Аппроксимативные свойства некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фурье Котова Ольга Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

Основные обозначения и определения 21

1 Аппроксимативные свойства методов суммирования интегралов Фурье 27

1.1 Приближение целыми функциями экспоненциального типа не

1.2 Критерии приближения линейными операторами 28

1.3 Порядковые неравенства для наилучшего приближения Аа 32

1.4 Дополнение к п.

1.2, в котором видна разница между Lp, р Є (1,оо), и U (С) 36

2 Метод Бернштейна-Стечкина суммирования рядов Фурье 40

2.1 Предварительные сведения 40

2.2 Ответ на вопрос об оценке приближения снизу 43

2.3 Вспомогательные утверждения 49

2.4 Оценки сверху и снизу для суммы двух приближений 51

2.5 Точный порядок приближения

2.5.1 Случай (s}r) = (2,4) 56

2.5.2 Случай (s}r) = (3,5) 72

2.5.3 Случай (s}r) = (4,6) 87

3 Некоторые методы суммирования рядов и интегралов Фурье в кратном случае 106

3.1 Вспомогательные утверждения 106

3.2 Приближение некоторыми средними рядов Фурье 109

3.2.1 Сравнение методов суммирования при разных параметрах 113

3.2.2 О точном порядке приближения средними Марцинкевича– Рисса 116

3.3 Приближение некоторыми средними интегралов Фурье 119

3.3.1 Средние типа Гаусса–Вейерштрасса 119

3.3.2 Средние Бохнера–Рисса 120

3.3.3 Средние Марцинкевича–Рисса 126

Заключение 128

Литература

• Критерии приближения линейными операторами
• Ответ на вопрос об оценке приближения снизу
• Случай (s}r) = (2,4)
• Приближение некоторыми средними интегралов Фурье

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В теории приближений функций, возникшей в трудах П. Л. Чебышева, К. Вейерштрасса, А. Лебега, С. Н. Бернштейна, Д. Джексона и Ш. Ж. Валле– Пуссена, появились прямые и обратные теоремы о порядке (скорости) приближения функций на прямой полиномами и целыми функциями экспоненциального типа в зависимости от гладкости функций и степени (типа). С. М. Никольский применил прямые и обратные теоремы для функций нескольких переменных к доказательству, в частности, теорем вложения. Появились пространства Никольского–Бесова. Назовем монографии А. Ф. Тимана (1960) и С. М. Никольского (1977), которые неоднократно издавались на английском языке.

Гладкость функций измеряют обычно модулями гладкости разных порядков. Их свойства изучали А. Лебег, M. A. Marchaud, О. В. Бесов, Р. М. Тригуб, H. S. Shapiro, J. Boman, М. Ф. Тиман. Для определения точного порядка приближения, особенно в кратном случае, введены специальные модули гладкости, а затем и K–функционалы, которые возникли (I. L. Lions, I. Petre) при реализации вещественного метода интерполяции пары банаховых пространств. См. монографии R. A. De Vore and G. G. Lorentz (1993), Р. М. Тригуба и Э. С. Белинского (2004), В. К. Дзядыка и И. А. Шевчука (2008).

В процессе аппроксимации линейные операторы можно без увеличения погрешности заменять на сверточные операторы. Таким образом возникла задача исследования аппроксимативных свойств разных методов суммирования рядов и интегралов Фурье. Известны классические методы суммирования Абеля–Пуассона, Фейера–Джексона, Рогозинского–Бернштейна, Гаусса– Вейерштрасса, Бохнера– Рисса, Марцинкевича и др. Вопрос о сравнении разных методов суммирования для индивидуальных функций по скорости сходимости возник еще в 1968 г. (H. S. Shapiro, Р. М. Тригуб). Еще ранее Р. М. Тригуб впервые нашел точный порядок (двусторонние оценки) приближения некоторыми классическими методами суммирования рядов Фурье периодических функций одного переменного. Этой проблемой занимались В. В. Жук, Э. А. Стороженко, М. Ф. Тиман и В. Г. Пономаренко, Э. С. Белинский, О. И. Кузнецова, Ю. Л. Носенко. А после статьи Z. Ditzian, K. G. Ivanov (1993) такие результаты стали называть "strong converse theorem". Назовем еще V. Totik, К. В. Руновский, X. L. Zhou, С. Г. Прибегин, Ю. С. Коломойцев, М. Л. Гольдман и А. В. Малышева. См. также список литературы в статье B. R. Draganov (Journal Appr. Theory, 2010).

