Идентификации моделей сложных химических систем на основе предельно допустимых оценок параметров Кантор Ольга Геннадиевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Теоретико-методологические основы идентификации моделей сложных химических систем 14

1.1. Математическая обработка наблюдений как этап исследования химических систем 14

1.2. Эволюция подходов к решению задач параметрической идентификации (статистический и нестатистический подходы) 21

1.3. Задачи исследования 28

2. Качество моделей химических систем 40

2.1. Качество моделей математической обработки наблюдений 40

2.2. Многовариантность и информативность моделей 45

2.3. Контроль качества моделей химических систем 52

3. Задача определения параметров математических моделей 61

3.1. Математическая постановка прямой и обратной задач 61

3.2. Критерии оценивания параметров в задачах математической обработки наблюдений 67

3.3. Метод Л.В. Канторовича расчета областей неопределенности параметров математических моделей 74

3.4. Предельно допустимые оценки 78

4. Метод расчета предельно допустимых оценок параметров математических моделей 82

4.1. Чебышевские приближения 82

4.1.1. Задача чебышевского приближения систем линейных уравнений и неравенств 82

4.1.2. Задача минимизации суммы модулей линейных функций 90

4.1.3. Связь задачи параметрической идентификации линейной зависимости и задачи чебышевского приближения 92

4.2. Постановка задачи параметрической идентификации на основе принципа равномерного приближения экспериментальных данных 97

4.3. Оценка информативности моделей

4.3.1. Описание концептуального подхода 109

4.3.2. Двойственность как инструмент анализа информативности линейных моделей 117

4.3.3. Учет фактора «старения» информации 120

4.4. Алгоритмы решения задач параметрической

идентификации 127

5. Количественный уф спектрометрический анализ фулеренсодержащих смесей 132

5.1. Постановка задачи и методы ее решения 132

5.2. Алгоритм определения содержания фуллерена и его замещенных производных в смесях 137

5.3. Численная реализация задачи количественного анализа фулеренсодержащих смесей 143

5.4. Описание программы для количественного анализа смесей фуллеренсодержащих продуктов 157

6. Контроль качества моделей химической кинетики 166

6.1. Контроль качества простейших моделей химической кинетики 166

6.2. Контроль качества моделей каталитических реакций 172

6.2.1. Постановка задачи оптимизации дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет

бутилпирокатехина

6.2.2. Моделирование режима дробной подачи окислителя 181

6.2.3. Анализ результатов и определение оптимального режима 187

7. Предельно допустимые оценки параметров автономных систем дифференциальных уравнений 196

7.1. Применение математического моделирования для анализа механизма реакции 196

7.1.1. Экспериментальные исследования порядка химической реакции 196

7.1.2. Моделирование порядка химической реакции 201

7.2. Параметрическая идентификация моделей системной

динамики 205

7.2.1. Концептуальный подход к построению модели численности населения Российской Федерации 205

7.2.2. Алгоритм и программная реализация расчета предельно допустимых оценок параметров модели 209

7.2.3. Идентификация модели 222

Заключение 228

Список использованных источников

• Эволюция подходов к решению задач параметрической идентификации (статистический и нестатистический подходы)
• Многовариантность и информативность моделей
• Метод Л.В. Канторовича расчета областей неопределенности параметров математических моделей
• Связь задачи параметрической идентификации линейной зависимости и задачи чебышевского приближения

Введение к работе

Актуальность темы. Одним из действенных инструментов изучения химических систем является математическое моделирование - метод, основанный на представлении наиболее значимых свойств объекта исследования в виде математических соотношений. В практическом плане построение математических моделей изучаемых химических систем сводится к обработке опытных данных посредством использования математического, алгоритмического и программного обеспечения. При этом основной задачей математической обработки наблюдений является установление зависимости

У = Аа,х), (1)

связывающей наблюдаемые величины хєїсі?" и yeY^R¹, в соответствии с имеющимися экспериментальными данными fe, у= [,

t = Ui, (a = {a₁,...,aJ- вектор параметров модели).

