Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах Трямкин Максим Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Трямкин Максим Владимирович. Актуальные вопросы теории отображений с ограниченным искажением на метрических структурах: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.01 / Трямкин Максим Владимирович;[Место защиты: Институт математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения Российской академии наук].- Новосибирск, 2015

Содержание к диссертации

Введение

1. Предварительные сведения 22

1.1. Отображения в евклидовых пространствах 22

1.2. Пространства Карно — Каратеодори 30

2. Оценки на модули семейств кривых для отображений с весовым ограни ченным (р, д)-искажением 39

2.1. Класс отображений 39

2.2. Модуль, ёмкость, поднятия 41

2.3. Аналог леммы Полецкого 45

2.4. Модульные неравенства 57

3. Отображения с ограниченным искажением на пространствах Карно — Каратеодори 66

3.1. Группа поворотов-сдвигов 66

3.2. Свойство морфизма на группе поворотов-сдвигов 70

3.3. Формула замены переменной на группе поворотов-сдвигов 78

3.4. /-ACL-свойство квазиконформных отображений 91

Заключение 98

Список литературы 1

Пространства Карно — Каратеодори
Модуль, ёмкость, поднятия
Модульные неравенства
Свойство морфизма на группе поворотов-сдвигов

Пространства Карно — Каратеодори

Отображения с конечным искажением нашли применение, например, в моделях нелинейной теории упругости (см. работы Дж. Болла [21,22] и монографию Ф. Сьярле [23]). Свойства этого класса отображений впервые изучены в 1975 г. в кандидатской диссертации С. К. Водопьянова [24] (см. также статью С. К. Водопьянова и В. М. Гольдштейна [25]): установлено, что отображения класса W 1ос(Г2), имеющие конечное искажение, непрерывны и имеют монотонные компоненты. Название для этих отображений было предложено значительно позже (в 1993 г.) Т. Иванцом и В. Швераком в статье [26], где показано, что в плоском случае отображение / класса W/21ioc( ) есть композиция аналитической функции и гомеоморфизма, если K(-,f) є Lit\oc(Q). В работе Д. Манфреди и Э. Вилламора [27] доказано, что если / Є И 1ос(П) и K(-,f) Є Lp\oc(Q) при р п — 1, то / непрерывно, открыто и дискретно. Т. Иванец, П. Коскела и Я. Оннинен [28] установили непрерывность отображения / Є Wi(Q) при условии, что J(-, /) Є Li(Q) и функция ещ (\К(-, /)) интегрируема для некоторого Л 0. В работе Я. Кауханена, П. Коскелы и Я. Мали [29] при тех же условиях доказана открытость и дискретность этого отображения. В статье Т. Иванца, П. Коскелы и Г. Мартина [30] получены топологические свойства отображений, искажение которых имеет ограниченное среднее колебание. Помимо задачи распространения теоремы Решетняка, для отображений с конечным искажением изучается задача об устранении особенностей [31], вопрос об интегрируемости обратного якобиана [32,33] и др. Например, в работе П. Коскелы, Я. Оннинена и К. Ражалы [33] установлено, что если для непрерывного открытого и дискретного отображения /: П — Шп с конечным искажением и локально интегрируемым якобианом справедливо включение К1 (п 1Ц-, f) Є L„]nr(Q) при некотором р 1, то log (е+ т, ,, ) Є L„]nr(Q). Вы-шедшая в 2014 г. монография С. Хенсля и П. Коскелы [34] содержит многие другие результаты, касающиеся отображений с конечным искажением. Отметим, что методы работ [26,27,29] во многом являются дальнейшим развитием идей Ю. Г. Решетняка.

