Гармонический анализ некоторых классов линейных операторов Дикарев Егор Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Элементы спектральной теории линейных операторов и полугрупп линейных операторов 24

2 Гармонический анализ линейных операторов в вещественных банаховых пространствах

2.1 Основные определения и результаты 35

2.2 О спектре и спектральных подпространствах банаховых модулей 43

2.3 Доказательство основных результатов 47

3 Неравенства Бернштейна для векторов и операторов 52

3.1 Неравенство Бернштейна для векторов 54

3.2 Некоторые приложения неравенств Бернштейна 59

3.3 Неравенство Бернштейна в весовых пространствах 64

3.4 Приложения полученных результатов в весовых пространствах 72

4 Неравенства Бора – Фавара и метод подобных операторов 76

4.1 Неравенства Бора–Фавара для операторов 76

4.2 Приложения к методу подобных операторов 84

Литература

• О спектре и спектральных подпространствах банаховых модулей
• Доказательство основных результатов
• Некоторые приложения неравенств Бернштейна
• Приложения к методу подобных операторов

Введение к работе

Актуальность темы. Одно из основных направлений развития теории операторов связано с изучением аксиоматически выделяемых классов линейных операторов, допускающих определённые аналоги спектральных разложений самосопряжённых и нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Определяющим является требование наличия у вводимого класса операторов инвариантных подпространств таких, что спектры сужения оператора на эти подпространства лежат в наперёд заданных компактах и порождающих в том или ином смысле исходное пространство. На таком подходе основано определение и изучение классов нормальных, самосопряжённых, спектральных (по Данфор-ду), обобщённых спектральных, разложимых (по Фойашу), неквазианалитиче-ских (по Любичу - Мацаеву) и многих других классов линейных операторов.

Данная диссертация посвящена изучению некоторых классов линейных операторов, действующих в банаховых пространствах. Основными методами исследования являются методы гармонического анализа, которые используются благодаря наличию достаточно обширного функционального исчисления для рассматриваемых классов операторов. Спектральный анализ достаточно широких классов операторов, находящих применение при изучении дифференциальных и разностных уравнений, в данной диссертации делает задачу их изучения актуальной.

Цель работы состоит в развитии методов гармонического анализа линейных операторов, доказательстве существования инвариантных подпространств для линейных операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах, обобщении неравенств Бернштейна и Бора Фавара на более широкий класс операторов, получении приложений указанных неравенств, в частности, к методу подобных операторов.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы гармонического анализа, спектральной теории операторов, теории функций, теории представлений групп и полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах.

Научная новизна. В диссертации получен ряд новых результатов.

1. Доказано существование нетривиальных инвариантных подпространств для операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах.

1. Получен абстрактный аналог неравенства Бернштейна для векторов и некоторых классов операторов.

2. Получены приложения неравенства Бернштейна к оценкам норм производных функций из однородных пространств, целых на бесконечности функций, оценкам норм операторов коммутирования.

3. Получен абстрактный аналог неравенства Бора - Фавара для векторов и некоторых классов операторов.

4. Получены оценки проекторов на спектральное подпространство.

5. Получены приложения неравенства Бора - Фавара к методу подобных операторов (теорема о расщеплении), оценке интеграла от функций из однородных пространств.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития методов гармонического анализа, получения приложений к спектральной теории операторов, в частности, оценок типа Бернштейна и Бора - Фавара. Также результаты могут использоваться при чтении спецкурсов в университетах для студентов математических специальностей и применяться специалистами в области гармонического и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С. Г. Крсйна (2013, 2014 гг.), на Крымских осенних математических школах (Украина, г. Севастополь, 2010, 2011, 2012 г.), на Крымской международной математической конференции (Украина, г. Судак, 2013 г.), на математическом интернет-семинаре ISEM-2014 (Германия, г. Блаубойрен, 2014 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Левитана (г. Москва, 2014 г.), на семинарах А. Г. Баскакова и научных сессиях Воронежского государственного университета.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации содержатся в работах [1-9]. Работы [6,8,9] опубликованы в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендован-

ных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных публикаций [1,7,8,9] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, и библиографии, включающей 72 наименования. Основные результаты содержатся во 2, 3 и 4 главах. Общий объем диссертации составляет 101 страницу.

