Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Распределение нулей канонических произведений и обобщенный индекс конденсации
1. Постановка задачи. Формулировка результатов 13
2. Некоторые вспомогательные результаты 18
3. Доказательство теоремы 1.1 28
4. Формула для вычисления весового индекса конденсации 37
5. Модифицированная весовая функция 44
6. Доказательство теоремы 1.2 50
7. Дополнения к основным теоремам 58
8. Задача А. Ф. Леонтьева 67
9. Абсолютно представляющие системы экспонент 83
ГЛАВА 2. Экстремальная задача для типа целой функции с нулями в угле Оценка снизу типа целой функции порядка меньше единицы с поло жительными нулями фиксированных плотностей
11. Построение экстремальной функции 96
12. Оценки величины экстремального типа 102
13. Асимптотические формулы 109
14. О радиусе полноты 120
Наименьшее возможное значение типа целой функции порядка меньше единицы с нулями фиксированных плотностей, лежащими в угле .
ГЛАВА 3. Разложение на простые дроби величины, обратной к целой функции
16. История вопроса. Постановка задачи и формулировка результатов 149
17. Общие свойства рядов Крейна 157
18. Доказательство основной теоремы 168
19. Соображения четности 181
20. Специальные классы целых функций 187
Заключение 210
Список литературы 211
- Некоторые вспомогательные результаты
- Модифицированная весовая функция
- Оценки величины экстремального типа
- Доказательство основной теоремы
Некоторые вспомогательные результаты
В этой главе изучаются вопросы регулярности роста целой функции экспоненциального типа L(\) с простыми нулями в зависимости от поведения в нулях производной L (\). Параграфы 1-7 посвящены каноническим произведениям с вещественными симметричными нулями. Найдено точное условие наличия вполне регулярного роста у таких произведений в терминах обобщенного индекса конденсации нулей. В 8 изучается задача А. Ф. Леонтьева о регулярности роста целой функции экспоненциального типа с произвольно расположенным множеством простых нулей, имеющим нулевой индекс конденсации. В частности, дается решение задачи для четной функции, не имеющей нулей в каком-либо угле раствора 7г/2. В заключительном 9 полученные результаты применяются к вопросам представления аналитических в ограниченной выпуклой области функций рядами экспонент.
Постановка задачи. Формулировка результатов Пусть Л = (\n)neN — последовательность положительных чисел вида: О Лі Л2 ... Хп , lim Хп = +оо. (1.1) п— оо Предполагаем, что Л имеет конечную положительную верхнюю плотность А(Л) = lim —, 0 Д(Л) +оо. (1.2) плотность последовательности Л, т. е. число Д(Л) Elimr, (1.3) может не совпадать с верхней плотностью, и в этом случае последовательность называют неизмеримой. Если же выполнено равенство А (Л) = А (Л), то существует обычный предел lim (п/Лта), который называют плотностью последова п— оо тельности Л и обозначают А (Л). В таком случае последовательность Л считается измеримой. Рассмотрим каноническое произведение га=1 Ч п/ Л є С, (1.4) построенное по последовательности Л. Справедливы следующие факты (см. [76; гл. I, 2,4, гл. II, 4]). Каноническое произведение (1.4) определяет целую функцию экспоненциального типа т, где 0 a 7гА(Л). Для индикатора функции L(A) верна оценка In \L(reie)\ hL(0)= lim { П jsinfl. (1.5) r—S-+QO Функция L(\) имеет вполне регулярный рост тогда и только тогда, когда Д(Л) = Д(Л) = Д(Л), т. е. когда последовательность Л измерима. В этом случае тип и индикатор вычисляются точно: а = тгА(Л), hL{6) = asin# = 7г Д(Л) sin0. Поскольку функции вполне регулярного роста представляют значительный интерес для приложений (см., например, [76], [78], [72], [8], [38], [160], [63]), то при работе с каноническим произведением (1.4) важно учитывать наличие или отсутствие плотности у последовательности
Будем изучать связь между измеримостью последовательности нулей канонического произведения (1.4) и поведением в нулях производной L (\). Для этого используем важную характеристику — весовой индекс конденсации. Напомним основные сведения, связанные с данным понятием.
