Моделирование и численное исследование динамики колебательных химических реакций полунеявными методами Икрамов Рустам Джамолович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Литературный обзор 15

1.1. Классические примеры колебательных реакций 15

1.2. Обзор методов и подходов к решению прямых задач химической кинетики 22

1.3. Обзор методов и подходов к решению обратных задач химической кинетики 28

1.4. Программные пакеты для решения прямых и обратных задач химической кинетики 30

1.5. Постановка задачи 42

Глава 2. Алгоритмы решения прямых и обрат ных задач колебательных химических реакций 44

2.1. Модифицированный алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе ABC-схем с действительными коэффициентами 44

2.2. Алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе метода Розенброка с комплексными коэффициентами 49

2.3. Полуаналитический подход к решению дифференциальных уравнений на примере реакции Белоусова-Жаботинского

2.4. Алгоритм решения обратной кинетической задачи для колебательных реакций 60

Глава 3. Численное исследование динамики колебательных химических реакций полунеявными методами 66

3.1. Решение прямой и обратной задач полунеявными методами на примере гомогенной колебательной реакции Белоусова Жаботинского 66

3.1.1 Вычислительный эксперимент на примере классической модели Орегонатор 66

3.1.2 Вычислительный эксперимент на примере модели модифицированного Орегонатора 77

3.1.3 Вычислительный эксперимент на примере сокращенной модели Филда-Кереша-Нойеса 94

3.2. Решение прямой и обратной задач полунеявными методами на примере гетерогенных реакций 105

3.2.1 Вычислительный эксперимент на примере модели Чумакова-Слинько 105

3.2.2 Вычислительный эксперимент на примере модели Пескова-Слинько 111

Глава 4. Описание программного комплекса chemoscillator 119

4.1. Функциональное назначение программного комплекса и его ограничения 119

4.2. Структура, интерфейс и основные этапы работы с програм мой 120

4.3. Описание основных модулей, процедур и функций программного комплекса 128

Заключение 131

Литература

• Обзор методов и подходов к решению прямых задач химической кинетики
• Алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе метода Розенброка с комплексными коэффициентами
• Вычислительный эксперимент на примере классической модели Орегонатор
• Структура, интерфейс и основные этапы работы с програм мой

Введение к работе

Актуальность темы исследования

Химические превращения протекают, как правило, по многостадийным схемам. Изменения концентраций исходных веществ и промежуточных продуктов во времени не всегда описываются возрастающими или убывающими функциями, характеризующимися участками очень малого изменения концентрации того или иного компонента. В сложных химических реакциях при наличии обратной связи вдали от состояния равновесия могут наблюдаться периодические изменения концентраций реагирующих веществ во времени, что влечет появление периодической зависимости скорости реакции от времени. Такие реакции называются колебательными или периодическими.

Изучение колебательных реакций остается актуальной задачей химической кинетики, поскольку оно имеет огромное значение для понимания сути явления катализа, а также для формулирования принципов использования периодических процессов в химической технологии.

Трудность решения задач, описывающих колебательные реакции, обусловлена необходимостью обеспечения правильных значений амплитуд и фаз на протяжении многих периодов. Это связано, прежде всего, с большой жесткостью и размерностью систем дифференциальных уравнений их математических моделей. Поэтому при выборе метода численного интегрирования системы дифференциальных уравнений модели химической реакции следует учитывать тип и характер системы, который может меняться в процессе интегрирования. Классические явные схемы при решении прямых задач колебательных химических реакций чаще всего не демонстрируют ни численных, ни качественно правильных результатов в связи с их малой областью устойчивости. При решении некоторых жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применение неявных методов также дает неудовлетворительные результаты. Поэтому, наряду с неявными методами, разрабатывают специальные явные и полунеявные методы, пригодные для решения жестких задач. К таким методам относятся метод Розенброка, класс (m,k)-методов, ABC-схемы, которые обладают широкими областями устойчивости, хорошим соотношением скорости, эффективности и точности.

Одна из основных проблем при моделировании химических процессов сводится к поиску неизвестных констант скоростей реакции, то есть к решению обратной задачи. Во многом процесс поиска неизвестных кинетических параметров, его скорость и сходимость, зависит от выбора метода решения прямой задачи. В случае систем с нелинейной, хаотичной динамикой эта задача ведет к нетривиальному решению, так как неизвестные кинетические константы часто различаются на порядки.