О спектре и спектральных подпространствах банаховых модулей

Рассматривается обратимый оператор Т є EndX, где X — вещественное банахово пространство, удовлетворяющий условию неквазианалитичности Такой оператор будем называть неквазианалитическим. При изучении оператора Т обычно осуществляется комплексификация банахова пространства X, т. е. рассматривается банахово пространство X, состоящее из векторов вида х\ + \Х2, где жі,Ж2 X. Оператор Т расширяется на X до оператора Т є EndX. Свойство (2.1) оператора Т индуцирует аналогичные свойства для оператора Т. Проводится исследование оператора Т методами гармонического анализа. Затем, следуя подходу, разработанному в [4], свойства оператора Т распространяются для исследования оператора Т. Таким способом получены условия разложимости по Фойашу, а также устанавливается существование нетривиальных инвариантных подпространств для оператора Т.

Пусть X — вещественное банахово пространство и End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Если А є EndX, то спектр оператора А может быть пустым множеством. Тем самым, возникает проблема построения по спектру инвариантных подпространств для операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах.

При изучении оператора А обычно осуществляется комплексификация банахова пространства X, т. е. рассматривается банахово пространство X, состоящее из векторов вида Х\ + \Х2, где #1, #2 X.

Оператор А расширяется на X до оператора A є End X. Определённые свойства оператора А (например, неквазианалитичность) индуцируют аналогичные свойства для оператора A. Проводится исследование оператора A методами гармонического анализа. Затем, следуя подходу, разработанному в [4], свойства оператора A распространяются для исследования оператора А. Таким способом получены условия разложимости по Фойашу, а также устанавливается существование нетривиальных инвариантных подпространств для оператора А.

Используя полученные результаты для A, соответствующее свойство переносится на оператор А є EndX.

Пусть X — банахово пространство над полем К є {Ш, С}, End X — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Через G обозначим локально компактную абелеву группу.

Рассмотрим сначала частный случай. Пусть G = Ъ - группа целых чисел с мерой Хаара ц (ц(Е) — число точек в Е).

Символом а: Ъ — [1,+оо) обозначим весовую функцию (вес) вида а(п) = \\Тп\\, п Є Z. Через LQ,(Z,K) обозначим банахову алгебру двусторонних последовательностей, суммируемых с весом а, со свёрткой функций в качестве умножения: (/і І2)(п) = / fi(n rn)f2(n), П Є Z, /і,/2 Є LQ,(Z,K), Пусть Т= {ЛєС Л = 1} — единичная окружность, которая является абелевой группой. Символом /: Т - С обозначим преобразование Фурье /(т) = Y2 /(п)т п, 7 , функции / из алгебры La(Z).

Банахово пространство А наделяется структурой банахова La(Z, К) - модуля с помощью формулы fx=y f(n)T nx, f Є LQ,(Z,K), ж Є А", (2.2) т. е. А" — банахово пространство, являющееся левым La(Z, К) - модулем в алгебраическом смысле, и для любых / є La(Z, К) и Ж Є А имеют место оценки

Такое представление, ввиду условия (2.1), называется неквазианалитическим (см. [69] - [6]). Учитывая, что модульная структура на А задается формулой (2.4) с помощью этого представления, банахов модуль X будет обозначаться символом (А,Т). Отметим, что если К = Ш, то представление Т будет обозначаться символом 7R, а если К = С, то — 7с. Пусть G — локально компактная группа непрерывных унитарных характеров группы G. Непрерывная функция X -G— T = {\ EC\ Л = 1 } называется характером, если хІ9і + 9%) = ХІ9і)хІ92) для любых #і, #2 Є G. На группе К. вещественных чисел все непрерывные характеры имеют вид Хл( ) = elAt, let, Л Є Ш, и тем самым группу Ш можно отождествить с Ш. Символом /: G — С обозначается преобразование Фурье /(7) = J f(gh(-g)dg, 7 Є б, функции / где а(д) = \\Т(—д)\\, д Є G. Отметим, что функция a: G — Ш+ удовлетворяет условиям 1) - 3) на вес. В дальнейшем такие представления будем называть неквазианалитическими (см. [6,44]). Банахово пространство X наделяется структурой банахова La(G, К)-модуля с помощью формулы

Учитывая, что модульная структура строится по представлению Т, банахов модуль X будет обозначаться символом (Х,Т). Отображение х ь-» fx: X — X является линейным ограниченным оператором и обозначается символом Т(/). Отметим, что из (2.5) следует оценка Т(/) /.