В известной монографии [139; гл. I, 7,8] В. Бернштейн исследовал различные характеристики типа «разреженности» и «сгущаемости» для числовых последовательностей. В связи с этим он использовал некое (нетривиальное) понятие индекса конденсации и показал [139; приложение II], что для измеримой последовательности Л вида (1.1), выражающей положительные нули канонического произведения (1.4), индекс конденсации вычисляется по правилу 6(A) = Йгп іп— —. (1.6)
Через некоторое время А.Ф.Леонтьев обратил внимание на универсальный характер величины (1.6), перенеся на нее название «индекс конденсации». Поэтому всюду далее стандартным индексом конденсации будем называть именно величину (1.6), вычисленную для числовой последовательности (1.1) конечной верхней плотности (1.2).
Характеристики, подобные 5(A), встречались во многих работах, посвященных теории рядов Дирихле, вопросам интерполяции и аналитического продолжения, оценкам роста целых функций и инвариантным подпространствам аналитических функций (см., например, [82], [64], [24]-[26], [94], [95], [97], [69], [70]). В частности, в [94], [97] показано, что величина (1.6) всегда неотрицательна, и найден диапазон изменения 5(A), если заданы плотности (1.2), (1.3) и шаг h(A) = Ит (Ага+1 - Ага) 0 (1.7) п— оо последовательности Л. Заметим, кстати, что еще В. Бернштейн установил в [139; приложение II ], что у измеримой последовательности Л вида (1.1) с положительным шагом h(A) индекс конденсации 5(A) равен нулю. Затем, в связи с работами А. Ф. Леонтьева [75; с. 1291], [77; задача 2], возник обратный вопрос: будет ли измеримой всякая последовательность (1.1) с конечной верхней плотностью А(Л) при условии, что 5(A) = 0 Ответ на вопрос оказался отрицательным — в работе [23] А. В. Братищев указал конструкцию примера неизмеримой последовательности (1.1) с конечной верхней плотностью А(Л), положительным шагом h(A) и нулевым индексом конденсации 5(A). Эта конструкция не является явной — она содержит элементы, трудно воплощаемые на практике, однако после работы [23] стало ясно, что даже при дополнительном ограничении (1.7) нельзя охарактеризовать наличие плотности у последовательности Л в терминах стандартного индекса конденсации 5(A). Потребовалось модифицировать понятие индекса конденсации так, чтобы с помощью новой характеристики можно было твердо гарантировать измеримость последовательности Л.
Итак, пусть Л — последовательность положительных чисел, подчиненная условиям (1.1), (1.2), и L(\) — каноническое произведение (1.4). Пусть ш(г) — положительная функция, определенная при г а с фиксированным а 0. Индексом и-конденсации (или весовым индексом конденсации) последовательности Л назовем значение 5(ш,А)= Шп" —— In (1.8) п- сю ш(Хп) \Ь (Хп)\ Похожие характеристики встречались и ранее. Так, А. Ф. Леонтьев использовал [76; гл. II, 6] величину п оо AralnAra \L (\п)\ Затем в работах А. М.Гайсина (см., например, [30], [31]), посвященных решению некоторых проблем Пойа, вводилось специальное понятие весовой конденсации, фактически эквивалентное определению (1.8). В нашей задаче применение весового индекса конденсации выглядит весьма естественным. Поясним на примере простого перехода от стандартного индекса (1.6) к чуть более общему индексу 5Р(А)= Urn" — In (1.9) га оо А„ \Ь {Лп)\ с фиксированным р 0. Индекс (1.9) есть частный случай основного определения (1.8) с весовой функцией ш(г) = гр. При р = 1, согласно утверждению А.В.Братищева [23], существуют неизмеримые последовательности А, у которых величина 5\(А) = 5(A) конечна и даже равна нулю. Нетрудно убедиться, что при р 1 индекс (1.9) равен нулю всякий раз, когда стандартный индекс конечен, и, в частности, конструкция А. В. Братищева снова дает неизмеримые последовательности Л с 5Р(А) = 0. Но, оказывается, при 0 р 1 картина принципиально меняется: любая последовательность Л с индексом #Р(Л) +оо уже будет измеримой. Этот результат есть проявление общего правила, действующего для индексов -конденсации с вогнутыми функциями ш(г).
