Аналитические аспекты теории алгебраических функций Михалкин Евгений Николаевич

Содержание к диссертации

Введение

1. Степенные ряды и интегральные представления для общей алгебраической функции 26

1.1 Формулы Меллина и Биркелана 27

1.2 Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку 28

1.3 Решение уравнения (1.4) с помощью интеграла по контуру 33

1.4 Представление решения триномиального уравнения обобщенным гипергеометрическим рядом 38

1.5 Случай кубического уравнения: соотношение с формулой Кардано 43

1.6 Уравнение четвертой степени: нелинейная связь с гипергеометрической функцией Гаусса 45

1.7 Роль дискриминанта в формуле для решения тетраномиального кубического уравнения 47

2. Монодромия общей алгебраической функции 49

2.1 Монодромия общей алгебраической функции вблизи области D 50

2.1.1 Область сходимости гипергеометрического ряда, представляющего решение общего алгебраического уравнения 50

2.1.2 Понятие амебы алгебраического множества 51

2.1.3 Касание разрезов Е± дискриминантного множества

2.1.4 Примыкание разрезов Е± к области D 56

2.1.5 Монодромия для у{х) вблизи области D 59

2.1.6 Монодромия решений триномиального уравнения 63

2.2 Логарифмический метод аналитического продолжения общей

алгебраической функции 68

2.2.1 Идея логарифмического метода на примере триномиального уравнения 69

2.2.2 Понятие коамебы и область сходимости интеграла Меллина-Барнса 71

2.2.3 Формулировки теорем об аналитическом продолжении 73

2.2.4 Доказательство Теоремы 12 76

2.2.5 Доказательство Теоремы 11 81

3. Структура классического дискриминанта и его нулевого множества 85

3.1 Общие факты о структуре дискриминанта и дискриминантного множества 86

3.1.1 Многогранник Ньютона для дискриминанта 86

3.1.2 Приведенные дискриминанты и параметризации их нулевых множеств 89

3.2 Срезки дискриминанта на грани его многогранника Ньютона 91

3.2.1 Грани многогранника Ньютона дискриминанта, являющиеся призмами 91

3.2.2 Факторизуемость срезок дискриминанта на гиперграни его многогранника Ньютона и асимптоты некоторых стратов самопересечения 97

3.3 Л-дискриминантные множества 108

3.4 Сингулярные страты каспидального типа для классического дискриминанта 113

3.4.1 Амебы некоторых стратов приведенного дискриминант-ного множества 115

3.4.2 Критические страты параметризации Фоп классического приведенного дискриминантного множества Von 119

3.4.3 Равенство стратов М3 HCJ 126

3.4.4 Параметризации стратов ЛЛ1Щ 131

3.4.5 Доказательство Теоремы 17 136

4. Формулы для особых точек общих алгебраических поверхностей 143

4.1 Формула для особых точек общей алгебраической гиперповерхности 144

4.2 Кратные решения общей системы из п полиномиальных уравнений от п неизвестных

4.2.1 О дискриминантном множестве системы п полиномов Лорана от п переменных 152

4.2.2 Формулы для кратных решений общей системы из п полиномиальных уравнений от п неизвестных 157

Заключение 160

Список литературы

• Решение уравнения (1.4) с помощью интеграла по контуру
• Понятие амебы алгебраического множества
• Приведенные дискриминанты и параметризации их нулевых множеств
• Кратные решения общей системы из п полиномиальных уравнений от п неизвестных

Введение к работе

Актуальность темы

Функция, связанная алгебраическим уравнением с одной или несколькими независимыми переменными, называется алгебраической. После появления результатов Абеля (1824) и Галуа (1830) о невозможности решения в радикалах общего алгебраического уравнения степени > 5 все внимание в исследовании такого уравнения было обращено к аналитическим методам решений. Идея такого перехода была подана еще Виетом в 16 веке, но лишь в 1858 г. Эрмит¹ и Кронекер², независимо друг от друга, осуществили идею Виета. А именно, им удалось выразить решение уравнения

у⁵ + Ъу = а

(к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразований Чирнгауза³) через модулярную эллиптическую функцию переменного а. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Меллином⁴ было найдено решение для приведенного алгебраического уравнения

У^п + Жп-іу""¹ + ... + т_Лу - 1 = 0 (1)

в терминах гипергеометрических рядов переменных жі,..., ж_п_і, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение п-ой степени записывается в виде

а_пу^п + ... + aiy + а₀ = 0. (2)

Полную аналитическую функцию решений этого уравнения называют общей (универсальной) алгебраической функцией. Она обладает свойством двойной однородности⁵, и потому фактически зависит лишь от п — 1 переменных я?і,..., х_п-\. Иными словами, достаточно рассмотреть уравнение (1) или

termite Ch. Sur la resolution de l'equation du cinquieme degre// C. R. Acad. Sci. 46 (1858), P. 508 - 515.

²Kronecker L. Sur la resolution de l'equation du cinquieme degre// C. R. Acad. Sci. 46 (1858), P. 1150 - 1152.

³Tschirnhaus. Nova methodus auferendi omnes terminos intermedios ex data aequatione// Acta eruditorum. Bd. 2. Leipzig. 1683, P. 204 - 207.