Определение 2.1. Спектром Бёрлинга вектора х из комплексного банахова La(G) - модуля (X, Т) будем называть множество К{х) = {х Є G \ /х О) для любой / є La(G) со свойством f(x) Ф 0 } Пусть {Х,Т) - банахов Ьа(С)-модуль и а - подмножество из G. Символом (а) обозначим подмножество вида [х Є X Л(ж) С т} . Определение 2.2. Подмножество а С G называется симметричным, если вместе с каждым характером Е а оно содержит также и характер 7-1 Є т.

Приведём несколько используемых определений из [6,23,63] для линейного оператора Л Є End X, где X - комплексное банахово пространство.

Определение 2.3. Будем говорить, что оператор Л Є End X обладает свойством однозначного распространения, если из равенства (Л — XI)f(X) = 0, где /: U С С — X — определённая на открытом множестве U аналитическая функция, следует, что / = 0. Также отметим, что оператор А обладает свойством однозначного распространения, если р(А) = С, где р(А) — резольвентное множество оператора А. Далее символом а (А) будем обозначать спектр оператора А, т. е. а (А) =

Определение 2.4. Пусть оператор А обладает свойством однозначного распространения. Множество тех точек Ло Є С, для которых существует открытая окрестность Uo = U(Xo) точки Ло и голоморфная функция f:Uo— X, такая, что выполняются равенства (А — XI)f(X) = х, А Є Uo, называется локальным резольвентным множеством вектора х относительно оператора А и обозначается рл(х). Локальный спектр вектора х Є X относительно оператора Л есть множество (JA{X) = С \ РА{Х).

Заметим, что множество рл(х) открыто, а множество 7д(ж) замкнуто. Если Е — инвариантное подпространство для оператора Л, то через Л\Е будем обозначать сужение Л на Е. Определение 2.5. (см. [6,23]) Замкнутое линейное подпространство F с X, инвариантное относительно оператора Л Є End X, называется максимальным спектральным подпространством относительно оператора Л, если из условия а(Л\Е) С a(A\F) для замкнутого инвариантного подпространства Е с X следует, что Е с F.

Доказательство основных результатов

Определение и дальнейшие свойства спектра Бёрлинга рассматриваются в банаховом Ьа(С)-модуле над полем комплексных чисел. Отметим следующие свойства спектра Бёрлинга (см. [6,8,11]). Лемма 2.4. Пусть (Х,Т) - Ьа(С)-модуль. Тогда а) Для любого подмножества М с X множество Л(М) замкнуто в спектре SpLa(G) алгебры La(G) и пусто тогда и только тогда, когда М = {0}. б) К{а\Х\ + «2 2) С Л(жі) U К{х2) для всех 0:1,0:2 Є С и х\,х і Є X. в) A(Ux) С А(х) для каждого U Є End X такого, что Uax = aUx, а Є ha(G), х Є X. г) А(ах) С suppanA(a;) для любых а Є La(G) их Є X, где a: SpLa(G) — С — преобразование Фурье элемента а Є La(G) и supp а — носитель функции а. д) ах = 0 (а Є La(G),x Є X), если suppa П А(х) не более чем счётно и на этом множестве а обращается в нуль, и ах = х, если множество А{х) компактно иа=1в некоторой окрестности множества Л (ж). е) А(х) совпадает с замыканием множества U А(х), если М плотно в X. хеМ ж) Л(а) = suppa для каждого а Є La(G), если La(G) рассматривать в качестве Ьа(С)-модуля. Лемма 2.5. Пусть а - замкнутое подмножество из б. Тогда Х(а) -линейное замкнутое подпространство из X, являющееся замкнутым подмодулем из X. В частности, оно является инвариантным относительно операторов T{f), f Є ha(G), и T(g), g є G.