Модифицированная весовая функция
Ясно также, что функцию с указанными в этом примере свойствами можно сделать дифференцируемой, подправляя ш{г) в окрестностях точек излома.
В связи с примером 7.1 упомянем работу [12], в которой для произвольной положительной возрастающей непрерывной функции конечного положительного порядка (по поводу шкалы роста см. [39; гл. II, 1]), принадлежащей классу сходимости (т.е. подчиненной требованию (1.10)), построена правильно меняющаяся мажоранта из класса сходимости. В частности, весовая функция из примера 7.1 имеет правильно меняющуюся мажоранту, подчиненную требованию (1.10).
Следующий более сложный пример связан с теоремой 1.2 и показывает, что и в случае нарушения требования (1.10) функция со свойствами (i)-(iii) может не иметь правильного изменения на бесконечности. Конкретнее, приведем пример функции ш{г) со свойствами (i)-(iii), подчиненной требованию (1.13), которая при любом t 1 удовлетворяет соотношению (1.17). Для этого зададим три вспомогательные числовые последовательности (an)neN , (bk)keN , (ck)keN по формулам:
Поэтому функция є (г) непрервівна при г а. Отсюда получаем свойство 1), по-сколвку положителвность и убывание є (г) вытекают прямо из определения є (г) и ее непрерывности. Свойство 2) еств очевидное следствие определения є (г). Проверим наличие свойства 3). Для этого достаточно установить расходимоств ряда
Итак, функция є (г) обладает свойствами 1)-3). Но тогда функция ш(г), заданная посредством (7.1), обладает свойствами (і)-(ііі) и подчинена требованию (1.13). Действителвно, посколвку є (г) непрервівна при г а и положителвна при г а, то ш(г) непрерывно дифференцируема, строго возрастает при г а и также положителвна при г а. Далее, Так как и/(г) = є (г) строго убвівает (к нулю) при г а, то ш{г) строго вогнута при г а. Проверим, наконец, что ш{г) подчинена требованию (1.13). Интегрируя по частям, при всех R а находим
В завершение 7 вычислим индикатор канонического произведения (1.4), построенного по последователвности Л из теоремы 1.2, а также проиллюстрируем теоремы 1.1 и 1.2 на «моделвном» примере (1.16).
Пуств Л — неизмеримая последователвноств положителвнвіх чисел, построенная в ходе доказателвства теоремві 1.2. Пуств п\{г) — считающая функция последователвности Л и ір(г) = ПА(Г)/Г. Тогда справедлива асимптотическая формула, которую мві запишем с огрублением в остаточном члене по сравнению с (6.4): if (г) = (р{г) + О ( —= 1 , г - +оо. Здесв функция р(г) удовлетворяет (6.6). Такое ослабление формулві (6.4) вполне достаточно для наших целей и несколвко упрощает далвнейшие ввікладки. Как известно (см., например, [94]), при всех г 0и0 # 7г/2 логарифм модуля канонического произведения (1.4) допускает интегралвное представление
Поскольку р(г) медленно меняется на бесконечности, то к интегралам, содержащим p(rt), применимы асимптотические формулы типа (6.8), (6.9). Воспользуемся простым вариантом такой асимптотики в форме соотношения из [105; 1.2], объединяющего утверждения теорем 2.6 и 2.7 [106; гл. 2]. Применительно к (7.9) получаем
Полученное равенство означает, что индикатор функции L(\) вычисляется по правилу hL(d) = тгf3\ sinв\ = a \sind\, 0 в 2тг, а индикаторная диаграмма является отрезком мнимой оси [—аг, а і]. Наконец, посмотрим, что дают теоремы 1.1 и 1.2 в случае весовых функций ш(г) = - , q 0. (7.10) Всякий вес вида (7.10) обладает свойствами (i)-(iii), если взять а eq+1. При этом сходимость несобственного интеграла Г ш(г) , [ dr dr — J г2 J r(lnr)q a a зависит от параметра q. Пусть сначала q 1. Тогда функция (7.10) подчинена требованию (1.10). Пусть последовательность Л вида (1.1) с конечной верхней плотностью (1.2) такова, что построенное по этой последовательности каноническое произведение (1.4) удовлетворяет оценке In. ,. = 0(Xn(lnXn) -q), q l, п оо. (7.11) Ь {лп)\ Тогда по теореме 1.1 последовательность Л измерима. Это означает, что величины (1.2), (1.3) совпадают, принимая общее значение А (Л), а каноническое произведение L(\) есть целая функция вполне регулярного роста с типом о = 7гА(Л) и индикатором їіь{0) = о sin 6 = 7гД(Л) sin#. sin2 ((InAn)1"9), 0 g 1, sin2 (lnln Ara), 9=1 Пусть