Построение зависимостей (1) осуществляется в рамках теории идентификации, при этом под идентификацией математической модели заданной структуры (параметрической идентификацией) понимают определение набора числовых параметров а, которые обеспечивают наилучшее соответствие экспериментальных данных и рассчитанных по модели значений функции. Задачи такого рода достаточно часто возникают при обработке данных химических экспериментов. Так, в рамках химической кинетики на основании опытных данных определяются константы скорости реакции, что позволяет установить зависимость скорости реакции от концентрации реагентов и, как следствие, выявить способы управления процессом протекания реакции.

Всю совокупность существующих подходов к решению задач параметрической идентификации можно разделить на две группы: статистические и нестатистические. Статистические методы на сегодняшний день представляют собой наиболее распространенный инструмент прикладного анализа наблюдений. Основу таких методов составляют предположения о подчинении наблюдаемых величин какому-либо закону распределения вероятностей, что на практике не всегда находит подтверждение.

Принципиально другая методология обработки наблюдений была предложена Л.В. Канторовичем¹. Суть ее состоит в том, чтобы на основании максимально полного использования всей имеющейся количественной и качественной информации об объекте исследования для каждого из параметров а_{, i = 1,q определять интервалы, вариация значений внутри

¹ Канторович, Л.В. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений / Л.В. Канторович // Сибирский математический журнал. – 1962. – Т.3, № 5. – С. 701–709.

которых обеспечивает требуемый уровень качественных характеристик модели. Данный подход активно использовался при решении обратных задач химической кинетики и послужил основой метода анализа информативности кинетических измерений². В настоящей работе осуществляется развитие идеи подхода Л.В. Канторовича для определения границ таких интервалов.

Стремление получить достоверную модель обусловливает актуальность
разработки методов параметрической идентификации, обеспечивающих
требуемый уровень качественных характеристик и позволяющих учесть
и отобразить всю априорную информацию о специфике объекта
исследования. Важным аспектом такого исследования является анализ
информативности полученной модели, призванный способствовать

улучшению ее качественных характеристик и выявлению наиболее приоритетных направлений доработки.

Целью диссертационной работы является разработка методологии решения задач параметрической идентификации математических моделей сложных физико-химических систем на основе предельно допустимых оценок параметров.

Для достижения цели потребовалось решение следующих задач.

1. Разработка методов параметрической идентификации, позволяющих осуществлять синтез решения обратных задач математического описания механизмов сложных реакций и задач контроля качества моделей исследуемых химических систем.

2. Математическая постановка задач расчета предельно допустимых оценок параметров моделей.

3. Разработка математических моделей для анализа механизма реакции при решении обратных задач химической кинетики.

4. Разработка математического и программного обеспечения для решения задачи количественного УФ спектрометрического анализа смесей замещенных фуллеренов С60.

5. Разработка математического и программного обеспечения решения обратных задач химической кинетики при оптимизации режима дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина.

6. Адаптация метода параметрической идентификации автономных систем дифференциальных уравнений при построении моделей системной динамики.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы
методы математического моделирования, химической кинетики,

УФ-спектрометрического анализа, оптимизации, подход Л.В. Канторовича к определению областей неопределенностей математических моделей.

² Спивак, С.И. Информативность кинетических измерений / С.И. Спивак // Химическая промышленность сегодня. – 2009. – № 9. – С. 52-56.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту:

7. Создана методология параметрической идентификации кинетических моделей, основанная на использовании предельно допустимых оценок параметров моделей. Методология обеспечивает синтез решения обратных задач математического описания механизмов сложных реакций и задач контроля качества моделей исследуемых систем и включает соответствующее математическое и алгоритмическое обеспечение. Ее применение позволяет проводить исследования в условиях ограниченного числа экспериментальных данных и с учетом погрешности их измерений (п. 7 паспорта специальности 02.00.04, п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

8. В развитие подхода Л.В. Канторовича к идентификации областей неопределенностей осуществлена формализация задачи расчета предельно допустимых оценок, используемых в качестве границ множества значений параметров математических моделей исследуемых химических систем, обеспечивающих требуемое качество описания экспериментальных данных (пп. 7, 10 паспорта специальности 02.00.04, п. 6 паспорта специальности 05.13.18).

