Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аналитические всплески в пространствах типа Харди 29
1.1. Пространства типа Харди аналитических функций 29
1.2. Построение аналитических всплесков 31
1.3. Вспомогательные результаты 38
1.4. Теорема о базисе всплесков в пространствах типа Харди 47
1.5. Оценка скорости сходимости ряда всплесков 50
Глава 2. Гармонические всплески в пространствах типа Харди 69
2.1. Пространства типа Харди гармонических функций 70
2.2. Две вспомогательные гармонические системы 73
2.3. Вспомогательные результаты 78
2.4. Асимптотика функций из вспомогательных систем 99
2.5. Сходимость рядов по вспомогательным системам 105
2.6. Гармонические всплески 114
Заключение 129
Обозначения диссертации 131
Литература 136
- Построение аналитических всплесков
- Оценка скорости сходимости ряда всплесков
- Две вспомогательные гармонические системы
- Сходимость рядов по вспомогательным системам
Введение к работе
Актуальность темы. Общая теория вейвлет-анализа началась в восьмидесятых годах прошлого века с работ И. Мейера, С. Малла, которыми был предложен метод построения ортогональных систем всплесков в пространстве L2(R). Далее теория всплесков формировалась благодаря работам И. Добеши, A. Коена, П. Ж. Лемарье, В. M. Лоутона, С. Мал-ла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. В настоящее время теория всплесков продолжает активно развиваться. Вейвлетам посвящено множество статей и монографий.
Теория всплесков нашла применение на практике. Вейвлет-преобразование широко используется для анализа сигналов, очистке сигнала от шума и сжатия изображений с потерями. Наиболее известные примеры вейвлетной компрессии — форматы JPEG 2000, DjVu. Также теория всплесков нашла применение и в теоретической математике. Теория всплесков позволяет полностью охарактеризовать такие пространства, как пространства Бесова, Соболева и Лизоркина-Трибеля. На основе всплесков строятся базисы в различных пространствах. Ал. А. Привалов, М. А. Скопина, Р. А. Лоренц и А. А. Саакян построили базисы алгебраических и тригонометрических многочленов с минимально возможным ростом степеней в пространствах непрерывных функций на отрезке и непрерывных периодических функций на отрезке. Ю. Н. Субботин и Н. И. Черных построили базисы всплесков пространств Харди аналитических и гармонических функций в единичном круге и пространств типа Харди аналитических и гармонических функций в центральном и нецентральном кольцах.
Достоинством базисов всплесков является их простота. В пространстве непрерывных функций на отрезке были ранее построены и другие ортогональные базисы. Например, Ф. Франклин построил базис, который получа-3
ется за счет ортогонализации Грама-Шмидта относительно интегрального скалярного произведения специальной системы кусочно-линейных функций. В пространствах аналитических функций в круге и непрерывных в его замыкании строились базисы на основе системы Франклина или сплайнов в работах С. В. Бочкарева, З. Вронича, Ю. Н. Субботина , З. Чисельского. Однако, все эти базисы имели более сложный вид, чем базисы всплесков.
Цели и задачи исследования. Главной целью настоящей работы является построение аналитических и гармонических базисов всплесков в пространствах типа Харди аналитических и гармонических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, и исследование скорости сходимости рядов всплесков.
Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Основные результаты», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.
Теоретическая и практическая значимость работы. Построены аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, из которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения задачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не
могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что дает возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1–9]. Из них статьи [1–4] опубликованы в изданиях из списка, рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург, 2012); международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); международной конференции «Боголю-бовские чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 141 страница. Список литературы содержит 52 наименования.
Построение аналитических всплесков
Наконец, Г. Видом в работе [42] сделал принципиальный шаг в исследовании ортогональных многочленов и рассмотрел случай, когда ортогонализация проводится по нескольким жордановым кривым и дугам. Им получена асимптотика ортогональных многочленов при такой ортогонализации. В 1984 году А. И. Аптекарев (см. [5]) переформулировал асимптотику Г. Видома в других терминах, выразив ее в более явном виде.
