Билинейные операторы в векторных решетках Табуев Сослан Наполеонович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Билинейные операторы в векторных решетках 23

1.1. Предварительные сведения 23

1.2. Порядковое исчисление регулярных билинейных операторов 34

1.3. Формулы проектирования на некоторые полосы 45

Глава 2. Билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность 54

2.1. Операторы, сохраняющие дизъюнктность 54

2.2. Полидизъюнктные операторы 59

2.3. Разложение атомического оператора 66

2.4. Характеризация размазанных операторов 73

Глава 3. Мультипликативное представление билинейных операторов 84

3.1. Строение решеточных биморфизмов 84

3.2. Операторы взвешенного сдвига 93

3.3. Мультипликативное представление 100

Литература 104

• Порядковое исчисление регулярных билинейных операторов
• Формулы проектирования на некоторые полосы
• Полидизъюнктные операторы
• Операторы взвешенного сдвига

Введение к работе

0.1. Обзор литературы

Основы теории регулярных операторов в Х-пространствах были заложены в докладе Ф. Рисса на Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 [74] и в работе Л.В. Канторовича 1936 года, см. |8|. В этих же работах была сформулирована и доказана — сначала для функционалов (Рисе), а затем для общих регулярных операторов (Канторович) — фундаментальная теорема Рисса — Канторовича (1.1.1).

Теории линейных операторов в векторных решетках с приложениями к разным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 4, 7, 13, 33, 34, 64, 67, 75, 81, 86].

Первая фундаментальная монография по теории полуупорядочеиных пространств (векторных решеток), написанная в 1950 г. Л.В. Канторовичем, Б.З. Вулихом и А.Г. Пинскером [7|, до сих пор является энциклопедическим изложением основ теории линейных операторов. Более поздняя (1961 г.) и более краткая монография Б.З. Вулиха [4] содержит изложение основных фактов о теории линейных операторов в векторных решеток, но в идейном и тематическом плане примыкает к предыдущей монографии.

Монография В. Люксембурга и А. Цааиепа [64] посвящена подробному изложению алгебраической теории векторных решеток почти без рассмотрения нормы, функционалов и операторов. Монография А. Цаанена [86], являющаяся продолжением предыдущей монографии содержит разнообразный и интересный материал по теории операторов и функционалов в

векторных решетках и банаховых решетках. Среди которых: общая теория порядково ограниченных операторов, интегральное представление операторов, теоремы о структуре сопряженных пространств, проблемы мажора-ции для компактных операторов, ортоморфизмы и /-алгебры.

Монография Шефера [75| содержит разнообразный материал по теории векторных решеток и банаховых решеток.

В монографии І978 г. Г.П. Акилова и С.С. Кутателадзе [2] изучается выпуклый анализ в і^-пространствах, в которых вводится много новых понятий для множеств порядково ограниченных операторов.

В небольшой монографии Х.-У. Шварца [81] изложены основные факты о порядково ограниченных операторах, а также нетрадиционный материал о (р, д)-выпуклых и вогнутых операторах.

Значительным вкладом в теорию является монография К. Алиираптиса и О. Буркиншо [33], изданная в 1985 г., которая содержит в основном результаты, полученные после 1978 г., по проблеме мажорации операторов. При этом излагается техника, связанная с ортоморфизмами, приближе-' нием операторов суммами «осколков» других операторов, факторизации операторов. Многие результаты монографии принадлежат авторам.

В монографии А.Г. Кусраева [13], которая является расширенным и переработанным вариантом опубликованной на три года раньше монографии [56], представлены важнейшие результаты о мажорируемых операторах, полученные после 1980 года. Изложение сосредоточено на строении мажорируемых операторов, подробно освещены вопросы разложения, продолжения и аналитического представления. Предметом особого внимания монографии являются различные классы мажорируемых операторов: интегральные и псевдоинтегральные операторы, сохраняющие дизъюнктнбеть и разложимые операторы, суммирующие и циклически компактные операторы.

Несмотря на продолжающееся по сей день интенсивное развитие иссле-

\

дований порядковых свойств линейных операторов, билинейные операторы изучены мало с этой точки зрения. Началом изучения билинейных операторов в векторных решетках принято считать работу японского математика X. Накано [68], опубликованную в 1953 году. Однако эта работа не привлекла внимания специалистов и новые труды появились лишь после двадцатилетнего перерыва.