⁴Mellin H.J. Resolution de l'equation algebrique generale a l'aide de la fonction gamma// C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 172 (1921), P. 658 - 661.

⁵Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series. In the book "The legacy of Niels Henrik Abel". Springer: Berlin-Heidelberg-New York, 2004. P. 653 - 672.

уравнение вида

х_пу^п + ... + y^q + ... + у^р + ... + х_ху + х₀ = 0, (3)

где коэффициенты при любой паре мономов фиксированы. В случае р = О, q = п получаем уравнение (1), где знак «минус» перед единицей взят для удобства. Биркелан⁶ распространил результат Меллина на уравнения (3) с произвольными парами р, q₇ предъявив с помощью метода Лагранжа степенные ряды гипергеометрического типа для решений этого уравнения.

Следующим этапом развития теории алгебраических функций явился результат Умемуры⁷ о том, что уравнение любой степени можно решить с помощью тэта-функций, тем самым, был обобщен результат Эрмита-Кронекера.

Новый всплеск внимания к аналитическим аспектам теории алгебраических функций возник в 2000 году, когда Семушева и Цих⁸, и независимо от них, Штурмфельс⁹ показали возможность реализации аналитического продолжения общей алгебраической функции, используя понятия гипергеометрических функций по Горну¹⁰ и Гельфанду-Капранову-Зелевинскому¹¹, соответственно. Теория гипергеометрических функций и связанные с ней теории дискриминантов и многогранников были глубоко изучены в конце про-

/ 12 13 14

шлого века (см. книги , а также списки цитированной литературы в

них). Оказалось, что сингулярностями гипергеометрических функций являются дискриминантные множества общих алгебраических гиперповерхностей

⁶Birkeland R. Les equations algebriques et les fonctions hypergeometriques// Ark. Norske Vid.-Akad. Oslo. 8 (1927), P. 1 - 23.

⁷Умемура X. Решения алгебраических уравнений с помощью тэта-констант/ Приложение в книге Мам-форд Д. "Лекции о тэта-функциях". М.: Мир, 1988. С. 362 - 370 (Оригинальное издание: Mumford D. Tata lectures on Theta 1, 2. Progress in Math., V. 28, 43. Birkhauser, 1983, 1984).

⁸Семушева А.Ю., Цих А.К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений. В кн.: Комплексный анализ и дифференциальные операторы (к 150-летию СВ. Ковалевской), КрасГУ, 2000, С. 134 - 146.

⁹Sturmfels В. Solving algebraic equations in terms of A-hypergeometric series// Discrete Math. 210 (2000), P. 171 - 181.

¹⁰Horn J. Uber die Convergenz der hypergeometrischen Reihen zweier und dreier Veranderlichen// Math. Ann. 34 (1889), P. 544-600.

^пГельфанд И.М., Зелевинский А.В., Капранов M.M. Гипергеометрические функции и торические многообразия// Функц. анализ и его прилож. 1989. Т. 23, №2, С. 12 - 26.

¹²Васильев В.А. Топология дополнения к дискриминантам. М.: Фазис, 1997.

¹³Gelfand I., Kapranov М., Zelevinsky A. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Birkhauser: Boston, 1994.

¹⁴Садыков T.M., Цих А.К. Гипергеометрические и алгебраические функции многих переменных. М.: Наука, 2014.

и только они.

По очевидным причинам дискриминант А (а) алгебраического уравнения (2) играет важную роль при описании структуры и свойств общей алгебраической функции у (а), например, потому, что нули дискриминанта составляют множество сингулярностей для у (а). Структура дискриминантного множества V = {а : А(а) = 0} настолько богатая, что она уже многие годы привлекает пристальное внимание алгебраических геометров¹⁵, а также специалистов по теории сингулярностей^{16 17} и теории представлений¹⁸. Видимо, Д. Гильберт был первый, кто определил сингулярную стратификацию дискриминантного множества¹⁹. Несомненно, столь глубокое проникновение им вглубь структуры дискриминантного множества было связано с вопросом о структуре общей алгебраической функции, в частности, с 13-ой проблемой Гильберта (1900) о суперпозиции общей алгебраической функции посредством функций двух переменных.

Несмотря на впечатляющие многовековые достижения в теории алгебраических функций, в ней остается много неисследованных вопросов. Например, формулы Меллина и Биркелана имеют весьма узкие области сходимости, и этот факт ограничивает диапазон их применений; результаты Эрмита, Кро-некера и Умемуры устанавливают лишь мост между алгебраическими функциями и тэта-функциями, но до сих пор аппарат тэта-функций не приспособлен для непосредственного оперирования с алгебраическими функциями. Усилить данный тезис о неисследованности многих вопросов теории алгебраических функций можно словами из статьи А.Г. Витушкина²⁰: «Теорема Колмогорова о суперпозициях непрерывных функций опровергает гипотезу 13-ой проблемы Гильберта. Однако, алгебраическое ядро проблемы осталось незатронутым. Можно рассчитывать на положительное решение проблемы в классе аналитических функций (т.е. на возможность суперпозирования общей алгебраической функции посредством аналитических

¹⁵Gelfand I., Kapranov М., Zelevinsky A. Op.cit.