теперь 0 q 1. Тогда весовая функция (7.10) правильно меняется на бесконечности и подчинена требованию (1.13). В данной ситуации применима теорема 1.2. Выберем произвольно числа а, /3, связав их соотношением 0 а /3. В ходе доказательства теоремы 1.2 (пропускаем этап I и далее до конца доказательства используем исходный вес ш{г) вместо модифицированного /і (г)) указан способ построения такой последовательности Л с нижней плотностью а и верхней плотностью /3, что порождаемая этой последовательностью целая функция (1.4) удовлетворяет асимптотической формуле вида (7.11) с заданным 0 q 1. Зависящая от а, /3, q последовательность Л может быть построена, например, следующим образом. Первый член Лі е выбираем произвольно. При а 0 остальные члены Хп, п = 2, 3,..., последовательно находим по правилу
Неизмеримая последовательность Л имеет наперед заданные плотности, причем ее индекс -конденсации конечен, а стандартный индекс конденсации равен нулю. Немного усложним задачу. Пусть для веса (7.12) требуется построить неизмеримую последовательность Л так, чтобы асимптотика (7.11) выполнялась в усиленном варианте — с символом о вместо символа О, т. е.
Существование такой последовательности гарантировано теоремой 1.2. Для конструктивного построения действуем по следующей инструкции. Сначала заменим функцию (7.12) на модифицированную функцию ц(г). Для этого, конечно, можно воспользоваться универсальным правилом, указанным в доказательстве леммы 5.1. Однако, в данной конкретной ситуации проще взять в качестве нового веса функцию In г In In г \(lnr)q J Затем выпишем искомую последовательность Л по схеме, изложенной в 6. Например, требуемую последовательность Л с нулевой нижней плотностью можно получить, выбрав достаточно большое значение Л1 и положив А„+1 = Ага + - + \/\п In In Хп sin 2 ( лф\п In In Хп ) , п є N. Как весовой (1.8), так и стандартный (1.6) индексы конденсации такой последовательности Л равны нулю. Соответствующее каноническое произведение L(X) имеет индикатор Нь{0) = vr/51 sin#, но не является функцией вполне регулярного роста. Более того, как будет показано в теореме 8.1 следующего параграфа, рассматриваемое произведение L(X) не имеет вполне регулярного роста ни на одном из лучей argA = в при в ф тгк, к Є Z, но имеет вполне регулярный рост на положительном и отрицательном лучах.
Оценки величины экстремального типа
Пусть G — ограниченная выпуклая область в С с опорной функцией h{—9) и A{G) — пространство всех аналитических в области G функций с топологией равномерной сходимости на компактах из G. Возьмем какую-либо последовательность Л = (Xn)neN попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности и составим систему экспонент {eA-}raeN, zeG. Следуя общему определению [57], называем Е& абсолютно представляющей системой (АПС) в A{G), если каждую функцию f(z) из A{G) можно представить (не обязательно единственным образом) в виде суммы ряда L-ra С П=1 f(z) = \ cnex-\ спеС, neN, (9.1) сходящегося абсолютно по топологии пространства A(G). Будем также говорить, как в [57], что Е\ — эффективно абсолютно представляющая система (ЭАПС) в A{G), если Ед является АПС в A(G), и для каждой функции f(z) Є A(G) существует способ нахождения коэффициентов хотя бы одного разложения в ряд (9.1). Первые результаты об АПС и ЭАПС экспонент принадлежат А. Ф. Леонтьеву [76]. Один из них мы сейчас сформулируем. Для этого возьмем какую-нибудь целую функцию экспоненциального типа L(X) с простыми нулями Хп, п Є N, индикатором їіь{0) = h(9), и образуем систему функций оо ДА) __„ фп{і) = 17Щ J х хпе neN} (9-2) где интегрирование происходит по лучу arg А = в. Как доказано в монографии [76; гл. IV, 1], функции ґфп(і) регулярны вне G, и (9.2) — биортогональная к система. Далее, каждой функции f(z) Є A(G), т.е. аналитической на компакте G, сопоставляется ряд оо „ f(z) Y, CneKZ Сп=— ї(і)фп(і)оІІ} neN, (9.3) П=1 р где Г — контур, охватывающий G, на котором и внутри которого f(z) — аналитическая функция. Символом [1, h{9)) будем обозначать множество всех целых функций экспоненциального типа, индикаторы которых меньше, чем h{9), а [1,0] есть класс целых функций экспоненциального типа нуль.