Двусторонние оценки приближения средними рядов и интегралов Фурье через модули гладкости дают, в частности, новые формулы для K–функцио-

налов (ответ на вопрос, поставленный З. Чесельским в Трудах МИАН, 1983).

В диссертационной работе исследуются некоторые методы суммирования рядов и интегралов Фурье, а также некоторые общие вопросы теории приближений функций.

Цель и задачи работы.

Объектом исследования в диссертационной работе являются некоторые методы суммирования рядов (метод Бернштейна-Стечкина) и интегралов Фурье (приближение функций на прямой целыми функциями экспоненциального типа, а в случае функции нескольких переменных — методы Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса, Марцинкевича-Рисса).

Предметом исследования являются оценки сверху и снизу и точный порядок приближения периодических функций известными тригонометрическими полиномами или, в случае функции на прямой, целыми функциями экспоненциального типа не выше и.

Целью данной диссертационной работы является изучение аппроксимативных свойств некоторых методов суммирования рядов и интегралов Фурье.

Для реализации поставленной цели в работе были сформулированы такие задачи:

1. получить новые прямые, а для некоторых методов приближения и обратные теоремы;

2. исследовать вопрос об оценке снизу приближения периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина с помощью модулей гладкости;

3. найти точный порядок приближения периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина;

4. изучить аппроксимативные свойства методов Марцинкевича-Рисса, Га-усса-Вейерштрасса суммирования двойных рядов Фурье и найти точный порядок приближения;

5. найти точный порядок приближения индивидуальных функций классическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса и Марцинкевича-Рисса интегралов Фурье в кратном случае.

Научная новизна полученных результатов. Все результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми. В частности, обнаружено, что давно известный метод суммирования, указанный для улучшения порядка сходимости С. Н. Берштейном, существенно отличается от всех классических методов, что сильно усложнило определение точного порядка приближения. При этом предельно усилена общая оценка приближения сверху, найденная С. Б. Стечкиным.

Теоретическая и практическая ценность. Все результаты диссертации относятся к области фундаментальных исследований по теории функций.

Они носят теоретический характер, дополняют многочисленные исследования ряда авторов, могут быть использованы для получения новых прямых и обратных теорем приближения функций и для нахождения точного порядка сходимости.

Методы исследования. В настоящее время используются два метода получения доказательства таких результатов. Они отличаются от классического метода, в котором используют оценки ядер полиномиальных операторов (Бернштейн, Джексон, Марцинкевич, Стечкин и др.). Первый из этих двух методов основан на экстремальных свойствах полиномов (целых функций экспоненциального типа не выше а) и известных прямых теоремах. Этот метод применим и к нелинейным методам (операторам) приближения (см. монографию В. В. Жука (1982)). Второй метод доказательства основан на принципе сравнения мультипликаторов Фурье, т.е. сверток функций с разными мерами.

Применяют метод мультипликаторов Фурье, которые определяются введением множителей в интеграл Фурье (для периодических функций — в ряд Фурье, см., ниже (1)). В пространстве L_p, р Є (1,+оо) известны достаточные условия Й. Марцинкевича, С. Г. Михлина, Л. Хермандера, П. И. Лизор-кина. В пространстве L\ определяющим является представление функции-множителя в виде преобразования Фурье конечной борелевской комплекс-нозначной меры, т.е. принадлежность известной банаховой алгебре Винера. Недавно на эту тему появилась обзорная статья E. Liflyand, S. Samko, R. Trigub (Analysis and Math.Physics, 2012). См. также монографию R. M. Tri-gub, E. S. Belinsky (Kluwer-Springer, 2004).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Получены необходимые и достаточные условия приближения линейными операторами с оценкой через модуль гладкости сверху и отдельно — снизу.

2. Найден точный порядок убывания наилучшего приближения A_a(f) функции / на прямой целыми функциями экспоненциального типа не выше о" в зависимости от поведения модулей гладкости функции / и и.

3. В общей прямой теореме Стечкина такая же оценка приближения снизу невозможна. Найден точный порядок приближений периодических функций полиномами Бернштейна-Стечкина через новые модули гладкости порядков 2, 3 и 4.