Имеющиеся в настоящее время программные комплексы и пакеты, используемые для моделирования и анализа нелинейных моделей, как правило, рассчитаны на исследования простых систем. Очевидна необходимость создания программного обеспечения для исследования реальных химических процессов, что влечет за собой разработку специальных методов и алгоритмов, достаточно устойчивых для моделирования сложных нелинейных систем.

Цель работы

Разработка алгоритмов для численного исследования динамики колебательных химических реакций на основе полунеявных методов.

Задачи исследования:

1. Разработка алгоритмов численного решения прямой задачи химической кинетики для колебательных реакций.

2. Разработка алгоритмов численного решения обратной задачи химической кинетики по определению кинетических параметров колебательных систем.

3. Численное исследование моделей гомогенных колебательных реакций (реакция Белоусова-Жаботинского) и моделей колебательных гетерогенных реакций (модель Чумакова-Слинько, модель Пескова-Слинько) на основе построенных алгоритмов. Нахождение амплитуд, периодов, режимов колебаний и фазовых портретов.

4. Создание программного комплекса, позволяющего проводить вычислительные эксперименты на основе разработанных алгоритмов, визуализировать результаты решения прямых и обратных задач, находить параметры колебаний, строить фазовые портреты моделей.

Научная новизна

5. Разработан комбинированный алгоритм решения прямой и обратной кинетических задач колебательных химических реакций на основе полунеявного метода АВС-схемы с дейсствительными коэффициентами и метода Розенброка с комплексными коэффициентами.

6. Создано программное обеспечение на основе разработанных алгоритмов, позволяющее осуществлять поиск решения прямой и обратной задач химической кинетики для колебательных реакций, определять наличие колебаний в системе, находить параметры колебаний (период, тип, амплитуду), строить фазовые портреты моделей химических реакций.

7. Проведены вычислительные эксперименты по решению прямой и обратной задач с использованием разработанного программного комплекса на примере моделей гомогенных и гетерогенных колебательных реакций (гомогенная реакция Белоусова-Жаботинского, гетерогенная реакция окисления водорода на никелевом катализаторе, гетерогенная реакция восстановления азота N₂O +H₂). Построены кинетические зависимости и фа-

зовые портреты моделей химических реакций. Проанализировано поведение химических систем во времени.

4. Проведен сравнительный анализ различных реакционных схем, описывающих концентрационные колебания в реакции Белоусова-Жаботинского. Продемонстрировано изменение типов колебаний с учетом и без учета протекания реакции в реакторе.

Практическая значимость Разработанный программный продукт «ChemOscillator» позволяет решать прямую и обратную задачи для колебательных моделей химических реакций. Программный продукт имеет дружественный интерфейс и зарегистрирован в Федеральной Службе по Интеллектуальной Собственности (РосПатент) и Объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» (ФГБНУ ИУО ОФЭРНиО).

Личный вклад автора состоит в разработке алгоритмов решения прямых и обратных задач колебательных реакций, разработке алгоритмов для исследования параметров колебаний, проведении вычислительных экспериментов решения прямых и обратных задач, проведении анализа полученных результатов, подготовке результатов исследования к публикации в научной печати.

Достоверность результатов обеспечивается использованием в качестве основы моделирования фундаментальных законов математики, химии, физики, выбором теоретически обоснованных численных методов, а также подтверждается удовлетворительным согласованием результатов проведенных расчетов с опубликованными данными других исследователей.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены на следующих Международных, Всероссийских и Региональных научных конференциях: Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Тамбов, 2014; Москва, 2015); Международной школы-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа,

2013. 2014, 2015); Международной конференции «ПМТУКТ» (Воронеж,

2014. 2015); Всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование процессов и систем» (Стерлитамак, 2013, 2014, 2015); Всероссийской научной конференции «Теоретические и экспериментальные исследования процессов синтеза, модификации и переработки полимеров» (Уфа, 2014); Всероссийской научно-практической заочной конференции «Достижения и приложения современной информатики, математики и физики» (Уфа, 2013); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ» (Ижевск, 2014; Омск, 2015); Всероссийской научно-практической конференции «Математическое модели-

рование на основе статистических методов» (Бирск, 2015); Межвузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежные инновации в машиностроении» (Ишимбай, 2014, 2015); научных семинарах кафедры математического моделирования факультета математики и информационных технологий СФ БашГУ (руководители - профессор С.А. Мустафина, профессор В.Н. Кризский).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 30 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий ВАК РФ, 3 статьи в журналах, индексируемых SCOPUS, 2 зарегистрированных программных продукта, статьи и тезисы докладов в материалах конференций различного уровня. В совместных работах постановка задачи принадлежит профессору С.А. Му-стафиной. Результаты, выносимые на защиту, принадлежат автору.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 181 страница, включая 93 рисунка, 5 таблиц.

