тому,. что величина- оз(значение модуля радиус-вектора, описывающего свободную, поверхность жидкости до появления углового ускорения) будет: зависеть от времени. Покажем,, как эта зависимость повлияет на закон движения корректирующей массы в, случае, если сосудом по-прежнему является цилиндр с основанием в виде сегмента кольца. Ранее для определения величины 0оз была получена формула (1.6.8). С ее помощью можно определить и искомую зависимость от времени, если найти зависимость от времени коэффициента заполнения сосуда жидкостью 4 ) . так как то для определения функции чє:С\) можно получить следующее со- . отношение:, ранее полученный коэффициент заполнения для случая; постоянной массы жидкости. Теперь, подставляя соотношение (2.4.1) в формулу С1. 6.8),. получим искомую зависимость величины С os от времени;
Итак,, в случае, переменной массы жидкости законом движения корректирующей массы по-прежнему является закон Сі. б. 17), а функция $0) по-прежнему определяется соотношением (1.6.4), только входящая в него величина Cos теперь должна.бьть. заменена на функцию времени C0bc) , определяемую формулой (. 4. 2). на рис.
18 показано, как это влияет на зависимости координат корректируюсь
ющей массы от времени. Появление дополнительной зависимости от времени ведет к:некоторым изменениям в движении корректирующей массы, но сам характер движения остается прежним.
Итак, влияние изменения массы .жидкости на закон дви:кения корретиругацей массы в случае больших угловых скоростей вращения рассмотрено.
В работе получены следующие результаты:
1. Обоснована.постановка.задачи о динамическом:уравновеши вании вращающегося твердого тела с полостью,, частично заполнен ной жидкостью, с помощью подвижной точечной: массы. Для этого бы ли: получе ны. условия отсутствия дополнительных: динамических: дав лений на ось вращения в предположении о квазиравновесности сос тояния жидкости; в каждый1 данный1 момент времени, перемещения жид кости за конечные промежутки, времени: при этом- учитывалось.
2. Исходя из этого же предположения,получено дифференциаль ное уравнение свободной поверхности жидкости, которое решено ана литически для ряда частных случаев. Кроме того, предложен метод расчета свободной поверхности: жидкости для случая малых: угловых ускорений..
3.. Получен приближенный аналитический вид закона, движения,. по которому перемещение корректирующей массы позволяет компенсировать дополнительные.динаїлические давления при вращении:с малой: угловой скоростью (разгон) цилиндрического сосуда с жидкостью, основанием которого является сегмент кольца.
4.. Найден: закон движения; корректирующей массы в случае малых угловых ускорений для сосуда- той же формы.причем рассмотрен весь процесс -от начала вращения,когда свободная поверхность жидкости горизонтальна,до достижения: ею вертикального положения.
5. Искомый закон движения также получен для: вертикального расположения, жидкости: при: больших угловых скоростях вращения. В данном случае рассмотрены как цилиндр с основанием в форме сегмента кольца, так и круговой. Предложен графический метод опре де ления функций,являющихся пределами интегрирования при расчете положения центра масс жидкости в круговом цилиндре.
6. Исследования,аналогичные описанным выше,проделаны и для случая переменной массы жидкости в сосуде.
Итак,в работе обосновывается и развивается метод динамического уравновешивания сосуда,частично заполненного жидкостью,с помощью подвижной точечной корректирующей массы как в случае постоянной массы жидкости, так и в случае ее изменения.