Новый подход к получению топологических свойств отображений с конечным искажением предложил С. К. Водопьянов [35]. В работе [35] доказано, что непрерывное отображение /: П — Шп с конечным искажением такое, что К(-, f) Є LPt\oc(Q) для некоторого р Є [п— 1, оо] при п = 2ирє(п— 1, оо] при п 3, и adj Df Є Lq\oc(Q) для q = n/(n — 1), обладает следующими свойствами: / Є Wqloc(Q), где q = np/(p + 1), / открыто и дискретно, / дифференцируемо почти всюду вОв классическом смысле. Метод доказательства этого утверждения основан на формуле замены переменной для функции кратности и степени отображения и не использует аппроксимацию отображения гладкими. Тем самым в [35] предлагается новый способ для доказательства ключевого в теории отображений с ограниченным искажением равенства (1). Впоследствии С. К. Водопьянов успешно распространил этот способ на случай групп Карно, о чём мы скажем подробнее ниже.

Перейдём к обсуждению аналитического подхода в теории отображений с ограниченным искажением на неевклидовых структурах, на который мы опираемся в главе 3. Нач 7 нём с квазиконформных отображений, отчасти потому, что один из параграфов настоящей работы посвящён им. Изучение квазиконформных отображений на неримановых пространствах инициировал Д. Мостов [36] при исследовании проблемы классификации метрических пространств постоянной отрицательной кривизны. В доказательстве теоремы о жесткости Д. Мостов использовал квазиконформные преобразования идеальной границы некоторого симметрического пространства. М. Громов установил, что геометрия этой границы моделируется нильпотентной группой с метрикой Карно — Каратеодори, которая не эквивалентна римановой. Чуть позже появились работы П. Пансю [37] и Г. А. Маргулиса и Д. Мостова [38], в которых рассматривались квазиконформные отображения на группах Карно и более общих пространствах Карно — Каратеодори. Примерно в то же время вышла статья С. К. Водопьянова [39], где развивается теория потенциала на однородных группах, в число которых входят группы Карно, а также появились работы С. К. Водопьянова и В. М. Черникова [40,41], в которых исследуется ряд вопросов теории субэллиптических уравнений.

Систематическое развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно началось со статьи А. Кораньи и Х. Реймана [42], в которой на примере группы Гейзен-берга продемонстрирована необходимость развития аналитического аппарата для работы в субримановых установках. Один из шагов в этом направлении сделал П. Пансю [37], предложивший понятие Р-дифференциала, которым воспользовались А. Кораньи и Х. Рейман. Большой вклад в развитие новых аналитических средств внёс С. К. Водопьянов в серии работ [43-51]. В [43] впервые введено адекватное определение классов Соболева на группах Карно; доказана теорема вложения Соболева на сферах групп Карно, и с её помощью получены условия непрерывности и найден модуль непрерывности монотонных функций классов Соболева; новым методом установлено, что непрерывное открытые отображения групп Карно класса Соболева И 1ос(П) обладают .Ж-свойством Лузина; получены новые описания квазиконформных отображений на группах Карно и доказано, что они эквивалентны известным определениям квазиконформности; установлена теорема о затираемых особенностях для квазиконформных отображений групп Карно. В работах [44,45] установлено, что если отображение групп Карно аппроксимативно Р-дифференцируемо вдоль горизонтальных векторных полей, то оно аппроксимативно Р-дифференцируемо почти всюду. В статье [46] разработаны аналитические основы теории отображений с ограниченным искажением на группах Карно и развиты новые методы доказательства основных фактов теории. Работа [47] посвящена теореме о том, что предел локально равномерно сходящейся последовательности отображений с ограниченным искажением на группе Карно — это отображение с ограниченным искажением. Метод доказательства, изложенный в [47], является новым и в евклидовом пространстве. В статье [48] установлена "Р-дифференцируемость в топологии Соболева слабо контактных отображений групп Карно; в качестве следствия получены Р-дифференцируемость в смысле Пансю контактных отображений класса Wpl, р и, и другие результаты. Рассуждения, приведённые в [48], являются новыми и для евклидова пространства, что, в частности, даёт новое (и, по всей видимости, самое простое из существующих) доказательство известных теорем Решетняка и Зигмунда — Кальдерона о дифференцируемости функций классов Соболева. В работах [49, 50] вводится новое понятие he-дифференцируемости и доказывается /іс-дифференцируемость липшицевых отображений пространств Карно — Каратеодори (обобщение теоремы Радемахера) и обобщение теоремы Степанова; в качестве следствия получена /гс-дифференцируемость почти всюду квазиконформных отображений пространств Карно — Каратеодори. Статья [51] посвящена дифференцируемости отображений классов Соболева и ДУ-отображений пространств Карно — Каратеодори в топологии этих классов; в качестве следствия получены обобщения теорем Кальдерона — Зигмунда для отображений пространств Карно — Каратеодори.