Доказательство. Пусть хих2Є Х(а) и аь а2 Є С. Тогда из свойства б) леммы 2.4 следует, что Л(скіЖі + СЇ2Х2) С Л(жі)иЛ(ж2) С а, т. е. aiXi+a2X2 Є Х(а). Итак, Л а) — линейное подпространство. Докажем замкнутость Х(а). Пусть (хп) — сходящаяся к вектору хо последовательность векторов из Х(а) и 7о ф о. Поскольку алгебра La(G) регулярна (см. [53]), то существует функция / є La(G) со свойством /(7о)7 0и/ = Ов некоторой окрестности множества и. Тогда A(fxn) С supp/ П А(хп) = supp / П сг = 0 в силу свойства г) леммы 2.4. Тогда из свойства а) леммы 2.4 следует, что fxn = 0 для всех п 1. Следовательно, fxo = Hm fxn = 0, т. е. fxo = 0. Поэтому 70 Л(жо). Таким образом,

Докажем инвариантность Х(а) относительно операторов Т(/), f Є La(G), и 7 (#), g Є G. Из равенства (2.4) вытекает перестановочность операторов Т(/), / Є La(G), и T(g), g Є G. Таким образом, Х(а) является подмодулем.

Определение 2.12. Если и — замкнутое подмножество из G, то Х(а) называется спектральным подмодулем. Пусть X — вещественное банахово пространство, Т: G — End X — неквази-аналитическое представление. Следовательно, X является банаховым La(G,M.)-модулем.

Рассмотрим комплексификацию X пространства X. Наряду с представлением Т рассмотрим представление Т: G — End X, определённое формулой T(g)(xi + 1x2) = Т{д)х\ + іТ(д)х2, д Є G, хі, Х2 Є X. Отметим, что Т(д) = Т(д) = а(д). Представление Т будем называть комплексификацией представления Т.

Структура банахова La(G) = La(G, С)-модуля на X определяется с помощью формулы (/і + І/г)(#1 + ІХ2) = f\X\ — /2 2 + І(/2Ж1 + flx2) = = / fi(g)T(—g)x\ dg — f2(g)T(—g)x2dg+ G G + i / $2{д)Т{—д)х\&д + \ I f\(g)T(—g)x2dg G G для любых / = f\ + if2 Є La(G) и x = X\ + ІЖ2 Є X. Определение 2.13. Комплексным спектром Бёрлинга вектора х из вещественного банахова La(G,M.)-модуля (X, Т) называется множество Лс(ж) = {70 Є G /ж т 0 для любой / є La{G) со свойством /(70) ф 0 } . Лемма 2.6. Комплексный спектр Бёрлинга Л с(ж) вектора х Є X есть симметричное множество. Доказательство. Пусть ж Є X и 7о Є Л с(ж). Докажем, что 70-1 Л с(ж). Рассмотрим / є La(G) со свойством f\%1) ф О и покажем, что fxj O. Имеют место равенства:

Аналогично рассуждая, получим f2(70) = 21 if(70)— f(701). Из полученных представлений и определения 2.13 видно, что /1(70) и /2(70) не обращаются в нуль одновременно. Пусть для определённости /1(70) 7 0. Тогда /1ж 0 и, следовательно, fx 0. Таким образом, доказано включение Л с(ж) С Лс(ж). Лемма доказана.

Отметим используемые далее свойства локального спектра из комплексного банахова пространства X.

Лемма 2.8. Пусть Л Є End X - ограниченный линейный оператор, обладающий свойством однозначного распространения. Имеют место следующие свойства локального спектра векторов из X. а) тд(ж) — замкнутое множество из С и GA(X) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0. б) (Т {а1Х1 + «2 2 ) С (7л{х1) U (7А{Х2) для Любых Х1,Х2 Є X, ск1, «2 Є С. б) (JA{BX) С 7Д(Ж), если оператор В є End А" перестановочен с Л. г) Если спектр од (ж) представим в виде од(ж) = од(ж1) Uo ( 2), где од(ж1), ол( 2) — замкнутые взаимно непересекающиеся множества, то х представим в виде х = х1 + Х2, где х1, Х2 Є А".

Далее X — вещественное банахово пространство. Определение 2.15. Будем говорить, что оператор А є End X обладает свойством однозначного распространения, если его комплексификация А обладает свойством однозначного распространения.

