Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы 9
2. Расчетная часть
2.1. Осаждение наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах с двумерным полем течения .52
2.2 . Осаждение наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах с трехмерной структурой 58
2.3. Моделирование аэрозольных волокнистых фильтров при числах Рейнольдса порядка единицы 62
2.4. Учет эффекта скольжения на поверхности волокон .67
3. Результаты и их обсуждение .71
3.1. Осаждения наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах c двухмерным полем течения .71
3.2. Осаждения наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах c трехмерной структурой 79
3.3. Поле течения, силы сопротивления и осаждение инерционных частиц в модельном фильтре при Re 1 88
3.4. Сила сопротивления волокон и осаждение наночастиц в модельном 3D-фильтре при наличии скольжения .94
3.5. Влияние эффекта скольжения на осаждение субмикронных частиц конечного размера на волокна 97
Заключение 103
Приложение. Метод коллокаций 106
Литература
- . Осаждение наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах с трехмерной структурой
- Моделирование аэрозольных волокнистых фильтров при числах Рейнольдса порядка единицы
- Поле течения, силы сопротивления и осаждение инерционных частиц в модельном фильтре при Re
- Влияние эффекта скольжения на осаждение субмикронных частиц конечного размера на волокна
. Осаждение наночастиц в многослойных модельных волокнистых фильтрах с трехмерной структурой
Детальный анализ инерционного осаждения точечных частиц проведен в [142]. В посвященных этому вопросу работах [7, 24, 26], было показано, что инерционное осаждение на изолированном цилиндре не адекватно отражает осаждение частиц ансамбле волокон, когда имеется и гидродинамическое взаимодействие. Далее, было показано, что для частиц конечного размера понятие критического числа Стокса теряет смысл, поскольку из-за эффекта зацепления частицы осаждаются при сколь угодно малых значениях числа St. Кроме того, как было показано в [143], дисперсионное взаимодействие обеспечивает осаждение частиц при малых St и Re 1.
Для практики тонкой фильтрации наибольший интерес представляет область малых чисел Стокса, в которой практически исчезает зависимость эффективности фильтров от радиуса частиц. Ясное понимание механизма осаждения частиц в области максимального проскока, когда оказывается минимальной роль различных механизмов, необходимо для выбора режима эксплуатации фильтров. Оно требуется и для создания аэрозольных пробоотборников.
Первые численные расчеты инерционного осаждения частиц, выполненные при учете их собственного размера, были проведены в [26, 144]. Расчеты показали, что при St 0.1 коэффициент захвата за счет совместного действия инерции и зацепления тіш при фиксированном R оказывается, как это ни парадоксально, чуть меньше коэффициента захвата, обусловленного только собственным размером частиц TR. Это уменьшение составляет по порядку величины менее одного процента. Оно связано с тем, что под влиянием центробежной силы частицы смещаются на внешние линии тока при движении вблизи волокна.
Этот результат, полученный из численных расчетов, впоследствии был многократно подтвержден аналитическими вычислениями. Экспериментальное исследование этого эффекта не проводили. В работе [24] методом разложения скорости частицы по малому параметру St был определен коэффициент инерционного захвата. Полученная формула, однако, как было установлено самими авторами, оказалась ошибочной: не все члены одного порядка были приняты во внимание.
В упомянутой работе инерционное осаждение частиц рассматривалось для системы нормальных потоку параллельных волокон. Для этой модельной системы, как и для реального фильтра, при малых числах Рейнольдса перепад давления линейно зависит от скорости. Поле течения для решетки цилиндров, как уже отмечалось, не зависит от Rе, в отличие от случая течения около изолированного цилиндра. В результате линии тока около волокон оказываются симметричными до достаточно больших значений Re = Re , которые увеличиваются с плотностью упаковки фильтра [45, 48]. При увеличении скорости в фильтре до значений, обеспечивающих выполнение неравенства Re Re , линии тока становятся асимметричными, и они сгущаются у фронтовой поверхности волокна. Это обстоятельство приводит к росту эффективности осаждения и для безынерционных частиц, которые движутся по линиям тока. Поэтому выполнение условия Re Re , при котором несущую среду можно считать безынерционной, совершенно необходимо в экспериментах, посвященных исследованию инерционного осаждения частиц. Отметим, что практически во всех известных опытах, данные которых используются для проверки теорий, инерционное осаждение частиц изучалось в условиях Re Re , т.е. рост осаждения частиц определялся не столько инерцией частиц, сколько инерционностью несущей среды [28, 29, 145].