¹⁶Александров А.Г. Индекс дифференциальных форм на полных пересечениях// Функц. анализ и его прил. 2015. Т. 49, №- 1, С. 1 - 17.

¹⁷Васильев В.А. Ветвящиеся интегралы. М.: МЦНМО, 2000.

¹⁸Weyman J. Gordan Ideals in the theory of Binary Forms// J. of Algebra. 161 (1993), P. 358 - 369. ¹⁹Hilbert D. Uber die Singularitaten der Diskriminantenflache// Mathem. Annalen. 30 (1887), P. 437 - 441. ²⁰Витушкин А.Г. 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы// УМН. 2004. Т. 59, № 1, С. 11 - 21.

функций двух переменных). Таким образом, проблема (о структуре общей алгебраической функции) остается открытой и диапазон вопросов по большому счету столь же широк, как и в начале XX века».

Цель диссертации

Целью диссертационной работы является получение новых аналитических формул в виде степенных рядов и интегралов с параметрами для решения общего алгебраического уравнения, разработка конструктивных методов вычисления монодромии общей алгебраической функции, исследование сингулярной стратификации и дифференциальной геометрии ее дискрими-нантного множества, применение полученных результатов к эффективному нахождению сингулярных точек общих алгебраических гиперповерхностей в виде явных аналитических формул.

Методика исследования

В работе используются результаты и методы теории гипергеометрических функций многих переменных, с помощью которых доказывается интегральная формула для решения общего алгебраического уравнения. На основе этой формулы описывается монодромия общей алгебраической функции, при этом в значительной мере используются понятия амебы и коамебы применительно к дискриминантным множествам.

Напомним, что амеба и коамеба алгебраического множества V С (С \ 0)^т определяются как образы множества V относительно отображений

Log:(C\0)^m—>Ж^т_} Arg:(C\0)^m—> M^m,

которые переводят точку z Є (С \ 0)^т в

Log(z) = (log|2i|,...,log|2_m|), Aig(z) = (arg 2i,..., arg2_m),

соответственно. Поскольку полный (комплексный) логарифм представляет собой сумму

Log_c (z) = Log (z) + iAig (z),

амеба и коамеба V - это вещественная и мнимая проекции V в логарифмической шкале.

Основу логарифмического метода аналитического продолжения общей алгебраической функции составляет гомологический принцип разделяющих циклов из теории многомерных вычетов.

Для предъявления мономиальных формул, связывающих сингулярные страты каспидального типа и Л-дискриминантные множества, используется параметризация Горна-Капранова для приведенного Л-дискриминантного множества алгебраического уравнения от к неизвестных, а также теорема Капранова²¹ о характеризации такого множества в терминах логарифмического отображения Гаусса. Для классического дискриминантного множества, т.е. для дискриминантного множества приведенного алгебраического уравнения (3), мы используем (q — р)-значную параметризацию типа Горна-Капранова, полученную в статье Пассаре-Циха²². С помощью этой параметризации доказывется представление для кратных корней уравнения (3) в виде элементарной функции. По теореме Капранова параметризация дискриминантного множества этого уравнения является обращением логарифмического отображения Гаусса, и это обстоятельство используется при нахождении формулы для особых точек общих алгебраических поверхностей через коэффициенты исходного уравнения.

Для доказательства факторизации срезок дискриминанта многочлена в произведение дискриминантов многочленов меньших степеней, используется формула Гельфанда-Капранова-Зелевинского²³ для коэффициентов при мономах, соответствующих вершинным точкам многогранника Ньютона дискриминанта многочлена. Поскольку многогранник Ньютона дискриминанта многочлена степени п комбинаторно эквивалентен (п — 1)-мерному кубу, его вершины удобно индексировать целочисленными триангуляциями отрезка [0,п].

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми. В частности, получена новая формула в виде ветвящегося интеграла, с помощью которой

²¹Kapranov М.М. A characterization of A-discriminantal hypersurfaces in terms of the logarithmic Gauss map// Math. Ann. 290 (1991), P. 277 - 285. ²²Passare M., Tsikh A. Op. cit. ²³Gelfand I., Kapranov M., Zelevinsky A. Op. cit.

вычислена монодромия общей алгебраической функции в окрестности области сходимости представляющего ее гипергеометрического ряда Меллина. Построен новый, так называемый логарифмический метод аналитического продолжения алгебраических функций.

Исследованы сингулярные страты каспидального типа для классического дискриминантного множества. Доказано, что такие страты моно-миальными преобразованиями переводятся в А-дискриминантные множества, тем самым предсказано существование иерархии между стратами всех А-дискриминантных множеств.

Впервые получены явные аналитические формулы для особых точек общих алгебраических гиперповерхностей.

Практическая и теоретическая ценность

Результаты, полученные в диссертационной работе, представляют теоретический интерес и могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, алгебраической геометрии, а также в теории сингулярностей.