Определение 2.16. Пусть и — замкнутое симметричное множество в С. Символом ХА(СГ) обозначим линейное замкнутое подпространство из X вида ХА(&) = {х Є X \ ас (ж) С О"} . Такое подпространство назовём максимальным спектральным подпространством оператора А є EndX.

Докажем суперразложимость оператора Т(д), д Є G. Наделим группу G дискретной топологией и обозначим её символом Gd. Двойственной к ней является компактная группа Gd, называемая компактом Бора. Тогда из [8] следует, что а(Т(д) ) = {Л Є С Л = j(g), е Л(Х) } , где замыкание берётся в группе Gd.

Рассмотрим представление Т : Gd — EndX, Td(g) = Т(д), д є Gd. Оператор Т(д) представим в виде Т(д) = 7d{f), f Є La(Gd), где f(g) = —1 и f(s) = О, s ф д. Таким образом, утверждение о спектре оператора Т(д) следует из доказанного выше. Теорема доказана.

Некоторые приложения неравенств Бернштейна

В 1914 году М. Рисс [70], используя интерполяционную формулу, обобщил неравенство на случай произвольного тригонометрического полинома с комплексными коэффициентами. Затем С.Н. Бернштейном [59] было получено неравенство для целой функции х экспоненциального типа и О, принадлежащей пространству СЬ(М). Отметим статьи [34,48], где аналоги неравенства Бернштейна были получены в других функциональных пространствах.

В 70-х годах прошлого столетия многие авторы стали получать аналоги неравенства Бернштейна для специальных классов линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве. В статье [50] неравенство Бернштейна для операторов было получено с использованием оценки (3.3) для функций. В статье [8] неравенство для оценки нормы оператора было получено на основе аналога интерполяционной формулы Боаса [1], полученной для оцениваемого оператора. Это представление использовалось в статье [30] для оценки нормы векторов из банахова пространства. Сразу отметим, что, хотя полученные здесь оценки для векторов и операторов, действующих в комплексных банаховых пространствах, с помощью комплексификации банахова пространства и результатов статей [4,31,49], они распространяются и для операторов, действующих в вещественных банаховых пространствах.

Пусть S - комплексное банахово пространство. Через End S обозначим банахову алгебру линейных ограниченных операторов, действующих в JT.

Замкнутый линейный оператор А: В (А) с Ж -л SC назовём корректным (см. [42]) (или самосопряжённым [6,7]), если оператор \А является генератором (производящим оператором) сильно непрерывной группы изометрических операторов Т: К. — End

В частности, в классической теореме Бернштейна оператор А определяется следующим образом: А = і-14 = — і4, действует в пространстве равномерно непрерывных ограниченных комплексных функций Cbu(K) и является генератором группы сдвигов. Заметим, что спектр оператора а (А) с Ш (см. [6]). В статье А. Г. Баскакова [8] для ограниченного корректного оператора в банаховом пространстве доказано, что \\А\\ = г (А), где г (А) — спектральный радиус оператора А.

В данной главе неравенство Бернштейна получено для векторов банахова пространства, где действует изометрическая группа операторов с генератором L4, который может являться неограниченным оператором. Получены приложения неравенства Бернштейна для функций экспоненциального типа на бесконечности и для оценки оператора коммутирования. В статье для такого оператора получена оценка где т(х) — спектральный радиус вектора х, который определяется ниже.

В частности, для х Є Сг К), являющегося тригонометрическим многочленом вида (3.1), г(х) = п. Таким образом, оценка (3.4) является непосредственным обобщением неравенства Бернштейна.

Пусть Т: R -+ End Ж (где Ж - комплексное банахово пространство) - сильно непрерывное изометрическое представление. Тогда Ж наделяется структурой L K) — модуля с помощью формулы fx= f(t)T(—t)xdt, f Є L (Ж), х Є Ж. (3.5)

Модульная структура на Сь(К) определяется формулой (3.5) с помощью представления (T()(/?) (s) = (p(s + t), (р Є Сь(К), t, s Є Ш, т.е. с помощью обычной операции свертки функций. С учётом формулы (3.5) банахов L\R) - модуль Ж иногда будет обозначаться через (Ж,Т).