Для того чтобы ряд экспонент (9.3) сходился в области G к своей функции f(z), какова бы ни была f(z) Є A(G), необходимо и достаточно, чтобы любая функция Ф(А) из [1, h(9)) допускала представление
В [76] указан также целый ряд других равносильных (9.4) условий сходимости ряда (9.3) (абсолютно по топологии пространства A(G)) именно к f(z). Одно из них: L(X) является функцией вполне регулярного роста, и выполняется соотношение (8.3). В работе [60] такая функция L(X) названа (1, їі{в))-интерполирующей.
Теорема 9.1 доставляет примеры ЭАПС в пространстве A(G) с индуцированной из A{G) топологией. Из результатов [76], [57] следует, что система экспонент с показателями в нулях (1, Л,(6))-интерполирующей функции будет образовывать ЭАПС и в пространстве A(G). Мы покажем, что для сходимости ряда (9.3) в G к своей функции f(z) достаточно в условии (9.4) взять лишь одну функцию Ф(А) = 1. Тем самым выявляется важная роль, которую в теории АПС экспонент играют разложения порождающей функции на простые дроби. ТЕОРЕМА 9.2. Пусть G — ограниченная выпуклая область в С, 0 є G, и h(—9) — ее опорная функция. Пусть L(X) — целая функция экспоненциального типа с индикатором h(9) и множеством простых нулей Л = (Xn)neN. Следующие условия равносильны: 1) ряд (9.3), составленный по произвольной функции f(z) Є A(G), сходится абсолютно в A(G) к своей функции f(z); 2) справедливо разложение (8.31), коэффициенты которого удовлетворяют условию (8.3); 3) мероморфная функция с коэффициентами, подчиненными (8.3), не имеет нулей.
Итак, пусть при условии (8.3) справедливо представление (8.31). Тогда по теореме 8.5 функция L(X) имеет вполне регулярный рост. Таким образом, L(X) является (1, Л,(6,))-интерполирующей функцией. Отсюда, как отмечалось после формулировки теоремы 9.1, уже следует условие (9.4). Поэтому 2) = - 1).
Докажем, что 3) = 2). Из утверждения 3) легко выводится, что ад А)ад=щЬз АеС (9-5) есть целая функция экспоненциального типа с индикатором Ы0) ВД 0 # 2тг, не имеющая нулей. Следовательно, найдутся числа а Є С, ЛбС\ {0} , такие, что Ф(А) = АеаХ, А є С, (9.6) причем Ф(Ага) = 1 для всех п Є N, т.е. еаХп = А 1 для всех п. Отсюда Re(aAra) = -ln\A\, neN. (9.7) Допустим, что а ф 0. Тогда предыдущие равенства означают, что точки Хп лежат на одной прямой. Сделав линейную замену аргумента, перейдем от функции L(X) к новой функции с вещественными нулями. По лемме 8.1 новая функция имеет положительный индикатор и удовлетворяет условию (8.3). Поэтому будем сразу считать, что AcR. Применяя теорему Адамара, разложим L(X) в бесконечное произведение: L(A) = XsebX+d П f1 - A") e, л є n=i V xnJ где s Є {0, 1} , b, d Є С. Положим Li(A) = e-(tIm6)AL(A), Л є С. Используя вещественность Хп и положительность индикатора Нь{д), получим соотношения п=\ V п hL, (I) = hLl (-) 0. Учитывая эти соотношения и лемму 8.1, видим, что при подходящем выборе числа ceR функция L2(A) = ecALi(A), А є С, удовлетворяет всем предположениям предложения 8.1. Применяя последнее, убеждаемся в том, что L2(X) имеет вполне регулярный рост. Следовательно, L(X) также есть функция вполне регулярного роста. Поскольку к тому же все нули функции L(X) являются вещественными, то ее индикаторная диаграмма обязана быть отрезком (см. [72; гл. V, 4]). Получено противоречие с условием
Итак, в соотношении (9.7) а = 0, А = 1, и (9.6) дает Ф(А) = 1. Но тогда из (9.5) получаем (8.31). Условие 2) выполнено. Доказательство теоремы 9.2 завершено.