Обзор методов и подходов к решению прямых задач химической кинетики

Решающий вклад в открытие колебательных реакций внесли Б.П. Белоусов и A.M. Жаботинский [63]. В 1951 году Б.П. Белоусов открыл и экспериментально исследовал химическую реакцию окисления лимонной кислоты броматом при катализе ионами церия в сернокислотной среде. Возникающий в ней периодический режим с колебаниями окраски стал классическим примером колебательных реакций. Статья Б.П. Белоусова не была принята к публикации «ввиду теоретической невозможности» описанной им периодичности химического процесса. В 1955 г. И.Р. Пригожий показал возможность существования в открытой системе химических колебаний около стационарного состояния, при этом достаточно удаленного от термодинамического равновесия. И лишь 1970-х - 1980-х годах было официально подтверждено открытие нового класса автоколебательных процессов.

Работы И. Пригожина, Б. Белоусова и др. ученых позволили выявить следующие результаты: 1. Показано, что в неравновесной химической системе стационарное состояние может потерять устойчивость, в результате этого появится несколько стационарных состояний или концентрационных колебаний. 2. Определены типы взаимодействия, ведущие к химической неустойчивости: автокатализ, перекрестные катализ и ингибирование. 3. Были разработаны методы анализа устойчивости сложных систем хи 18 мических реакций. 4. Открыто множество колебательных реакций, идущих в гомогенных и квазигомогенных системах в жидкой и газовой фазах. 5. Разработаны подходы, позволяющие направленно создавать химические осцилляторы из неколебательных реакций. 6. Показано, что в химических системах имеют место все мыслимые типы сложного динамического поведения. 7. Открыты химические автоволны и автоволновые структуры. Наиболее полный математический анализ различных вариантов реакций класса Белоусова-Жаботинского и их колебаний и моделей в дальнейшем был проведен A.M. Жаботинским в работах [27]-[29], Дж. Марри [46], К. Шоуолтером [107], [108], [109], [111]. Моделирование и исследование реакции Белоусова-Жаботинского на различных катализаторах описаны в работах [104], [110]. Поверхностный анализ различных колебательных моделей гипотетических реакций описан в работах [16], [97], [102], [103]. В работах [96], [109] были предложены модели реакции Белоусова-Жаботинского, модифицированные с учетом протекания реакции в реакторе идеального смешения и периодического действия соответственно.

Реакция Белоусова-Жаботинского и ее модели нашли свое применение в различных областях науки. Так, С.Г. Уляхин показал в работе [77] использование динамических режимов реакции в обработке изображений. Сама реакция может демонстрировать поведение волновых фронтов, сходных с фронтами в твердых телах, геоматериалах и геосредах [30]. Так 19 же с помощью этой реакции можно моделировать формирование спиральных волн в миокарде, которые связывают с фибрилляциями и различными аритмиями - опасными сердечными заболеваниями [68].

Анализ различных моделей класса реакций Белоусова-Жаботинского также проводился в работах российских исследователей Л.А. Прокуди-ной [66], В.К. Ванагом [9], [10], О.В. Носковым [53], Ю.Я. Бобыренко [3], А.Б. Рыжковым [70] и др.

Наиболее подробный анализ механизма временных колебаний в реакции Белоусова-Жаботинского был проведен Ричардом Филдом, Эндре Кёрёшем и Ричардом Нойесом в 1972 г. Хотя механизм Филда-Кереша-Нойеса был и модифицирован, уточнен и расширен, он все ещё широко принят, как, в основном, правильный и полный [28].