Экспериментальных данных, в которых течение аэрозоля можно было бы рассматривать как плоское, известно мало. В опытах [146] использовались модельные решетки решетках с диаметром волокон 2а = 50 мкм при условии St 0.05, т.е. когда инерция еще проявлялась слабо, а в [147], где использовались решетки с таким же размером цилиндров, инерционный рост осаждения крупных частиц был выявлен лишь при Re Re . Можно сказать, что практически единственные экспериментальные данные для плоского течения, соответствующие условиям Re Re , были выполнены каплями дибутилфталата радиусом 1 - 3 мкм [148]. В этих экспериментах использовался модельный фильтр в виде набора перпендикулярных потоку эквидистантных рядов волокон диаметром 2а = 8.9 мкм. Экспериментально было проверено, что автомодельность течения в таком модельном фильтре сохранялась до Re «0.3. эксперименты показали, что при St = 0.5 - 10 экспериментальные значения коэффициентов захвата удовлетворительно согласуются с данными расчетов [149].
Моделирование аэрозольных волокнистых фильтров при числах Рейнольдса порядка единицы
Следует отметить, что задачи вычисления поля течения и осаждения частиц при Rе 1 на основе полных нелинейных уравнений Навье-Стокса Au-0.5Re(u-V)u = VA V-u = 0, (31) где и - скорость газа, p - давление, оказываются ресурсоемкими. Поэтому в данной работе исследована возможность моделирования процесса фильтрации на основе уравнений Навье-Стокса в линеаризованном приближении Озеена, Rehdu/dx = -Vp + Au, V-u = 0, (32) решение которых с вычислительной точки зрения заметно проще, чем решение уравнений (31). В уравнениях (31), (32) Re - число Рейнольдса, отнесенное к диаметру волокна 2а, ReA =Re/2b = hUv_1, b = a/h, v -кинематическая вязкость газа, a - радиус волокна. В (32) все величины приведены к безразмерному виду нормированием на скорость потока перед фильтром U и половину расстояния между осями волокон h.
Нашей целью было изучение осаждения частиц с учетом инерционности несущей среды на основе уравнений Озеена в зависимости от числа Рейнольдса, параметров фильтра и механизмов осаждения частиц. Мы приводим сравнение результатов численных расчетов сил сопротивления волокон и коэффициентов захвата частиц волокнами, выполненных на основе уравнений Навье-Стокса, Озеена и Стокса. Влияние инерционности потока исследовано на примере простейшего модельного фильтра - ряда параллельных волокон, расположенных перпендикулярно к направлению потока газа (рис. 4). Полученные численные результаты при Re 1 сравниваются с предельными значениями, найденными по аналитическим формулам, полученным также на основе уравнений Озеена для сильно разреженных рядов параллельных волокон [45] и с экспериментальными данными [148]. Кроме того, рассмотрено влияние неоднородности расположения волокон в ряду на их сопротивление при Re 1.
Для исследования поле течения в модельном фильтре при Re 1 были решены уравнения Озеена (32), записанные в терминах функции тока Р, ААЧ -2кд(Ах)/дх = 0,и = дх/ду, v = -dx/dx, (33) где к = ReA/2 = Re/2/6. В расчетах было удобно использовать в качестве линейного масштаба h, но конечные результаты были представлены в зависимости от числа Рейнольдса Re, отнесенного к диаметру волокна. Решение уравнения (33) было найдено как сумма решений уравнений Лапласа и Гельмгольца для составляющих функции тока х = х1 + х2: АЧ = 0, АЧ 2-2кдх2/дх = (34) (35) В области 1 функция тока находилась методом фундаментальных решений. В рамках используемого подхода компоненты скорости потока были представлены в виде конечных рядов [108]
Далее мы объединили метод фундаментальных решений с методом граничной коллокации. Решение для функции тока в области 1 сшивалось с аналитическими решениями в полуполосах 2, 3. Такой подход дает более устойчивый счет при меньшем числе точечных сил. В областях 2 и 3 (полубесконечные полосы) невозрастающие на бесконечности решения уравнений (34) и (35), удовлетворяющие условиям чЧ -х», ) ,
Константы A, B, El, Er определялись численно из (39) и из условий сшивки решений в полуполосах с решением в квадратной области: dsx{2)/dxs = dsx{1)/dxs ,s = 1..3, Ч (2) = Ч (1) при х = -1 ds3)/dxs = ds1}/dxs, s = 1..3, 3) = Ч (1)при х = 1. Функция тока (1), с учетом определения и = дх/ду, была аппроксимирована с помощью квадратурной формулы Гаусса. Полное число точек граничной коллокации задавалось большим числа неизвестных 4N, и результирующая система линейных алгебраических уравнений решалась по методу наименьших квадратов с SVD-разложением. Предложенная схема была успешно протестирована на задачах об обтекании озееновским потоком изолированного цилиндра и цилиндра в канале, решения для которых известны [109, 136].
