Содержание к диссертации
Введение
1 Построение проективного представления симплектической группы и построение метаплектической группы при помощи унитарных преобразований Боголюбова 25
1.1 Некоторые определения 25
1.2 Представления ККС в различных пространствах 27
1.3 Преобразования Боголюбова. Унитарные преобразования Боголюбова 29
1.4 Построение проективного представления симплектической группы конечномерного пространства 30
1.5 Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства 34
1.6 О различных проективных представлениях симплектической группы 42
1.7 Построение метаплектической группы 43
1.8 Связь с картиной Баргмана-Фока 48
2 Квадратичные гамильтонианы 55
2.1 Квантования Винера-Сигала-Фока и Шредингера квадратичной функции Гамильтона 55
2.2 О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой 57
2.3 Свойства спектра квадратичных гамильтонианов 58
2.4 Решения уравнений Шредингера с квадратичными гамильтонианами и условия самосопряженности последних 64
2.5 Явные решения уравнений Шредингера для одного класса квадратичных гамильтонианов 70
3 Асимптотические свойства редуцированной динамики от крытых квантовых систем 73
3.1 Понятие открытой квантовой системы и её динамика . 73
3.2 Асимптотическая декогерентность 74
3.3 Примеры асимптотической декогерентности 76
3.4 Системы с гамильтонианом, обладающим точечным спектром 81
- Представления ККС в различных пространствах
- Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства
- О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой
- Явные решения уравнений Шредингера для одного класса квадратичных гамильтонианов
Введение к работе
Диссертация относится к бесконечномерному анализу. В ней рассматриваются несколько задач, связанных с исследованием (редуцированной) динамики открытых квантовых систем. Именно, в пей строится представления бесконечномерных симплектической и метаплектиче-ской групп, исследуются условия самосопряженности дифференциальных операторов, возникающих при квантовании бесконечномерных га-мильтоновых систем с квадратичной функцией Гамильтона и исследуется асимптотика решений управляющего уравнения, описывающего эволюцию открытых квантовых систем.
Проективное представление симплектической группы строится при помощи унитарных преобразований Боголюбова, являющихся сплетающими операторами для пары автоморфизмов алгебры Гейзенберга. причем один из этих автоморфизмов получается из другого при помощи симплектического преобразования. Унитарные преобразования Боголюбова преобразуют решения полученных при квантовании квадратичной функции Гамильтона уравнений Шредингера при симплектической замене переменных. В диссертации получены явные формулы для унитарных преобразований Боголюбова в пространстве Винера-Сигала-Фока и установлена их связь с аналогичными преобразованиями в пространстве Варгмана-Фока, которые рассмотрены в работах Ф.А.Березина. Таким образом, преобразования Боголюбова могут использоваться как для упрощения уравнений Шредингера с одной стороны, так и для построения проективных представлений — с другой. Помимо проективного представления симплектической группы в диссертации изучаются унитарные представления её накрытий {в частности, метаплектической группы), которые индуцируют проективное представление. Для некоторой ветви проективного представления вычислен коцикл, и с его помощью по-
строены аналоги метаплектических групп для различных подгрупп сим-плектической группы бесконечномерного симплектического пространства. При этом найдена связь с результатами, полученными в книге Ж.Лион и М.Вернь. Подобные вопросы изучались в работах [24], [2]. [12].
Асимптотические свойства (соответствующие большим временам) квантовых систем (преимущественно открытых) исследуются с помощью изучения специальных усреднений решений соответствующих управляющих уравнений, порожденных заранее выбранной спектральной мерой (равно правилом суперотбора), принимающей значение в множестве ортогональных проекторов. В том случае, когда изучается управляющее уравнение для состояний принято говорить об асимптотической деко-герентиости состояний; если же используется управляющее уравнение для наблюдаемых (пространство которых двойственно к пространству, являющемуся замкнутой линейной оболочкой множества смешанных состояний), то подразумевается асимптотическая декогерентность для наблюдаемых (точные определения приведены в тексте диссертации). В последние десять лет исследование декогерентности стало одним из наиболее актуальных направлений математической физики. К этому направлению относится, в частности, вышедшая в прошлом году вторым изданием книга [20] (первое издание вышло в 1996 году); в этой книге можно найти и обширную библиографию работ в этой области. В диссертации описаны классы квантовых систем (как открытых, так и изолированных); в которых возникают различные типы декогерентностей. Кроме того, исследованы связи между различными декогерентностями, в частности, отмечены существенные различия между понятием асимптотической декогерентности для состояний и асимптотической декогерентности для наблюдаемых (в частности, что различия не могут быть устранены при помощи выбора топологии). Показано, что асимптотическая декогерентность отсутствует у систем, полученных при квантовании строго положительной квадратичной функции Гамильтона, определенной на конечномерном пространстве.
