Введение к работе
Актуальность исследования.
Настоящая работа посвящена вопросам аппроксимации полугрупп.
Аппроксимация, по существу являясь приближением, есть один из основных методов математики. Как в математическом анализе, так и в геометрии, теории чисел изучается аппроксимация различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения Функций, численные методы анализа, целиком посвящены аппроксимации.
Начало широкого применения аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работе "О гомоморфизмах на конечные группы" было дано общее понятие аппроксимации алгебраических систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.
С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных аппроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Эти работы были посвящены как финитной аппроксимации полугрупп, то есть аппроксимации гомоморфизмами на конечные полугруппы - работы М.И. Лесохина. СИ. Кублановского. С.Г. Мамиконяна. Э.А. Голубова. М.В. Сапира и других, так и аппроксимации полугрупп линейными комплексными функционалами (характерами), то есть гомоморфизмами в мультипликативную группу поля комплексных чисел с внешне присоединенным нулем - работы Ст. Шварца. _ Хыоитта Цукермана, М.М. Лесохина. Э. П. Арояна и других.
В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось выходом монографии Paalman-De-Mlranda Topological semigroups в 1964 году. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М.М. Лесохин. Л.Б. Шнеперман. Остин А.. Расулоз Н. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется еще и тем. что наличие топологической структуры обес-
печивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так. например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.
С нашей точки зрения, представляет интерес описание топологических полугрупп, аппроксимируемых линейными комплексными функционалами.
Использование линейных отображений для аппроксимации алгебраических систем обусловлено их свойством сохранять операции. Этим же свойством обладают и билинейные отображения. Поэтому естественным образом возникает вопрос об аппроксимации полугрупп этими отображениями, в частности, билинейными комплексными функционалами, то есть билинейными отображениями в мультипликативную полугруппу комплексных чисел. Если потребовать, чтобы вместе с самой полугруппой билинейными комплексными функционалами относительно некоторого предиката Р аппроксимировались бы и всевозможные гомоморфные образы подполугрупп данной полугруппы (так называемая SH - аппроксимация), то возникает еще один круг вопросов, на часть которых мы постарались ответить.
Цель работы.
Настоящая работа посвящена описанию абстрактных полугрупп. SH-аппроксимируемых билинейными комплексными Функционалами относительно таких предикатов, как делимость: равенство; вхождение элемента в подполугруппу; гриновских отношений. Кроме того, найдены необходимые и достаточные условия аппроксимации дискретных и компактных полугрупп комплексными функционалами относительно единично идеальных предикатов.
Методы исследования.
В работе использованы метода аппроксимации полугрупп: метод ' продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения полугрупп в коммутативную связку своих ^-классов; метод' разложения компактных топологических полугрупп в коммутативную связку одноидемпотентных подполугрупп.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая иенность.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е. С. Ляпину (июнь 1995 года. Санкт-Петербург); на конференциях преподавателей и студентов при Череповецком педагогическом институте (1995. '1996 года).
Объем и структура работы,
Диссертация изложена на 90 страницах машинописного текста. Состоит из введения и трех глав. Библиография включаете работу российских и зарубежных авторов.