Для удобства формулировок последующих результатов введем в рассмотрение некоторые классы целых функций. Пусть по-прежнему зафиксированы последовательность Л = (\n)neN попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности и ограниченная выпуклая область G с опорной функцией h{-9). Обозначим через М(Л; К) класс всех целых функций экспоненциального типа L{X) таких, что hL{6) ВД, 0 в 2тг, и все точки \п являются простыми нулями L(X). Если L є М(Л; К), то у L{X) могут быть нули, отличные от Хп, причем произвольной кратности. Пусть еще М(Л; К) обозначает подкласс тех функций L є М(Л; К), для которых множество A(L) \ Л либо пусто, либо конечно, либо имеет нулевую плотность. Здесь A(L) есть множество всех нулей функции L(X).
Доказательство основной теоремы
В этом параграфе мы применим результаты предыдущих разделов второй главы к вопросам полноты систем экспонент с показателями, расположенными на нескольких лучах.
14.1. Переход к целым функциям экспоненциального типа. В теории полноты систем экспонент в различных функциональных пространствах важную роль играют целые функции экспоненциального типа (см., например, [72], [116]). Среди них, как показано в [76], [78], видное место занимают бесконечные произведения, нули которых расположены одинаково на нескольких лучах. Имеется очевидная связь между этими произведениями и целыми функциями (10.2) с положительными нулями. Для того чтобы ею воспользоваться, зафиксируем два числа /5 0, 0 а /3 и рассмотрим класс Р(а, /3), состоящий по определению из всевозможных последовательностей Л = (Хп)п&і вида (10.1), таких, что
Видим, что верхняя (1/т)-шготность Аі/т(Лт) последовательности Ат и верхняя плотность А(Л) последовательности Л совпадают: 77 А1/т(Лт) = lim /л Ч1/ = lim — = Д(Л). 1 У п оо (Л)1/ га со \п У Точно так же ДіЛга(Лт) = А(Л). По последовательности (14.1) построим каноническое произведение ад=п(і-!), Лє га=1 v п (14.3) 120 вида (10.2), представляющее собой целую функцию нормалвного типа при порядке р = 1/т Є (0, 1). Последователвности (14.2) отвечает каноническое произведение Ь{\т) = Щ1- — ), АєС, (14.4) определяющее целую функцию экспоненциалвного типа с нулями, расположеннві-ми одинаково на га 2 лучах 27Г7 argA = , J = 0,1, ... ,m- 1. т Пуств а(А(-т"1) обозначает экспоненциалвный тип канонического произведения (14.4), a ai/m(Am) — тип при порядке р = 1/т функции (14.3). Тогда справедлива цепочка равенств оо т а(Л(т)) = lim г Чп max ТТ \А=г л = lim г In І I ( 1 + ( — ] ]= lim г l In max Ь(А) r +oo V V Ara / / r +oo A=rm ra=l v \ / / = Em" r"1/m In maxL(A) = a1/m(Am). r-s-+oo A=r Таким образом, для экстремалвной величины (10.3) при р = 1/т имеем s(aJ3-l/m) = min{ jl/m(km): А С R+, А1/т(Ат) а, А1/т(Ат) = (3} = min {а(А ) : Л Є Р(а, /3)} . (14.5) Конкретизируем при р = 1/т величину о , о 1 , N } Pa-l/m-ar-l/m , s(o! ,p;p) = s{a,p; 1/т) = —-—-—г- + max / ат sm(7r/ra) « о J т + 1 а(а//3)т из формулы (10.2). Производя замену переменной г = t m, запишем а (/З/оОа"1/ dr = m / . (14.6) г + 1 J tm + 1 v 7 Первообразную функции , га Є N, га 2, tm + 1 можно представитв (см., например, [102; с. 28]) в виде Гт-21 1 \- . / 7Г(27 + 1) t — COS У га \ га sm у 