Апробация работы

Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих конференциях:

1. Международной школе-конференции «Комплексный анализ и его приложения» (Краснодар, 2005);

2. Международной конференции «Analysis and geometry on complex varieties» (Красноярск, 2007);

3. Международной конференции «Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mathematical Physics» (Москва, 2007);

4. Втором российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Москва, 2008);

5. Пятом российско-китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения» (Москва-Белгород, 2009);

6. Международной конференции «Современный анализ и его приложения» (Новосибирск, 2009);

7. Летней школе-конференции по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа (Ярославль, 2011);

8. Четвертом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012);

9. Летней школе-конференции по проблемам алгебраической геометрии и комплексного анализа (Ярославль, 2013);

10. Сателлитной конференции Международного конгресса математиков в Корее: International conference on Complex Analysis and Geometry (KSCV- 10) (Gyeong-Ju, 2014);

11. Пятом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, 2014);

12. Международной конференции «Multidimentional complex analysis and differential equations» (Красноярск, 2014);

13. Пятой школе-конференции по алгебраической геометрии и комплексному анализу для молодых математиков России (г. Коряжма, Архангельской области, 2015).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1 - 11], входящих в перечень рецензируемых изданий, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы

Решение уравнения (1.4) с помощью интеграла по контуру

В случае, когда к = 1, А = {0,1, 2 ..., п} С Z, множество V превращается в классическое дискриминантное множество V уравнения (0.2).

В формулировке Теоремы 17 каждое V . - это А,-дискриминантное множество уравнения с j — 1 неизвестными, при этом мощность каждого множества Aj равна п + 1 и V А2 = V. Например, страт Л 3 для уравнения 4-ой степени мономиальным преобразованием сводится к дискриминантному множеству уравнения аоо + аюУі + аот + азі2/і2/2 + а&зУїУІ = В параграфе 3.4.2 описываются критические страты CJ параметризации Горна-Капранова Фоп : CPn"2 — Von С С""1 для приведенного дискриминантного множества Von (явное выражение для Фоп определено формулой (3.10)). Первый страт С1 определяется как множество критических значений параметризации Фоп- Ранее в [97] было показано, что критические точки отображения Фоп составляют некоторую гиперплоскость L\ С CPn , следовательно, первый критический страт С1 параметризуется сужением Фоп на L\. Таким образом, можно определить страт С2 критических значений этого сужения и далее действовать по индукции. Для формулировки итогового результата введем следующие гиперплоскости в CPn :

Теорема 19 Сингулярные страты A4J0n cVon приведенного уравнения (3.8) совпадают с критическими стратами С3 параметризации Фоп Таким образом, с учетом Теоремы 18, страты Ad3Qn параметризуются сужениями Фоп ТІ I Li- Приведем одно следствие Теоремы 17, касающееся задачи об алгебраических статистиках в рамках исследований по компьютерной биологии [95], [101]. Пусть X С (С )т - замкнутое неприводимое алгебраическое подмножество (определяющее статистическую модель, в которой роль семейства распределений вероятностей играет вещественный срез X П Шт). Ненулевой элемент s = (si,..., sm) Є Zm определяет мономиальную функцию (функцию правдоподобия)

Обозначим через Xsm множество гладких точек X. Степенью максимального правдоподобия множества X называют число критических значений мономи-альной функции zs\Y для достаточно общих s Є CPm (заметим, что пере-ходя к функции log:rs мы сохраняем множество критических точек и можем их рассматривать не только для целых s). В [101] Б. Штурмфельс поставил задачу геометрического описания алгебраических подмножеств X С (С )т, у которых степень максимального правдоподобия равна единице. Недавно в статье [84] было доказано, что степень максимального правдоподобия X равна единице тогда и только тогда, когда мономиальным преобразованием с конечными слоями X переводится в приведенное Л-дискриминантное множество. С учетом результата [84], по Теореме 17 получаем такое Следствие 0.1. Если q = р + 1, то степень максимального правдоподобия всех приведенных стратов MJpq П (C )n_1, j = 2,..., п, равна единице.

В заключительной четвертой главе приводятся формулы для особых точек общих алгебраических гиперповерхностей V С (С \ 0) , заданных уравнениями вида (0.20) от к неизвестных. Термин «общая алгебраическая гиперповерхность» означает, что в (0.20) коэффициенты переменные. Точка у называется особой для гиперповерхности V7 если в ней многочлен / равен нулю вместе со своим градиентом. Таким образом, особые точки определяются системой уравнений ду\ " дук Другими словами, особые точки гиперповерхности V - это решения уравнения (0.20) на Л-дискриминантном множестве V ; такие решения также называем кратными. В частности, при к = 1 имеем общее алгебраическое уравнение (0.2). Как мы знаем, с помощью элементарной замены это уравнение можно привести к уравнению

Для его дискриминантного множества V имеется параметризация х = Ф($) вида (0.8), с помощью которой вычисляется сужение решения у(х) уравнения (0.21) на V: Заметим, что параметризация дискриминантного множества представляет его нормализацию с помощью параметра s. Если пытаться записать формулу для сужения у(х) в объемлющих координатах ж, то единой формулы для всех ж Є V не получится. Однако, в гладких точках V, где gradA дискрими нанта не равен нулю, такая формула следующая:

По аналогичной схеме с использованием параметризации Горна-Капранова для Л-дискриминантного множества V , вычисляются решения уравнения (0.20) на V . В уравнении (0.20) можно зафиксировать к + 1 коэффициентов, а именно, достаточно рассматривать приведенное уравнение где матрица 5 = (ск ), i,j = 1,..., к невырожденная. Дискриминантное множество V этого уравнения допускает параметризацию Горна-Капранова по формуле w = (Bs)B. Здесь В - соответствующий приведению (0.22) правый аннулятор ранга т = -j A — к — 1 для матрицы из вектор столбцов а Є А: дополненной строкой из единиц. Пусть bo, &i,..., bk - первые к + 1 строк матрицы В.