Гармоническим многочленом называется вещественная часть некоторого алгебраического многочлена. Несмотря на то, что случай ортогональных многочленов хорошо изучен, о случае гармонических ортогональных многочленов известно сравнительно мало. В 1931 году Г. Мерриман в [33] рассмотрел случай гармонической функции, непрерывной в замыкании области, ограниченной контуром . Он установил, что ее ряды Фурье по гармоническим многочленам, ортогональным относительно контура , равномерно сходятся внутри области, ограниченной этим контуром. В [27] найдена асимптотика суммы квадратов двух подряд идущих гармонических многочленов в случае специальных весов и кривой . Фактически эти веса и кривая подбираются так, чтобы получить асимптотику, как следствие результата П. К. Суетина [25]. Прямое перенесение результатов, полученных для ортогональных многочленов, на гармонические многочлены не получается, поскольку для получения результатов в аналитическом случае использовалась формула Коши, которая не имеет простого эквивалента в гармоническом случае.
Цели и задачи исследования. Главной целью настоящей работы яв 14 ляется построение аналитических и гармонических базисов всплесков в пространствах типа Харди аналитических и гармонических функций в области, ограниченной несколькими окружностями, и исследование скорости сходимости рядов всплесков. Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Содержание работы», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.
Научные положения, выносимые на защиту. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты состоят в следующем:
1) построены аналитические всплески, образующие базис пространств типа Харди аналитических функций в области ограниченной несколькими окружностями, и получена оценка скорости сходимости частичных сумм ряда всплесков и их производных;
2) построены гармонические всплески ортогональные на границе области, ограниченной несколькими окружностями, и образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в этой области. Изучена скорость сходимости рядов по этой системе всплесков;
3) на основе методологии, развитой при конструировании ортогональных всплесков, в диссертации построены неортогональные гармонические всплески, образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в многосвязных областях, ограниченных несколькими окружностями, и исследована их скорость сходимости. Коэффициенты разложения гармонической функции по этим всплескам вычисляются простым образом как интегралы от произведения граничных значений этой функции на тригонометрические полиномы.
Теоретическая и практическая значимость работы. Построены аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, из которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения задачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что дает возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (Ми-асс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург, 2012); международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); международной конференции «Боголюбов-ские чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.
Оценка скорости сходимости ряда всплесков
Актуальность темы исследования. Данная диссертация посвящена построению базисов аналитических и гармонических всплесков и их приложению к решению задачи Дирихле в многосвязных областях. Мы коснемся следующих аспектов данной проблематики: теории всплесков, истории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций и результатов, относящихся к нахождению решения задачи Дирихле. Поскольку в диссертации используется метод ортогонализации, во введение включена история развития проблематики ортогонализации аналитических и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах комплексной плоскости.
В 80-х годах в работах С. Малла [32] и И. Мейера [34], [35] был предложен общий метод построения ортогональных систем вейвлетов в пространстве L2(R). Термин «wavelet» является английским аналогом французского «ondellete». В русскоязычной литературе устоялся предложенный К. И. Оскол-ковым термин «всплеск». Всплеск-анализ сформировался благодаря работам И. Добеши, A. Коена, П. Ж. Лемарье, В. M. Лоутона, С. Малла, И. Мейера и др. В России данной тематикой занимаются В. Г. Захаров, С. Ф. Лукомский, Т. П. Лукошенко, В. Н. Малоземов, И. Я. Новиков, А. П. Петухов, В. Ю. Протасов, М. А. Скопина, Ю. Н. Субботин, Ю. А. Фарков, Н. И. Черных и др. Всплескам посвящены множество монографий. В том числе монографии И. Добеши [12], С. Малла [17], И. Мейера [34], И. Я. Новикова, М. А. Скопиной, В. Ю. Протасова [19], А. П. Петухова [21], К. Чуи [28].
Классическая система ортогональных всплесков на вещественной оси строится в два этапа. Вначале находится функция р(х), по которой определяются ее кратномасштабные сжатия и сдвиги к{х) = T 2Lp{Tx - к). Функция ф) подбирается так, чтобы система {(pj,k(x) : j,k Є Z} являлась ортонорми-рованной относительно скалярного произведения (/,#)L2(R) = JRf(x)g(x)dx. Система функций fe-jfeW : j, к Є Z} порождает следующие подпространства пространства (К): з Функцию (р(х), порождающую кратномасштабный анализ, называют масштабирующей. По масштабирующей функции ф) подбирается функция ф(х) и по ней определяются функции фз,к(х) = УІЦ(Тх - к). Функция ф(х) подбирается так, чтобы пространства Система функций {ф к{х) :keZ}jeZ} называется всплесками.