4. Проведен сравнительный анализ методов Марцинкевича-Рисса суммирования двойных рядов Фурье при разных положительных значениях параметров а и (5 и найден точный порядок приближения при а = 1, (3 > 0.

5. Найден точный порядок приближения индивидуальных функций клас-

сическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса интегралов Фурье в кратном случае и методом Марцинкевича-Рисса для двойных интегралов Фурье.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обусловлена строгостью доказательств, применением известных методов исследования. Полученные результаты не противоречат результатам других авторов и опубликованы в ведущих рецензируемых журналах.

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре "Анализ Фурье и теория приближений функций" в Донецком национальном университете (руководитель профессор Р. М. Тригуб) в период с 2006 по 2016 гг.; на Международной научной конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения - V", 26 апреля - 01 мая 2015 г., г. Ростов-на-Дону.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано семь работ [1] - [7]:

5 научных статей ([1], [2], [4]— [6]) изданы в журналах, которые входят в международные наукометрические базы, рекомендованных ВАК Минобр-науки РФ: [2] и [6] индексированы в Scopus; [1], [4] и [5] - zbMath;

1 научная статья [3] — в журнале, рекомендованном ВАК Украины;

1 тезисы докладов международной научной конференции [7].

Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные автором самостоятельно. Работы [2], [4] - [6] опубликованы в соавторстве с Р. М. Тригубом. В этих работах автору принадлежат такие результаты: [2] — основная теорема и леммы (кроме леммы 4); [4] — теоремы 1 - 3, 8 - 10, а также пример 1; [5] — теоремы 1.1 - 1.4, 2.3 - 2.5; [6] — теоремы 3 - 5 и следствие. Р. М. Тригубу принадлежит постановка задач, указание методов исследования, а также общее руководство.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, раздела, содержащего основные обозначения и определения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы. Объем работы составляет 135 страниц, библиография - 61 источник.

Критерии приближения линейными операторами

В непериодическом случае на вещественной оси С. Н. Бернштейн предложил приближать функции целыми функциями экспоненциального типа не выше о" (см. (0.1)) при о" — оо. Давно известны прямые и обратные теоремы для таких приближений и их применение к теоремам вложения классов функций многих переменных ([26] и, особенно, [16]). Вместо рядов Фурье -интегралы Фурье.

Р. М. Тригуб нашел точный порядок приближения индивидуальных функций, а не классов, классическими методами суммирования рядов Фурье ([29], [30]). Для этого, особенно в случае функций нескольких переменных ([31], см. также [52]), введены специальные модули гладкости и if-функционалы (см. (0.11)). В настоящее время такие результаты называют "strong converse inequalities" (см. [41] и список литературы в этой статье).

Для решения задач о точном порядке приближения применяют два метода (см. [52, с. 361-362]). Они отличаются от классического метода, в котором используют оценки ядер полиномиальных операторов (Бернштейн, Джексон, Марцинкевич, Стечкин и др.). Первый из этих двух методов основан на экстремальных свойствах полиномов (или целых функций экспоненциального типа не выше а). Этот метод применим и к нелинейным методам (операторам) приближения. Второй метод доказательства основан на принципе сравнения мультипликаторов Фурье, т.е. сверток функций с разными мерами. До 28 статочное условие для такого сравнения указано в [50]. Одновременно в [30] доказано эквивалентное достаточное условие, но только для периодических функций. Позже принцип сравнения был существенно усилен для периодических функций: добавилось, в частности, и необходимое условие в случае компактных операторов. Подробнее о мультипликаторах см., напр., [52, 7.1].

Мультипликаторы — это операторы, перестановочные с оператором сдвига. Теоремы о мультипликаторах Фурье в пространствах Lp, 1 р оо, принадлежат М. Риссу, Й. Марцинкевичу, С. Г. Михлину и др. В пространствах С и L есть полное описание мультипликаторов — это интегральные операторы (свертка функции и меры). Характеристику мультипликаторов Фурье см. в [22, гл. I, теоремы 3.14, 3.16].

Через Wp,a(R) будем обозначать множество целых функций экспоненциального типа не выше а, сужение которых на R принадлежит LP(R). По теореме Винера-Пэли преобразование Фурье функции из W2,a(R) равно нулю почти всюду вне [-а, а] на R (см. [44]). Обобщение этой теоремы на функции нескольких переменных см., например, в [52].

