Асимптотическая теория унитарных представлений симметрических групп и ее приложения Цилевич Наталия Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

1 Анализ некоторых классов представлений бесконечной симметрической группы 38

1.1 Представления Шура-Вейля 39

1.1.1 Бесконечномерная двойственность Шура-Вейля 39

1.1.2 Спектральный анализ представлений Шура-Вейля 45

1.2 Серпантинное представление 50

1.2.1 Серпантинное представление бесконечной симметрической группы и его связь с базисным представлением алгебры 5І2 50

1.2.2 Доказательство основной теоремы 52

1.2.3 Свойства изоморфизма между серпантинным представлением группы N и базисным представлением алгебры

s5 57

1.3 Марковские представления 67

1.4 Представления, индуцированные с подгрупп Юнга

1.4.1 Представления типа I 73

1.4.2 Представления типа II 79

1.5 Двустрочечные представления

1.5.1 Базис Гельфанда-Цетлина в пространстве бесквадрат ных форм 83

1.5.2 Спектральный анализ 87

1.6 Изоморфизм табличной и динамической модели фактор-представлений 93

2 Процессы Леви и фоковские факторизации 99

2.1 Гамма-процесс и бесконечномерная мера Лебега 99

2.1.1 Обобщенные субординаторы. Гамма-процесс 99

2.1.2 Квазиинвариантность гамма-процесса 103

2.1.3 Мультипликативные меры и бесконечномерная мера Лебега 106

2.1.4 Коническое и симплициальное разложение. Гаспределе ния Пуассона-Дирихле 110

2.1.5 Тождество Маркова-Крейна для средних от процессов Дирихле 116

2.1.6 Лебеговская модель канонического представления группы токов SL(2,M)X 119

2.2 Факторизации, порожденные общими процессами Леви 122

2.2.1 Гильбертовы и метрические факторизации 122

2.2.2 Гауссовские, пуассоновские и леви-факторизации. Ортогональные разложения 130

2.2.3 Канонический изоморфизм между гауссовской и пуассо-новской факторизацией 134

2.2.4 Фоковская структура факторизации, порожденных общими процессами Леви 150

2.2.5 Изоморфизм моделей канонического представления груп пы токов SL(2,M)X 154

3 Приложения к физическим моделям 158

3.1 Фазовая и g-бозонная модель 158

3.1.1 Фазовая модель и функции Шура 158

3.1.2 g-Бозонная модель и функции Холла-Литлвуда 170

3.2 Изотропная цепочка Гейзенберга и оператор Кокстера-Лапласа 177

3.2.1 Ферромагнитный асимптотический режим 180

3.2.2 Антиферромагнитный асимптотический режим 185

Заключение 194

Литература

• Спектральный анализ представлений Шура-Вейля
• Представления, индуцированные с подгрупп Юнга
• Коническое и симплициальное разложение. Гаспределе ния Пуассона-Дирихле
• Изотропная цепочка Гейзенберга и оператор Кокстера-Лапласа

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена задачам асимптотической теории представлений, связанным, с одной стороны, с бесконечной симметрической группой n, а с другой, с различными моделями и структурами фоковского пространства. Оба этих объекта играют ключевую роль как в самой теории представлений, так и в ее приложениях к математической физике. Группа n является простейшим примером «дикой» группы, и ее теория представлений во многом служит моделью для построения теорий представлений других таких групп. Классическая теория представлений конечных симметрических групп была инициирована работами Г. Фробениуса, И. Шура и А. Юнга и с самого начала играла важную роль для физики. Начало теории представлений бесконечной симметрической группы n положила работа Э. Тома, в которой найдены ее характеры. Идею систематического изучения представлений группы ^ на основе индуктивного подхода выдвинул А. М. Вершик в рамках его общей программы асимптотической теории представлений; реализация этой идеи была начата в работах А. М. Вершика и С. В. Керова начала 1980-х гг.; в ее дальнейшем развитии активное участие принимали также Г. И. Ольшанский, А. Ю. Окуньков, А. М. Бородин, Ф. Биан и др.

Понятие фоковского пространства, введенное В. А. Фоком в контексте т. н. вторичного квантования еще в 1930-е гг. и играющее фундаментальную роль в физике, исходно было математически разработано в трудах Дж. фон Неймана, К. Фридрихса, Ф. А. Березина, И. Сигала, И. М. Гельфанда, В. Баргмана и др.; оно служит незаменимой основой для конструкций квантовой теории поля и теории представлений групп и алгебр (в частности, групп токов и алгебр Каца-Муди). Пространство Фока имеет много различных моделей и обладает богатством разнообразных структур, что превращает его в универ-

сальный инструмент и позволяет применять для решения рассматриваемых задач широкое разнообразие методов, от чисто алгебраических до теоретико-вероятностных и квантовофизических.