В начале 70-х Д. Фремлин опубликовал две статьи [51, 52], в которых изучал тензорное произведение на векторных и банаховых решетках. Д. Фремлин построил тензорное произведение E&F двух архимедовых векторных решеток Е и F, и установил важное свойство этого объекта: если Е, F и G — векторные решетки, при чем G — полно относительно сходимости с регулятором, то для любого положительного билинейного оператора b : Е х F —Ь G существует единственный линейный положительный оператор Т : Е F —> G такой, что T = b. Используя тензорное произведение векторных решеток, в [51] Д. Фремлин построил также тензорное произведение банаховых решеток.

В 1977 г. А.Г. Кусраев в работе [11] показал возможность продолжения регулярного билинейного оператора с массивных подрешеток на всю решетку. Более того, была установлена возможность одновременного продолжения. Для порядково непрерывного регулярного оператора Ь : ExF —> G, где G — порядково полная векторная решетка, построено порядково непрерывное продолжение на порядковые пополнения решеток Е и F. В этой же работе впервые в явном виде было определено А'-пространство регулярных билинейных операторов.

Кроме этих работ билинейные операторы встречались в работах Г. Витт-стока [84, 85] и Р. Кристеску [50]. В 1984 г. X. Шефер в [76] получил представление ограниченного оператора путем перехода к билинейным формам.

После этого, в течение пятнадцати лет билинейные операторы как самостоятельный объект исследования вновь выпали из круга активно раз-

рабатываемых разделов теории операторов в векторных решетках. Хотя некоторые частные случаи: билинейные функционалы, умножение в ре-шеточно упорядоченных алгебрах, тензорные произведения периодически изучались разными авторами.

С начала 2000-х годов наблюдается возрастающий интерес к порядковым свойствам билинейных операторов. В этот период появились новые мотивации, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов. Начался он с серии работ голландских математиков X. Баскеса и А. ван Ройя [44, 45, 46, 47, 48, 49].

Особняком стоит работа [44], в которой введен класс билинейных операторов ограниченной вариации и установлено, что в случае порядковой полноты векторной решетки G, векторное пространство Bi_)V(E, F; G) является if-пространством и устанавливается изоморфизм между указанным пространством и пространством линейных ограниченных операторов на фремлиновском тензорном произведении. Там же получена формула вычисления модуля билинейного оператора ограниченной вариации.

Различные свойства билинейных операторов ограниченной вариации изложены К. Булабия, X. Баскесом и Р. Пейджем в работе [37]. Установлено, что введенная Аренсом операция трисопряжения, примененная к билинейным операторам ограниченной вариации, сохраняет свойства исходных операторов. Операцией трисопряжения Аренса также занимался Е. Шеффолд [77, 78, 79].

В работе [45] введен важный класс ортосимметричных билинейных операторов, свойства которых интенсивно изучались в последующие годы [14, 15, 35, 38, 43, 47, 53, 57, 60]. Одной из мотиваций этих работ явилось интенсивное исследование структурных свойств различных видов упорядоченных алгебр: /-алгебр, почти /-алгебр, псевдо /-алгебр и d-алгєбр. Подробная история этого вопроса изложена в диссертации Б. де Пахте [71],

обзорах К. Булабия, X. Басксса и А. Трики [41, 42|. По сути дела здесь речь идет о различных классах билинейных операторов, так как умножение в этих алгебрах — билинейный оператор, принадлежащий тому или иному классу. Наиболее интересным случаем оказались ортосимметричные операторы, обобщающие умножение в почти /-алгебрах.

С билинейными ортосимметричными операторами неразрывно связана концепция квадрата векторной решетки, осуществляющая биекцию между положительными билинейными ортосимметричными операторами и множеством положительных линейных операторов, определенных на квадрате векторной решетки. В этом смысле квадрат векторной решетки, введенный в [47| X. Баскесом и А. ван Ройем, играет в теории ортосимметричных билинейных операторов такую же важную роль, как и фремлиновское тензорное произведение в теории положительных билинейных операторов. Кроме того, линеаризация посредством квадрата, в отличие от линеаризации посредством тензорного произведения, сохраняет порядковую непрерывность оператора.