Механизм Филда-Кёрёша-Нойеса состоит из 11 реакций между 15 различными соединениями (табл. 1.1.), причем концентрации соединений достаточно сильно изменяются в ходе колебательного цикла. Поэтому кинетика реакции может быть описана системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, полученных применением закона действующих масс к каждой стадии, чаще всего решаемых численно. Для исследования колебаний, бистабильности и бегущих волн аналитически необходимо сведение полной модели к более простой. Р. Филд и Р. Нойес первыми показали, что механизм Филда-Кереша-Нойеса может быть упрощен до поддающейся анализу математической модели [90]. Однако эти упрощенные модели могут привести к очень сильным количественным и качественным расхождениям с данными экспериментов [28]. Ими были выбраны пять наиболее важных реакций: ЯЗ, Д5, R2, R4 и ре

Алгоритм решения прямой задачи колебательной реакции на основе метода Розенброка с комплексными коэффициентами

При изучении механизмов сложных химических реакций возникают проблемы как физико-химические, так и математические. Физико-химические проблемы сводятся к трудности или невозможности измерения характеристик промежуточных соединений, что может являться причиной неоднозначности параметров построенной математической модели. Таким образом, возникает задача идентификации математической модели, которая в общем случае является задачей глобальной оптимизации и подразумевает многократное решение прямых задач для подбора оптимального набора параметров [73].

Суть обратных задач состоит в определении констант скоростей элементарных стадий, входящих в механизм сложной химической реакции на основе экспериментальных данных о концентрациях участвующих реагентов. Общий подход к определению неизвестных констант базируется на минимизации функционала F: где W - количество экспериментальных данных для j-oro реагента, N -число реагентов, с?- - расчетное значение j реагента, полученное при решении прямой задачи (1.9) с начальными условиями (1.10), с%- - значение j реагента, полученное в ходе эксперимента.

Поскольку расчетные данные cf- моделей колебательных реакций нелинейно зависят от значений констант скоростей к0,ки..., кт, то задача (2.27) является в общем случае задачей многоэкстремальной оптимизации.

Универсального метода решения обратной задачи не существует. Ее решение находят путем перебора по определенному алгоритму, многократно решая прямую задачу и минимизируя функционал отклонения расчетных и экспериментальных данных [26], [44], [54]. С развитием параллельных технологий классические методы оптимизации отходят на второй план, популярность набирают методы, использующие многоядерные или многопроцессорные технологии, такие как метод роя частиц [22], генетический алгоритм [20].

При решении обратной задачи существенную роль играет не только метод поиска, но и метод решения прямой задачи, так как от его точности и скорости зависит основное время поиска. Для колебательных реакций решение обратной задачи представляет особую трудность. Нелинейность моделей таких реакций сильно влияет на ход решения, и особо ярко про 62 является некорректность, неединственность решений обратных задач. В общем виде алгоритм поиска решения обратной задачи состоит из трех шагов [35]: 1. Задать начальные параметры метода минимизации функционала качества (2.27), данные эксперимента, начальное приближение для кинетических констант; 2. Найти минимум функционала качества (2.27), решая прямую задачу. 3. Согласно алгоритму метода минимизации изменить значения кинетических констант и перейти к шагу 2. Для решения обратной задачи химической кинетики для колебательных реакций будем использовать метод конфигураций (Хука-Дживса). Суть метода конфигураций состоит в цикличном изменении переменных с последующим поиском по образцу. Приведем общую схему метода конфигураций [55] для нахождения минимума некоторой функции многих переменных / = /(ж), X = (ЖЬ Ж2, . . . , ХП). Шаг 1. Задается начальное приближение х. Шаг 2. Задается величина шага, которая может быть различна для каждого координатного направления. Шаг 3. Фиксируется первое координатное направление и делается шаг в сторону увеличения координатного направления. При уменьшении значения функции / считается, что шаг выполнен удачно, иначе делается шаг в сторону уменьшения координатного направления. Таким образом, происходит перебор каждой переменной, после чего исследующий поиск завершается. Получена новая точка х1. Шаг 4. Если значение функции / в точке х1 больше, чем в точке ж0, то шаг считается неудачным. Происходит уменьшение шага и возврат на шаг 3. Если значение функции / в точке х1 меньше, чем в точке ж0, то шаг считается удачным, и происходит переход на шаг 5.

Шаг 5. Поиск по образцу подразумевает движение от старой точки х к новой точке х2 через точку х1 (рис. 2.2) с помощью ускоряющего множителя. Если значение в новой точке х2 меньше, чем в предыдущей, то поиск по образцу считается удачным, в противном случае происходит возврат в точку ж1, и алгоритм начинается заново с шага 3.