Изучение декогерентности потребовало детального исследования квантовых систем с квадратичными гамильтонианами (т.е гамильтонианами, полученными при квантовании классических гамильтоновых си-
стем с квадратичной функцией Гамильтона). Исследование квадратичных гамильтонианов входило в сферу интересов Березина, Купша, Ме-лера, Орнштейна, Саймона, Уленбека.
В диссертации найдены явные формулы для решения задачи Ко-ши (при тотальном множестве начальных условий) для уравнения типа Шредиигера с гамильтонианом, полученным путем применения процедуры квантования Винера-Сигала-Фока к некоторой квадратичной функции Гамильтона (которая может быть определена как на конечномерном, так и на бесконечномерном пространстве); при этом зара-нее (квантовый) гамильтониан предполагается лишь симметричным (но не самосопряженным).
Найдены достаточные условия на квадратичную функцию Гамильтона, обеспечивающие самосопряженность в существенном (на областях специального вида) операторов, полученных при ее квантовании. Кроме того, для таких операторов указаны достаточные условия отсутствия существенной самосопряженности на некоторых областях; конечно, при этом может оказаться, что существует самосопряженный оператор, сужение которого на часть упомянутой области совпадает с сужением на нее исходного оператора, но в то же время действие которого на некоторые элементы (т.е. в рассматриваемом случае функции) из той же области отлично от того действия на них исходного оператора, которое определяется задающим его аналитическим выражением.
Описанные в диссертации решения уравнений Шредингера представлены в явном виде при этом не используется представление решений в виде интеграла Фейнмана.
Показано, что формула, использованная в работе [9] вытекает из полученных в диссертации формул.
Методы исследования
В диссертации используются методы бесконечномерного анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Кроме того некоторые результаты могут использоваться при исследовании эволюции открытых квантовых систем.
Апробация диссертации
Основные результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых, семинарах механико-математического факультета МГУ и института математики РАН.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы и шести работах автора. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из трёх глав, разбитых на параграфы, Общий объём диссертации составляет 87 страниц. Список литературы включает 35 наименований.
Краткое содержание диссертации.
Представления ККС в различных пространствах
Определим представления (ККС) операторами в пространствах Винера-Сигала-Фока, Фока, Баргмана-Фока. Если dimQ со, то для Va є Q операторы qa : L2(Q) Э f(-) -» -,a f(-), Pa : L2(Q) Э f(-) -i$(-)(a) (являющиеся самосопряженными в существенном на пространстве Шварца S(Q) см. [13]) определяют представление (ККС): В случае, когда пространство Q — бесконечномерно; операторы qa и ра в пространстве Винера-Сигала-Фока (ВСФ), определяемые равенствами являются самосопряженными в существенном на области, представ ляющей собой алгебраическое тензорное произведение счетного числа копий пространств Шварца (предполагается, что в пространстве Q выбран ортонормированный базис и что функции из соответствую щих пространств Шварца зависят только от переменных, отвечающих определенному базисному вектору пространства Q) называются операто рами представления Шредингера алгебры Гейзенберга. Или в терминах представления (ККС): а(х, у) = +V , (х, у) = -- - , В симметрическом пространстве Фока и в пространстве Баргмана Фока, операторы aF(f) : FV(H) э i\ V ... V fn -» f V t\ V ... V f„ и соответственно операторы аь(і) : Ьг(Н, ді) Э G и [Н Э h і- - (f)], a(f) : LofH./ii) Э G и [H Э h — h,f G(h)] играют ту же роль, что и операторы avS(x, y),a s(x,y), действующие в пространстве Ви.нера--Сигала-Фока (см.