Следующие теоремы данного раздела являются новыми и в случае периодических функций.

Начнем с общей прямой теоремы для произвольных линейных операторов. Следующая оценка сверху получена с помощью модуля гладкости cus(f;h), определенного в (0.3). Теорема 1.1 Пусть Ga - линейный непрерывный оператор LP{R) - Wp,a{R) {р 1). Для того чтобы при данном s Є N для всех функций f Є Lp(R) и а 0 выполнялось неравенство l\ \\f-GJf)\\L c1(s)ujs(f; a Lp необходимо и достаточно, чтобы v - v sup ЦСегЦі oo, и \\g-Ga(g)\\L c2(s) a(s) LP для любой функции g Є Wp,a(R). Доказательство теоремы 1.1. П Необходимость очевидна: \\GJf)\\L = \\Ga(f) - f + f\\L \\GJf) - f\\L +/k II u V I I - ф II u II J- p II u \ / I I - ф ll«/ II - ф ci(skf/; ) +II/IU fci(s)2 s + l)fL и нужно учесть, что для g Є Wp;0-(K) -СаЫк Ci(sK ;i) ci(s)ll ll p TL (7s " " Достаточность. Учитывая определение (0.6), в силу прямой теоремы (см., например, [26, 5.1.3] или [52, 4.6.8]) 1\ AJf = \\f-g \\ c1(s)u8f; . (1.1) a\J )Lp \\ \\Lp _ s aLp Тогда, используя два условия теоремы, получаем \\f-GJf)\\L II/-0 IIL + h - Gaiglh + \\GJf - g )\\L u V I I -L- } «/ «_/ II -L p WU u \J /II ijrp II V / I I ijrp / - 9 \\LP + C2(S) (/)(S)LP + sup GaL Lp / - g \\Lp = (1 2) = (l + supGUL L )ll/-/lk +c2(s) (/)(S)L -E M ±Jp Tup M J U II Up g I I V - I I ±Jp a (J Ко второму слагаемому применяем усиленное М. Риссом неравенство Бер-нштейна для производной (см., например, [52, 8.2.4, с. 360]): \M{S)\\L AU0)L. (1.3) \\\У) bp_2s -\У)\\Ьр зо Оценим второе слагаемое, учитывая еще, что IIAf (f)r 2s II f II г: И Д I I - p I I «/ II - p +c2 s / - a к + A )\\J У lib vs Lp + c2(s) /;) (7Lp llte )(e)lk (A(p -/)L+A(/)L) /-p Lp + we(/; Вернемся к оценке сверху (1.2) и продолжим (1 + sup II HL LJ II/ - g \\Lp + c2(s)/ - 9 \\Lp + c2(s)scus(f; ) (1 + сг(в) + sup HCHL LJ II/ - g \\Lp + сг(в) we (/; В первом слагаемом к II f — о г применяем неравенство (1.1), а затем / U I I J p еще свойство (0.4) модуля гладкости при Л = 7Г. Окончательно получим: (1 + c2(s) + sup \\Ga\\L L )d(s)ujs (7; і) + с2(5) + 1 ы5(/; ) .