А.Г. Кусраевым в [15] установлено, что с каждой архимедовой векторной решеткой можно связать лишь один ортосимметричный оператор — канонический ортосимметричпый биморфизм, аналогичный операции умножения в почти /-алгебре; все остальные ортосимметричные операторы представлены как суперпозиции линейных регулярных операторов с каноническим биморфизмом. Используя этот факт, в [43] X. Баскесом и А.Г. Кусраевым были получены результаты о продолжении ортосимметричных операторов, а также о WSW-факторизации и мультипликативном представлении орторегулярных билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

В работах А.Г. Кусраева [58, 59] введено однородное функциональное исчисление в равномерно полных векторных решетках. Получены неравенства типа Гёльдера для ортосимметричных билинейных операторов, также даны дальнейшие обобщенные неравенства типа Гёльдера и Минков-

ского. Также в работе [59] дана характеризация билинейных ортосиммет-ричных операторов Магарам и установлено, что при линеаризации посред-ством квадрата сохраняются свойство Магарам, порядковая непрерывность и сингулярность. Исходя из этого были доказаны теоремы типа Радона-Никодима, Накано и Хана о разложении для ортосимметричных билинейных операторов.

В 2004 году А.Г. Кусраев и Г.Н. Шотаев опубликовали первый обзор по билинейным операторам в векторных решетках [22]. В этой работе сформулированы, имеющиеся на тот момент результаты, а также поставлено 15 нерешенных задач.

В последующие годы появилось еще два обзора о билинейных операторах. Первый, К. Бу, X. Баскеса и А.Г. Кусрасва [40] (2007 г.) в основном посвящен вопросам проистекающим из теории решеточно упорядоченных алгебр. Обширный обзор А.Г. Кусраева [16[ затрагивает результаты связанные с различными аспектами ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках.

0.2. Актуальность темы исследования

В обзоре по билинейным операторам в векторных решетках [22] А.Г. Кусраев и Г.Н. Шотаев формулируют имеющиеся к тому времени результаты о билинейных положительных и мажорируемых операторах в векторных решетках или решеточно нормированных пространствах, в основном полученные российскими математиками. Там же сформулированы нерешенные задачи и указаны направления дальнейших исследований.

Как известно, изучение и развитие порядковых свойств линейных операторов, началось с теоремы Рисса-Канторовича, в ходе доказательства которой были получены явные выражения для вычисления конечных и бесконечных решеточных операций, а также для модуля, положительной и

\

отрицательной частей порядково ограниченного оператора. Эти формулы, вместе взятые, составляют содержание так называемого порядкового исчисления. Несмотря на существенный интерес к регулярным билинейным операторам в векторных решетках, до недавних пор была известна только формула получения модуля регулярного билинейного оператора установленная в [44].

Для линейных регулярных операторов хорошо разработаны формулы проектирования на полосы, порожденные различными классами операторов, в частности, на полосу, порожденную регулярным оператором или множеством таких операторов; на полосу регулярных порядково непрерывных операторов; на полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами. Эти результаты также принято относить к порядковому исчислению. В этой связи возникла актуальная задача: развить порядковое исчисление для регулярных билинейных операторов в векторных решетках.

Важным классом линейных операторов в векторных решетках являются операторы, сохраняющие дизъюнктность. Этот класс операторов ввел и начал исследовать Б.З. Вулих. Позже операторы, сохраняющие дизъюнктность, изучали Ю.А. Абрамович, Е.Л. Аренсон, А.И. Векслер, Э. Викстед, А.К. Китовер, А.В. Колдунов, А.Г. Кусраев, С.С. Кутателадзе, В. Люксембург, Б. де Пахте, А.С. Цаапен и др. Простейшим представителями класса операторов, сохраняющих дизъюнктность, являются нерасширяю-щие операторы, или операторы, сохраняющие полосы. Известно, что положительный оператор, сохраняющий дизъюнктность, является решеточным гомоморфизмом. М. Мейером [66] установлено, что порядково ограниченный оператор, сохраняющий дизъюнктность, имеет положительную, отрицательную части и модуль являющиеся решеточными гомоморфизмами, которые вычисляются поточечно. С.С. Кутателадзе [23] установил, что положительный оператор является решеточным гомоморфизмом в том и

\

только в том случае, когда он является дискретным оператором.