[24], [2]): для этих семейств операторов выполняются канонические коммутационные соотноше-ния (ККС): [a(f),a(g)] = [a4f),a (g)]=0, [a(f),a (g)] = f,g с I (имеется в виду? что семейство операторов {a(f),a(g}} — одно из семейств {avs(x)y),a a(x,y)},{aF(f),ap(f)},{ab(f),a (f)}. Говорят, что представление ККС операторами {a(f),a (f)} в гильбертовом пространстве обладает вакуумным вектором v0, если для всех ІЄН справедливо равенство a(f)(vo) = 0, причем множество векторов вида a (fi) a (f2) ... a (fn)(vo) — тотально. Для всякого такого представления ККС, по-прежнему будут использоваться обозначения qa,pa,aQ = P, для операторов, определяемых соотношениями а(х,у) — -- --, а (х, у) Ях-ц -Фу-Фх где / = {х, у) Є Н = Q Ф Р). Операторы qa,pa — называются операторами Шредингера. Как известно (см., например, книгу [2]) все представления ККС; обладающие вакуумным вектором, — унитарно эквивалентны. Для всякого представления ККС операторами {a(f),a+(i)}, действующими в некотором гильбертовом пространстве Е, всякий оператор в пространстве Н индуцирует оператор в алгебре операторов, порожденной операторами {a(f),a (f)} (или, что то же самое, в алгебре, порожденной операторами {qa,pa}, являющимися элементами той же алгебры). Для каждого линейного отображения А : Н — Н оператор, действующий в алгебре операторов, порожденной операторами представления ККС, обозначается через ПА и определяется так: ПА : qa — 4т (а) + pV(a) ПА ра — q7 (a) + pV(a)- Условия того, что оператор Гід сохраняет ККС имеют вид: 5 а — /3 7 — id, 5 /3 = Р 5,-у а — а 7- Иначе говоря, обратимый оператор А сохраняет (ККС) (или более точно соответствующий ему оператор Пд сохраняет (ККС)) тогда и только тогда, когда он симплек-гический. Такие отображения Пд — называются преобразованиями
Боголюбова. В терминах представления алгебры Гейзенберга отображение ПА можно понимать так: пусть А — сопряженное к отображению А относительно двойственности 3ft( , с), тогда ПA( + ру) = q„ + pv. где Q х Р э (u,v) = А (х,у). Если {a(f),a (f)} — представление ККС операторами в гильбертвом пространстве Е, обладающее вакуумным вектором и для симплектического преобразования А существует унитарный оператор Уд, такой, что для всякого а Є Q выполняются равенства: (предполагается, что равенства выполнены на общей области существенной самосопряженности), то будем говорить, что автоморфизм ПА приводим и симплектическое преобразование порождает унитарное преобразование Боголюбова Уд. 1.4 Построение проективного представления симплектической группы конечномерного пространства Пусть (qa,pa) — представление (ККС) операторами в пространстве L2(Q)5 тогда отображение Sim(H) Э A J— VA, индуцирует проективное представление симплектической группы операторами в проективном пространстве, построенном по пространству IJ2(Q), обозначим его символом Pr(L2(Q)). Имеется в виду, что оператор VA порождает преобразование проективного пространства Pr(L2(Q)) В Link{x} і— Ьіпк({Уд(х)}). Найдем оператор VA (унитарное преобразование Боголюбова), когда симплектическое преобразование А имеет специальный вид. Если преобразование А = (d_1,0,0,d ), то ему соответствует оператор наконец, если A = (id, 0,b, id), где b = b (это следует из того, что А — симплектическое), то VA определяется равенством; Пусть симплектическое преобразование, причем /? обратим. Подберем параметры d, с. b таким образом, что b = b,c = с и верно равенство:
Построение проективного представления подгруппы симплектической группы бесконечномерного пространства
В случае, когда пространство Q бесконечномерно, не всякие представления ККС унитарно эквивалентны, (подробнее см.[2]). таким образом, отображение A t— Уд определено лишь на некоторой подгруппе, япно описанной в теореме Шейла. Построим проективное унитарное представление некоторой подгруппы симплектической группы операторами, действующими в проективном пространстве, построенном по пространству Винера-Сигала-Фока, используя схему, примененную при построении представления симплектической группы конечномерного симплектического пространства (см. пункт 1.4). В качестве представления ККС возьмем представление Шре-дингера. Как и в предыдущем пункте найдем сначала явные выражения для унитарных преобразований Боголюбова, соответствующих сим-плектическим преобразованиям специального вида, Симплектическому преобразованию A = (id, 0, b, id), где b — самосопряженный ядерный оператор, соответствует унитарное преобразование Боголюбова Уд : f \ [х і— є з f(x)]. Из того, что b — ядерный