Исследование связей между теорией представлений симметрических групп и теорией представлений групп и алгебр, играющих важную роль в физике, восходит к классическим работам, например, Г. Вейля. Одним из первых результатов в этом направлении является двойственность Шура-Вейля — фундаментальная теорема, связывающая неприводимые представления общей линейной группы GL(l,C) и симметрической группы бдг в тензорной степени (С^)*⁸^, где бдг действует перестановками сомножителей, и играющая важную роль, например, в квантовой механике. В классическом варианте рассматривается только «статическая» двойственность Шура-Вейля, когда параметр N фиксирован. Однако в последнее время возник интерес к бесконечномерным версиям этой двойственности. Одна из таких версий рассмотрена в работе И. Пенкова и К. Стыркаса, где параметр N фиксируется, а п устремляется к бесконечности, что дает двойственность между представлениями алгебры qIqq и группы бдг. С точки зрения асимптотической теории представлений бесконечной симметрической группы естественно, наоборот, фиксировать п и устремить N к бесконечности, получая двойственность между представлениями групп SL(n_} С) и @^.

Что касается взаимосвязей теории представлений группы ^ с представлениями таких бесконечномерных алгебр, как алгебра Гейзенберга, алгебра Вирасоро, аффинные алгебры Ли, то ключевым фактом здесь является реализация фоковского пространства (в котором действуют канонические представления этих алгебр) в алгебре симметрических функций, впервые возникшая в работах киотской школы (М. Сато, М. Джимбо, Т. Мива и др.) по солитонным уравнениям. Различные аспекты таких взаимосвязей изуча-

лись, например, С. В. Керовым, А. Н. Кирилловым, Н. Ю. Решетихиным, И. Б. Френкелем, В. Вангом, А. Ласку, Б. Леклерком, Ж.-И. Тибоном; можно упомянуть также серию недавних работ Ю. Салёра, А. Гайнутдинова и др., содержащих гипотезы и результаты о связи представлений алгебры Вирасо-ро с представлениями алгебры Темперли-Либа (которые в рассматриваемых случаях по существу совпадают с представлениями симметрической группы).

Важным элементом асимптотической теории представлений является использование теории аппроксимативно-конечномерных алгебр, графов ветвления и канонической реализации групповой алгебры как скрещенного произведения. Графом ветвления неприводимых представлений симметрических групп является граф Юнга, а групповая алгебра бесконечной симметрической группы обладает естественной структурой скрещенного произведения, в которой роль коммутативной подалгебры играет алгебра Гельфанда-Цетлина — алгебра функций на пространстве Т бесконечных таблиц Юнга. Таким образом, каждое неприводимое представление группы ^ с простым спектром задается эргодической квазиинвариантной мерой на Т (которая называется спектральной мерой представления) и 1-коциклом на хвостовом отношении эквивалентности в этом пространстве со значениями в группе {а Є С : \\а\\ = 1}. В исходных статьях А. М. Вершика и С. В. Керова и последующих работах относительно подробно были изучены лишь т. н. центральные меры, т. е. спектральные меры представлений с характерами, например мера Планшереля. Актуальной задачей является исследование спектральных мер других естественных классов представлений.

Еще одна важная структура фоковского пространства определяется его связью со случайными процессами Леви (процессами с независимыми значениями). Теория процессов Леви, беря начало в работах Б. де Финетти, А. Н. Колмогорова, П. Леви и А. Я. Хинчина по теории безгранично де-

лимых распределений на прямой, оформилась в трудах И. М. Гельфанда и К. Ито, разработавших понятие обобщенного случайного процесса. Центральным примером процесса с независимыми значениями является винеровский процесс (гауссовский белый шум) а. Мера в пространстве реализаций этого процесса была описана Н. Винером в начале 1920-х гг. и в дальнейшем оставалась в центре внимания стохастического анализа и теории стохастических дифференциальных уравнений. В 1950-х годах стало ясно, что построение т. н. ортогональных разложений Винера-Ито-Камерона-Мартина в пространстве L²(a) над белым шумом воспроизводит схему вторичного квантования и само пространство L²(a) представляет собой реализацию пространства Фока. Более внимательный анализ показывает, что оба этих гильбертовых пространства имеют структуру т. н. факторизации, или непрерывного тензорного произведения, которая играет важную роль как в теории вероятностей, так и в теории представлений групп токов, моделях теории поля, алгебре и др. Понятие факторизации восходит к работам Дж. фон Неймана по тензорным произведениям и более подробно исследована в работе X. Араки и Э. Дж. Вудса. Современный взгляд на теорию факторизации развивается в работах А. М. Вершика и Б. С. Цирельсона. Простейший пример изоморфизма факторизации, задаваемых процессами Леви, есть изометрия между пространствами L² над пуассоновским и гауссовским процессами. Аналогия между ортогональными структурами в этих пространствах отмечалась во многих работах, однако существование изометрии впервые было установлено А. М. Вершиком, И. М. Гельфандом и М. И. Граевым исходя из эквивалентности двух реализаций канонического представления групп токов; позже эта изометрия изучалась Ю. А. Неретиным в терминах голоморфной модели пространства Фока. Построению стохастических интегралов и аналогов разложения Винера-Ито для процессов Леви посвящено огромное множество работ

начиная со статей X. Огуры, А. Сегалла, Т. Кайлата, Д. Энгеля 1970-х гг. Комбинаторная сторона построения стохастических интегралов для широкого класса процессов рассмотрена в работе Дж. Роты и Т. Уоллстрома.