Напомним определение спектра Бёрлинга вектора и дадим соответствующее определение для L K) — модуля Ж. Определение 3.1 (См. [6-8]). Спектром Бёрлинга вектора х из банахова L K) — модуля Ж называется множество А(х) из Ш, являющееся дополнением вRк множеству {Ло Є Ш существует функция fo Є L K) такая, что /о(Ао) О и fox = 0}.

Пример 3.1. Спектром Бёрлинга тригонометрического многочлена вида (3.1) является множество тех к, для которых ak 0. Определение 3.2. Пусть М - произвольное подмножество из банахова модуля Ж. Спектром Бёрлинга множества М называется множество Л(М) из Ш, являющееся дополнением вік множеству {Ло Є Ш существует функция fo Є L K) такая, что /о(Ао) 0 и fox = 0 для всех х Є М}. Нам удобно ещё раз сформулировать основные используемые в этой главе свойства спектра Бёрлинга и связанные с ним понятия. Лемма 3.1. Имеют место следующие свойства спектра Бёрлинга векторов из банахова \}{Ж) -модуля (Ж,Т): 1) А{х) — замкнутое подмножество из Ж и А{х) = 0 Ф х = 0; 2) A{fx) С ( supp/) П А{х), f Є L IR), Є Ж. В частности, если х имеет компактный спектр Бёрлинга, то вектор fx также имеет компактный спектр Бёрлинга; 3) fx = 0, если f = 0 на множестве А(х) и ( supp/) П А(х) не более чем счётно; 4) fx = х, если множество А(х) компактно и f = 1 в некоторой окрестности множества А(х). Замечание 3.1 (См. [6]). Из свойства fx = 0 для любой функции / є L M) следует, что X = 0. Определение 3.3. Линейное подпространство Е из L K) — модуля (Ж,Т) называется подмодулем, если оно инвариантно относительно всех операторов вида T(t), t Є Ш, и T(f), / G L E).

Лемма 3.5. Пусть вектор х из L M) -модуля (Ж,Т) имеет компактный спектр Бёрлинга А(х) и функция f Є L K) такова, что /(А) = А в некоторой окрестности U множества А(х). Тогда х Є D(An) при любом п 1 и fx = Ах.

Доказательство. Выберем функцию є L M) такую, что ф = 1 в окрестности V множества А(х) и supp (р — компактное множество. В силу леммы 3.1, р)х = х. Кроме того, ip можно выбрать так, чтобы выполнялись следующие свойства: р) - бесконечно дифференцируема, р Є L\R), и (А) = іА (А). Рассмотрим функцию гр = -і(р, гр є L\R). Следовательно, ф (Х) = А (А). Кроме того, / — гр Є L M), и / — ф = 0 в окрестности U П V множества А(х). Следовательно, по свойству 2 леммы 3.1, (/ — ф )х = 0, откуда fx = гр х. Таким образом, утверждение леммы достаточно доказать для функции ф

Приложения к методу подобных операторов

Пусть /0 - любая функция из алгебры L M) со свойствами, указанными в теореме 4.1. Из пункта 2 леммы 3.1 следует, что Л(/ож) С Л(ж) Hsupp/o С Go. Таким образом, /о ж Є ІГ( то). Поскольку /о = 1 в окрестности множества Go, то из свойства 4 леммы 3.1 следует, что fo(fox) = fox. Таким образом, установлено, что оператор Ро = T(fo) является проектором. Непосредственно из его определения следует, что Ро /ь Докажем корректность определения, т. е. докажем, что Т(/о) = T(f) для любой функции / є L K) со свойствами Функции /о, а именно, / = 1 в некоторой окрестности множества 7о и / = 0 в некоторой окрестности множества а. Для любой функции (р є L M) имеют место равенства ( /? (/ — /о) )х = дх, где д = if (/ — /о) Є L K). Из отмеченных свойств функций / и /о и равенства д(А) = (А) (/(А) — /о(А) ) , АеЕ, следует, что функция g обращается в ноль в некоторой окрестности спектра А(х) вектора х. Поэтому из свойства 3 леммы 3.1 получаем, что дх = (p(fx — fox) = О для любой функции if є L K). Из невырожденности L K) - модуля Ж следует, что fx = fox. Из доказанного получаем оценку /о inf /ь гДе ин_ фимум берётся по всем функциям /, обладающими указанными свойствами. Из свойства 2 леммы 3.1 следует, что Л(Ро ) = A(fox) С А(х) П supp/o С (TQ. Таким образом, ImPo С Ж(ао). Докажем, что ImPi с Ж(а\) для дополни тельного к Ро проектора Р\, что завершит доказательство теоремы. Для любого вектора х вектор Р\х представим в виде fox = х — fox. Пусть Ло ф J\. Рас смотрим функцию / Є L K) со свойством /(Ло) 0 и 7о П supp/ = 0. Тогда fP\x = f(x — fox) = (/ — / fo)x = QQX, где go = / — / fo L K). По скольку go(X) = /(A) (l — /o(A) ) , А є Ш, то go = 0 в некоторой окрестности спектра Л (ж) С сто U (Ті. Из свойства 3 леммы 3.1 следует, что Ао ф к(Р\х). Таким образом, К{Рхх) С аъ Следовательно, ImPi с Ж{ах). Теорема 4.2. Пусть спектр Бёрлинга А(у) вектора у из банахова L M) -модуля (Х,Т) не содержит нуля. Тогда существует единственный вектор х Є D(A) такой, что