оператор, следует возможность продолжения функции Ь(х),х ма Q_ до измеримой (см. [7]). Под пространством Q_ понимается пополнение пространства Q по гильбертовой измеримой норме (например ] [Q_ = Ко(-)ІІ2; где Ко — произвольный инъективный оператор Гильберта-Шмидта). Если А = (0, id, —id, 0),. то VA — преобразование Фурье-Винера (см. [7]) определяемое на цилиндрических функциях из пространства Шварца формулой VA : f v-4 [х ь- exp J e-i x- f(y)d i(y)]. Если A = (d"1,0,0, d ), р где оператор d — околоединичный (это означает, что d — I — ядерный оператор), то VA : f н- [х н-» уДЩЩехр а _ d dW f(d(x))]. Если d — I является оператором Гильберта-Шмидта, то для оператора Уд можно аналогичным образом указать явную формулу. Пусть А = {a,/3,7i 5), где оператор 0 —- обратимый и околоединичный. Тогда А можно представить в виде произведения симплектических преобразований рассмотренного выше типа. Действительно, преобразуя равенство . Для того, чтобы при таком выборе параметров а,Ь,с определяемые ими операторы оказались симллектическими, требуется, чтобы были выполнены равенства с = с, b = Ь. Справедливость их устанавливается аналогично конечномерному случаю. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1.2. Пусть А — (а,/?,7, 5) — симплектическое преобразование, причем а, 5 — ядерные операторы и (3 — околоедипичішй обратимый оператор. Тогда для цилиндрических функций из класса Шварца унитарное преобразование Боголюбова VA задается формулой: VA : f [х - f е - 1 » } ) 1 ydet(/3) J Избавимся от ограничения на оператор /3, Аналогично конечномерному случаю (по-прежнему предполагая, что /3 — околоединичный оператор, а а, 5 — ядерные операторы) аппроксимируем гтА симплектичеткими операторами Ап = (а+ /? + ,7 ) с невырожденным в (а — ортогональный проектор на Кет/3 ). Дословно повторяется доказательство симлектичности преобразования Ап (в конечномерном случае).
Так как для околоединичных: операторов обратимость эквивалентна отсутствию ядра, то получаем, что оператор 0 + - обратим. Применяя теорему 1.2, для цилиндрической функции из пространства Шварца, получаем следующее: Сделав замену у = (/? + 5 a)z и учитывая, что - -j-(x) = det(t) exp x tx —- , где оператор (t — I) — ядерный; а оператор t — обратимый, преобразовываем равенство 1.12 аналогично, как и в конечномерном случае получаем где р — ортогональный проектор на Im/?, azj= p(z), Z2 = a(z). Лемма 1.2. Справедливы равенства ах + рх,(/3 + p)_1J x = л ах,ах + рх,р5и , a/3 Zj + a5 Z2,zi + nz2 = a/3 zi,zi +n Z2,Z2 + Q5 Z2)ZI . Здесь вектор u определяется равенством, px — /?u. Доказательство тождественно конечномерному случаю. Используя лемму 1.2, получаем: Теорема 1.3. Если A = (a,/?, 7( ) симплектическое преобразование, причем оператор /3 — околоедипичпый, а а, 5 — ядерные операторы, то для цилиндрической функции {{) из класса Шварца унитарное преобразование Боголюбова задается следующей формулой: Вопрос о существовании преобразований Боголюбова решает теорема Шейла (см., например, [19]), а именно: для преобразования S существует унитарное преобразование Боголюбова тогда и только тогда, когда (S S) - Id — оператор Гильберта-Шмидта. Обозначим множество всех симплектических операторов S таких, что оператор (S S) — I — ядерный, через Si, а множество всех симплектических операторов S таких, что (S+S) -I — оператор Гильберта-Шмидта, через So. Условия теоремы 1.3 не охватывают ни одного из множеств S, полиостью. Рассмотрим подробнее структуру множеств S;. Теорема 1,4. Пусть g Є Si, тогда существуют унитарные преобразования Ui,U2 и преобразование W Є Sj вида W = (d_1t0,0,d )t такие. что выполнено равенство g = Щ о W о U . Доказательство. Обозначим Ui,U2,W соответствен гго через lU), M ?)i WU)- Пусть J:QxP3xxyw-yxxQxP- умножение на мнимую единицу (оператор задающий комплексную структуру); тогда условие симплектичности g имеет вид: J g J "1 = g ]. Из симплектичности самосопряженного отображения g g следует, что если е — собственный вектор отображения g g с собственным значением А, то J(e) — тоже собственный вектор с собственным значением j. Отсюда следует, что существуют; унитарное отображение V, М — подпространство пространства Н такое, что Н = М х JM, оператор t : М — М такой, что V(Q) =MHg g : QxP э хху ь- toV(x) х Jot-1oV(yj Є МхМ = Н. Так как (g g) :QxP3xxyi- t3o V(x) xJotTo V(y) EMxM = H, TO (g g)5 — симплектическое. Пусть g = Oo (g g)1, где О ортогонально. Тогда из группового закона следует, что О — унитарный. Отсюда следует заключение теоремы. Замечание 1Л. Имеет место и обратное утверэюдепие: если g представим в виде g = Ui о W о U2, где W Є Sj то g Є S;. Это замечание позволяет определить множества S\ как множества симплекти-ческих преобразований, представимых в виде U 4- К, где оператор U унитарный, а К — оператор Гильберта-Шмидта или ядерный. Отсюда следует что S; являются подгруппами симплектической группы. Для нахождения унитарных преобразований Боголюбова, соответствующих симплектическим преобразованиям, которые еще и унитарны, сначала удобно понять их явный вид в пространстве Фока. Так как представления ККС в пространствах Фока, Винера-Сигала-Фока обладают вакуумными векторами, то соответствующие представления алгебры Гейзенберга операторами в этих пространствах унитарно эквивалентны. Обозначим через TV-.F : L2CQ, Ді) — FV(H) оператор, осу
О связи между решениями уравнений Шредингера, соответствующих квадратичным формам переводимым друг в друга некоторой симплектической заменой
Описанные в Главе 1 унитарные преобразования Боголюбова могут использоваться для упрощения гамильтонианов, полученных путем применения процесса квантования Шредингера (или Винера-Сигала-фока) к некоторой функции Гамильтона. В случае, когда функция Гамильтона квадратична, имеет места лемма. Лемма 2.1. Пусть dimH со, К = (U,V, V ,W) — оператор, задающий квадратичную форму на пространстве Н = Q х Р, А = (а,/?,7» 5) — симплектическое преобразование пространстваН — QxP, тогда где символи !КК» А КА обозначают гамильтонианы, полученные путем применения процедуры квантования Випера-Сиг ала-Фока к квадратичным формам, заданным операторами К, А КА соответственно. Доказательство. Так как И #к(0(х) = tr(-d2f{x) W + U(x)xf(x) -2 V(x)f(x) df(x) + iV) (2.4) Уд1 Йк - VA(f)(x) = 2 ((% en + P e») (q7 We" + PJ-We") , где {є11} — ортонормированный базис в Q. Учитывая (ККС) и приводя подобные члены, получаем: Замечание 2.1. Предполагается, что если гамильтониан Йк самосопряжен в существенном на какой-либо области D, состоящей из гладкий функций, то гамильтониан СКА КА самосопряжен в существенном на области У 1(0). Замечание 2.2. В случае, когда diraQ = со приходится действовать более аккуратно, в частности следить, чтобы существовало VA Под квантовой системой понимается пара (Н,Й). где Н — гильбертово пространство над полем комплексных чисел (или просто комплексное), % — самосопряженный оператор на нем. Элементьг пространства Н с точностью до комплексного множителя, равного единице по модулю, называются векторами состояний. Их эволюция описывается уравнением Шредингера ig — !K(f) или, что то же самое f(t) = e t:H:(fo). Каждому вектору состояния f соответствует чистое состояние f f Є НН. при этом произвольный (не являющийся чистым состоянием) элемент пространства Н&Н с ядерной топологией, называется смешанным состоянием. Будем говорить, что у квантовой системы (Н, !К) существует почти инвариантный вектор состояния f если e-lt (f) = elAtf,A 6R (если f — почти инвариантное состояние, то f f — инвариантное чистое состояние). Если f — почти инвариантный вектор состояния для (Н,!К), то f — инвариантный вектор состояния для (Н,!Н-- Aid). Для получения интересующей информации о квантовой системе достаточно знать эволюцию смешанных состояний, которая остается неизменной при замене системы (Н,!К) системой (Н,А + Aid). В случае полуограниченного снизу оператора % параметр А удобно выбирать так, чтобы inf !Kh,h +А = О (такой выбор параметра А отвечает нулевому уровню энергии). В случае квантовой системы (Н, "К) (имеется в виду, что оператор !К— самосопряжен) наличие почти инвариантного состояния означает, что оператор К обладает дискретным спектром. Если дан квадратичный гамильтониан (заранее не предполагается, что он самосопряжен), то под словами эволюция состояния подразумевается гладкая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера.
