Введение к работе
Актуальность исследования.
Настоящая работа посвящена вопросам аппроксимации полугрупп.
Аппроксимация, по существу являясь приближением, есть один из основных методов математики. Как в математическом анализе, так и в геометрии, теории чисел изучается аппроксимация различных объектов, а такие разделы математики, как теория приближения функций, численные методы анализа, целиком посвящены аппроксимации.
Начало широкого применения алпроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А.И.Мальцева. В его работе " О гомоморфизмах на конечные группы" было дано общее понятие аппроксимации алгебраических: систем, показана связь финитной аппроксимируемости алгебраической системы относительно какого-либо предиката с алгоритмической разрешимостью проблемы этого предиката в рассматриваемой системе.
С начала 60-х годов и по настоящее время появилось много работ, посвященных ашгроксимации полугрупп относительно различных предикатов. Эти работы были посвящены как финитной аппроксимации полугрупп, то есть аппроксимации гомоморфизмами наконечные полугруппы— работы М.М.Лесохина, С.И.Кублановского, С.Г.Мамижоняна,М.В.Сапира, Э.А.Голубо-ва. и других, так и аппроксимации полугрупп линейными характерами, то есть гомоморфизмами в мультипликативную полугруппу комплексных корней из единицы с внешне присоединенным нулем — работы Ст.Шварца, Хьюитта и Цукермана, М.М.Лесохина, Э.П.Арояна и других.
Использование линейных отображений для аппроксимации алгебраических систем обусловлено их свойством сохранять операции. Этим же свойством обладают и билинейные отображения. Поэтому естественным образом возникает вопрос об аппроксимации полугрупп этими отображениями, в частности, бихарактера-ми, то есть билинейными отображениями в мультипликативную
полугруппу комплексных корней из единицы с внешне присоединенным нулем.
Широкий круг вопросов возникает если потребовать, чтобы вместе с самой полугруппой относительно некоторого предиката Q аппроксимировался бы какой-либо класс полугрупп, порожденный данной полугруппой. Особый интерес представляют SH- и М-аппроксимация — аппроксимация класса порожденного всевозможными гомоморфными образами подполугрупп данной полугруппы и аппроксимация многообразия порожденного данной полугруппой соответственно.
В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось выходом монографии Paalman-De-Miranda Topological semigroups в 1964 году. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М.М.Лесохин, Л.Б.Шнеперман, Остин, Расулов. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется еще и тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так, например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.
С нашей точки зрения, представляет интерес описание компактных топологических полугрупп, аппроксимируемых непрерывными характерами и бихарактерами.
Цель работы.
Настоящая работа посвящена описанию компактных топологических полугрупп, SH- и М*-аппроксимируемых непрерывными характерами и бихарактерами относительно таких предикатов, как делимость; равенство; вхождение элемента в подполугруппу, в идеал, в максимальную подгруппу; относительно гри-новских отношений.
Методы исследования.
В работе использованы методы аппроксимации полугрупп: метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до
гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем; метод разложения полугрупп в коммутативную связку своих 77-классов; метод разложения компактных топологических полугрупп в коммутативную связку унинотентных подполугрупп.
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований по теории гомоморфизмов полугрупп и могут быть использованы для подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по полугруппам, посвященной Е.С. Лялину (июнь 1995 года, Санкт Петербург); на международной конференции по теории чисел и алгебре, посвященной 105-летию И.М. Виноградова (сентябрь 1996 года, Тула).
Объем и структура работы.