Используя классические всплески на вещественной оси, И. Мейер в [34] построил периодические всплески на отрезке [0,1]. Для этого по функциям (Pj,k(x) и ф к(х) были определены их 1-периодизации по формулам
Из ортонормированности систем {(Pj,k(%)} и {Фі,к{х)} вытекает ортонормиро-ванность каждой из систем {Ф (ж) : 0 к 2J,j Є N} и {Ф0,о(ж) = 1, Ф (ж) : 0 к 2-7, j Є N} относительно скалярного произведения а также ортогональность пространств Vj и Wj.
Если всплески {Vj,k{x)} порождены функцией Мейера ф{х) = ф{х) при О є 1/3, то, как показали в Д. Оффин и К. И. Осколков в [37], они образуют базис пространств Lp[0,1], 1 р ос и С[0,1]. Чтобы ввести функцию (ж), рассмотрим неотрицательную четную дважды непрерывно дифференцируемую функцию Мейера ф(ш), которая удовлетворяет требованиям и 0{UJ) дважды дифференцируемая функция. Функция в(х) получается по формуле в(х) = JR0(t)e2mxtdt. Функция ф(х) определяется по правилу ф(х) = в(х-±.
Через Сг{а) и Вг(а) обозначим окружность с центром в точке а радиуса г и открытый шар, который она ограничивает. Рассматривается область комплексной плоскости К, ограниченная причем все замкнутые шары Brk{zk),k = 1, т попарно не пересекаются и лежат внутри шара i(0).
В первой главе рассматриваются пространства типа Харди однозначных аналитических функций НР{К), 1 р ос. Пространства типа Харди являются естественным обобщением классических пространств Харди в единичном круге. Обозначим через р минимум из попарных расстояний между компонентами границы области К окружностями Cro(z0)} Cri(zi),..., CrJzm). При 1 р оо будем считать, что f(z) Є НР(К), если f(z) аналитическая в К и выполнены требования
В диссертации установлено, в качестве простого следствия из теорем П. Фату (см. [11, Глава 9]), что если 1 р оо и выполнены условия (0.7), то функция f(z) почти всюду на границе области К имеет граничные значения f(zk+rkeix), определяемые как пределы linwfc f(zk + re%k = 0 . При р = оо полагаем f(z) Є Ноо К), если f(z) аналитическая в К и непрерывна в К.
В главе 2 диссертации рассматриваются пространства типа Харди веще-ственнозначных гармонических функций h p (K),l р оо. Они определяются практически так же, как классы НР(К), 1 р оо. При 1 р оо
Две вспомогательные гармонические системы
Задача названа в честь П. Дирихле, поскольку он предложил метод вариации. Вариационный метод основан на том, что среди всех функций u{z), определенных в D и принимающих наперед заданные значения на Г, решение задачи Дирихле минимизирует интеграл
В методе потенциалов (см. [8], c. 415-421) решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. Для этой плотности составляются интегральное уравнение Фредголь-ма, которое по теореме Фредгольма разрешимо. Однако в явном виде искомая плотность не выписывается.
В 1890 году А. Пуанкаре в [39] предложил метод выметания. Этот метод основан на том, что область комплексной плоскости можно представить в виде счетного объединения шаров. А. Пуанкаре предложил метод построения потенциала в области, являющейся конечным объединением шаров и получил решение в общем случае, устремляя количество шаров к бесконечности.
О. Перрон в 1923 в статье [38] опубликовал метод решения задачи Дирихле, заключающийся в построении последовательности супергармонических и субгармонических функций, общим пределом которых является искомое решение задачи Дирихле.
В случае, когда D является кругом, формула (0.11) превращается в формулу Пуассона: u(reix) = — Г и( )Р(гех-г)йі, 0 г 1, где Р(гегх) = 1_2г1с"0г82ж+г2 - ядро Пуассона. В центральном кольце ядро K(x,s) может быть найдено по формуле Вилля (см. [6], C. 237-240).
