Введение к работе
Актуальность темы. Теория динамических систем с дискретным временем (теория д.д.с.) является актуальной и интенсивно развивающейся областью математики. Д.д.с. особо проявляют себя в анализе нелинейных явлений. Нелинейные операторы и уравнения находят своё применение во многих науках с прикладной направленностью, таких как математическая экономика, синергетика, популяционная генетика, биофизика и т.д. К примеру можно указать модели социально- экономической динамики (см. [1]), проблему турбулентности (в синергетике, см. [2]), задачи отбора в локусах (в генетике, см. [3]), из биофизики - модели молекулярной эволюции, одна из которых называется гиперциклами П. Шустера (см. [4]). Все эти модели в значительной мере основываются на качественно-топологические методы теории динамических систем в целом. В свою очередь, прикладные задачи, возникающие в различных отраслях естествознания, всё чаще становятся источником развития математических теорий. Например, предмет многих исследований синергетики, появившейся на стыке ряда, в основном, естественных наук, математически формализуется как теория нелинейных динамических систем; а особенности изменения генетической структуры в органических популяциях снабжают нас задачами, где также приходится изучать нелинейные (в основном, квадратичные) преобразования и их траектории. В этом направлении нельзя не упоминать о так называемом законе Харди- Вайнберга, основанном на известной модели Менделя (см. [3], стр. 28). Также следует отметить послужившие толчком многим начинаниям труды Дж. Б. Холдейна, Р. Фишера, С. Райта и С.Н. Бернштейна (см. [3], стр. 286). На сегодняшний день квадратичные преобразования уже составляют сложившуюся «нелинейную» теорию. В настоящей диссертационной работе также рассматриваются некоторые вопросы теории квадратичных отображений, относящиеся к изучению структуры отдельных классов и поведения траекторий этих отображений.
Одной из основных задач теории квадратичных стохастических операторов (к.с.о.) считают проблему С. Улама ([5], стр. 105) о полной топологической классификации к.с.о. базисного симплекса в смысле траекторной теории, которая несмотря на усилия многих, попытавших её решать, остается всё ещё нерешенной (даже при /и=3) и не утратила своей актуальности. Поэтому представляется естественным выделение классов к.с.о. в целях последовательного приближения к решению этой проблемы.
Сравнительно хорошо изученными среди к.с.о. являются так называемые вольтерровы отображения, введенные и разработанные в работах Р.Н. Гани-ходжаева на основе сформулированной задачи С. Улама. Эти отображения, в свою очередь, являются представителями квадратичных гомеоморфизмов (к.г.) базисного симплекса на себя. Тот факт, что эволюция реальной биологической системы обладает свойством обратимости во времени, - достаточный аргумент актуальности задачи описания и изучения топологических автоморфизмов среди к.с.о.
Интерес к изучению предельного поведения траекторий квадратичных отображений двумерного симплекса и их обобщениям возрос с появлением в свет сообщений о результатах численных экспериментов, начатых Э. Ферми, С. Уламом, Дж. Пастой и в дальнейшем продолженных М. Менцелем, Дж. фон Нейманом и др. (см. [6]). На этом пути в теоретическом плане наиболее содержательные и полезные результаты получены в работах Г. Кестена, Ю.И. Лю-бича, С.С. Валландера, М.И. Захаревича, Н.П. Зимакова, Н.Н. Ганиходжаева и др. Тем не менее, попытка классифицировать все к.г. двумерного симплекса в целом относительно поведения их траекторий ещё не была предпринята, по крайней мере, до начала настоящих исследований.
Другой класс к.с.о. - совокупность всех бистохастических квадратичных операторов (б.к.о.) введен (1993, УМН, т. 48, № 4) по аналогии с определением линейного двояко-стохастического оператора посредством мажоризации Харди-Литтльвуда-Шура. Проникновение мажорирования во многие теории, в частности и в теорию к.с.о., придает особый акцент актуальности его применения. Следовательно, изучение класса б.к.о. также становится актуальной как в планах траекторной теории и теории многомерных матриц, так и с точки зрения теории мажоризации.