Одним из ключевых примеров процессов Леви является гамма-процесс. Он структурно связан с множеством других вероятностных объектов, таких как меры Пуассона-Дирихле, введенные Дж. Кингманом, возникающие в самых разнообразных задачах и изучавшиеся во многих десятках работ, и процессы Дирихле, введенные Т. Фергюсоном и играющие важную роль в непараметрической байесовской статистике. Ключевой факт квазиинвариантности гамма-процесса относительно бесконечномерной группы мультипликаторов был неявным образом установлен в той же серии статей А. М. Вершика, И. М. Гельфанда и М. И. Граева по представлениям групп токов и впоследствии получил развитие во множестве работ.

Третья глава диссертации посвящена применению теории представлений симметрических групп и тесно связанной с ней теории симметрических функций к исследованию некоторых физических моделей. Ключевую роль в наших рассмотрениях играет квантовый метод обратной задачи (КМОЗ), разработанный Л. Д. Фаддеевым и его школой (Л. А. Тахтаджян, П. П. Кулиш, Е. К. Склянин, Н. Ю. Решетихин и др.), который представляет собой мощное средство исследования интегрируемых моделей. Рассматриваемые модели включают g-бозонную модель, введенную и решенную в работах Н. М. Боголюбова, Р. Буллоу и др., которая описывает систему сильно коррелированных бозонов на конечной одномерной решетке и играет важную роль в таких областях современной физики, как физика твердого тела и квантовая нелинейная оптика. Соответствующая g-бозонная (или g-осцилляторная) алгебра тесно связана с квантовой алгеброй sl_q(2) и изучалась, например, П. П. Кулишом и Е. В. Дамаскинским. Лучше всего исследован частный случай q = 0 этой мо-

дели, который называется фазовой моделью и рассматривался, в частности, в работах Н. М. Боголюбова, А. Г. Изергина и Н. А. Китанина. Операторы, возникающих в КМОЗ для фазовой модели, связаны с формализмом вер-тексных операторов, применявшимся А. Окуньковым и Н. Решетихиным для вычисления корреляционных функций трехмерных диаграмм Юнга.

Изотропная цепочка (ХХХ-модель) Гейзенберга — одна из фундаментальных точно решаемых моделей квантовой механики, история которой насчитывает уже более 80 лет. С физической точки зрения интерес представляют собственные числа и собственные векторы ее гамильтониана в пределе при N —> оо. Для ферромагнитной цепочки решение задачи дал Г. Бете. Для антиферромагнитной цепочки асимптотика -^ —> с_тах = 2 In 2 при N —> оо для энергии Адг основного состояния цепочки с N узлами была впервые вычислена Л. Хюльтеном на основе эвристических соображений; строгое доказательство было получено Янгом и Янгом. Исследование этой модели с помощью КМОЗ (в более общем случае анизотропной цепочки) было осуществлено Л. Д. Фаддеевым и Л. А. Тахтаджяном. Подход к изучению гамильтониана изотропной цепочки Гейзенберга с использованием двойственности Шура-Вейля был одновременно с нами недавно применён Е. Мухиным, В. Тарасовым и А. Варченко.

Цель работы. Целью диссертации является решение на основе индуктивного подхода ряда задач теории представлений бесконечной симметрической группы и рассмотрение их приложений. Основными направлениями работы являются анализ некоторых классов представлений бесконечной симметрической группы и установление их связи с представлениями групп и алгебр, играющих важную роль в физике, таких как алгебра Вирасоро и аффинные алгебры Ли; применение теории представлений симметрических групп и тесно связанной с ней теории симметрических функций к изучению неко-

торых физических моделей; исследование фоковской структуры в пространствах квадратично интегрируемых функционалов от процессов с независимыми значениями и ее применение к теории представлений.

Основные результаты работы, выносимые на защиту, и научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Введен и изучен класс представлений Шура-Вейля бесконечной симметрической группы. Описана структура таких представлений, их спектральные меры относительно алгебры Гельфанда-Цетлина.

2. Доказано, что существует сохраняющий градуировку унитарный изоморфизм s^-модулей между т.н. серпантинным представлением бесконечной симметрической группы и базисным представлением аффинной алгебры Ли 5І2- Изучены свойства этого изоморфизма.

3. Введен класс марковских представлений бесконечной симметрической группы и доказано, что он совпадает с классом простых представлений (индуктивных пределов представлений конечных симметрических групп с простым спектром). Получена классификация и структурное описание представлений бесконечной симметрической группы, индуцированных с единичных представлений подгрупп Юнга. Изучены наиболее важные классы таких представлений, найдены их спектральные меры.

4. Доказано свойство квазиинвариантности гамма-процесса относительно большой группы мультипликаторов. Получены следствия этого результата для многочисленных объектов, структурно связанных с гамма-процессом (процессы Дирихле, меры Пуассона-Дирихле, бесконечномерная мера Лебега). Рассмотрены приложения к теории представлений групп токов.