В случае многосвязных областей были предложены различные подходы к нахождению ядра K(x,s), которое однозначно определяется по геометрии области. В многих из следующих работ искалось решение задачи Шварца. Задача Шварца заключается в восстановлении аналитической функции (в общем случае, многозначной) в области по ее вещественной части на границе. Если взять вещественную часть от полученной аналитической функции, то мы найдем решение задачи Дирихле. Таким образом, задача Шварца является более сложной задачей.
В работах [4,10,36] Г. М. Голузина, И. А.Александрова и А. С. Сорокина, В. В. Митюшёва решение задачи Шварца в областях с круговыми границами находилось с помощью составления системы функциональных уравнений и последующего их решения методом последовательных подстановок. В статьях [1-3, 20] Л. А. Аксентьева и Е. Л. Пацевич ядра интегральной формулы Шварца находились с помощью метода симметрии.
Полученные в работах [1-4,10,20,36] формулы для решения задачи Дирихле похожи, поэтому приведем только одну формулу в области К из работы [1]: J где штрих после знака суммы означает, что в член ряда при к = 0 вычитаемое не входит, Ф(г) — функция симметрии относительно окружности Со(1), являющейся внешней границей К; Г — объединение всех граничных окружностей; функция Tk(z) является дробно-линейной функцией или сопряженной к ней, которая сопоставляет точке z точку, полученную путем последовательных симметрий относительно конечной последовательности граничных окружностей, причем суммирование в формуле происходит по всем таким последовательностям любой длины п, занумерованным натуральными числами; to — некоторая точка комплексной плоскости.
В [13] приводится решение задачи Шварца в многосвязной области, ограниченной конечным числом кривых. Ядра в этой работе выражались через -функцию Римана, которая представима в виде многократного ряда.
В главе 2 диссертации исследуется ортогонализация системы рациональных гармонических функций на нескольких окружностях, которая является новой и еще не была изучена. Поэтому мы приведем здесь историю развития родственной проблематики, касающейся ортогонализации многочленов и гармонических многочленов на одном и нескольких контурах.
Ортогональные на контуре комплексной плоскости многочлены были впервые исследованы Г. Сегё в 1921 году в работе [40]. Пусть на замкнутом спрямляемом контуре определена неотрицательная суммируемая функция rj(z), равная нулю не более чем на множестве меры нуль. Ортонормированными по контуру с весом rj(z) называются алгебраические многочлены Pn(z), имеющие положительный старший коэффициент и удовлетворяющие следующему условию:
Эти многочлены были подробно изучены Г. Сегё в случае, когда ф) = 1 и контур является аналитической кривой. В частности, в этой работе найдена асимптотика ортогональных многочленов и исследована сходимость рядов по этим многочленам к аналитической функции, по которой они построены. В монографии Г. Сегё «Ортогональные многочлены» результаты его работы [40] были обобщены на случай непрерывной положительной весовой функции r)(z) на кривой . В работе П. П. Коровкина [16], вышедшей в 1941 году, уточняется асимптотика ортогональных многочленов в случае аналитической кривой, получен 13 ная Г. Сегё. В статье [9] Я. Л. Геронимус изучил асимптотическое представление ортогональных многочленов при минимальных условиях на контур и весовую функцию, но без оценки остаточного члена. В 1966 году П. К. Су-етин в статье [25] нашел асимптотику ортогональных многочленов в случае, когда контур удовлетворяет условию Липшица и изучил сходимость ряда ортогональных многочленов внутри области, ограниченной , а также на самой кривой в области с достаточно гладкой границей.
Наконец, Г. Видом в работе [42] сделал принципиальный шаг в исследовании ортогональных многочленов и рассмотрел случай, когда ортогонализация проводится по нескольким жордановым кривым и дугам. Им получена асимптотика ортогональных многочленов при такой ортогонализации. В 1984 году А. И. Аптекарев (см. [5]) переформулировал асимптотику Г. Видома в других терминах, выразив ее в более явном виде.