Иллюстрация работы метода Конфигураций. Удачные шаги выделены, сплошными линиями, неудачные - пунктирными. Сформулируем алгоритм решения обратной задачи для колебательных реакций. Шаг 1. Зададим исходные данные: tmax - правый конец отрезка интегрирования (время протекания реакции), со - вектор начальных концентраций, step - вектор значений шагов, е - точность шага, тп 2 - ускоряющий множитель, dl 1 - коэффициент уменьшения шага. Шаг 2. Выберем начальное значение искомых кинетических констант Шаг 3. Зададим номер текущей координаты s = 1. Шаг 4. Составим 2 набора векторов кинетических констант: к+ = (/с?, hi ..., fc + step, Щ, fc = (/с?, /с2,..., ks - step,..., Щ Шаг 5. Вычислим значение функционала F (2.27), решив систему дифференциальных уравнений (2.4) с начальными условиями (2.5) методом на основе ABC-схемы при следующих наборах констант скоростей: /с0, к+, к_. В случае уменьшения значения функционала вектор ко заменяется на один из векторов к , к_, при котором было достигнуто соответствующее кинетических констант к1. Если F(fc) F(kl), то step = step/dl и происходит переход на шаг 3. Если F{k) F 1), то переход на шаг 8. Шаг 8. Поиск по образцу. Вычисляется новый вектор к2 = к0 + тп (к1 - к0). Если F(k2) F(kl), то осуществляем замену к0 = к2, в противном случае, к0 = к1. Возвращаемся на шаг 3. 65 Метод конфигураций обладает хорошей сходимостью и широкой применимостью к различным прикладным задачам. Метод неоднократно доказывал свою эффективность в обратных задачах химической кинетики [8], [17].

Вычислительный эксперимент на примере классической модели Орегонатор

Колебательные процессы происходят не только в гомогенных реакциях. В гетерогенных реакциях, в большинстве случаев, в открытых системах при наличии обратной связи происходят колебания степеней покрытия адсорбирующихся веществ на катализаторе.

Рассмотрим применение построенных алгоритмов на примере нежестких или слабо жестких моделей гетерогенных реакций и покажем, что тип реакции и ее жесткость не влияют на устойчивость численных схем.

Одним из ярких примеров колебательной гетерогенной реакции является реакция окисления молекулярного водорода на поверхности никелевого или платинового катализатора [83]: ;з.ю) Я2 + 2М о 2ЯМ, 02 + 2М о 20М, 2НМ + ОМ - ЗМ + Н20, Н2 + ОМ - М + н2о, Мп + ОМ о (МпО) + м. Первые две стадии обратимые и представляют собой адсорбцию молекул водорода и кислорода, третья основная необратимая стадия - окисление водорода по рекомбинационному механизму Лэнгмюра - Хиншельвуда, четвертая необратимая стадия - окисление водорода по ударному механизму

Или-Ридила. Пятая обратимая стадия - растворение кислорода в приповерхностном слое катализатора (буферная стадия). В приповерхностном слое происходит накопление излишка адсорбированного кислорода, в противном случае, идет обмен поверхностными и приповерхностными центрами адсорбции через окисление. Реакция происходит в проточном реакторе, в нем поддерживаются постоянными концентрации молекул 02 и H2j происходит отвод Н20, температура постоянна.

Механизму реакции (3.10) соответствует следующая математическая модель, представленная дифференциальными уравнениями (открытая ге терогенная система;: (ІСЛ dc2 fci(l - сі - c2f - fc_lC? - 2/г3с2с2, fc2(l - сі - c2)2 - k.2c\ - hc\c2 - k4C2, i = jfc5C2(l - eg) - /c_5c3(l - Cl - C2), где c\ = [HM], c2 = [ОМ], C3 = [MnO]7 ki - константы скоростей стадий. Для возникновения автоколебаний необходимо наличие обратной связи в системе. Обратная связь осуществляется через воздействие реагирующих веществ на активность и свойства катализатора и выражается в зависимости энергий активаций стадий адсорбции и реакции от концентрации водорода и кислорода на поверхности катализатора. В простейшем случае, концентрация адсорбированных веществ влияет только на скорость поверхностного взаимодействия реагирующих веществ, причем энергия активации этой стадии линейно зависит от степеней покрытия поверхности кислородом и водородом. В этом случае константы скоростей стадий 3 и 4 схемы (3.10) экспоненциально зависят от концентраций поверхностных

Результаты интегрирования системы при следующих значениях параметров (все параметры и условия считают безразмерными, так как они характеризуют скорость и степень покрытия поверхности катализатора) [62]: h = 1.5, fc_i = 0.008, к2 = 20, /с_2 = 0.02, к30 = 100, к40 = 20, є = 0.0024, а = 7.88, /І3 = 2, /І4 = 7, /І5 = -12.320463, начальных условиях сі = 0.1, с2 = 0.5, с3 = 0 представлены на рис.3.53-рис.3.55. Шаг интегрирования /г = 10"3.