Перечисленные результаты находят непосредственное применение в исследованиях по квазиконформному анализу на пространствах Карно — Каратеодори, в частности, в третьей главе настоящей диссертации, где обсуждаются отображения с ограниченным искажением на субримановых структурах. Отметим несколько работ, имеющих ту же тематику.

Ю. Хейнонен и И. Холопайнен [52] исследовали упомянутые отображения на группах Карно, однако определение класса Соболева, которое они использовали, нельзя считать естественным: в [52] требуется, чтобы компоненты отображения имели обобщенные производные вдоль негоризонтальных векторных полей. Н. С. Даирбеков (см., например, [53,54]) на основе подхода Ю. Г. Решетняка получил основные топологические свойства отображений с ограниченным искажением на группе Гейзенберга. В работе [55] показано, что доказательство соотношения (1) на группах Карно ведет к нежелательным последствиям: гладкие отображения, аппроксимирующие /, не сохраняют горизонтальную структуру. В связи с этим

Модуль, ёмкость, поднятия

В доказательстве модульных неравенств проводятся рассуждения, обосновывающие возможность параметризации кривой некоторым специальным образом. Впервые эти рассуждения были реализованы в лемме 6 из [64], которая в дальнейшем получила название леммы Полецкого. Нам потребуется её аналог. Прежде чем его сформулировать, выясним содержание понятия абсолютной преднепрерывности, которое заключает в себе описание специального типа параметризации.

Предположим, что /: — Шп — непрерывное открытое дискретное отображение. Пусть [3: /о — К"- — замкнутая спрямляемая кривая, и а: I — — кривая такая, что f о а С (3, т.е. I С 1о. Если функция s@: IQ — [0,(f3)] постоянна на некотором интервале J С I, то и отображение [3 постоянно на J. В свою очередь, ввиду дискретности / отображение а также постоянно на J. Следовательно, существует единственное отображение a : Sp(I) — такое, что а = а о Sp\j. Легко видеть, что а непрерывно и / о а С /3. Кривая а называется /-представителем кривой а (относительно /3), если [3 = f о а. Предположим теперь, что [3 = / о а. Отображение / называется абсолютно преднепрерывным на а, если а абсолютно непрерывно.

Приведём аналог леммы Полецкого. Лемма 2.3.1 ( [A3]). Пусть /: П —) Кга — отображение с (в, 1)-весовым ограниченным (р, (?) -искажением, п — 1 q р оо; а весовая функция ш(х) = 9 «-с-1) (ж) локально суммируема. Предположим, что Г — семейство кривых в П такое, что для любой кривой 7 Є Г выполнено следующее: кривая /су локально спрямляема, и 7 имеет замкнутую подкривую а, на которой / we абсолютно преднепрерывно. Тогда modp/ /(Г) = 0, где р =

В доказательстве этой леммы большое значение имеют свойства функции Полецко-го, которая определяется следующим образом. Пусть /: П —) Кга — непрерывное открытое дискретное отображение, сохраняющее ориентацию, U С Q — нормальная область, и iV = fi(f,U). На множестве У = f(U) определим отображение gu -V—ї ", называемое функцией Полецкого, равенством iv - — Необходимые нам свойства отображения (7) будут приведены в предложении 2.3.1, для формулировки которого нужно сделать следующее замечание. Поскольку отображение /: П — П = /(П) принадлежит классу Соболева, то оно аппроксимативно дифференцируемо почти всюду. Следовательно (см., например, [102] и [100, теорема 3.1.8]), существует борелевское множество Е С П, 7- га(Е) = 0, вне которого / обладает .Ж-свойством Лузина. Обозначим Z = {ж Є П \ Е: J(x, /) = 0}. С точностью до множества меры нуль множество Z можно считать борелевским. Кроме того, /Hn(Z) = 0. Также можно считать, что 7 / С ZUE, так как Df(x) = 0 в точках х Є 7 /, где Df(x) существует.