5. Получены явные формулы (на уровне мультипликативных функционалов, ортогональных разложений, ядра) для изоморфизма гильбертовых фак-

торизаций, порождаемых гауссовским белым шумом и пуассоновским процессом на одном и том же базовом пространстве. Доказано, что гильбертова факторизация, порожденная произвольным процессом Леви, является фоков-ской. Получены явные формулы для соответствующих изометрий. Рассмотрены приложения к теории представлений групп токов.

6. Дана интерпретация квантового метода обратной задачи для д-бозонной модели в терминах алгебры симметрических функций. Доказано, что в случае фазовой модели (q = 0) оператор рождения совпадает (с точностью до скалярного множителя) с оператором умножения на производящую функцию полных симметрических функций, а волновые функции выражаются через функции Шура. В общем случае g-бозонной модели тот же результат имеет место с заменой функций Шура на симметрические функции Холла-Литтлвуда.

7. Исследованы асимптотические спектральные свойства оператора Кокс-тера-Лапласа — элемента групповой алгебры симметрической группы, тесно связанного с гамильтонианом изотропной цепочки Гейзенберга, — в естественных представлениях, в ферромагнитном и антиферромагнитном асимптотическом режиме.

Методы исследования. В работе применяются методы асимптотической теории представлений, основанные на систематическом использовании индуктивной структуры групп и алгебр. Важную роль играют связи теории представлений с математической физикой и теорией вероятностей, в том числе осуществляемые с помощью многочисленных структур в различных реализациях пространства Фока.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории представлений бесконечной симметрической группы; для дальнейшего иссле-

дования ее связей с теорией представлений аффинных алгебр Ли и алгебры Вирасоро, а также ее приложений к физическим моделям; для дальнейшего исследования свойств факторизации, порожденных случайными процессами, и их приложений к теории представлений и теории вероятностей.

Степень достоверности и апробация результатов. Все результаты, представленные в диссертации, являются достоверными, математически строго доказанными фактами. Они докладывались и обсуждались, в частности, на следующих конференциях и семинарах: семинар исследовательской группы «Diskrete Strukturen in der Mathematik» (Билефельд, Германия, декабрь 2000 г.), семестр «Interaction and Growth in Complex Stochastic Systems» (Кембридж, Великобритания, октябрь 2003 г.), международная конференция «Geometry and Analysis on Random Structures» (Лилль, Франция, 25-28 мая 2004 г.), международная конференция «Analytical Methods in Number Theory, Probability Theory and Mathematical Statistics» (С.-Петербург, 25-29 апреля 2005 г.), семинар «Geometry, Algebra, Singularities, Combinatorics» (Бостон, США, 26 марта 2010 г.), международная конференция «Dynamics, Combinatorics, Representations» (С.-Петербург, 31 августа-4 сентября 2015 г.), С.-Петербургский семинар по теории представлений и динамическим системам.

Публикации. Результаты исследований отражены в 14 работах [1]—[14], опубликованных в ведущих рецензируемых российских и международных изданиях и проиндексированных в международной реферативной базе данных MathSciNet.

Личный вклад автора. Все основные результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь материал, полученный автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 217 страниц, список литературы включает 185 наименований.

Спектральный анализ представлений Шура-Вейля

В 1.3 вводятся и рассматриваются т.н. марковские представления бесконечной симметрической группы, для которых спектральная мера является марковской. Иначе говоря, для любой фиксированной диаграммы \п Є Yn условная мера на множестве путей в графе Юнга, проходящих на n-м шаге через эту диаграмму, есть прямое произведение условных мер на «прошлом» (до момента п) и «будущем» (после момента п), т.е. прошлое и будущее пути при фиксированной «настоящей» диаграмме независимы. Тем самым, чтобы задать марковское представление, достаточно задать переходные вероятности добавления новой клетки к диаграмме Юнга (или копереход-ные вероятности удаления клетки). Простым представлением группы &щ назовем индуктивный предел последовательности представлений конечных симметрических групп (5П, для каждого из которых разложение на неприводимые не имеет кратностей. Простые представления имеют простой спектр, но не исчерпывают всех представлений с простым спектром. Определение класса простых представлений, вообще говоря, зависит от аппроксимации группы N конечными группами, но, поскольку в данной работе рассматривается только фиксированная стандартная аппроксимация, термин «простое представление» используется именно в этом смысле. Оказывается, что класс простых представлений совпадает с классом марковских представлений (теорема 1.5). Этот результат связывает совершенно различные на первый взгляд понятия, одно из которых определяется в чисто вероятностных терминах, а другое — в чисто алгебраических.

Едва ли не основную роль в классической теории представлений конечных симметрических групп (см., напр., [120]) играют представления, индуцированные с подгрупп Юнга. В их разложениях на неприводимые компоненты каноническим образом содержатся все неприводимые представления группы (5П, и в традиционном подходе именно с их помощью устанавливается связь между диаграммами Юнга и неприводимыми представлениями. Индуцированным представлениям бесконечной симметрической группы уделялось мало внимания; они изучались, например, в работах М. Биндера [75, 77, 76], Н. Обаты [146, 147] и Т. Хираи [113, 114]. В 1.4 систематически рассматриваются представления бесконечной симметрической группы, индуцированные с единичных представлений подгрупп Юнга. Как нередко происходит, по сравнению с конечным случаем, с одной стороны, некоторые свойства становятся проще и естественней, а с другой, появляются совершенно новые эффекты.