9. Создан метод количественного анализа многокомпонентных фуллеренсодержащих смесей, обеспечивающий применимость метода Фирорда в условиях неточности экспериментальных данных; разработано соответствующее алгоритмическое и программное обеспечение (п.п. 4, 7 паспорта специальности 02.00.04, п. 6 паспорта специальности 05.13.18).

10. Разработано математическое и программное обеспечение для решения задачи оптимизации дробной подачи окислителя в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина на основе селективного окисления 4-трет-бутилфенола растворами пероксида водорода в присутствии титаносиликатных катализаторов, применение которого позволяет определять режимы проведения реакции, обеспечивающие увеличение выхода конечного продукта при одновременном сокращении расхода окислителя. Основу разработанного подхода составляют кинетические модели, идентификация которых базируется на использовании предельно допустимых оценок констант скоростей реакции (п. 7 паспорта специальности 02.00.04, п. 7 паспорта специальности 05.13.18)

11. Разработан метод анализа механизма сложной химической реакции, основанный на проверке гипотезы о спецификации кинетической модели, применение которого призвано способствовать планированию экспериментов и обоснованию выбора дальнейших исследований в условиях их ограниченного ресурсного обеспечения (пп. 8, 10 паспорта специальности 02.00.04, п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

12. В развитие подходов к построению моделей слабо структурированных систем разработаны:

– в рамках концепции системной динамики – метод идентификации модели численности населения Российской Федерации, включающий методическое, алгоритмическое и программное обеспечение;

– в рамках адаптивных методов – метод учета фактора «старения» информации, основанный на анализе информативности ошибок измерений; (п. 7 паспорта специальности 05.13.18).

Практическая значимость результатов. Разработанный метод параметрической идентификации математических моделей сложных химических систем является действенным инструментом для подготовки и организации численных экспериментов по определению оптимального набора параметров моделей заданной спецификации, обеспечивающих достижение качественных характеристик и учет значимой априорной информации. Его применение позволило решить ряд важных практических задач.

13. Решена задача определения состава многокомпонентных смесей на основании УФ спектрометрических данных с учетом погрешности в экспериментальной информации.

14. Определен режим дробной подачи окислителя, обеспечивающий максимальный выход 4-трет-бутилпирокатехина в реакции окисления 4-трет-бутилфенола растворами пероксида водорода в присутствии титаносиликатных катализаторов при минимальном расходе окислителя.

15. Построена трехфакторная модель системной динамики численности населения Российской Федерации по данным 1998-2010 гг. с учетом требований к ее ретроспективным и перспективным качественным характеристикам.

16. В ФГБУН Уфимский институт химии РАН для проведения количественного анализа многокомпонентных фуллеренсодержащих смесей внедрено и применяется программное обеспечение «Определение содержания фуллерена и его замещенных производных в смеси фуллеренсодержащих продуктов», зарегистрированное в ФСИС (Роспатент).

17. Разработанный метод оптимизации режима дробной подачи пероксида водорода в реакции получения 4-трет-бутилпирокатехина на основе окисления 4-трет-бутилфенола в присутствии титаносиликатных катализаторов применяется для планирования экспериментов в ФГБУН Институт нефтехимии и катализа РАН.

18. Разработанный метод параметрической идентификации функциональных зависимостей внедрен в учебную программу кафедры математического моделирования ФГБОУ ВО «Башкирский государственный университет».

Достоверность и обоснованность результатов, полученных

в диссертационном исследовании, подтверждаются корректностью

представленных моделей, построенных на основе разработанной

методологии параметрической идентификации функциональных

зависимостей. Достоверность алгоритмов и численных методов

подтверждена свидетельствами о регистрации программ и электронных ресурсов.