В 1921 г. X. Мел лин получил интегральную формулу для решения общего приведенного алгебраического уравнения [92]. Ранее он нашел формулу обращения для преобразования Лапласа и обнаружил при этом, что экспоненциальной подстановкой преобразование Лапласа сводится к весьма полезному интегральному преобразованию, названному впоследствии меллиновским. В указанной статье 1921 г. Меллин продемонстрировал хрестоматийную суть интегральных преобразований: зная входной сигнал в одной его идентификации, можно получить его другую идентификацию посредством формулы обращения. В данном случае входной сигнал - общая алгебраическая функция у(х): идентифицируется алгебраическим уравнением, и уже этого факта достаточно для явного вычисления прямого преобразования Меллина М[у] для у{х). Применив формулу обращения М_1[М[у]] = у, Меллин восстановил у(х) с идентификацией в виде интеграла типа Меллина-Барнса. Тем самым, было обнаружено, что общая алгебраическая функция является функцией гипер геометрического типа и были предъявлены явные степенные ряды для нее.

Цель настоящей главы - получить на основе формулы Меллина другую интегральную формулу для общей алгебраической функции. Полученная формула позволит нам в следующей главе описать некоторые свойства монодро-мии общей алгебраической функции, которые затруднительно обнаружить с помощью интегральной формулы Меллина.

Понятие амебы алгебраического множества

Итак, согласно Предложению 2.3, комплексная прямая ж = гіФ 0) 0)) пересекает каждую из п струн S ровно в одной точке. Обозначим через (Tj петлю, лежащую в указанной прямой, проходящую через х = 0 и окружающую лишь струну S . Согласно Следствию 2.1, каждая из струн S является точкой ветвления лишь двух ветвей yj(x) и yj+i(x) (с учетом цикличности) из набора уо(ж),..., уп-\(х) всех ветвей.

Также из Следствия 2.1 несложно сделать вывод, что ветвь yj(x) при обходе петли (jj переходит в ветвь yj+i(x) (здесь понимаем, что j = 0,...,п — 1, т.е. учитываем условие цикличности по mod п). Действительно, если предположить, что рассматриваемая ветвь переходит в отличную от yj+i(x) ветвь, то точка S будет являться точкой ветвления бесконечного порядка, т. к. лишь две ветви yj(x) и yj+i(x) имеют ветвление в этой точке. Аналогично получаем, что ветвь yj(x) при обходе петли (Jj-i переходит в ветвь yj_\(x).

Наконец, укажем порядок ветвления струн S . Как было показано, ветвь yj(x) при обходе петли (jj переходит в ветвь yj+i(x). А ветвь yj+i(x) при обходе петли (jj переходит в ветвь 2/(J__I)_I(IE) = yj(x). Итак, ветвь yj при двукратном обходе петли (jj перешла сама в себя. Следовательно, порядок ветвления струн S равен двум. Таким образом, доказана следующая

Поясним, что в соответствии с [25], здесь в скобках просуммированы со знаком " + " модули коэффициентов при у в аргументах гамма-функции в числителе интеграла (2.18) и со знаком " —" — коэффициент в знаменателе. Поскольку по Теореме 1 интеграл (2.17) сходится во всей плоскости переменного ж, кроме двух лучей, мы видим, что в случае триномиального уравнения область сходимости интеграла (2.17) значительно шире области сходимости интеграла Меллина-Барнса (2.18).

Не ограничивая общности будем считать, что тип взаимно просты (уравнение (2.16) сводится к этому случаю заменой у = zd, где d — наибольший общий делитель для тип). В этом случае дискриминант уравнения допускает наиболее краткую запись и он равен (см. [97]) лежащих на одной окружности. Заметим, что точки хо и хп-т дискриминант-ного множества — суть начала лучей S_ и Е+, вне которых, по Теореме 1, у(х) голоморфна и однозначна. Поэтому, обозначив через o s петлю, проходящую через х = 0 и окружающую лишь точку xs, мы приходим к следующему утверждению:

Ветвь y3 при обходе петли r_m(j+i)(modn) переходит в ветвь 2/(j+i)(modn). Действительно, если предположить, что рассматриваемая ветвь переходит в отличную от y(J+i)(modn) ветвь, то точка x_m{j+l){modn) будет являться точкой ветвления бесконечного порядка, так как лишь две ветви yj и y(j+i)(modn) имеют ветвление в этой точке. Аналогично получаем, что ветвь yj при обходе