Разбиения натурального ряда и соответствующие подгруппы Юнга можно разбить на два класса: большие разбиения, имеющие конечное число конечных блоков и произвольное число бесконечных блоков, и малые разбиения, имеющие бесконечно много конечных блоков. В отличие от случая конечных симметрических групп, результат индуцирования с единичного представления подгруппы Юнга на всю группу часто является неприводимым представлением — так происходит для больших подгрупп Юнга, соответствующих разбиениям с не более чем одним конечным блоком. Индукция с произвольной большой подгруппы дает представление типа I (относительно классификации представлений см., напр., [37]), и можно явным образом описать его разложение на неприводимые. Эти результаты собраны в теореме 1.6.

Напротив, индукция с малых подгрупп Юнга дает представления типа II (теорема 1.7). Стоит отметить, что существует хорошо разработанная теория представлений группы типа II с конечным следом, однако здесь ситуация иная. А именно, фактор, порожденный операторами представления, имеет тип Поо, т.е. не обладает конечным следом, однако его коммутант имеет тип Пі. Важную роль для приложений играют представления конечных симметрических групп, соответствующие двустрочечным диаграммам Юнга (в частности, двойственность Шура-Вейля связывает их с теорией представлений группы s 2, и именно эти представления используются в 1.1, 1.2). Удобная их реализация в пространстве бесквадратных симметрических форм была предложена А. М. Вершиком и изучалась, например, П. П. Никитиным [47]. Исследованию этих и родственных им представлений посвящен 1.5. В теореме 1.8 описан базис Гелъфанда-Цетлина в упомянутой реализации, а в теореме 1.9 показано, что представления бесконечной симметрической группы, индуцированные с двублочных подгрупп Юнга, являются простыми (а значит, как следует из 1.3, марковскими), и найдены их спектральные меры, которые представляют собой распределения естественных случайных блужданий на полурешетке.

Поскольку бесконечная симметрическая группа является дикой, центральную роль в её теории представлений играют не неприводимые, а фактор-представления. Общая конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала в применении к групповой алгебре С[(Е%], реализованной как скрещенное произведение, дает т. н. «табличную» модель фактор-представлений. Однако для групп преобразований G наибольший интерес представляют подстановочные модели представлений, реализующиеся в пространстве функций на некотором G-пространстве. Для фактор-представлений группы такая модель была найдена А. М. Вершиком и С. В. Керовым в [19] (см. также [176] и [50]); в работе она названа «динамической». Конструкция этой модели основана на т. н. траекторной (или группоидной) реализации динамических систем. Стоит отметить, что динамическая модель фактор-представлений по существу является фоковской (если рассматривать реализацию фоковского пространства в пространстве функций на конфигурациях). В 1.6 дается явное описание изоморфизма между табличной и динамической моделью (теорема 1.10), использующее версию теории Фурье для бесконечной симметрической группы, намеченную А. М. Вершиком и Н. В. Цилевич в [26].

Представления, индуцированные с подгрупп Юнга

Рассмотрим аффинную алгебру Ли s , ее базисный модуль Lo;i с однородной градуировкой deg# и естественное вложение s С s , задаваемое формулой $І2 Z) х х %) 1 Є 5І2- Следующая теорема есть основной результат данного параграфа.

Теорема 1.3. Существует сохраняющий градуировку унитарный изоморфизм -модулей между (L bdeg -) и (Hn,degr). Серпантинное представление есть единственное представление Шура-Вейля, удовлетворяющее этому условию.

Замечания. 1. Как отмечено ранее, для простоты обозначений в работе подробно рассматривается только четный случай. Рассматривая цепочку вложений (1.5) вместо (1.4), при помощи полностью аналогичных рассуждений можно получить сохраняющий градуировку изоморфизм соответствующего модуля Шура-Вейля с модулем L\ алгебры s 2. Условия из формулировки теоремы 1.3 не определяют изоморфизм однозначно, поскольку в пространстве НЦ существует нетривиальная группа преобразований, коммутирующих с s и сохраняющих градуировку. См. замечание после следствия 1.2 в п. 1.2.3.

Градуированное тензорное произведение. Доказательство теоремы опирается на результат Б. Фейгина и Е. Фейгина [94] о конечномерной аппроксимации базисного представления алгебры s , которое, в свою очередь, использует понятие градуированного тензорного произведения, введенное Б. Фейгиным и С. Локтевым в [96]. Кратко опишем эту конструкцию.