Личный вклад автора. Автором разработана методология расчета
областей неопределенностей параметров математических моделей

динамических систем, описываемых автономными системами

дифференциальных уравнений, развивающая идеи подхода

Л.В. Канторовича.

С позиций применения разработанной методологии при определяющем участии автора осуществлены

– разработка методического подхода для осуществления контроля качества математических моделей на основе анализа их информативности и учете «старения» информации;

– анализ прикладных задач химической кинетики и системной динамики;

– разработка алгоритмов и программного обеспечения.

Автору принадлежат постановка проблемы, формулировка задач исследования, обоснование и формулировка положений, определяющих научную новизну и практическую значимость, формулировка выводов.

Связь с научными программами. Отдельные разделы работы выполнены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00749 «Качество моделей математической обработки наблюдений в социальных и экономических системах»).

Апробация работы. Основные положения работы и результаты исследований докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

– Международная научная школа-семинар «Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2011, 2012, 2013, 2014);

– 15^th GAMM-IMACS International Symposium on Scientific Computing, Computer Arithmetics and Verified Numerics (Novosibirsk, 2012);

– I Международная научная конференция «Формирование основных направлений развития современной статистики и эконометрики» (Оренбург, 2013);

– Международная научно-практическая конференция «Экономико-математические методы исследования современных проблем экономики и общества» (Уфа, 2013);

– Международная научная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий» (Воронеж, 2014, 2016);

– International Conference on «Information Technologies for Intelligent Decision Making Support» (Ufa, 2015, 2016);

– III международная конференция «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2015);

– V Международная конференция-школа по химической технологии ХТ’16. Сателлитная конференция ХХ Менделеевского съезда по общей и прикладной химии (Волгоград, 2016);

– Всероссийская конференция «Статистика. Моделирование.

Оптимизация» (Челябинск, 2011);

– II Всероссийская научно-практическая конференция

с международным участием с элементами научной школы для молодежи «Высокопроизводительные вычисления на графических процессорах» (Пермь, 2014);

– Всероссийская научно-практическая конференция с международным
участием «Математическое моделирование процессов и систем»

(Стерлитамак, 2014, 2016);

– Всероссийская научно-практическая конференция с международным
участием «Фундаментальные и прикладные проблемы механики,

математики, информатики» (Пермь, 2015);

– VII Всероссийская научно-практическая конференция

с международным участием «Инновационные технологии управления социально-экономическим развитием регионов России» (Уфа, 2015);

– Всероссийская научно-практическая конференция «Математическое моделирование на основе статистических методов» (Бирск, 2015);

– Первая летняя школа-конференция «Физико-химическая

гидродинамика: модели и приложения» (Уфа, 2016).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 60 работ: 20 – из списка изданий, рекомендованных ВАК (в том числе переводные версии двух статей включены в базы Web of Science и Scopus), 4 – в изданиях, входящих в Web of Science и Scopus; получены 4 свидетельства о регистрации электронных ресурсов и программ для ЭВМ.

Объем и структура диссертации. Материалы диссертационного
исследования изложены на 267 страницах основного текста, включают
40 рисунков, 29 таблиц, 7 приложений. Работа состоит из введения, 7-ми
глав, заключения и списка использованных источников из

Эволюция подходов к решению задач параметрической идентификации (статистический и нестатистический подходы)

Нечеткие модели базируются на понятии нечеткого множества, которое определяется совокупностью упорядоченных пар {{х А{х))\\/хєХ, где X - некоторое множество, х - элемент этого множества, А - нечеткое множество в X, /лА () - функция принадлежности, однозначно отображающая элементы множества X на единичный отрезок [0,l]: X - [0,1]. Таким образом, /иА(х) характеризует степень принадлежности х к А. Если juA(x) = \, то элемент х является элементом нечеткого множества А, если /лА(х)=0 - то не является. Промежуточные значения функции принадлежности дает количественную оценку того, насколько элемент х может считаться элементом множества А.