Несколько более общий класс составляют полидизъюнктные операторы, составляющие идеал порожденный решеточными гомоморфизмами. Понятие п-дизъюнктного оператора в векторных решетках введено в статье С.Дж. Верно, СВ. Гюсманса и Б. де Пахте [36]. Характеризацию п-дизъюнктных операторов получил В.А. Раднасв [26], используя подход С.С. Кутателадзе к характеризации решеточных гомоморфизмов. В статье [36] было установлено, что п-дизъюнктный оператор представим в виде суммы п операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Аналогичные вопросы для билинейных операторов оставались неисследованными. В частности, желательно было получить варианты теоремы Мейера и характеризации класса полидизъюнктных билинейных операторов.

Два класса линейных операторов атомические и размазанные составляют дизъюнктные друг к другу полосы. Исследование этих классов операторов восходит к теории меры. Атомические операторы составляют в точности полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами и являются абстрактными аналогами атомических мер. Классическая теорема Хаммера-Собчика (см., например, [73]) гласит, что любую меру можно разложить в сумму неатомической меры и счетного числа двузначных мер с некоторыми коэффициентами. Для мер со значениями в пространствах Банаха-Канторовича теорема установлена А. Г. Кусраевым и С.А. Малюгиным [62]. Более простое и естественное доказательство теоремы Хаммера-Собчика и его векторнозначной версии найдено В.Г. Троицким в [83]. А.Г. Кусрасв и С.С. Кутателадзе в [18], используя методы нестандартного анализа, установили разложение атомического оператора по специальному базису попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов.

Класс размазанных операторов изучался СБ. Гюсмансом и Б. де Пахте в работе [55]. В частности, была получена характеризация размазанного

оператора и построена проекция на полосу атомических операторов. Другая характеризация размазанных операторов установлена А.Г. Кусраевым и С.С. Кутателадзе в [18]. Здесь также речь идет об абстрактной версии характеризации размазанных мер, скалярный случай которой рассмотрен в [73], а векторный — в [62].

Понятно, что аналогичные результаты важно было бы получить для регулярных билинейных операторов.

Сохраняющие дизъюнктность линейные операторы впервые появились в литературе в 1940-х годах, но объектом систематического изучения они стали только в последние двадцать лет прошлого века. Одной из важных причин нынешнего интереса к этим операторам является тот факт, что регулярные, сохраняющие дизъюнктность, операторы допускают мультипликативное представление в виде оператора подстановки с весом (оператора взвешенного сдвига), и тем самым составляют абстрактный каркас для очень важного класса операторов в анализе.

С помощью теории лифтинга А. и К. Ионеску Тулча получили представление решеточных гомоморфизмов в виде операторов взвешенного сдвига.

Вопросы мультипликативного представления сохраняющих дизъюнктность операторов изучались Ю.А. Абрамовичем [30], и им же совместно с Е.Л. Аренсоном и А.К. Китовером [31|. Для операторов, действующих в пространствах вектор-функций теоремы о мультипликативном представлении были установлены А.Г. Кусраевым (см. например [13, 5.5.3, 5.5.4]).

А.Е. Гутманом было установлено представление ограниченного, сохраняющего дизъюнктность оператора в виде сильно дизъюнктной суммы оператора взвешенного сдвига. Под оператором сдвига подразумевается абстрактный аналог оператора замены переменной. Общепринятое понятие взвешенного сдвига не содержит внутреннего веса. Однако именно введение внутреннего веса позволило получить А.Е. Гутману соответствующее представление.

Таким образом возникает естественный вопрос: какой класс билинейных операторов допускает мультипликативное представление.

Диссертационная работа посвящена решению следующей актуальной задачи современного функционального анализа: исследовать порядковые свойства билинейных операторов в векторных решетках, в частности:

1. построить порядковое исчисление регулярных билинейных операторов;

2. изучить структуру сохраняющих дизъюиктность билинейных операторов:

3. получить мультипликативное представление билинейных операторов.

0.3. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе исследуется порядковое исчисление регулярных билинейных операторов и приводятся формулы проектирования положительных билинейных операторов на различные полосы.