Дополнение П \ Е можно разложить на счетную совокупность дизъюнктных измеримых множеств Fk, к Є N, таких, что UT = ГУ\Е и отображение /: Тд. —) ГУ липшицево для всех А; Є N (см. [102] и [100, теорема 3.1.8]). Каждое множество F \Z представимо в виде объединения счетного семейства дизъюнктных измеримых множеств Fkm, meN, таких, что отображение Fkm билипшицево для всех т Є N [100, лемма 3.2.2]. Согласно теореме Радемахера [100, теорема 3.1.6] отображения f\Fkm Fkm —ї ГУ дифференцируемы почти всюду на области определения, а в силу теорему Лебега о дифференцировании аддитивной функции [93,117] множества 7fcm можно считать состоящими только из точек плотности 1. Переобозначим семейство дизъюнктных множеств {-Ffcm} как {Ei}. Мы получим разложение

Предложение 2.3.2 ( [80, следствие 4]). Пусть гомеоморфизм р: П — П областей пространства Ш.п принадлежит классу Соболева W loc(Q), п — 1 q оо; и имеет конечное коискажение: adj Dip = 0 почти всюду на множестве Z = {х Є П: J(x,p) = 0}. Тогда обратный гомеоморфизм р 1 принадлежит классу Соболева Wlloc(Q!) и имеет конечное искажение: Dp l(y) = 0 почти всюду на множестве Z = {у Є П : J(y, /?-1) = 0}.

Доказательству леммы 2.3.1 предпошлём несколько утверждений. Лемма 2.3.2 ( [A3]). Пусть /: П —) Кга — отображение с весовым (0,1)-ограниченным

п-1

(р, (?) -искажением, п — 1 q р оо; а весовая функция ш(х) = 9 «-с-1) (ж) локально суммируема. Тогда отображение ди, определенное равенством (7), принадлежит классу ACLP (У), где г/ =,р -.S.

Замечание 2.3.2. Это утверждение может быть получено как следствие более общей теоремы 4 из работы [78]. Тем не менее мы приведём непосредственное доказательство, так как его элементы потребуются нам в дальнейшем. Данное доказательство не повторяет рассуждений из [78], хотя и основано на сходных идеях.

Доказательство. Согласно предложению 2.3.1 отображение ди непрерывно и ди Є Wi(V), следовательно, ди Є ACL(V) в силу предложения 1.1.5. Осталось показать, что частные производные отображения ди принадлежат классу LP (V). Пусть уо Є Vі = V \ /(-В/ П U). Тогда ввиду пунктов (1) и (2) предложения 1.1.3 множество /_1(уо) П U состоит из N точек Х\,... ,х . Через Ui,... ,UN обозначим непересекающиеся нормальные окрестности точек Х\,... ,XN. Отображения f\uj: Uj — f(Uj), j = 1,... , N, являются гомеоморфизмами, удовлетворяющими условию предложения 2.3.2. Тогда, если мы возьмем область W такую, что Уо Э W С f(U\) П ... П J(UN), то получим обратные гомеоморфизмы hj\ W — f 1(W) П Uj класса И 111ос(И/). Эти соображения позволяют сделать следующий вывод: если {-Bi} i — счетный набор непересекающихся открытых шаров, покрывающих Vі с точностью до множества меры нуль (существующий по теореме Витали (см., например, [99, 1.5.1, следствие 2])), то каждое множество f l(Bi) П U имеет N компонент связности Dij, j = 1,... , N, и при этом возникают гомеоморфизмы hij : ВІ — D , j = 1,..., N, класса Wl(Bi). Таким образом, почти всюду в ВІ определена матрица Якоби Dhij. Из (7) следует, что для у Є ВІ