Процедура решения задач с использованием нечеткой логики в свете подхода Беллмана-Заде строится следующим образом [17, 99, 137, 214]. Все множество экзогенных (входных) факторов рассматривается как множество альтернатив X = {х}. Цель F отождествляется с нечетким множеством F в X: F = {(x,/uF(x))}. Аналогичным образом ограничения задачи отождествляются с нечетким множеством G вХ: G = {(X,MG(X))}. Решение задачи определяется на основе нечеткого множества R = FC\G с функцией принадлежности цк : Fх G - [0, і]. Та альтернатива х, которая обеспечивает максимальную степень принадлежности нечеткому множеству решений R (т.е. максимальное соответствующее значение функции принадлежности juR), считается оптимальным решением исходной задачи. По сути, нечеткое множество R является пересечением нечетких множеств F и G, функция принадлежности juR которого определяется как конъюнкция или алгебраическое произведение функций принадлежностей JUF и jUG.

Успешное применение на практике подхода, основанного на нечеткой логике, во многом зависит от квалификации исследователя и его информированности относительно изучаемого объекта, что и определяет то, каким способом будет проведена формализация нечеткости. Однако, несмотря на достаточно существенную роль субъективных оценок исследователя, глубокая проработанность методологических основ данного научного направления обеспечила ему широкое практическое применение [59, 132].

Теория возможностей как альтернатива классической теории вероятностей основывается на понимании возможности как степени легкости принятия переменной определенных значений [59, 256]. Основой данному направлению послужила теория нечетких множеств. Ключевое понятие теории возможностей - распределение возможностей, которое водится следующим образом [256].

Рассмотрим переменную X, которая принимает значения из множества U = {щ, щ,...}. Тогда распределение возможности переменной X описывается функцией nx:U [О, і]: nx(x) = Poss\X = u\ Poss[x = u] - обозначение конкретного значения возможности при фиксированном ueU. Классическим примером, демонстрирующим принципиальное отличие возможности от вероятности, является ситуация ожидания автобуса [253, 254]: группа людей ожидает автобус на остановке; если автобус подъезжает полным, то количество пассажиров, севших в него, определяется водителем. В данном примере переменная X - это количество пассажиров, которые могут сесть в автобус, U = {і, 2,...}, а возможность того, что в автобус войдут, например, 3 человека обозначается тгх(з) = Poss[x = 3] (или кратко ях (3)).

Очевидно, что в данном случае будет некорректным использование вероятности для характеристики количества попавших в автобус пассажиров. Теория возможностей тесно перекликается с теорией нечетких множеств и теорией вероятностей. Если A - подмножество U, то TTA(A) = POSS[U Є А]. В теории возможностей жА(А) определяется следующим образом: лА(А)= щ{"х(х)\ ХєА

В том случае, если рассматривается нечеткое подмножество А в U, функция принадлежности которого jUj(X), то X ХєА 7г1{А)=8ир[тгх(х)лМі(х)] В случае наличия только вербальных оценок относительно распределения возможностей пх(х\ нечеткая функция принадлежности нечеткого множества на X определяется однозначно. Если же распределение возможностей описывается количественно, то тгх(х) вырождается в вероятностное распределение [256], что позволяет рассматривать ее как обобщение теории вероятностей [70, 144-146, 253, 254]. Суть интервального подхода к моделированию заключается в том, что для описания неопределенных величин используются интервалы их возможных значений. Если x - неопределенный параметр, то его возможные значения в соответствии с международным стандартом на обозначения [230] описываются интервалом x = [x,x]={xcR\x x x}. Следует отметить, что на интервале х не предполагается задание какой-либо вероятностной меры, то есть все значения х є х предполагаются равновозможными.