Найдем порядок ветвления точек xs. Как было выше показано, ветвь yj при обходе петли a_m(j-+i)(modn) переходит в ветвь 2/(j+i)(modn), в свою очередь, ветвь y(j+i)(modn) при обходе петли a_m(j+i)(modn) переходит в ветвь У(j+1-1)(modn) = Vj- Таким образом, ветвь yj при двукратном обходе петли (J-m(j+i)(modn) переходит сама в себя. Следовательно, порядок ветвления точек xs равен двум. Итак, доказана

При этом, ветвь yj при обходе петли o _mj(mo(in) переходит в ветвь y(3-i)(modn), а при обходе петли o--m(j+i)(modn) - в ветвь y(3+i)(modn) Пользуясь Теоремой 8 несложно доказать неразрешимость в радикалах решения уравнения (2.16) степени выше 4. (О разрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения с помощью теории Галуа см. [47]). Действительно, согласно доказательству Теоремы 8, каждая дискриминантная точка

X-mj(modn) ЯВЛЯЄТСЯ ТОЧКОЙ ВЄТВЛЄНИЯ ЛИШЬ ДВуХ ВЄТВЄЙ y(j-l)(modn) И yj(modn) Это означает, что при обходе каждой из петель 7Oj(TO0dn) все ветви кроме двух: у 2-і и у J переходят в себя, а упомянутые ветви yj_i,yj - одна в другую (напомним, что в наших предположениях (т,п) = 1). В этом случае группа монодромии решения у(х) порождается смежными транспозициями

В продолжении этой главы пополним перечень аналитических продолжений из [43], а именно, приведем все ряды Лорана-Пюизо с центром в точке х = О, представляющие аналитические продолжения уо(х). Также опишем области сходимости этих рядов. Гассмотрим и способ аналитического продолжения уо(х) в другие ряды. 2.2.1 Идея логарифмического метода на примере триномиального уравнения

Если будем вычислять (2.24) как сумму вычетов в полюсах функции T(s), расположенных левее контура интегрирования, то вновь получим ряд (2.22). Таким образом, для рассматриваемого кубического уравнения мы получили три степенных ряда, сходящихся в круге \х\ -щ (это главное решение (2.22) рассматриваемого уравнения, и два других, соответствующих значениям j = 1, 2), а также три ряда, сходящихся вне указанного круга (это ряд (2.23) и две ветви ряда (2.26)). В силу того, что области сходимости рассматриваемых рядов имеют непустое пересечение с секторами, в которых аналитичны интегралы для у(х) и -т -т, то ряды (2.23) и (2.26) являются аналитическим продолжением ряда (2.22) из круга \х\ -= в его внешность. При этом (2.23) продолжается через сектор arg:r (см. Рис. 12 слева), а ряд (2.26) - через сектор arg ж Щ- (Рис. 12 справа).

Аналогично кубическому уравнению можно было рассмотреть любое триномиальное уравнение уп+х\уП1 — 1 = 0. Напомним, что все дискриминантные точки такого уравнения лежат на одной окружности (жирные точки на Рис. 12 в случае кубического уравнения). Все они являются точками ветвления второго порядка для решения у{х) (см. параграф 2.1.6).

Приведенные дискриминанты и параметризации их нулевых множеств

Вычислим срезку А . Согласно (3.14), целочисленные точки из ЛГ(А). принадлежащие д определяются следующими условиями: не являются вершинными, но соответствуют некоторым мономам дискриминанта рассматриваемого уравнения. При 5 = 1 Для каждой целочисленной точки из Z 0, являющейся решением системы (3.24), не существует соответствующего монома, участвующего в дискриминанте рассматриваемого многочлена шестой степени. Что же касается плоскости при t$ = 2, то здесь воспользуемся тем фактом, что каждая точка этого основания получается из основания, определенного условием t$ = 0, с помощью параллельного переноса на вектор (0, 0, 0, —1,2). В результате получаем такие точки на оставшемся основании (при t$ = 2):

Срезки дискриминанта на оставшиеся гиперграни Снова перейдем к полиному (3.21) степени 5. Рассмотрим срезки А его 9к дискриминанта на оставшиеся гиперграни д : т.е. на д\ и д±. Гипергрань д определяется системой tti + 3t2 + 2t3 + U 20, 3i + 6t2 + 4 + 2 4 ЗО, 2ti + tt2 + Qh + 3 30, h + 2t2 + 3t3 + 4 = 20, Как показывают вычисления, среди целочисленных решений этой системы, участвующих в показателях мономов дискриминанта А, являются следующие точки:

Определение 3.1 ([73], глава 9). Пусть V - множество всех (аа) Є Сл, для которых уравнение (3.28) имеет критические корни у Є (С \ 0)k, т.е. корни, в которых градиент f равен нулю. Замыкание V называется А-дискриминантным множеством и обозначается V . Если множество VА есть гиперповерхность (т.е. codimV = -), то определяющий многочлен называется А-дискриминантом.

В случае, когда к = 1, А = {О,1, 2 ..., п} С Z, множество V превращается в классическое дискриминантное множество V.