Ответ на вопрос об оценке приближения снизу

В силу предположения для последовательности функций f fx)=eiknx= (neN), получаем І Кп \ ) п bAn{f n )\\ , правая 1 — п Сі Сі Є/г„ — V n Єк„ с U2(fn,) Cl\\fn-n с n " Устремляя п —, правая часть стремится к нулю, а левая часть і І Кп П Кг п (fn] п U2Jn, max П х Х+п = max x li hn гкпХ 2егкп(х+і) + егкп(х+ 2 + ег li 2 1 cos при n ос стремится к 2(1 - cosrr0) = 1,63 ф 0. Противоречие доказывает Теорему 2.1. В [55] высказана гипотеза, что ответ будет отрицательным и при s 2. Р. М. Тригуб в [33] доказал, что для г8;Г;П не может быть верным при натуральном q 2 даже следующее неравенство: W»(/)C онности, ко W,n(f)\\C тствует во f - Ts,r,qn(f)\\c c2(q)\\f -ft Т.е. нет квазимонотонности, которая присутствует во всех классических методах аппроксимации (Абеля–Пуассона, Фейера–Джексона, Валле–Пуссе-на, Гаусса–Вейерштрасса, Бохнера–Рисса, ...). 2.3 Вспомогательные утверждения Для доказательства следующих теорем используется метод мультипликаторов Фурье, основанный, в случае пространства С, на представлении некоторых функций дп в виде оо дп(х) = f e d y), —оо где /j,n — конечная на К. комплекснозначная борелевская мера при ограниченной по п полной вариации цп (см. [22]). Определение мультипликатора см. в (0.7). Такие операторы перестановочны со сдвигом и являются свертками функции / с некоторыми мерами на окружности. Аналогично определяется оператор-мультипликатор из LP(T) в LP(T), 1 р ос ({Хк} Є Мр). При этом {Afc}M L {Afc}M (см., например, [22, гл. I, VI] или [36, гл. 16]). Запишем утверждения, необходимые для доказательства этой главы. Теорема А (принцип сравнения, [52, 7.1.11, с. 316]) 1. Пусть Л/ \кТкегкх, Л/ Xk f k eikx. kZ kZ Если из Хк = 0 следует, что и\к = 0 (это и необходимо), то А м Af\\c K\\Af\\c, К = тї Н (нижняя грань относится к выбору дробей вида %). 2. Если к тому же (1-А) - компактный оператор в С{Т), где I - еди 50 ничный оператор, то Л/С #Л/С (2.8) для всех f Є С(Т) тогда и только тогда, когда Л inf М К. м 3. Из условий утверждения 2. и неравенства (3) следует такое же неравенство по норме в Lp(T), 1 р оо.

В случае Xk = д(єк), д Є С (К), є 0 важно определить принадлежность д банаховой алгебре В (Ж) (относительно поточечного сложения и умножения), которая определена в (0.8), т.к. в этом случае sup\\{g(ek)}\\M = \\д\\в(ш) є 0 (см. [22], [36], [52]). Если мера /І абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, т.е. dfi = hdx, то получим подалгебру А(Ш) абсолютно сходящихся интегралов Фурье (см. определение (0.9)), которая является идеалом в В(Ш) с нормой \\д\\в(ш) = IMU(R) = \\h\\Ll. Нам понадобится достаточное условие принадлежности А(М), указанное A. Beurling (1938). См. обзорную статью и препринт [45]. Более общая теорема есть в [52, 6.4.2, с. 290]. Теорема Б (A. Beurling) Если д : R - С локально абсолютно непрерывна наШ, д ид Є Ь2(Ш), то Ы\В(Л) = \\9\\А(Л) С{\\9\\Ь2 + \\9,\\Ь2) 51 Для определения точного числа всех действительных корней многочлена понадобится классическая теорема Бюдана-Фурье.

Теорема В ([18, с. 38]) Пусть N(x) - число перемен знака в последовательности f(x),f (x),f"(x),...,fM(x), гдеf -многочлен степени п. Тогда число корней многочлена f (с учетом их кратности), заключенных между а иЪ, где f(a) ф 0, f(b) ф 0 и а Ь, не превосходит N(a) - N(b), причем число корней может отличаться от N(a) — N(b) лишь на четное число.

В следующей теореме приведена оценка сверху и снизу с помощью обычного модуля гладкости для суммы двух приближений.

Теорема 2.2 Для любых натуральных s 2, четных г s + 4 и si = s + (l + (—l)s+1) существует величина Сз(г) такая, что при п -т + 1 и N = [ рп] (целая часть) для любой функции f Є С(Т) выполняется двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от г:

Полиномы rsrn можно представить в виде (шЛх) = 0 при \х\ г + ±) fe r n(/) = pn(—)fkeikx, (fn(0) = 1, к где Л - коэффициенты Фурье функции / (см. определение (0.2)). Ранее подобный Теореме 2.2 результат получен при функции-множителе (рп, не зависящей от п ([10, теорема 1.2]). Для оценки приближения снизу оставить одно из двух слагаемых нельзя. В этом случае нужно вводить специальный модуль гладкости — разностный оператор (подробнее остановимся на этом в следующей теореме).

Случай (s}r) = (2,4)

Через /І обозначают конечную борелевскую комплекснозначную меру на x = (xu...,xd), (ж,у) = 7 = 1 d евклидовом пространстве J МУ)= e- dfi(x), Rd а /i = var /І — полная вариация меры. Свойства мер /І и /І см., например, в [13, гл. 11]. Банахова алгебра A(Rd) это алгебра абсолютно сходящихся интегралов Фурье (определение см. в (0.9)). Функции M.d — С из этой алгебры используются в разных вопросах анализа: мультипликаторы Фурье; сравнение линейных операторов, включая дифференциальные с постоянными коэффициентами; суммируемость рядов и интегралов Фурье (см., например, [22, гл. I]).