Если х является векторной величиной, то для его описания используются области, представляющие собой многомерные параллелепипеды в соответствующих декартовых системах, ребра которых ориентированы по осям. Для обозначения таких фигур в интервальном анализе используется специальный термин «параллелотопы». Интервалы и параллелотопы используются как оболочки для описания множества значений отдельных параметров и областей значений функций соответственно. К задачам, решаемым в рамках интервального анализа, относятся [69, 204]: - исследования множеств интервальных чисел; - применение интервального анализа в прикладных исследованиях; - алгоритмическое и программное обеспечение.

В методах интервального анализа как правило выбирается начальный интервальный вектор, содержащий решение, и затем при помощи специальной итерационной процедуры проводится локализация местоположения оптимального решения во множестве допустимых решений, представимом в виде параллелотопа. Результатом таких процедур являются параллелотопы, представляющие собой оболочки оптимальных решений.

Считается, что основы данного направления были заложены в работе [237]. При этом примерно в этот же период в рамках линейной алгебры проводилось изучение операций с интервалами [227] и рассматривались вопросы их компьютерной реализации [69, 212]. На сегодняшний день интервальный анализ представляет собой активно развивающееся направление, в рамках которого разработаны эффективные методы, алгоритмы и программные продукты для решения задач линейной и нелинейной оптимизации [19, 41, 82, 152, 185, 195, 217, 229, 232, 245].

Многовариантность и информативность моделей

Погрешность самой модели обусловлена тем, что любая модель представляет собой лишь формализованное отражение объекта исследования. Добиться при этом абсолютного совпадения не представляется возможным. Как правило, в модель закладываются наиболее существенные и определяющие допущения, то есть всегда подразумеваются некие упрощения, каждое из которых в той или иной степени влияет на точность модели и на ее адекватность. Именно поэтому важным является учет тех допущений, которые не делают модель «далекой» от изучаемой системы и при этом не приводят к чрезмерному увеличению сложности самого исследования.

Построение любой модели базируется на использовании исходной информации, которая представляет собой значения выбранных для анализа величин (экзогенных и эндогенных), однозначно соотнесенных с номерами наблюдений или моментами времени. Способы получения данных значений зависят от особенностей изучаемых систем. В некоторых случаях, они могут быть получены из результатов специально организованных экспериментов (такой способ характерен для естественно-научных и социологических исследований), в некоторых – по результатам выборочных или сплошных наблюдений за исследуемой системой, что характерно для социально-экономических систем макро- и мезоуровней. Погрешность исходных данных может объясняться как неточностью проводимых измерений (по причине несовершенства применяемых приборов или инструментов), так и несовершенством процесса сбора информации.

Безусловно, наличие точных исходных данных, если об этом достоверно известно исследователю, способствует построению более правильной модели. Однако чаще в процессе исследования приходится использовать информацию, не рассматривая ее как «абсолютно достоверную», что, конечно же, может снизить степень адекватности модели, но зачастую получение более точных данных сопряжено с дорогостоящими мероприятиями по их сбору и потому является либо неприемлемым, либо неосуществимым вовсе.

Точность выбранного метода решения задачи должна непосредственно соотноситься с моделью изучаемого объекта и зависеть от точности исходных данных. Если модель является по сути лишь грубой копией изучаемой системы, а исходные данные неточны, то использование вычислительных схем, обладающих высокой точностью, может привести в дальнейшем к существенному повышению трудовых и материальных затрат, что может не компенсироваться ростом адекватности модели. Для исследователя желательным является использование таких вычислительных методов, которые были бы как можно более простыми и в то же время учитывали все наиболее значимые факторы. И в этом также большая роль отводится опыту и компетенции исследователя: принятые допущения не должны делать модель громоздкой и излишне «раздутой» с одной стороны, а с другой – должны отражать наиболее существенные связи. Выбираемые методы решения должны являться компромиссом требований задач, решаемых в ходе моделирования, и имеющихся возможностей.

Проблема погрешности округления, связанная с использованием вычислительной техники, является объективно существующей и напрямую зависящей от прогресса в данной сфере. Для ряда практических задач проблемы машинных округлений в ходе проводимых вычислений стоят достаточно остро и требуют использования специальных процедур и методов [15].