Справедлива теорема. Теорема 2.1. Пусть Е строго положительно определенный самосопряженный оператор на пространстве Н. Тогда для квантовой системы, полученной путем применения процедуры квантования Винера-Сигала-Фока к квадратичной функции Гамильтона, определяемой оператором Е, существует вектор-состояние почти инвариантный относительно эволюции. Доказательство. Приведем доказательство для случая dim(Q) = 2 (доказательство для общего случая по существу не отличается). Рассмотрим вектор состояния (зависящий от времени) всей системы ф(і) IJ2(QS) L2(Qe) такой, что ф(х, y,t) = e( "(t)x.x + v(t)y.y + « (t)x.y + a{t).« + b(t),y +c{t)) где а(і),Ь(і)єН, u(t),v{t)}w(t) — комплексно линейные операторы в пространстве Н такие, что u(t) = u(t) ,v(t) = v(t) , w(t) = w(t) 5 с Є С. Под символом -, понимается аналитическое продолжение скалярного произведения из пространства Q на пространство Н. Условие того, что -0(t) Є L2(QS) L2(Qe), означает строгую отрицательную определенность оператора в пространстве Н, в качестве блочной операторной матрицы имеющего матрицу: Условие того, что функция Кэ 11- - i/ (t) является решением уравнения Шредиигера означает, что параметры u(t),v(t),w(t),a(t),b(t),c(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Используя первые три уравнения системы, найдем положение равновесия; далее положим a(t) = 0, b(t) = 0; тогда, взяв в качестве c(t), подходящую линейную функцию, получим решение, обладающее тем свойством, что соответствующее чистое состояние инвариантно относительно эволюции, Таким образом надо доказать, что полученные решения u(t), v(t),w(t),a(t),b(t),c{t) таковы, что соответствующая им функция ф(і) принадлежит пространству L2(QS) L2(Qe) (имеется в виду, что такой выбор возможен). Преобразовывая систему для u(t),v{t), w{t), по лучим: этой системы рассмотрим операторную матрицу такую, что система эквивалентна операторному уравне силу положительной определенности оператора Е, опе-В — Т Т положительно определен. Действительно, В Т\ / х \ ( х \\ V id J V -Т х J V -Т х J / ИЛИ ЧТ Т ЖЄ самое что (В - Т-Т )(х),х 0. Следовательно, все решения уравнения 2.8 имеют вид А = —і Т 4- д/В — Т Т U, где U — произвольный комплексно ортогональный оператор (U -U —id). Остается выбрать оператор U так, чтобы А = А и выполнялось условие отрицательной определенности оператора 2.6. Производя замену X = А + г Т, можно переписать уравнение 2.8, как:
Явные решения уравнений Шредингера для одного класса квадратичных гамильтонианов
В этом пункте исследуются системы с квадратичными гамильтонианами частного вида. Пространство состояний подсистемы Hg реализовано, как L2(R), а пространство состояний окружения Не реализуется, как пространство Винера-Си гал а-Фока L QJ/AI), ПОД пространством состояний будет пониматься тензорное произведение (Н = Hs g Не). Изучаются гамильтонианы вида: где hijli2 Q, a M такой оператор в Q, что его комплексификация есть самосопряженный оператор, действующий в комплексификации Q. Гамильтонианы такого вида исследовались в работе [22]. Также считается. что след берется от оператора, действующего в комплексификации Q. Там где это не приводит к путанице, векторы отождествлены с функционалами (теорема Рисса). Последний оператор — частный случай квадратичного гамильтониана. Но прямое применение методов предыдущей главы затруднительно, поскольку требует явного решения системы для неопределенных коэффициентов. Область самосопряженности не указана явно, так как этот оператор полуограниченный (подробнее см. [22]) и следовательно обладает самосопряженным расширением (если требовать сохранение нижней грани, то оно будет единственно). Так как будет выписано явное решение уравнения Шредингера в случае тотального набора начальных условий (то есть эволюция состояний системы), то в указании области самосопряженности нет необходимости, поскольку унитарность эволюции проверяется явно. Для нахождения явного решения уравнения Шредингера, соответствующего определенному начальному состоянию всей системы, гамильтониан приводят к диагональному виду (приведение осуществляется при помощи унитарных преобразований Боголюбова см. [10],) и применяется теорема 2.1. В случае диагонального гамильтониана он распадается в тензорное произведение операторов 34,!