Модульные неравенства

Определение 3.1.1. Группа поворотов-сдвигов 1ZT — это совокупность точек в К3 с групповой операцией Легко видеть, что точка 0 = (0, 0, 0) служит единицей группы 1ZT. Замечание 3.1.1. Под группой поворотов-сдвигов в литературе также понимают группу SE(2) движений евклидовой плоскости К2, сохраняющих ориентацию. Последняя диффео-морфна Ш2 х S1. Определенная выше группа 1ZT является универсальной накрывающей группы SE(2).

Равенства (27) означают, что алгебра Ли д левоинвариантных векторных полей группы поворотов-сдвигов представляется в виде 0 = 01 02, где 01 = span{Xi,X2J, 02 = зрап{Хз}. Зададим в касательном пространстве к единице группы скалярное произведение go : TQIZT х TQIZT — К, полагая go(Xj(0), Xj(0)) = 8ij, i,j = 1, 2, 3. Чтобы получить левоин-вариантную риманову метрику gfl : TglZT х TglZT —їЖ,дЄ TZT, на всей группе, «разнесём» это скалярное произведение согласно правилу т. е. gg(Xi(g), Xj(g)) = 8ij. Теперь мы можем задать на группе поворотов-сдвигов субриманову структуру: алгебра Q\ определяет вполне неголономное распределение H1ZT в касательном расслоении T1ZT со слоями HglZT = spanjXi (д), Х2(д)}, д Є 1ZT, а соответствие д ь- gfl, которое каждой точке д Є TZT сопоставляет скалярное произведение в касательном пространстве к этой точке, определяет левоинвариантную риманову метрику в распределении H1ZT. Напомним, что подрасслоение H1ZT называется также горизонтальным, а слой HglZT — горизонтальным касательным пространством в точке д. Группа 1ZT, наделенная указанной субримановой структурой, является пространством Карно — Каратеодори (см. определение 1.2.1). Мы также используем стандартное обозначение (,) для скалярного произведения. Метрика Карно—Каратеодори левоинвариантна, т.е. dc(g,g!) = dc(0,g lg ). Пользуясь формулой для подсчета хаусдорфовой размерности пространства Карно — Каратеодори относительно метрики dc (см. теорему 1.2.5), мы получаем, что для группы поворотов-сдвигов хаусдорфова размерность равна dimg! + 2dimg2 = 4. Определим также субриманову квазиметрику d2{g ,д) = max{(i2 + ;2І2) , з }, где д = ехр(іХі + 2X2 + зХз)(д). Использование этой квазиметрики обусловлено тем, что в формуле коплощади [119, теорема 6.1], которая играет важную роль в доказательстве одного из утверждений настоящей статьи, фигурирует мера Хаусдорфа, определенная относительно б?2. Через Вох2(д, г) обозначим множество { / є 1ZT: d2(g ,g) г}.

Замечание 3.1.2. Положим dOD(g ,д) = max{i, 2І, з }. В силу теоремы 1.2.4 величины doc и dc локально эквивалентны. Легко видеть из определений, что квазиметрики doc и б?2 также локально эквивалентны. Следовательно, квазиметрика б?2 локально эквивалентна метрике dc.

Сферическую меру Хаусдорфа l-L"r(A), v О, А С 1ZT, относительно субримановой квазиметрики i2 определим по формуле (см. [119, определение 3.12]) 1-Сзг{А) = UJV liminf У г\ І І ВОХ2((/І, гЛ D А, ді є А, 0 г І 5 , где wv — нормирующий множитель, зависящий только от показателя размерности и. Обра 68 тим внимание на отличие от стандартного определения сферической меры: в нашем случае центры Qi «шаров» Вох2( 7г, Гг), покрывающих множество А, принадлежат этому множеству.