121 7Г(27 + 1) п /, 7Г(27 + 1) \ \ 1 — ( — 1)" п , - cos - - In [t2 - 2tcos - - + 1 + — In \t + 1 . m \ m J J 2m Используя теперь представления (14.6) и (14.7), для величины (14.5) при тех же т получаем тга I /3 1 + а [ dt s (а , р ; 1/т) = ——-—г- + max —= In — т — am sm(n/m) » о J 1 + а (а//3)т J tm + 1 тта ґ /З п 1 + а l-f-l) «7« + /3 1 max —= in ;——— + in sin(7r/ra) « о [ /а 1 + а (а//3)т 2т a 4fa + а Гт-2 І 2 2 J . ir(2j + 1) (/3- sm ) / і 2 sin arctg — V т а о+(18/ о)-(а + 18) cos TT(2J + 1)1 a2-2a2 cos ± + (a ) хк + cos In 7 —т . (14.8) m 2 _2 ац cos 22±11 +(а Ч )\ ( Опираясь на теорему 10.1, с учетом соотношения (14.5) приходим к следующему утверждению.
Пусть дано натуральное число т 2, а также числа /3 0 и а Є [0,/5]. Тогда точная нижняя грань экспоненциальных типов и{К т" ) всевозможных бесконечных произведений (14.4), отвечающих положительным последовательностям Л с характеристиками А (Л) а и А (Л) = /3, вычисляется по формуле (14.8). Эта нижняя грань достигается на некоторой функции вида (14.4), или, что то же самое, на некоторой возрастающей поледовательно-сти положительных чисел, нижняя и верхняя плотности которой совпадают с а и /3 соответственно.
Оценки радиуса полноты. Чтобы раскрыть возможности для применения теоремы 14.1 к экспоненциальной аппроксимации в комплексной области, напомним некоторые определения. Пусть Л = (A.,) eN — последовательность точек из С и ЕА = {zn-leXz : ЛєЛ, п= 1,2,...,Л(Л)}, zeC, где Л (Л) обозначает число вхождений точки Л в последовательность Л. Говорят, что система (кратных) экспонент Е\ полна в круге KR = {zeC:\z\ R}, R 0, если она полна в пространстве A(KR) функций, аналитических в этом круге, наделенном топологией равномерной сходимости на компактах из KR. Символ Д(Л) обозначает радиус круга полноты последовательности Л, т. е. точную верхнюю грань радиусов кругов KR, В которых полна система ЕА. Обозначим через 7jra/(A) точную нижнюю грань значений а 0, для которых найдется целая функция / ф 0 экспоненциального типа о такая, что /(Л) = 0, т. е. / обращается в нуль на Л с учетом кратностей. (Разумеется, / может иметь нули, отличные от точек из Л.) Согласно известному критерию полноты системы Ед В пространстве A(KR) (см., например, [116; 3.3.1]) справедливо равенство ат/(Л) = Д(Л). При фиксированных /3 0, 0 а /3 рассмотрим введенный выше класс последовательностей Р(а, (3). Для заданных га 2 и Л є Р(а, (3) определим последовательность Л(т) по формуле (14.2). Положим R(a,/3;m) = inf R(A{m)). АЄР(а,/3) Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы как можно точнее оценить характеристику R(a, /3; га). Попросту говоря, требуется с хорошей точностью найти радиус наибольшего из кругов, в которых заведомо полна любая система экспонент, множество показателей которой порождено какой-либо последовательностью Л из класса Р(а, (3) посредством поворотов на углы , і = 0,1,..., га - 1, относи га тельно точки нуль. Наилучшие из известных к настоящему моменту оценок для R(a, /3 ; га) удается получить, сочетая точный результат этого параграфа (теорема 14.1) с классической оценкой (12.6) и недавними результатами глубоких исследований Б. Н. Хабибулли на [117].