Если р — представление алгебры Ли s и z Є С, обозначим через p{z) соответствующее элементарное представление алгебры полиномиальных токов 5І2 (g) С[], задаваемое формулой (х (g) tl)v = z% xv. Для данного набора рі,...,рлг неприводимых представлений алгебры s с векторами младшего веса г і,..., г лг и набора z\,..., ZN попарно различных комплексных чисел рассмотрим тензорное произведение соответствующих элементарных представлений: pi(zi) S S PN(ZN)- В пространстве Удг этого произведения введем специальную градуировку. Положим Vjy = U m\e S C[t])(vi g .. . S VN) С V/\r, где є — повышающий оператор в s и Лт) натянуто на однородные элементы степени т по t, т. е. на мономы вида е .. . с г і +... + = т, где 6j = e g P. Рассмотрим соответствующую фильтрацию Vjf = X m V - на Удг. Градуированным тензорным произведением представлений рі,...,рдг называется градуированное представление относительно введенной фильтрации, которое реализуется в пространстве

Применим эту конструкцию в случае, когда р\ = ... = ры двумерное неприводимое представление алгебры s с вектором младшего веса VQ. В этом случае Vjy (С2) 8)ДГ как s -модуль. Снабдим V скалярным произведением, относительно которого соответствующее представление алгебры s унитарно. В работе [94] доказано, что некоторый индуктивный предел пространств Vjy изоморфен базисному представлению Lo;i аффинной алгебры s , поэтому сначала мы устанавливаем сохраняющий градуировку изоморфизм конечномерных s -модулей Vjy и Хд!=о 2Ач-і 8 -, а затем показываем, что его можно продолжить на индуктивные пределы соответствующих пространств.

Конечномерный результат. Рассмотрим разложение пространства V на неприводимые s -модули:

Согласно классической двойственности Шура-Вейля, пространство кратностей ЛЛк совпадает с пространством Н7Гк неприводимого представления симметрической группы @дг с диаграммой Юнга (п + к}п — к). С другой стороны, оно наследует градуировку из Vjy-: где с(т) — заряд таблицы г Є Тдг, определяемый как сумма таких элементов і N — 1, что в г элемент і + 1 расположен правее і (см. [138]). Очевидно, при г Є Тдг мы имеем maj(r) = 2 — с(т). Тогда из (1.13) и (1.14) следует, что dimMk[i] = #{т Є [(n + k,n — k)} : maj(r) = і}. 0-Щ Главный индекс задает градуировку в пространстве Н7Гк (натянутом на стандартные таблицы Юнга формы (п + к,п — к)), а значит, и во всем пространстве Адг = Х =о 2к+іН-Кк которое мы снабдим стандартным скалярным произведением. Это дает следующий конечномерный аналог теоремы 1.3.

Предложение 1.4. Существует сохраняющий градуировку унитарный изоморфизм -модулей между (V ,deg) и (Af/v,maj); такой, что пространство кратностей Aik натянуто на стандартные таблицы Юнга т формы (п + к,п — к) (и, следовательно, Л4кЩ натянуто на т с maj(r) = і).

Доказательство. Следует из того, что градуированное тензорное произведе ние Vjy изоморфно (C2)N как s -модуль, и формулы (1.15).

Вложения и предел. В [94] доказано, что существует вложение JN V — V)y-+2, эквивариантное относительно действия алгебры [2(С[_1]/_П), и соответствующий индуктивный предел V = lim(Vjy-, J AT) изоморфен базисному представлению Lo;i аффинной алгебры Ли s - Это вложение удовлетворяет условию deg(JNx) = deg(:r) - (N + 1). (1.16) Поскольку вместо 5І2 C[t] теперь рассматривается s С[-1], следует несколько модифицировать описанные выше конструкции. А именно, вместо (1.12) теперь получаем М.к = (Ві оЛ4к[—ї\, и изоморфизм из предложения 1.4 отождествляет Л4к[ і] с пространством, натянутым на таблицы г формы (п + к,п — к), такие, что maj(r) = і. Обозначим этот изоморфизм между Vjy и Адг через PN. Заметим, что единственные условия, которые накладываются на рм, таковы: (а) рм есть унитарный изоморфизм s -модулей, и (б) PN deg = — maj.

Поскольку Lo;i — lim(V)y-, J AT), - = Нт(Адг, ідг) и в силу предложения 1.4 для доказательства теоремы 1.3 достаточно показать, что можно выбрать такую последовательность изоморфизмов рдг, что диаграмма

Коническое и симплициальное разложение. Гаспределе ния Пуассона-Дирихле

Для краткости положим Н = @п- По определению индуцированное представление 1ц действует в пространстве 12(Х), где X = &щ/Н. Обозначим через R(Iu) пространство сплетающих операторов для /п, и пусть А Є R(In). Базис пространства 12{Х) состоит из ( -функций на левых классах смежности sH Є X подгруппы Н в (5 ; будем обозначать элемент базиса тем же символом, что и соответствующий класс смежности. Тогда оператор А задается матрицей (а8н,ш)зн,шех в этом базисе. Пусть F С H\G/Н — множество тех двойных классов HgH, которые являются объединениями конечного числа левых классов смежности по Н; и пусть Comm@N(i7) — группа, называемая соизмерителем подгруппы Н в (Е%, состоящая из таких элементов д Є (5 , что НдН Є F. Обозначим через 1Х характеристическую функцию двойного класса смежности х Є F. Используя стандартные рассуждения, восходящие к Дж. Макки, можно показать, что множество сплетающих операторов R(Iu) порождается операторами АХ: х Є F, с матричными элементами а8н,ш = -x(s ltH). В рассматриваемом случае легко видеть, что д Є Comm@N(i7) тогда и только тогда, когда д оставляет инвариантными все бесконечные блоки разбиения П, т.е.д Є @fin. Отсюда следует, что R(Iu) изоморфно пространству R(/fin) сплетающих операторов для представления /пп. Обозначим через РІ Є R(Ifin) проекции на его неприводимые компоненты. Тогда их образы Pi в R(Iu) задают конечное разложение представления 1ц на неприводимые, и п. (а) доказан.