Замечание 3.1.3. Как известно (см., например, [120, гл. VII, 1, п. 2, Теорема 1]), на локально компактной группе Ли существует единственная с точностью до постоянного множителя лево- (соотв. право-)инвариантная мера (так называемая левая (соотв. правая) мера Хаара). Это значит, что на группе поворотов-сдвигов не возникает трудностей с выбором адекватной меры: в частности, меры И4 , Hf и Tif пропорциональны, поскольку все они левоинвариант-ны.

Обобщённые производные и классы Соболева задаются как в определениях 1.2.9 и 1.2.10. Для гладкой функции и (или имеющей обобщенные производные вдоль полей Х\, Х2) длина горизонтального градиента V/jW = (X\u)Xi + (Х2и)Х2 равна V/jW = (V/jM, V/JM)1 2 = у (Xiu)2 + (X2w)2. Пусть в области Q С 1ZT определено векторное поле X = U\X\ + U2X2. Если «і, и2 Є С1(П), то горизонтальная дивергенция поля X определяется как div X = X\Ui + Х2и2. Если же коэффициенты Mi,«2 локально интегрируемы на Q, то горизотальной дивергенцией поля X в смысле распределений называется локально интегрируемая функция и: Q — Ж такая, что (X, V/j(/?) dX\ A 0IX2 Л dXs = — uip dX\ Л 0IX2 Л dXs (28) п п для любой функции ір Є С (П). Здесь и далее dX\, dX-2 и dXs — это 1-формы, двойственные к полям Х\, Х2 и Хз. Для дивергенции в смысле распределений мы также используем обозначение div/jX, которое оправдано, поскольку обычная горизонтальная дивергенция гладкого векторного поля будет в то же время и дивергенцией в смысле распределений.

В этой главе нам будут встречаться отображения /: П — X, где П — область в 1ZT, а роль пространства X играет либо группа 1ZT, либо группа Гейзенберга Н1. Как уже было сказано, классы Соболева задаются как в определении 1.2.10. Однако нам будет удобнее пользоваться другим определением, которое «почти» эквивалентно упомянутому (см. замечание 3.1.5).

Определение 3.1.2. Пусть П С 1ZT — область, 1 р оо, G — группа 1ZT или Н1. Отображение /: П — G принадлежит классу Соболева Wploc(Q;G), если выполнены следующие условия: (a) ic(0,1(g)) Є LP)ioc(n), где (ic — метрика Карно — Каратеодори на группе G; (b) / Є ACL(Q), т.е. для всякой области U Ш П, и каждого слоения 1\, определенного левоинвариантным векторным полем Xj, г = 1,2, ограничение f: у Г\ U — G абсолютно непрерывно для б?7-почти всех кривых 7 Є Г», где j(t) = exp(tXj)((/), д Є U; (c) производная X,f(g) = -ц f (exptX,-(g))L-n, г = 1,2, которая существует почти всюду в П, лежит в горизонтальном пространстве Hf G и в классе ЬР)іос(П).

Замечание 3.1.4. Мера б?7 на слоении Г\ в пункте (b) определяется как внутреннее произведение Xi_i(dXi A dX2 Л dXa) горизонтального векторного поля ХІ и формы объема на группе 1ZT. Требование пункта (c) принадлежности производных вдоль горизонтальных векторных полей горизонтальному подрасслоению называется также условием (слабой) контактности. Подчеркнём, что в определении 3.1.2 не предполагается существование (хотя бы в каком-нибудь смысле) производной вдоль третьего, вертикального, векторного поля Хз.

Замечание 3.1.5. Если отображение удовлетворяет определению 3.1.2, то оно также удовлетворяет определению 1.2.10. В свою очередь, отображение класса Соболева в смысле определения 1.2.10 можно изменить на множестве нулевой меры так, что для него будут справедливы пункты определения 3.1.2. Указанные взаимоотношения между определениями 1.2.10 и 3.1.2 установлены, например, в [45, предложение 4.1, предложение 4.2]. Несмотря на то, что в [45] классы Соболева рассматриваются на группах Карно, доказательства утверждений [45, предложение 4.1, предложение 4.2] с очевидными изменениями переносятся на случай группы поворотов-сдвигов.