Цель работы:
построить квадратичный аналог теоремы Г. Биркгофа р], т.е. найти необходимые и достаточные условия того, чтобы квадратичное отображение, сохраняющее от-1-мерный симплекс, являлось крайней точкой множества всех б.к.о.;
изучить геометрическую структуру множества всех квадратичных гомеоморфизмов т-\-мерного симплекса на себя и
исследовать предельное поведение их траекторий в двумерном случае.
Методика исследования. В первой главе работы, в основном, применяются методы матричного и выпуклого анализа, используются сведения из теории
пространственных матриц и перечислительной математики. Во второй главе, помимо элементов анализа, применялись методы качественной теории д.д.с.
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В качестве главных результатов работы отмечаются:
в 1-й главе - квадратичный аналог теоремы Г. Биркгофа об экстремальности б.к.о.;
во 2-й главе - описание геометрической структуры множества всех квадратичных гомеоморфизмов (к.г.) конечномерного симплекса на себя. Кроме того в диссертации
описано множество всех компонент всех б.к.о., получены несколько критериев экстремальности точек множества компонент б.к.о.; получен результат о неуменьшаемости числа крайних точек, участвующих в выпуклом представлении;
введены понятия атомарной матрицы, тривиального атома, обобщенного шварциана и трансверсального квадрата; на основе последнего
предложен подход для решения перечислительной задачи над кубическими матрицами, соответствующими экстремальным б.к.о.;
охарактеризованы действия к.г. на гранях симплекса, доказаны теоремы о сужениях к.г. и о ранге их производной - матрицы Якоби во внутренних точках граней;
установлена связь между некоторой степенью к.г. и вольтерровыми к.со. в виде композиции последних;
исследованы локальные поведения д.д.с, порождаемых к.г. конечномерного симплекса в окрестностях неподвижных и периодических точек; а также установлено предельное поведение траекторий для отдельных классов к.г. в двумерном случае.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и её результаты могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории квадратичных отображений. Практическая значимость состоит в возможности применения этих результатов к перечислительным задачам над пространственными матрицами, к моделям социально-экономической динамики и популяционной генетики.
Апробация работы. По теме диссертации автор выступал на Международной научной конференции, проведенной в ИМ АН РУз 23-25 ноября 1993 г., на Республиканской научно-методической конференции, проведенной в ИВП при ТашГУ 5 декабря 1993 г., на 1-й Республиканской научной конференции молодых ученых физиков и математиков, проведенной в ТашГУ 19-20
мая 1995 г., на Международной научной конференции аспирантов и студентов, проведенной в МГУ 12-14 апреля 1996 г., на П-й Республиканской научной конференции молодых ученых, проведенной в ТашГУ 25-27 апреля 1996 г. Результаты диссертации докладывались на семинарах под руководством |акад. Сарымсакова Т.АІ (ТашГУ, 1994-1995), акад. Аюпова Ш.А. (ИМ АН РУз, 1994-1998), чл.-корр. АН РУз Хаджиева Дж.Х. (ТашГУ, 1995, 1998), проф. Ганиходжаева Н.Н. (ИМ АН РУз, 1996-1998), проф. Чилина В.И. (ТашГУ, 1996-1998), проф. Худайберганова Г. (ТашГУ, 1998) и Ганиходжаева Р.Н. (ИВП при ТашГУ, регулярно с 1993 г. по 1998 г.).
Публикации. По тематике диссертационной работы автор имеет 9 публикаций (материалы последней статьи остались за рамками диссертации). Имеется одна совместная работа, в ней общая постановка задачи и критерий гомеоморфизмов на множестве квадратичных отображений симплекса принадлежит соавтору, а также им высказано предположение о возможности представления некоторой степени к.г. в виде композиции вольтерровых к.с.о.; все остальные результаты, в том числе, подтверждение и уточнение вышесказанного предположения соавтора получены соискателем.
Структура и объем работы. Диссертация разделена на введение, основную часть и список литературы. Введение помимо предварительных сведений и постановки задач, включает в себя краткое изложение основной части. Основная часть диссертации состоит из двух глав, разбитых на двенадцать (каждая на шесть) параграфов. Общий объем диссертации 126 страниц, набранных на текстовом редакторе WORD - 7.0. Библиография, занимает 6 страниц, состоит из 89 наименований использованной и обзорной литературы, включая 9 авторских публикаций.