Сила сопротивления единицы длины волокна рассчитывалась по формуле = Z4, (40) где K – число точечных сил, параллельных оси Ох, расположенных на малой окружности в центре сечения волокна.
Рассмотрим влияние скольжения газа на волокнах на сопротивление потоку и осаждение субмикронных частиц в модельных фильтрах с трехмерным полем течения. Как уже отмечалось, в высокоэффективных фильтрах тонкой очистки газа основными механизмами осаждения являются диффузионное смещение частиц с линий тока около волокна и эффект зацепления. Коэффициент захвата за счет зацепления равен расходу газа около поверхности волокна в слое с толщиной, равной радиусу частицы в области миделевого сечения волокна. Для стоксова осесимметричного течения около цилиндрического волокна он равен
С учетом эффекта скольжения газа расход возрастает, поскольку скорость на поверхности волокна не равна нулю, а дается формулой и, =тКп dujdr, (42) где і = 1.15 - коэффициент, характеризующий взаимодействие газовых молекул с поверхностью [7], Кп = XIа - число Кнудсена для волокна. На диффузионное осаждение частиц влияние эффекта скольжения сказывается в существенно меньшей степени, и начинает проявляться только для субмикронных и, особенно, для нановолокон. При R = гр/а 1 коэффициент захвата за счет зацепления частиц на волокне в упорядоченной системе параллельных волокон, ориентированных перпендикулярно потоку, равен [7]
Поле течения, силы сопротивления и осаждение инерционных частиц в модельном фильтре при Re
Как и в гексагональной модели, в результате входного эффекта наблюдается сначала рост ц, а затем его уменьшение с ростом числа слоев в фильтре, которое оказывается меньшим, чем в 2D моделях, причем для высокопористых моделей уменьшение г) вообще можно не учитывать, несмотря на то, что расстояние между соседними слоями вдвое меньше, чем в 2D гексагональной модели. Это принципиальный результат. Он свидетельствует о том что, как и для реальных волокнистых фильтров с 1, выполняется экспоненциальная зависимость проскока частиц от толщины фильтра и, следовательно, для расчета проскока необходимо определять только коэффициент захвата одного волокна.
Зависимости ц от Ре, полученные для Ъ = 0.1 ( = 0.0181 - 1) и Ъ = 0.2 ( = 0.0725) - 2, приведены на рис. 12, откуда следует, что их вид совпадает с рассчитанными по (47) в широком диапазоне Ре, т.е. формула (47), полученная для плоского течения, хорошо описывает осаждение частиц на волокна из трехмерного течения, особенно в высокопористой модели с 0.02, для которой прямые 2 и 2 практически совпадают. Однако при увеличении плотности упаковки, когда сила F в ДГМ растет, коэффициент захвата не следует за сопротивлением по (45): прямые 1 и 1, относящиеся к более плотному фильтру с = 0.0726, не совпадают, что особенно заметно при Ре 1. Это также новый результат, свидетельствующий о весьма слабой зависимости ц для ДГМ от плотности упаковки. Отметим, что для реальных фильтров и для веерной модели в диапазоне 0.02 - 0.13 характерно почти полное отсутствие такой зависимости [7]. Интересно также отметить, что прямая 3, описывающая осаждение в веерной модели (г = 2.7 Ре"2/3 [7]), усредняющая большое количество экспериментальных данные для ц в веерных модельных фильтрах с разной плотностью упаковки до = 0.15, проходит близко около прямой 1 для ДГМ с = 0.0726 (откуда следует вывод о том, что фильтрующие свойства ДГМ, веерной модели и реальных фильтров близки). О совпадении экспериментальных значений коэффициентов захвата для высокопористых ДГМ и веерной модели сообщалось ранее в [111]. Идентичность свойств этих моделей проявляется в том, что с уменьшением пористости фильтров перепад давления растет, а проскок почти не изменяется. В данном случае пористость в ДГМ уменьшается за счет увеличения диаметра волокон при одинаковой структуре и постоянном расстоянии между осями волокон. Еще более наглядное сходство этих двух моделей наблюдается при сжатии ДГМ, когда уменьшение пористости происходит за счет сближения параллельных рядов в ДГМ.