Во вводном параграфе определяются различные классы билинейных операторов и приводятся их простейшие свойства. Кроме того, формулируются необходимые в дальнейшем теоремы из теории регулярных линейных операторов, такие как теорема Рисса-Канторовича о порядковом исчислении линейных операторов и теорема Кутателадзе о сохраняющих дизъюиктность линейных операторах.

Также формулируется основополагающая теорема Фремлина о тензорном произведении, позволяющая перенести ряд результатов известных для линейных операторов на билинейный контекст.

Второй параграф посвящен порядковому исчислению регулярных билинейных операторов.

Пусть Е, F и G — векторные решетки. Как известно, в случае если решетка G является пространством Канторовича, таким же будет множество регулярных билинейных операторов из ExF -> G. Для этого пространства были получены формулы порядкового исчисления, имеющие следующий вид:

Теорема 0.3.1. Для любых элементов х Є Е₊, у Є F₊, операторов 6, &і,...,Ь/ Є BL_r(E, F;G) и порядково ограниченного множества В С BL_r(E, F; G) имеют место следующие формулы:

( " Л

(Ь_х V V bi){x, у) = sup <^ 2222 ^bW,j)(^xi> У]) (>

I »=i j=i J

Г " 1

(6i Л - Л bi)(x, y) = 'mf< 2222 ^bWJ)(^xi> Уз) f > 6⁺(z,?/) = sup^ 2^2-/Є(г,іЖжі,2/і) >,

І г=1 і=1 J

^{

n m і=1 j=l

ґ n m п

\b\(x,y) = supl ^2"^2\Кх_{,уу)\ : XiE,_Vj є F, ]Г|а;*| = .т,

І г=1 і=1 г=1

Y^M =Уі ⁿ,^m Є МІ (же₊, yF+),
з=і J

г=1 j = l J

^{

п m f=i і=і

где точные границы берутся по всем п, m Є N, k : {1,..., n} x {1,..., m} -> {!,...,/}, : {1,..., n} X {1,..., m} -> {0,1} я наборам ж_ь ..., x_n Є E₊, Vh - , Уш Є F+, удовлетворяющим условиям 2"=i я,- = ж, Х)"=і Уі = З/-

Набор этих формул в совокупности образует порядковое исчисление регулярных билинейных операторов. Следует отметить, что формулы порядкового исчисления для регулярных полилинейных операторов имеют аналогичный вид.

Ю. Абрамович в [1] развил вариант исчисления для порядково ограниченных линейных операторов, в котором при некоторых ограничениях, супремумы и инфимумы берутся не по всем, а только по дизъюнктным разбиениям аргумента. Этот набор формул в [61] был назван исчислением Абрамовича. Аналогичное исчисление, имеющее место для регулярных билинейных операторов, установлено во втором параграфе первой главы.

В случае когда рассматривается полоса регулярных ортосимметричных билинейных операторов, формулы порядкового исчисления значительно упрощаются. В качестве частного случая приводится исчисление для класса ортосимметричных билинейных операторов.

В третьем параграфе установлены формулы проектирования положительного оператора на полосу, порожденную направленным вверх множеством билинейных операторов, а также на полосу порядково непрерывных билинейных операторов.

Теорема 0.3.2. (1) Пусть А С В+(Е, F; G) — направленное вверх множество. Тогда для любого b Є В+(Е, F; G) я любых х Є Е₊ и у Є F₊ верно равенство

^{

m п »=i j=l

т n ^

тг^^/(г,у)ф_г-,^-) ^ ed{x,y) У

f=i j=i ;

где супремум берется по всем 7Г Є фг(СУ), (хі,...,х_т) Є Prt(a;), (У1,...,У„) GPrt(y) и/: {1,...,771} X {1,...,71} ->> {0,1}.

(2) Пусть Ъ : ExF -» G положительный билинейный оператор. Свяжем

с ним операторы b_n и b_an, определяемые по формулам:

Ь_п(х,у) :=mi {sup Ь(х_а,ур) : 0 ^ х_а t ж, О Курїу}, Ьоп{х, У) := inf { sup b(x_k, y_m) : О < х_ъ t ж, О < ?/_m 12/}

Л, m

(х Є +, у Є F+).

Эти операторы b_n и b_an являются проекциями на полосы порядково непрерывных и порядково а-непрерывных регулярных операторов соответственно.