Для описания соответствия расчетных и экспериментальных значений результирующих факторов могут использоваться показатели, характеризующие: - абсолютные ошибки; - относительные ошибки; - предельные абсолютные погрешности; - предельные относительные погрешности [205]. Абсолютные ошибки - это разность между приближенным и точным значением моделируемой величины (уточн). С учетом введенных ранее s xt обозначений выражения для расчета абсолютных ошибок имеют следующий вид: At = y_t - ут очн , t = йп . (3.5)

При этом в практических задачах оценить, чему именно равны абсолютные ошибки, практически невозможно в силу того, что в реальных экспериментах значения наблюдаемых величин содержат априорную погрешность, являющуюся следствием погрешности непосредственных измерительных процедур - ошибок измерений. По этой причине, вместо точных значений наблюдаемых величин \ут очн\ t = \jn рассматривают те, которые фиксируют в опытах, т.е. {у_}, t = \т. Таким образом, вместо абсолютных ошибок (3.5) в рассмотрение вводят их приближенные значения - невязки (3.3). Относительные ошибки используют для характеристики отклонений расчетных значений от экспериментальных, выраженных в долях единиц: У- - У- Xt Xt , t = \,m. (3.6) У-xt По той же причине, о которой было сказано выше, вместо точных значений эндогенных факторов \ут очн\ t = \jn используют те, которые получают по результатам проводимых экспериментов - \у- j, t = \,m. Преимущество относительных ошибок объясняется удобством трактовки. Так, например, если известно, что абсолютная ошибка составляет 2 единицы, то сделать вывод много это или мало можно только на основе сравнения с экспериментальным значением, что и позволяет осуществить использование показателей относительных ошибок.

Предельной абсолютной погрешностью называют наименьшее неотрицательное число , которое мажорирует модули всех абсолютных ошибок: Л, , t = 1jn. (3.7) Использование предельной абсолютной погрешности обусловлено тем, что определение абсолютных ошибок для каждого t-го наблюдения может представлять весьма непростую задачу. При этом для практических целей достаточно знать то пороговое значение для каждой абсолютной ошибки, которое не будет превышено. Если исследователя устроит величина такого порогового значения, т.е. предельная абсолютная погрешность, то критерий точности модели можно считать выполненным.

Метод Л.В. Канторовича расчета областей неопределенности параметров математических моделей

Тогда задача параметрической идентификации системы линейных алгебраических уравнений сведется к задаче параметрической идентификации явной функции (4.27) по ее экспериментальным значениям, формирующим вектор В. При этом функциональные зависимости (4.27) являются частным случаем нелинейных непрерывных зависимостей У = f(a, х).

Разработанные в диссертационном исследовании методы параметрической идентификации сгруппированы по типам функциональных зависимостей: - для непрерывных функций (линейных и нелинейных) у = f(a, х) с явно заданной эндогенной переменной у {модели типа «А») и - автономных систем дифференциальных уравнений (модели типа «Б»).

Модели типа «А» описывают стационарные задачи химической кинетики, а модели типа «Б» - нестационарные. Причем далеко не всегда возможно осуществить аналитическое решение задач с использованием моделей каждого типа, что обусловливает применение численных методов. Так, для зависимостей типа «Б» необходимым является применение численных методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Для функциональной зависимости типа «А» решение задачи (4.25) с позиций принципа равномерного приближения должно проводиться на основе следующей модели: mint,

Каждое ограничение на величину модуля невязки в модели (4.28) геометрически представляет собой часть пространства соответствующей размерности между поверхностями, задаваемыми уравнениями одинаковой спецификации и отличающимися лишь свободными константами (рис. 4.9). Поэтому если ограничения модели (4.28) являются совместными, то, очевидно, что ее решение существует.