На рис. 14 дано сравнение расчетных данных (сплошная кривая) с данными экспериментов [3], полученных со сжатой ДГМ с сс= 0.135 ф = 0.208, 2hJa = 1.22), состоящей из 24 рядов параллельных проволочек с диаметром 0.5 мм и alh = 0.208. Рассчитанное значение силы сопротивления, равное F = 22.1, оказалось также довольно близким к экспериментальному значению Fexp = 21.3. Из рис. 13 и рис. 14 видно, что рассчитанные зависимости т(Ре) для двух ДГМ с одинаковым шагом ф = 0.2), но с резко (почти вдвое) отличающейся плотностью упаковки, практически совпадают (коэффициенты захвата лишь на несколько процентов превышают г\ для веерной модели), и при этом силы сопротивления в обоих фильтрах однозначно описываются формулой (45), т.е. сжатие слоев в ДГМ, приводящее к росту сопротивления, не влияет на осаждение наночастиц. Рис.13. Зависимости ц от Ре, Ъ = 0.2 (1, Ґ), Ъ = 0.1 (2, 1), 1, 2-прямой расчет, 1 , У -расчет по формуле (47), 3 - расчет по формуле (41) для веерного модельного фильтра. Рис.14. Зависимости коэффициента захвата от числа Пекле: 1 – расчет, 2 – веерная модель, 3, 4 – данные эксперимента [7].
Волокна в ДГМ попадают в гидродинамическую тень только в каждом пятом ряду, а промежуточные три ряда обеспечивают перемешивание и выравнивание концентрации, в результате чего средний коэффициент захвата практически не изменяется, что наблюдается и для реальных фильтров. Объяснение этому было дано в 1968 г. в работе [110], где отмечалось, что сжатие ведет к росту градиента скорости около поверхности волокон, который вызывает рост перепад давления и должен увеличить диффузионное осаждение, но роста не происходит из-за влияния диффузионного следа. Полученные в нашей работе расчетные данные подтверждают этот вывод. В заключение отметим интересный факт, который наглядно демонстрирует постоянство коэффициента захвата в ДГМ при изменении угла поворота двух гексагональных решеток одна относительно другой. На рис. 14 точками 3, 4 отмечены экспериментальные значения коэффициента захвата для ДГМ-фильтра, в котором вставленные друг в друга две гексагональные решетки не повернуты под прямым углом, а расположены параллельно, образуя сдвоенные по направлению потока волокна (2D структуру). Они практически совпадают с данными и расчетом для ДГМ с 3D структурой. Более того, оказалось, что величина Fэксп = 20.6 [7] также по порядку величины близка к силе сопротивления в ДГМ. Рассчитанное значение силы в 2D системе из сдвоенных по потоку волокон равно F = 19.5. Этот результат представляет самостоятельный интерес для теории фильтрации волокнистыми фильтрами, указывающий на специфику поля течения при Re 1, когда сближение волокон по направлению потока почти не влияет на силу сопротивления F, несмотря на гидродинамическую тень, а сближение поперек потока уменьшает силу сопротивления одного волокна вдвое. 3.3. Поле течения, силы сопротивления и осаждение инерционных частиц в модельном фильтре при Re 1
Стокса; 5 эксперимент [148]. Здесь также представлена зависимость, рассчитанная по аналитической формуле, приведенной в работе [148]. Видно, что при Re 0.5 эксперимент согласуется с расчетом по абсолютной величине, причем при увеличении Re зависимости F(Re) нарушаются одновременно, и вплоть до Re 1 не наблюдается их расхождения. Особенно наглядно совпадение расчетов на основе уравнений Навье-Стокса [107] и уравнений Озеена видно на рис. 16, где приводятся профили скорости на оси в ряду попарно сдвоенных волокон. Соответствующие сплошные и пунктирные линии почти сливаются.