Формула проектирования из теоремы 0.3.2 (1) аналогична формулам проектирования для линейных положительных операторов, построенным Е.В. Колесниковым в [9, 10]. При его получении использовались методы аналогичные использованным в выводе формул порядкового исчисления.

Также получены формулы проектирования для билинейных ортосим-метричных операторов. Следует отметить, что формулы верны и в случае полилинейных операторов.

Во второй главе изучаются вопросы связанные с дизъюнктиостыо билинейных операторов.

В первом параграфе второй главы изучаются билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность.

Определение 0.3.1. Говорят, что билинейный оператор b : Е х F -> G сохраняет дизъюнктность, если для произвольных х Є Е и у Є F выполняется:

хі _]_ х₂ => Ь(х_ъу) _1_ Ь(х₂,у),

2/1 -L 2/2 => Ъ(х, г/1) _L Ъ(х, у₂). Известно, что положительный билинейный оператор, сохраняющий

дизъюнктность, является биморфизмом. В работе получен аналог известной теоремы М. Мейера (2.1.1) для билинейных операторов.

Теорема 0.3.3. Пусть Е, F и G — векторные решетки, а Ъ : Е х F —> G порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъ-

юнктность. Тогда b имеет положительную часть b⁺, отрицательную часть Ь~ и модуль \Ь\, являющиеся решеточными биморфизмами. Более того, Ъ⁺(х,у) = Ь(х,у)⁺ и Ь~{х,у) = Ь{х,у)~ при 0 ^ х Є Е, О < у Є F, и \Ь\(\х\,\у\) = \Ъ(х,у)\ для произвольных xeEnyeF.B частности, b регулярен.

Кроме того, доказывается ряд свойств сохраняющих дизъюпктность билинейных операторов, которые являются непосредственным следствием из вышеуказанной теоремы.

Второй параграф второй главы посвящен полидизъюнктным билинейным операторам. Полидизъюнктные операторы формируют полосу, порожденную решеточными биморфизмами. Результаты этого параграфа продолжают исследования В.А. Раднаева, получившего в [26] характеризацию п-дизъюнктного линейного оператора.

Определение 0.3.2. Скажем, что наборы элементов {ж₍₎, х\,..., х_п} с Е и {уо,уі, .. ,Уп} С F бидизъюнктны, если для любых номеров 0 ^ hj ^ ^п, ^г' Ф h либо Х{ A. Xj, либо уі A. yj. Билинейный оператор b Є BL_r{E,F\G) назовем п-дизъюнктным, если для любых бидизъюнкт-ных наборов {жо, х\,..., х_Т1} С Е и {уо, yi,...,y_n] С F выполняется соотношение

1К^жо, 2/о)1 ^л Н^хь У\)\ Л Л \b(x_n, y_n)\ = 0.

Получена следующая характеризация n-дизъюиктных операторов.

Теорема 0.3.4. Пусть Е, F и G — векторные решетки, причем G — К -пространство. Пусть b — билинейный регулярный оператор из Е х F в G. Равносильны следующие утверждения:

4. 6 — п-дизъюнктный оператор;

5. для любого набора из п + 1 положительного оператора 6₀, , К Є BL_r(E, F; G), удовлетворяющего условию \b\ — b₀ + + b_n, существуют наборы операторов {b_k,i : fc, I := 0,1,..., n] и {щ : I = 0,1,..., n} такне,

что совместна система условий:

О ^ сг/ є Orth(G), 0 < Ъ_К1 Є BL_r{E, F; G), b_k,_k = 0,

n n n

^01 = k, Y^^bk>^l==\^b\' ^2^ai^bk,i = ^bk (M = 0,1,..., n);
/=0 fc=o /=0

(3) для любого дизъюнктного набора из п + 1 оператора b₀,...,b_n Є
BL_r(E,F;G), удовлетворяющего условию \b\ = b₀ + + b„, существует

набор ортоморфизмов <г₀,...,а_пЄ Orth(G)+ такой, что a₀ Н \- cr_n = Ig

ио-fcobfr = 0 (fc = 0,1,...,n);

4. для любого дизъюнктного набора из п + 1 оператора &о,..., &_n ^ BL_r(E,F;G), удовлетворяющего условию \Ь\ = 6о + + 6„, существует разбиение единицы 7Го,..., 7г_п и ф(С?) такое, что тг^ о b_fc = 0 (fc = 0,..., n);

5. 6 представляет собой метрически п-разложимый элемент решетки Банаха — Канторовича 2,{Ъ).