Обозначим С := С \ 0, и всякую его декартову степень будем рассматривать как комплексный алгебраический тор, т.е. как группу с покоординатным умножением. Элементы Л = (Ао, Ai,..., А&) тора (C )fc+1 определяют действие на пространстве полиномов по формуле

A : f(yu , 2/л) -» Ao/(Ai2/i,..., Хкук). Будем рассматривать это действие на пространстве полиномов с фиксированным набором показателей Д т.е. записываемых в виде (3.28). Действие А сохраняет Л-дискриминантное множество V . На языке коэффициентов {( а)а&А -Л полинома / это действие записывается в виде полученной присоединением строки из единиц к (к х 7У)-матрице, у которой j -ый столбец состоит из координат хд,... ajk элемента а3 Є А (мы оставляем обозначение А для указанной матрицы).

Матрица А действует на Z в качестве двойственного гомоморфизма р : Z — fc+1, ядро кег A =: LA которого есть решетка соотношений между столбцами матрицы А. Двойственная точная последовательность к последовательности где H{LA) = Hom(LA,C ) - тор на решетке Ьд, ар- естественная проекция. Поскольку дискриминантное множество V инвариантно относительно Л-действия, его торическая часть V П (С ) проектируется отображением р в некоторое алгебраическое подмножество V С H(LA), которое называется приведенным А-дискриминантным множеством (см [73], [85]).

Чтобы задать удобную систему координат на H(LA), расширим матрицу А до квадратной унимодулярной (целочисленной с определителем ±1) матрицы

Поскольку первая строка матрицы А ортогональна каждому столбцу матрицы В, получаем выражения от s нулевой степени однородности, т.е. (Bs)B корректно определено на СРт . Отображение ФВ(Й), определяемое формулой (3.30), называют параметризацией Горна-Капранова для V . Важность этого отображения объясняется теоремой Капранова [85], гласящей: Отображение Ф# параметризует приведенное А-дискриминантное множество VA С H{LA) = (C )m; Если VA - гиперповерхность, то Фв - бирациональный изоморфизм, совпадающий с обращением логарифмического обращения Гаусса 7у для этой гиперповерхности.

Напомним понятие логарифмического отображения Гаусса [85] для поверхности V чистой размерности т — к. Это отображение у : V — Gr(m,k), которое каждой неособой точке z Є V ставит в соответствие комплексную нормальную плоскость к образу log V в точке log z (здесь log - комплексный логарифм).

Переход от общего уравнения (3.28) к приведенному можно осуществлять путем фиксации (к + 1) коэффициентов с индексами а-71,... ,aJk+1: если эти индексы не лежат в (к — 1)-мерной плоскости. В этом случае аннулятор В матрицы А с условием С В = Ет будет состоять из рациональных элементов. При этом необходимо учитывать выборы ветвей радикалов в формуле (3.29). Это делается с помощью теоремы о факторах (см., например, [5]). для приведенного дискриминантного множества Von (явное выражение для Фоп определено формулой (3.10)). Первый страт С1 определяется как множество критических значений параметризации Фоп- Ранее в [97] было показано, что критические точки отображения Фоп составляют некоторую гиперплоскость L\ С CPn , следовательно, первый критический страт С1 параметризуется сужением Фоп на L\. Таким образом, можно определить страт С2 критических значений этого сужения и далее действовать по индукции. Для формулировки итогового результата введем следующие гиперплоскости в CPn :

В заключение отметим следующее. Параметризация Горна-Капранова для классического дискриминантного множества проявляет благосклонность к каспидальным сингулярным стратам АЛ3 , ее сужение на пространство параметров для АЛ3 критично на линейном подпространстве. Благодаря именно этому свойству получается доказательство Теоремы 17. Сингулярные страты классического дискриминантного множества VM, отвечающие за самопересечения V своими гладкими кусками, уже параметризуются сужениями отображения Горна-Капранова на поверхности степени 1. Аналогично, критическое множество параметризации Горна-Капранова для приведенного неклассического Л-дискриминантного множества также имеет степень 1. Тем не менее, не кажется безнадежной возможность решения задачи об описании кас-пидальных сингулярных стратов (определяемых критическими значениями сужений параметризации Горна-Капранова на подходящий флаг подмногообразий) всех Л-дискриминантных множеств.