Представление 7Г можно описать явно следующим образом. Пусть mi = \АІ\. Нетрудно видеть, что однородное пространство ХЦ = @ /@п можно реализовать как пространство упорядоченных разбиений множества N на дизъюнктные множества заданных мощностей (і?і,: эквивалент ных исходному разбиению П в смысле хвостового отношения эквивалентности, с естественным действием группы перестановками. Более того, подмножество таких разбиений с фиксированными бесконечными блоками а соответствующее множество функций — с пространством представления /fin = Indg 1. Пусть Ри — проекция на неприводимую компоненту 7ГМ представления /пп. Тогда представление 7Г действует в подпространстве, полученном применением проекции Рм к первым «координатам» (i?i,..., Rn):

Пример 1. Индуцированные представления типа k = (00, к). Заметим, что все подгруппы Юнга типа k = (оо, к) сопряжены, так что все такие представления изоморфны. Поэтому можно зафиксировать произвольное разбиение П типа (оо, к), например П = ({1,..., к}, {к + 1, к + 2,...}), и говорить о представлении 1 ) = п- По теореме 1.6(6) оно неприводимо.

Заметим, что двустрочечная диаграмма Л = (п — к, к) мажорируется в точности всеми диаграммами (п — т,т) с т к: а все соответствующие ЧИСЛа КОСТКИ раВНЫ 1. В СИЛУ (1.33) ИМееМ In = 2m k7T(n-m,m) Рассмотрим проекцию Р\ы) выделенного циклического вектора на компоненту тгА(п) = 7г(п_м). Имеем dim 4 = щ щ, dim ДМ = щ щу, и, очевидно, КХ(п) Л(п) = 1. Таким образом, по лемме 1.4

Отсюда следует, что векторы Р\(п) сходятся к , так что индуктивный предел неприводимых представлений 7гЛ(п) совпадает с 1ц- О

Пример 2. Индуцированные представления типа к = (оо,Л). Пусть П — разбиение типа к, где ftoo = 1 и N = к\ + / + ... = к оо. Заметим, что все представления такого типа изоморфны. Обозначим Л = ЛЙП(П).

Заметим, что сумма правых частей по всем /І А равна 1. Отсюда следует, что спектральная мера вектора дискретна и сосредоточена на конечном множестве классов эквивалентных таблиц, индексированных диаграммами /І А. В частности, 1ц есть конечная сумма элементарных представлений. Замечание 1. Таким образом, все элементарные представления группы (Е%, соответствующие индуктивным пределам последовательностей неприводимых представлений, связанных с диаграммами Юнга с растущей первой строкой, могут быть получены индуцированием с подгрупп Юнга. Замечание 2. При к 2 неприводимое представление 7Г группы &щ уже не является элементарным.

Пример 3. Индуцированные представления типа к = (оо, 1п), п оо. В этом случае Адп(П) = (1п) и @fin = {е}, так что 1&п есть регулярное представление Regn группы &п. Таким образом, (1.33) превращается в известную формулу Regn = Л і dim/i 7ГМ, а разложение (1.34) принимает вид

Нетрудно понять, что представление 1ц можно реализовать с пространстве бесконечномерных тензоров ранга п. Регулярное представление 1&п = Regn имеет реализацию в пространстве тензоров размерности п, и проекторы Рм на неприводимые компоненты представления /дп суть стандартные симмет-ризаторы Юнга, а проекторы на примарные компоненты — центральные сим-метризаторы Юнга (см., напр., [63, 4]). Применяя эти симметризаторы к бесконечномерным тензорам ранга п, получаем неприводимые (или примарные) компоненты представления i(oo,i)

Изотропная цепочка Гейзенберга и оператор Кокстера-Лапласа

Аналогичным образом определяются изоморфные метрические факторизации. Определение 2.13. Если Т — изоморфизм факторизации (гильбертовых или метрических), определенных над одной и той эюе булевой алгеброй А, причем соответствующий изоморфизм S является тождественным автоморфизмом булевой алгебры А, то Т называется специальным изоморфизмом.

Каждая метрическая факторизация (Г2,21,Р, () над булевой алгеброй А порождает гильбертову факторизацию в пространстве % = L2(Q, Р) с той же базой. А именно, для каждого элемента А Є А положим является гильбертовой факторизацией в пространстве T-L.

В работе рассматриваются гильбертовы факторизации только такого типа. Заметим, что неизоморфные метрические факторизации могут порож 125 дать изоморфные гильбертовы факторизации, поскольку не любая изомет-рия пространства L2(Q} Р) порождается изоморфизмом пространства с мерой (П,21,Р).