Из этого следует следующий факт.

Теорема 0.3.5. Билинейный регулярный оператор будет п-дизъ-юпктным в том и только в том случае, если он представим в виде суммы п билинейных регулярных операторов, сохраняющих дпзъюиктность.

Во третьем параграфе изучаются атомические операторы — операторы попадающие в полосу, порожденную решеточными биморфизмами. Доказана теорема о том, что всякий линейный атомический оператор разлагается но специальному базису (7, .^-однородных попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов. Аналогичный результат установлен для билинейных атомических операторов.

Теорема 0.3.6. Пусть Е, F и G — векторные решетки, причем G — порядково полна и расширена. Тогда существует множество кардиналов Г и для каждого кардинала 7 Є Г существуют проектор 7Г₇ Є ф(С) и

СемеЙСТВО ПОПарНО ДИЗЪЮНКТНЫХ решеТОЧНЫХ бі'ІМОрфиЗМОВ {Ф_Ъп)п^у из

Е х F в G такие, что справедливы следующие утверждения:

1. (7г₇)_7Єг представляет собой разбиение единицы в булевой алгебре ф((3), причем 7г₇ ф 0 при всех 7 Є Г;

2. 7Г₇ является ^-однородным проектором;

3. (im^а)-¹¹ - ?r₇(F) (₇ Є Г, а < ₇);

4. каждый оператор b Є BL_r(E, F; G) допускает единственное представление в виде:

Ъ = Ь₀ + 0~У^ 0-^2 ^а7,а 07,«' ₇ЄГ г*<7

где Ь₀ Є L_d(#, F] G) и (т_ъп Є Orth(0_7>a, tt₇(G)).

В четвертом параграфе второй главы рассматриваются свойства специального класса билинейных операторов -- размазанных операторов, которые определяются как операторы дизъюнктные всем решеточным бимор-физмам.

Эти операторы изучались в [55] СБ. Хауисмансом и Б. де Пахте, в их работе получены характеризации размазанных операторов и формула проектирования на полосу атомических операторов. Автором в [27] были получены другая характеризации размазанных операторов и формула проектирования на полосу атомических операторов, при помощи которых были выведены аналогичные результаты для орторегулярных билинейных операторов.

Теорема 0.3.7. Пусть Е полно относительно сходимости с регулятором, a G — К-пространство. Для положительного орторегулярного билинейного оператора Ъ : Е х Е —> G равносильны следующие утверждения:

(1) b — это размазанный оператор;

(2) для любых 0^xeE,Q^yтге ф 0
существуют ненулевой проектор р ^ 7г и некоторые попарно дизъюнктные
положительные операторы b\,..., b_n такие, что

b = b! + ->- + b_n, \pb_k(x, у)\ ^ є (к .- 1,..., п);

(3) для любых 0 ^ х Є Е, 0 ^ у Є F, О^єЄСитгЄф при тте ф 0 существует счетное разбиение (тт_п) проектора тт о [є] такое, что при каждом п Є N выполнено условие: b можно разложить в сумму п попарно дизъюнктных положительных операторов &i_f„,..., bk_n,_n, причем так. чтобы

Кп\ЬкА^х>У)\ <є (k:= 1,..-, k_n);

В случае если реше^ггки Е и F в теоремах 0.3.6, 0.3.7 - решетки с главными проекциями, то вместо покрытий аргумента можно рассматривать попарно дизъюнктные разбиения.

В третьей главе изучается строение решеточных биморфизмов и сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов. Полученный результат позволяет свести задачу к линейному случаю и получить результаты о представлении билинейных порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в виде сильно дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига или мультипликативных операторов.

В первом параграфе третьей главы устанавливается, что решеточный биморфизм, действующий из декартова произведения векторных решеток в расширенное пространство Канторовича, представим в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, определенных на решетках-сомножителях.

Теорема 0.3.8. Для произвольного решеточного биморфизма b : Е х F —> G существуют два решеточных гомоморфизма S : Е —^ raG и Т : F -> mG такие, что

Кх,у) = S(x)T(y) (хєЕ,уєЕ).