Вопрос о мультипликаторах из L\ в L\ упирается в принадлежность функции-множителя, определяющей мультипликатор, пространству B(M.d) преобразований Фурье мер (определение при d = 1 см. в (0 В случае dfi{y) = g{y)dy, д Є Li(Md), будем писать / Є A{Rd) и /А = 0і. Свойства банаховых алгебр В и А см. в недавней обзорной статье [45]. Приведем несколько известных теорем, которые используются в доказательствах этой главы. Понадобится принцип сравнения в следующей форме: 107 Теорема Г (см. [52, 8.2.2 в]) Если if ифє A(Rd) и ф(х) ф 1 при х ф 0, то для того чтобы к fkei(k,x) с f- кег{Кх) к f- ФІІ kZd kZd с константой К, не зависящей отfиn, необходимо и достаточно: ф-if 1-ф Є A(Rd). Отсюда уже следует такое же неравенство и в р оо. Замечание. Если неравенство Теоремы Г доказано с использованием условия g = eB(R d )} то в силу Теоремы А имеет место такое же соотношение между приближениями мультипликаторами интегралов Фурье, определяемыми теми же функциями-множителями р и ф. И сразу в метрике.8)). Lp(Rd) для любого р 1. Если же неравенство Теоремы Г в метрике Lp(Td) для 1 р оо доказано с помощью теоремы Марцинкевича, напр., то в силу аналога этой теоремы для интегралов Фурье (С. Михлин) подобное соотношение справедливо и для соответствующих интегралов Фурье при тех же р.

Общие связи (в обе стороны) между мультипликаторами рядов и интегралов Фурье см. в [22, гл. VII, п. 3]. Для доказательств оценки снизу часто используют -теорему Винера. Теорема Д (см., напр., [52, с. 263] или [45]) Если f Є А и при некотором А Є С\{0} f(x) ф А для всех х, то и + є А. /(ж)-А А Приведем критерий принадлежности радиальных функций алгебре А. Теорема Е ([52, 6.3.6]) Если т - нечетное число, т 3, то для того 108 чтобы радиальная функция f(x) = f0(\x\) принадлежала А(Шт) необходимо и достаточно, чтобы при целых v Є [О, Ы Ч г -ЧММ =о dtv t=o и функция го-1 (І 2 т-1 после замены на t2 принадлежала А(Ш). Приближая функцию / Є Lp(Rd) полиномами Фє(/;ж) = Y e{k)Jkel{Kx\ k точный порядок приближения выражают через специальный if-функционал (см. (0.11)). При доказательстве теорем этой главы будем пользоваться общей схемой, изложенной в [52, с. 371]: I. Определяем класс насыщения для Фє(/). Оператор Ar(f) порождает і -функционал (0.11). II. Используя принцип сравнения, доказываем неравенство сверху: /-Фє(Я Сі(г)є2пА7іир. Ф (/) III. Используя принцип сравнения, доказываем неравенство снизу: є2г\\АгФє(/)\\ь ф) f II с V о / I I р V / о Lp IV. Применяем эти два неравенства для оценки іС-функционала. 109 3.2 Приближение некоторыми средними рядов Фурье Пусть при а и (5 0 функция # ,/?( ) определяется следующим образом: (la)fj, Є[0,1], РаА ) = (ЗЛ) 0, t l. оо Суммируемость числового ряда м/; по Риссу — это существование А;=0 предела средних /г=0 при п ос ((а,/3)-сходимость). При /3 = 0 - обычная сходимость. (аь/3) и (а2,/3)-сходимости имеют место одновременно, только при (52 А из (а,/ад-сходимости следует (а,/ -сходимость, но не наоборот (см. [34, теорема 58, с. 146]). А (1,/3)-сходимость эквивалентна (С,/3)-суммируемости (см. там же).