Ключевую роль при изучении факторизации играет понятие мультипликативных и аддитивных функционалов.

Если гильбертова факторизация в пространстве % = L2(Q,) порождена факторизацией ( вероятностного пространства (Г2,21, Р) в соответствии с конструкцией леммы 2.3, то множество факторизуемых векторов в (L2(Q} Р), ) совпадает с множеством квадратично интегрируемых мультипликативных функционалов в (Г2,21,Р, (). Поскольку в данной работе рассматриваются гильбертовы факторизации только такого типа, термин «мультипликативные функционалы» используется для факторизуемых векторов в пространстве L2(ft,P). Множество аддитивных векторов в факторизованном гильбертовом пространстве Ті образует линейное подпространство (возможно, нулевое) и в случае Ті = (Ь2(Г2,Р), ) совпадает с множеством квадратично интегрируемых аддитивных функционалов в (Г2,21,Р, ().

Важнейший пример гильбертовой факторизации дает следующая конструкция. Пусть Н — гильбертово пространство; будем обозначать через ЕХР Я = SH 0 SlH 0 ... 0 SnH 0 ... бозонное пространство Фока над Я, и для h Є Я положим EXP h = lh A=h 0 h 0 A=h 0 h 0 h 0 Векторы

Определение 2.16. Пусть (Х,ь ) — пространство Лебега. Рассмотрим прямой интеграл гильбертовых пространств /С = J K(x)dv(x) и соответствующее пространство Фока Ті = ЕХР/С. Для каждого измеримого множества А с X положим НА = ЕХР/С(Л); где JC(A) = jA K(x)dv(x), и ,{А) = В(НА) 8 1-НА,- Полученная гильбертова факторизация (Ті, ) (и любая факторизация, ей изоморфная) называется фоковской факторизацией.

Если dim К(х) = 1,тоП = ЕХР L2(X, v) и НА = ЕХР L2(A, vA), где vA ограничение меры v на подмножество А. Более общо, если dimK(x) = п (где п = 1,2,...,оо), то Ті можно отождествить с EXPL2((X, v); Я), где Я — гильбертово пространство размерности п и L2((X, v) , Н) — пространство квадратично интегрируемых Я-значных функций на (X,v). Соответствующая факторизация (и любая факторизация, ей изоморфная) называется однородной фоковской факторизацией размерности п.

Множество мультипликативных (факторизуемых) векторов в пространстве Фока ЕХР/С есть М. = {с EXP/i, h Є /С, с Є С}. Линейное подпространство аддитивных функционалов в ЕХР К, можно отождествить с пространством /С = J K(x)dis(x), где /С вкладывается в ЕХР/С как подпространство «первого хаоса»: /C9/ii- -0(g)/i(g)0(g)...G ЕХР/С. Таким образом, пространство первого хаоса, также как и множество мультипликативных функционалов определено инвариантно; оно имеет структуру прямого интеграла гильбертовых пространств, при этом база интеграла есть, очевидно, база факторизации.

Фоковские факторизации могут быть охарактеризованы при помощи следующей важной теоремы.

Теорема 2.11 (Араки-Вудс [68]). 1. Гильбертова факторизация (%,) над неатомической булевой алгеброй Л является фоковской тогда и только тогда, когда множество факторизуемых векторов тотально в T-L.

Полным инвариантом фоковской факторизации является множество значений, принимаемых функцией размерности dim К(х) на множестве положительной меры: {п Є {0,1,...;оо} : v({x : dimK(x) = п}) 0}. Таким образом, две фоковские факторизации изоморфны тогда и только тогда, когда их функции размерности эквивалентны в следующем смысле: совокупность значений обеих функций, принимаемых на множествах положительной меры, совпадают.

Если известно множество мультипликативных функционалов факторизо-ванного вероятностного пространства (Г2,21,Р, ), то пространство аддитивных функционалов можно построить при помощи операции «логарифмирования», введенной Б. Цирельсоном и А. М. Вершиком [173]. В частности, если множество мультипликативных функционалов тотально в L2(S7,P), так что по теореме Араки-Вудса соответствующая гильбертова факторизация в L2(S7,P) является фоковской, то логарифмическая конструкция позволяет построить пространство первого хаоса, а значит, и восстановить всю фоков-скую структуру в пространстве L2(Q,) при помощи стандартного процесса ортогонализации (см. ниже). Операция логарифмирования существенно зависит от факторизации и в общем случае не совпадает со взятием обычного логарифма от мультипликативного функционала. Опишем эту конструкцию. Пусть (Г2,21,Р, () — факторизованное вероятностное пространство над пространством Лебега (X,v). Обозначим через Add пространство всех квадратично интегрируемых аддитивных функционалов, а через Mult — пространство всех квадратично интегрируемых мультипликативных функционалов на этом пространстве. Пусть F Є Mult. Для каждого измеримого множества А С X обозначим через FA(-) измеримую относительно ((А) функцию из определения мультипликативного функционала (она определена с точностью до скалярного множителя) и положим trip (A) = log IE i7 ( ) 12 lg А(-)2