Влияние эффекта скольжения на осаждение субмикронных частиц конечного размера на волокна
Далее было рассмотрено течение со скольжением в ДГМ, состоящей из 20 рядов волокон при нескольких значениях чисел Кнудсена в области Кп 1. Плотность упаковки ДГМ а = (пa2 / 3a2) для выбранного ah1 = 0.2 была равна а = 0.0725, что соответствует типичному значению для реальных фильтров [86]. Прежде всего, следует отметить, что из-за влияния входного эффекта значение сил сопротивления волокон в первом и последнем рядах несколько меньше, чем в остальных рядах, для которых значения F равны, причем отклонение от среднего в этих рядах составляет менее 0.01 %. Из результатов расчетов сил сопротивления без учета входного эффекта (без двух крайних рядов) были найдены значения срт. В данном случае мы воспользовались известной формулой для расчета F с учетом эффекта скольжения и влияния соседних волокон, полученной для 2Б-модели [7]: Г1 = Fo"1 + фт(1 - а)Кп/4тг. (50) Здесь используется выражение для F0 в ДГМ, полученное в [168] F0 = 4тг (- 0.5 lnoc - 0.46 + 2а2)"1- (51) При подстановке численных результатов средних сил сопротивления для ДГМ при Кп 0.005 в формулу (50) находим, что средний коэффициент фт = 1.20, откуда ф = 1.06 . В качестве примера приводим также значения сил и значения ф для третьего ряда при разных Кп (табл. 2).
Этот результат объясняется, по-видимому, одинаковым характером осесимметричного обтекания и, более того, совершенно очевидно, что ф для ДГМ не может быть больше, чем ф для сомкнутых пар. Таким образом, трехмерность течения при осесимметричном обтекании волокон не сказывается на зависимости изменения силы сопротивления волокон с ростом числа Кнудсена. Однако ничего нельзя сказать заранее о влиянии трехмерности течения на осаждение неброуновских частиц, когда отсутствует диффузионное выравнивание концентрации частиц до и перед каждым слоем.
Коэффициент захвата за счет зацепления рассчитывается как максимальный расход газа в слое около волокна с толщиной, равной радиусу частицы. При осесимметричном обтекании волокна максимум расхода соответствует 6 = 90. Коэффициент захвата за счет зацепления не зависит от скорости, и поэтому переменная скорость течения, набегающего на волокно от предыдущего ряда волокон, не должна заметно сказываться на осаждении частиц. Но, в отличие от точечных частиц [168], в случае субмикронных частиц - из-за их малой диффузионной подвижности выравнивания концентрации между рядами не происходит и, следовательно, в каждом пятом и последующих рядах на осаждении частиц сказывается влияние гидродинамической тени и диффузионного следа за волокнами от первых четырех рядов волокон. Поэтому для оценки влияния трехмерности течения на зацепление частиц достаточно рассмотреть модельный фильтр из четырех слоев, а для исключения входных эффектов при сравнении результатов расчетов с (43) можно рассматривать коэффициенты захвата только для одного, например, третьего слоя волокон. Следует отметить, что значения сил сопротивления в модельном фильтре из четырех слоев и из двадцати слоев отличаются только в пятом знаке. Поскольку, как показано выше, учет эффекта скольжения при вязком течении среды возможен только при Кп 1, то и расчеты осаждения за счет зацепления выполнены при очень малых значениях Кп.
Результаты расчета л, обозначенные точками, приведены рис. 20а для R = 0.1 и на рис. 20б для R = 0.2 в зависимости от диффузионного числа Пекле (при постоянных коэффициенте диффузии частиц D и диаметре волокна 2а кривые на рис. 20 представляют собой зависимости Л от скорости U). Зависимости 1-3 были рассчитаны по формуле (4), слагаемые в которой давались выражениями (43), (44) и (7), а зависимость 5 - по формуле (44). В этих формулах, изначально выведенных для плоского поля течения, в качестве гидродинамического фактора использовалась величина к = 4n/F, где сила сопротивления волокна F рассчитывалась из решения трехмерных уравнений Стокса для ДГМ-фильтра. Из рисунка видно, что эффект скольжения слабо влияет на диффузионное осаждение (кривые при Ре 50 сливаются), но заметно влияет на зацепление частиц, даже при столь малых значениях чисел Кнудсена. Рассчитанные значения г\ для ДГМ согласуются с результатами, описываемыми зависимостями 1-3.