Фейер применил этот метод при а = /3 = 1 к рядам Фурье: »(/) = У fi - —ДеІАх, Л = №)e-fc (это средние арифметические первых 5о,5ь...,5п_і - частных сумм ряда Фурье 2тг-периодической функции / Є Li(T),T = [-тг,тг]) и доказал равномерную сходимость ап к / для любой / Є С(Т). А. Лебег доказал сходимость тп к / Є Ьі(ТГ) во всех ее точках Лебега и, значит, почти всюду. В случае кратных рядов Фурье размерности d сходимость средних 2/АЛ = Е (х - / ei(A,x) л = І №)е г(М 1- )%г(М, f k = 2 \к\ п j2 no изучил С. Бохнер. В случае d = 2 сходимость в имеет место только при [3 \. Критический показатель связан с тем, что норма оператора взятия круговой частной суммы Sl С С — \\&п,2 д СС X л/п. Для квадратных частных сумм 11оП11 11 п c c= SUP /с У fke«k x) &i,N n с In2 in п. Это два крайних случая роста норм операторов (констант Лебега) вида sup ІІ/ІІо У fke«k x) kenW с где W — выпуклое ограниченное плоское множество с началом координат внутри (см. [52, гл. 9] и комментарий к ней). Й. Марцинкевич [47] рассмотрел средние арифметические квадратных частных сумм (d = 2) п п—1 _. J2s (f) = 53 ід(тах{А;і,А;2І})Ле к=0 keZ2 і{к,х) По поводу сходимости средних Марцинкевича-Риса почти всюду см. [5], [21]. В 1968 г. появились два принципа сравнения разных методов суммирования рядов Фурье ([50], [30]). В этом сравнении скорости сходимости по норме для средних Рисса уже при d = 1 порядок приближения не зависит от /3, а с ростом а улучшается (отличие от случая числовых рядов) (см. [52, с. 342]).

Приближение некоторыми средними интегралов Фурье

Р. М. Тригуб определил точный порядок приближения индивидуальных периодических функций классическими средними рядов Фурье. В кратном случае приходится обычно вводить специальные модули гладкости (см. [31]). Так, О.И. Кузнецова ([11] или см. [52, 8.5.13]) нашла точный порядок приближения периодических функций суммами Марцинкевича (а = (3 = 1): здесь Д /(ж) — вторая симметричная разность (0.5) в направлении вектора /г, е\ и е2 — орты осей в Ш2. А при р Є (1,оо) подходят для сумм Марцинкевича и обычные модули (см. [27]). Из Теоремы 3.2 п. 1 получаем точный порядок приближения для а1)/3(/). Теорема 3.3 При любых (5 0, любом п Є N и f Є LP(T2), р є [1, +оо] {Loo = С) выполняется двустороннее неравенство с положительными константами, зависящими только от [3: где А /(ж) — вторая симметричная разность (0.5) в направлении вектора h, е\ие\- орты осей в М2. 117 Можно найти точный порядок приближения полиномами ст при любом а 0 через специальный ЛГ-функционал, если воспользоваться схемой доказательства, изложенной в [52, с. 371] (см. пункт 3.1).

Теорема 3.4 При любых а и (3 0, п Є N и f Є LP{T2), 1 р оо (LQO = С) выполняется двустороннее неравенство с положительными константами зависящими только от а,(3: \\f fi,aM)\\Lp K«{ f LP d«) Доказательство теоремы 3.4. П Считаем (5 = 1. Норма II L в LJT2), К р ос (L = С). Восполь / II II ±Jp V — J- — зуемся общей схемой доказательства (см. пункт 3.1). Дифференциальный оператор d«(/) max{fci iya}Aei( x) (3.6) kZ2 порождает і -функционал вида (0.11), в данном случае Ka(e,f,Lp,da) при є 0. Используя принцип сравнения, доказываем два неравенства: na /- 1 Л г с5(а) da(/) L 1 п n k««,l(/)) ,р СбИ /- a,l(/) (3.7) Для первого неравенства (t = тах{жі, ж2}) переходная функция 1, є[0,1], L t l, (д) = fa fa 118 а для второго (t) fw ) 1"f tem, 0, t l. Применяем пункт 2) Леммы 3.1. Из неравенств (3.7) следует, что /1 1 Ka(J,Lp,da) \\f-Vn,aAf)\\Lp + da( a l(/))Lp Lp l + c6(a)/-aal(/) и \\f %,a,l(f)\\Lp \\f 9- Cl(/ - riLp + Ik - an,a,l( )Lp fl + IICTEL ilk L )f- alk +c5(a)rfaor . Остается учесть, что в силу того же принципа сравнения \\a al\\Lp Lp = sup \\(7 а1(/)\\ьр УаЛ\\А. \\f\\bp l Таким образом, Теорема 3.4 доказана. Множитель ± можно заменить на произвольное є 0 (см. [52]). Поэтому П из Теоремы 3.4 и неравенства (3.5) с учетом (3.6) и (0.11) получаем следствие. Следствие 3.1 При любом є 0 ?(А ;+ео)єи + А _ео)єи)/(-) iw и2 #i(e,/,Lp,di)x Lp здесь Д/(ж) — вторая симметричная разность (0.5) в направлении вектора h, е\ие\- орты осей в М2. 119 3.3 Приближение некоторыми средними интегралов Фурье Определим теперь точный порядок приближения индивидуальных функций классическими методами суммирования Гаусса-Вейерштрасса, Бохнера-Рисса и Марцинкевича-Рисса.