Кинетические колебания также наблюдаются в реакции восстановления N20 водородом на поверхности iV(110). Модель этой реакции, предложенная Песковым Н.В. и Слинько М.М., выглядит следующим образом N20{g) + V N20{ads), H2(g) + 2V 2H(ads), (3.14) N20{ads) - N2(g) + 0{ads), 0{ads) + 2H{ads) H20{g) + ЗУ, где (g) - газовая фаза, (ads) - адсорбированные частицы на поверхности, V - вакантное место в решетке. Тогда система дифференциальных уравнений, соответствующая модели (3.14), будет иметь следующий вид: ё,сл Чь = dc2 kiPN2oO- Сі - С2) - k-iCi fad, hci - hc2cl = к2Рн2(1 - c3)2 - к.2с\ - hc2cl где сі, с2 и сз - плотности адсорбированных частиц N20) О, Н соответственно, PN2O И РН2 парциальные давления, кі(і = ±1, ±2,3, 4) - константы скоростей. 112 Предполагается, как и в рассмотренной ранее модели Чумакова-Слинько (3.11), концентрация адсорбированного вещества N20 влияет только на скорость поверхностного взаимодействия реагирующих веществ, поэтому k-\ и &з зависят от поверхности покрытия кислорода: к-\ =

Структура, интерфейс и основные этапы работы с програм мой

Программный комплекс «ChemOscillator» для решения прямой и обратной задач химической кинетики для колебательных реакций состоит из следующих модулей: 1. Модуль «main.pas». Модуль обеспечивает работу основой формы про граммы, содержит основные обработчики событий и методы работы с файлом. Основные функции модуля: «f_inverse» - функция вычисления функционала качества для решения обратной задачи; «inverse» - реализация метода конфигураций; «Direct» - функция для считывания параметров с формы и данных из файла для решения прямой задачи, построения кинетических зависимостей и нахождения параметров колебаний. 2. Модуль «system_eq.pas». Модуль содержит объявления основных ти пов данных программы: двумерные массивы действительных и ком плексных чисел, одномерный массив действительных и комплексных чисел, а также основные модели используемые в программе: 1) модель Орегонатора в безразмерной форме, 2) классическая модель Орего натора, 3) модель модифицированного Орегонатора, 4) 9-ти компо нентная модель Орегонатора, 5) модель Орегонатора с люминисцен цией, 6) обратимая модель Орегонатора, 7) 5-ти компонентная мо дель Орегонатора, 8) модель колебания озона в атмосфере, 9) мо 129 дель Лотки-Вольтерры, 10) модель Чумакова-Слинько, 11) модель Пескова-Слинько. При замене данного блока моделей программный комплекс может быть адаптирован к иным колебательным процессам.

3. Модуль «functions.pas». действительными и комплексными числами и матрицами: перемножение матриц, умножение матрицы на вектор, поиск действительной и комплексной части числа, сложение и вычитание матриц, нахождение якобиана, обратной матрицы, перемножение матрицы на число. Основные функции модуля: «mpl» - функция для нахождения результата перемножения матрицы на вектор; «multiplication» - функция для нахождения результата перемножения двух матриц; «obr» - функция для нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса; «MultComplexNumberRealMatrix» - функция для перемножения комплексного числа на матрицу; «MultRealNumberRealMatrix» - функция для перемножения действительного числа на матрицу; «SubRealMatrixRealMatrix» - функция для вычитания двух матриц с действительными числами; 130 «MultComplexNumberComplexNumber» - функция для перемножения двух комплексных чисел; «SLAUSolve» - функция для нахождения решения матричного уравнения А х = В7 где А - матрица с комплексными числами, х - искомый вектор с комплексными числами, В - вектор с действительными числами; «RealPart» - функция для нахождения действительной части «SubRealMatrixCompMatrix» - функция для вычисления разности между матрицами с действительными и комплексными числами; «Jacobian» - функция для вычисления Якобиана системы дифференциальных уравнений; «SumComplexNumberComplexNumber» - функция для вычисления суммы двух комплексных чисел; «SubRealVecRealVec» - функция для вычитания двух векторов с действительными числами. 4. Модуль «methods.pas». Модуль содержит основные численные методы решения задачи Коши. В модуле представлены метод Розенброка с комплексными коэффициентами, метод Гира, АВС-схема 2 порядка точности.Модуль содержит основные функции и процедуры для работы с