Доказательство. Первое свойство непосредственно следует из пункта 2 леммы 3.1. Далее, рассмотрим вектор х = fy, где функция / из алгебры L K) имеет преобразование Фурье вида f(X) = \ в окрестности множества А(у). Докажем, что вектор х входит в область определения оператора А и Ах = у. Для этого достаточно установить равенство х = (iA — Ао/)_1(и/ — XQX), где Ло Є М\{0}. Действительно, если имеет место указанное равенство, то ж Є D(A) и (L4 — ХоІ)х = \у — Хох, откуда Ах = у. В свою очередь, для доказательства этого равенства воспользуемся представлением обратного оператора (іА — Ло/)-1 в виде Д0, где До Є L K) имеет преобразование Фурье вида Д0(А) = [Х\ . Тогда fy = /А0(і of)y или (/ — іД0 + ЛоД0 f)y = 0. Применим преобразование Фурье к последнему равенству. Осталось показать, что / — іД0 + \of\0f = 0. Действительно,

Доказательство. Поскольку А(у\) сМ\ (—6,6), то для вектора уі выполнены условия теоремы 4.2. Как и в теореме 4.1, положим ж = /г/i, где / — функция, построенная при доказательстве теоремы 4.2. Тогда, согласно этой теореме, х Є D(A) и Аж = уі = у — уо. Положим уо = Р$у = fay, где /о L K) — Функция, построенная при доказательстве теоремы 4.3. Тогда, согласно теореме 4.2, имеет место оценка (j(A), (т{В) операторов А, В. Символом Hom(S, ) будем обозначать банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на банаховом пространстве Ж со значениями в банаховом пространстве W.

Пусть С Є Нот (S2, Si), D Є Нот (Si, S2). Рассмотрим линейный оператор A: D(A) х D(P) С Si х S2 — Ж\ х S2, заданный операторной матрицей ($ g), т. е. А(жі, Ж2) = {А%і + С 2, Ржі + ВХ2) для любой упорядоченной пары (х\, Х2) Є D(A) х D(P). Оператор А представим в виде А = Л - В, где оператор Л: D(A) х D(P) с Si х S2 - Si х S2 задаётся матрицей (# ), а оператор Б Є End (Si х S2) определяется матрицей ( -д -Qc) . В декартовом произведении Si х S2 введём норму по правилу: (жі,Ж2) = \/ІжіІІ2 + INI2. Отметим, что если f! и ІГ2 - гильбертовы простран-ства, то скалярное произведение в Ij х J2 вводится следующим образом: Pi Ж = (#1, 0), Р2Ж = (0, Ж2), х = (xi, Х2) Є Si X 2 Для любого оператора X є End (Si х S2) рассмотрим операторы PiXPj є End (Si x S2), і, j Є {1,2}. Таким образом, оператор X задаётся матрицей / Хц X12 \ где операторы Xij Є Horn (Sj,S ), i,j Є {1,2} — сужение оператора P{XPj на S с областью значений Жг. Всюду далее символом it обозначим пространство End (ІГі х J ), которое в дальнейшем будем называть пространством допустимых возмущений. Символами iiij будем обозначать банаховы пространства Нот (J , %]), i,j є {1, 2}.