Общая схема одновременного вывода формул с модулем гладкости и К функционалом приведена в [52, с. 371] (см. п. 3.1). В случае периодических функций и рядов Фурье доказательство Теоремы 3.6 есть в [52, 8.3.2, с. 371]. Докажем сначала двойное неравенство Re,rAf)\\Lp г / mf \\f-g\\L +e2r\\Arg\\L g&w; Оператор Лапласа Arf порождает Ка{є, /, Lp, Ar) при є 0: e2rArf (-iyY,e?r\k\2rf k e i{k,x) Используя принцип сравнения, доказываем два неравенства: \\f - R,rAf)\\Lp r,5yr\\Arf\\Lp, є2ПАгЯє (Ліир с6Кг )/-Лє (Яь/ (3.10) 122 Для первого неравенства, с учетом (3.9), переходная функция { -у, є[о,і], М2г х 1, а для второго l і - ( (ж) і-(і-иЧ ж Є [0,1], 0, ж 1. и Применяем пункт 2) Леммы 3.1. Из неравенств (3.10) следует, что K(eJ,Lp,Ar) \\f - R slf)\\Lp + e2r\\ArRjr.s(f)\\Lp (l + c8(d,r,6))\\f- R,r,s(f)\\L \\f-Re,rAf)\\L \\f-9-R,rAf-9)\\L +\\9-Re,rA9)\\L (l + \\Re,rALp Lp / " 9\\lp + Cr(d, Г, Ц Arf\\Lp Остается учесть, что в силу того же принципа сравнения \\Rr6\\L L = SUp \\Rr6(f)\\L Ы\А р р ll/IUp i р Переходим к доказательству двойного неравенства f-Re,rAf)\\ Lp M i A?;;/(o fa Lp 123 Для функции / Є L2 П Lp(Rd) (-і J ) (-2i)2r T(y)sinZr(y,h)e dy. Rd В случае периодических функций и рядов Фурье доказательство Теоремы 3.6 см. в [52, 8.2.8а, с. 366]. Переходная функция для применения принципа сравнения: где (3.11) ( 1 \ d ) (-2г)2г sm2r(y,x)dy, 2тг Ф) = і - (i - \x\2rY+. Нужно проверить, что _ Ф) 1 _ ф) 9 ф)} yjx) ф(х) принадлежат алгебре B(Rd). При х ф 0 функции ф и ( не равны нулю. При ж 0 найдется у0 такой, что (уо,х) не является целым числом кратным 7Г, тогда sm(yo,x) ф 0. Поэтому в достаточно малой окрестности этой точки sin(г/о, х) сохраняет знак и, значит, (-іУФ(х) 0 и р(ж) 0. Функция ф Є B(Rd), а 1 - ф) = (1 - ж2г) Є Ж ) (см. [52, с. 336, example] или [31, теорема 9]). 124 Нужно исследовать поведение д только в окрестности нуля. limg(x) = lim ж- 0 ж- d (і) ("2 )2r J (y rdy 2r 5x ffia { &+ M По -теореме Винера (см. Теорему Д) функция \ Є B(Rd) вне любой окрестности нуля. с Используем еще локальное свойство. Функция д аналитическая по \х\2 в окрестности нуля, поэтому она принадлежит локально B(Rd). Вне произвольной окрестности нуля 1 Є B(Rd) локально, и по -теореме Винера