Если, сверх сказанного Е — F и биморфизм b симметричен, то в этом представлении можно взять S = Т.

Во втором параграфе устанавливается результат о представлении билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность в виде строго дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига.

Для линейных операторов аналогичный результат был установлен А.Е. Гутманом в [54]. Теорема 0.3.8 позволяет свести задачу для билинейных операторов к линейному случаю. В [20] установлен следующий результат. ,

Теорема 0.3.9. Пусть Ь : Е х F -> G — порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (р$)$ен в булевой алгебре 93(G) и семейства положительных элементов (е^)^_ен в Е и (./У^єе в F такие, что для каждого Є Е композиция р о Ъ допускает WSW-факторизацию с внутренними весами 1/е^ и 1/Д, и оператор Ъ разлагается в сильно дизъюнктную сумму

⁶ = ф ^W (Р^ ⁰ ^^Т) (¹ІЧ ^Х WA):

где о и т — операторы сдвига, a W : Q —» С/ — оператор умножения на

o-'EptHetJt).

В третьем параграфе также расширяются результаты А.Е. Гутмана. При использовании теоремы 0.3.9. получено аналитическое представление билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Теорема 0.3.10. Пусть Е, F и G — фундаменты в С^Р), C_0O(Q) и Coo(R) соответственно, a b : Е х F —> G — порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображения s Є Cq(R,P) и t Є Cq(R, Q), семейства {e^)^_e~ и (Д)^єн положительных функций из Е и F, соответственно, и семейство (W^)^e попарно дизъюнктных функций из Goo(jR) такие, что справедливо представление

Кх,у) = о-^Щ*\ФдПУІк)-

0.4. Основные положения, выносимые на защиту

(1) Получены формулы порядкового исчисления для регулярных били-

нейных операторов, а также в качестве частного случая для ортоеиммет-ричных билинейных операторов.

2. Получены формулы проектирования положительного билинейного регулярного оператора на полосу порожденную направленным вверх множеством таких операторов, а также на полосу порядково непрерывных билинейных операторов.

3. Получен аналог теоремы Мейера для сохраняющих дизъюнктпость билинейных операторов.

4. Получены характеризации полидизъюнктного билинейного оператора, показано что n-дизъюнктный билинейный оператор представим в виде суммы п сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов.

5. Получено разложение атомического билинейного оператора по специальному базису однородных решеточных биморфизмов.

6. Получена характеризация орторегулярных билинейных размазанных операторов.

7. Установлено, что решеточный биморфизм представляется в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, а сохраняющий дизъюнктность билинейный оператор в виде произведения решеточного гомоморфизма и билинейного оператора, сохраняющего дизъюнктность.

8. Получено представление билинейного оператора, сохраняющего дизъюнктность, в виде строго дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига.

9. Дано мультипликативное представление билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

0.5. Методы исследования

В работе были использованы теория векторных решеток и положительных операторов, теория мажорируемых операторов и векторных мер. Ряд

результатов получен методом переноса с использовании теоремы Фремли-на о тензорном произведении. Разработанный в диссертации метод представления биморфизма в виде произведения решеточных гомоморфизмов позволяет получить ряд результатов, известных в линейном случае для билинейных операторов.

0.6. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались по мере получения на семинаре «Алгебра и анализ» в Институте прикладной математики и информатики; на семинаре Кафедры теории функций и функционального анализа Южного федерального университета; на международной конференции «Positivity-IІ» (Наймеген, Нидерланды, 2001); на международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования I, II, IV (Владикавказ 2003, 2004, 2008) и III, V (Волгодонск 2005, 2007)».

Результаты диссертации опубликованы в работах [19, 20, 21, 25, 27, 28|.

0.7. Вклад соавторов

В работах [19, 20, 21] постановка задачи и общее руководство работой принадлежит А.Г. Кусраеву. В работе [20] нестандартное доказательство теоремы 3.2. принадлежит А.Г. Кусраеву. В работе [21), теоремы 2.1, 3.3 (со следствиями), 4.2, 4.3, 4.4, 4.7, 4.9, 4.11 принадлежат А.Г. Кусраеву. В работе [25] лемма 3.1 и следствие 3.2 принадлежат М.А. Плиеву.