Гармоническим многочленом называется вещественная часть некоторого алгебраического многочлена. Несмотря на то, что случай ортогональных многочленов хорошо изучен, о случае гармонических ортогональных многочленов известно сравнительно мало. В 1931 году Г. Мерриман в [33] рассмотрел случай гармонической функции, непрерывной в замыкании области, ограниченной контуром . Он установил, что ее ряды Фурье по гармоническим многочленам, ортогональным относительно контура , равномерно сходятся внутри области, ограниченной этим контуром. В [27] найдена асимптотика суммы квадратов двух подряд идущих гармонических многочленов в случае специальных весов и кривой . Фактически эти веса и кривая подбираются так, чтобы получить асимптотику, как следствие результата П. К. Суетина [25]. Прямое перенесение результатов, полученных для ортогональных многочленов, на гармонические многочлены не получается, поскольку для получения результатов в аналитическом случае использовалась формула Коши, которая не имеет простого эквивалента в гармоническом случае.
Сходимость рядов по вспомогательным системам
Методы исследования. В диссертации использовались методы комплексного анализа и теории функций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации, изложенные ниже в разделе «Содержание работы», являются новыми в теории всплесков и теории построения базисов в пространствах аналитических и гармонических функций.
Научные положения, выносимые на защиту. Достоверность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгими математическими доказательствами. Основные результаты состоят в следующем:
1) построены аналитические всплески, образующие базис пространств типа Харди аналитических функций в области ограниченной несколькими окружностями, и получена оценка скорости сходимости частичных сумм ряда всплесков и их производных;
2) построены гармонические всплески ортогональные на границе области, ограниченной несколькими окружностями, и образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в этой области. Изучена скорость сходимости рядов по этой системе всплесков;
3) на основе методологии, развитой при конструировании ортогональных всплесков, в диссертации построены неортогональные гармонические всплески, образующие базис пространств типа Харди гармонических функций в многосвязных областях, ограниченных несколькими окружностями, и исследована их скорость сходимости. Коэффициенты разложения гармонической функции по этим всплескам вычисляются простым образом как интегралы от произведения граничных значений этой функции на тригонометрические полиномы.
Теоретическая и практическая значимость работы. Построены аналитические и два вида гармонических всплесков в области, ограниченной несколькими окружностями. Эти всплески образуют базис пространств типа Харди аналитических и гармонических функций соответственно. Тем самым, в диссертации продолжены исследования по построению базисов в пространствах аналитических и гармонических функций. Сделаны оценки скорости сходимости рядов по построенным всплескам, из которых, в частности, следует, что для аналитических и гармонических функций с непрерывными граничными значениями соответствующие ряды сходятся равномерно в замыкании области. Построенные гармонические всплески могут быть использованы для решения задачи Дирихле, возникающей на практике. Эти всплески дают простой метод для численного решения задачи Дирихле. Известные интегральные формулы для решения задачи Дирихле имеют неограниченные ядра вблизи границы области и поэтому не могут быть использованы для определения решения вблизи границы из-за возникающей большой погрешности. Ряды гармонических всплесков сходятся равномерно в замыкании области, что дает возможность численно определять значения решения задачи Дирихле рядом с границей области.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (Ми-асс, 2011, 2012, 2013); всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики и ее приложений» (Екатеринбург, 2011, 2013); международной конференции «Wavelets and applications» (Санкт - Петербург, 2012); международной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2013); международной конференции «Боголюбов-ские чтения DIF-2013» (Севастополь, 2013) и на совместных семинарах отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44–52]. Из них статьи [44–47] опубликованы в изданиях из списка, реко 16 мендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 141 страница. Список литературы содержит 52 наименования.
Содержание работы. Диссертационная работа содержит введение, две главы, заключение, обозначения диссертации, список литературы и список публикаций автора. В работе принята:
1) двойная нумерация параграфов, первая цифра указывает на номер главы, вторая - на номер параграфа в данной главе. Например, параграф 1.5 — пятый параграф первой главы;
2) двойная нумерация формул, лемм, утверждений и теорем: первая цифра указывает на номер главы, в которой содержится объект, вторая — на номер объекта в данной главе. Например, формула 1.5 - пятая из пронумерованных формул первой главы;
Перейдем к описанию результатов первой главы диссертации.
В [24] были построены аналитические всплески в нецентральном кольце на основе всплесков в центральном кольце с помощью конформного отображения. В главе 1, на основе всплесков вышеназванной статьи, построен базис пространств типа Харди аналитических функций в К без применения конформного отображения в областях с круговыми компонентами границы со связностью 2 и более. Это приводит к более простым базисным функциям и формулам для коэффициентов разложения по всплескам, чем в случае нецентрального кольца