Не, действующих в пространствах HS,HE соответственно, где Решения соответствующих уравнений Шредингера для гамильтонианов $Са,$Се, обозначаемые через (x xi) соответственно, при тотальном наборе начальных условий пишутся явно: где keQx Q,aR(QxQ — комплексификация пространства Q), играют роль произвольных постоянных. Последняя формула "0і(хі) была получена в работе [9]. Используя то, что hlth2 . Dom(M"1), можно выписать решение уравнения Шредингера для системы, описанной в начале этого пункта. Имеет место теорема: Теорема 2.8. Пусть Ьх,Ь Dom(M-1), где оператор М такой, что его комплексифитция — самосопряженный оператор. Тогда для всех векторов к из комплексификации Q и для всех а R функция )/ (xs,xe) t), которая задается так; является решением уравнения Шредингера, соответствующего гамильтониану, рассматриваемому в начале пункта. Доказательство. То, что это решение уравнения
Шредингера для всей системы, устанавливается путем приведения гамильтониана к диагональному виду, однако, что это — формальное решение данного уравнения, можно убедиться путем подстановки. Так как это формальное решение, которое порождает унитарную эволюцию, то по этой эволюции можно определить гамильтониан, действие которого на соответствующей области существенной самосопряженности задается тем же выражением. Такой подход освобождает от доказательства самосопряженности. Векторы состояний квантовой системы — это векторы комплексного гильбертова пространства с точностью до множителя, равного по модулю единице; эволюция векторов состояний системы описывается уравнением Шредингера і = $і(ф), где Н самосопряженный оператор (возможно, неограниченный), называемый гамильтонианом, который в физических задачах положительно определен. Каждому вектору состояний h Є Н ставится состоянием. Произвольный положительно определенный ядерный оператор в гильбертовом пространстве Н, отличный от чистого состояния, называют смешанным состоянием соответствующей квантовой системы. Более подробные сведения об этих объектах можно найти, например, в работах [2], [24]. Открытой квантовой системой называется подсистема некоторой квантовой системы, эволюция которой описывается уравнением Шредингера. Это значит, что пространство состояний всей системы Н представлено в виде тензорного произведения Н = На 8 Не, где пространство Н8 — пространство состояний исходной открытой системы (части всей системы), а пространство Не — пространство состояний окружения. В этом случае эволюция подсистемы не может быть задана как эволюция векторов состояний и, более того, зависит от начального состояния окружения ijj Є Не. Вектору состояния подсистемы h соответствует ядерный оператор h h, причем смешанное состояние, имеющее вид h h, называется чистым состоянием. Из теоремы Гильберта-Шмидта следует, что произвольное смешанное состояние является вероятностной комбинацией чистых состояний, причем если все состояния нормировать, то коэффициенты разложения означают вероятности нахождения системы в этих чистых состояниях. Эволюция смешанного состояния подсистемы зависит от начального состояния окружения; далее предположим, что это — чистое состояние w jJ. Обозначим гамильтониан исходной системы через "К. Из уравнения Шредингера следует, что эволюция состояния всей системы фо описывается однопараметрической подгруппой унитарных операторов ф(і) — exp (—і t C 1(-00), порожденной гамильтонианом. Пусть Ао — смешанное состояние подсистемы, тогда отображение! : Ао wu/ І— exp (—і t Зі) (А0 0 WOJ) -exp (і t %), описывает изменение смешанного состояния системы. Семейство отображений AQ И- - TrH UtfAo)), где под Тгнс понимается операция взятия частичного следа по пространству окружения, задает эволюцию состояний подсистемы (т.е её динамику). Пусть состояние Ао является чистым состоянием (Ао = а а), при этом а си отождествляется с оператором Гильберта-Шмидта, обозначаемым через N, действующим из пространства Не в пространство Hs (N : Не Э h i- h,w с а Є Hs). Пусть для каждого t 0N(t) = exp(-i t!K)(N). Использование такого отождествления позволяет записать частичный след как N(t) N (t). где звездочка означает эрмитово сопряженный оператор, а точка — композицию операторов,