Кратные решения общей системы из п полиномиальных уравнений от п неизвестных

В данном разделе излагаются некоторые результаты статьи [5], которые применяются в следующем разделе для получения формул критических точек полиномиального отображения. Гассмотрим полиномиальное отображение где Tn = (С \ 0)п — комплексный алгебраический тор, a Pi - полиномы Лорана, т.е. полиномы от переменных уііУЇ ,..., Упі Уй1- Будем считать, что множества показателей мономов в Pi фиксированы, а все коэффициенты переменные. В таком случае будем говорить, что Р - общее полиномиальное отображение из Тп в Сп. Для таких отображений обозначим через V множество всех коэффициентов, при которых Р имеет в Тп кратные нули, т.е. нули, в которых якобиан Р равен нулю. Определение 4.1. Дискриминантным множеством V отображения Р называется замыкание множества V в пространстве коэффициентов. Таким образом, здесь для нас представляет интерес система полиномиальных уравнений вида Y, «IV = 0, г = 1,...,71 (4.10) с неизвестными у = (г/і,..., уп) Є Тп и переменными коэффициентами а\ , где А г С IT - фиксированные конечные подмножества, А = (Ai,...,An), где матрица из столбцов выделенных показателей (и/1),... ,ш п ) = и невырожденная, а А г := А г \ \UJ \ 0}. Не ограничивая общности, будем считать, что в (4.13) каждое уравнение имеет мономы с переменными коэффициентами, т.е. все множества А г непустые (в противном случае задача нахождения дискриминанта сводится к подсистеме из к п уравнений с к неизвестными). В статье [5] показано, что, как правило, систему (4.10) можно привести к виду (4.13).

Далее обозначим через Л - дизъюнктное объединение множеств Л , пусть Т Л = N - число коэффициентов в системе (4.13). Множество Л можно интерпретировать как матрицу Л= (V),...,AW) = (A\...,AW), (4.14) столбцами которой являются векторы Хк = (Л ,..., Л ) из показателей мономов системы (4.13). Здесь имеется ввиду, что блок Л матрицы Л соответствует г-му уравнению системы (4.13), а нумерация столбцов Хк внутри каждого из блоков А г произвольная, но фиксированная.

Обозначим матрицу из вектор-столбцов и/1), ..., ио п в (4.13) через и. Введем две (п х 7У)-матрицы Ф := ш гА, Ф = Ф-х, где х - матрица, г-я строка которой представляет характеристическую функцию подмножества А С Л, т.е. элементы этой строки равны 1 на местах Л Є А и 0 - на всех остальных местах Л Є Л. Строки матриц Ф и Ф обозначим ( 1,..., (fin И фи...,фп.

Имеет место равенство UJ 1 = BDm А, где А и В унимодулярные матрицы, a Dm - диагональная матрица с целыми положительными числами mi,..., тп на диагонали. Поэтому в обозначениях W = (И-і,..., Wn), WB = V произведения в (4.15) можно записать в виде д (МГ = w = (wB)D"rlA" = (у?,...,v )M, где (fix - вектор-столбец с координатами fikx- Для всех А Є Л векторы АХ целочисленные. Выбирая для каждого к все rrik значений радикала Vk , мы получим все требуемые ветви для А. Формально их т\.. .тп = deto; штук, но некоторые из этих ветвей могут повторяться.

Говорят, что дискриминантное множество V системы (4.13) зависит от всех групп коэффициентов хУ\ ..., х п\ если V не факторизуется в виде V х СЛ , где V - алгебраическое подмножество в С х ... [к] ... х С .

Если множество показателей полинома Лорана Q(yi, ,уп) не лежит в -мерной плоскости, то говорят, что Q(yi,... ,уп) no-существу зависит не менее чем от к + 1 переменных. В противном случае, т.е. когда все показатели лежат в некоторой -мерной плоскости, существует мономиальная замена у = te с невырожденной рациональной (=целочисленной) (n х п)-матрицей в, преобразующая Q(y) к виду Q(te) = (моном) х Q(t), где Q зависит не более чем от к переменных tj.

Теорема 21 ([5]). 1) Если в (4-13) каждая подсистема из к п — 1 уравнений no-существу зависит не менее чем от к + 1 переменных (в частности, если многогранник Ньютона каждого уравнения в (4-13) n-мерный), то дис-криминантное множество V системы (4-13) параметризуется по формуле (4.15). 2) Если V имеет неприводимые компоненты, зависящие от всех групп переменных коэффициентов хУ\ . .., х п\ то объединение всех таких компонент также параметризуется по формуле (4-15).

Если неприводимая компонента V зависит менее чем от п групп коэффициентов х ч\ ..., х %к\ то она параметризуется формулой, построенной аналогично (4.15) по подсистеме уравнений с номерами ii, ... ,.

Теорема 22 ([5]). Если дискриминантное множество V системы (4-13) является неприводимой гиперповерхностью, зависящей от всех групп переменных, то его параметризация (4-15) является обращением логарифмического отображения Гаусса: A(s) = 7_1(s) Для классического дискриминанта этот результат отмечался в [97]. Следуя [97], параметризацию V в виде 7_1(s) назовем параметризацией Горна-Капранова учитывая результаты статей [82], [85]. Одним из достаточных условий для того, чтобы дискриминантное множество V системы (4.13) являлось гиперповерхностью, является следующее

Предложение 4.2 ([5]). Если все векторы if І, фі, і = 1,..., п имеют ненулевые координаты, то образ V отображения (4-15) есть гиперповерхность.

Рассмотрим общую приведенную систему (4.13) п уравнений с п неизвестными, где и - невырожденная матрица. Пусть Л есть дизъюнктное объединение множеств Л и N := Л, т.е. число переменных коэффициентов системы (4.13). Множество коэффициентов системы есть векторное пространство С = С , в котором координаты точек х = х\ индексируются элементами Л Є Л. Координаты, соответствующие і-ому уравнению системы, индексируются хг.