По сути, оптимальное решение задачи (4.28) позволяет рассчитать предельно допустимую погрешность аппроксимации (пп. 3.4) и определить набор значений параметров модели, который ей соответствует. Если такой набор единственный, то он и определяет точный вид идентифицируемой зависимости. В противном случае потребуется уточнение границ области неопределенности (пп. 3.4).

Задача параметрической идентификации функциональной зависимости типа «А» может быть решена посредством сведения ее к задаче минимизации суммы модулей:

В том случае, когда для исследователя определяющим является обеспечение лучшего значения средней ошибки аппроксимации экспериментальных данных, модель для решения задача параметрической идентификации функциональной зависимости типа «А» примет вид:

В случае необходимости в модель, используемую для определения параметров идентифицируемой зависимости, могут быть включены ограничения, отражающие дополнительные условия на значения переменных. Если обозначить оптимальные значения целевых функций задач (4.28), (4.29) и (4.30) , С, и А , соответственно, то аналогично тому, как это приведено в пп. 4.1.3 может быть установлена справедливость соотношений (4.23) и (4.24).

Использование представленного подхода при параметрической идентификации моделей типа «А» нивелирует те трудности, которые ограничивают применение математико-статистических методов для определения параметров моделей (или вовсе не позволяют задействовать их). К числу наиболее значимых проблем подобного рода следует отнести недостаточное количество экспериментальных данных в расчете на каждый искомый параметр и невозможность осуществления линеаризации модели.

Сказанное иллюстрирует следующий пример моделирования гипотетического временного ряда (табл. 4.1) [183].

По результатам визуального анализа уровней временного ряда (рис. 4.10) была установлена возможность использования модели следующей спецификации: y = ab+c. (4.31) У t 10 6 0 і 1 1 1 1 1 1 123456789 10 11 12 Рис. 4.10. Геометрическая интерпретация модели временного ряда Модель (4.31) не допускает осуществления линеаризации, а количество имеющихся данных (10 на три оцениваемых параметра) является недостаточным для получения значимых характеристик, рассчитываемых в рамках математико-статистических методов. В качестве дополнительного ограничения на значения параметров модели (4.31) использовалось формализованное представление требования на уровень временного ряда в момент времени t = 12: 9,2 у12 9,5. (Такого рода условия могут формироваться на основе объективных данных или мнений экспертов, и их априорный учет может повысить степень доверия к результирующим моделям.)

Связь задачи параметрической идентификации линейной зависимости и задачи чебышевского приближения

Выдвижение гипотезы о значениях параметров a = {a0,...,aj. Формализация множества предполагаемых значений параметров модели а є G в виде неравенств. Этап 3. Формализация дополнительных условий и требований на переменные модели и значения идентифицируемой функции в виде ограничений хєХ и уєУ. Этап 4. Формализация задачи расчета предельно допустимой погрешности аппроксимации идентифицируемой линейной зависимости: аєО %J = \,m (4.43) хєХ, уєУ. Этап 5. Решение задачи (4.43). В результате должна быть получены предельно допустимая „ о погрешность аппроксимации д и вектор параметров а . Этап 6. Формализация задачи расчета предельно допустимых оценок параметров модели в виде:

В результате должны быть рассчитаны предельно допустимые оценки параметров идентифицируемой зависимости, определены интервалы неопределенностей aj = [ajin,ах\ , j = 0ji и множество неопределенности h = [afn,a ax]x...x[afn,a ax} . Этап 8. Построение области неопределенности.

На множестве неопределенности Л ввести дискретную сетку \їк\. Организовать вычислительный эксперимент в узловых точках введенной сетки, направленный на выявление подмножества множества р к j, элементы которого обеспечивают справедливость ограничений модели (4.44). Совокупность таких наборов значений параметров принять за дискретный аналог области неопределенности Л .

В соответствии с представлениями исследователя сформулировать правило, согласно которому из множества, сформированного на этапе 8, и состоящего из наборов параметров, принадлежащих области неопределенности Л , будет установлен оптимальный набор параметров о . Окончательный вид идентифицируемой линейной зависимости сформировать на основе этого набора параметров. Алгоритм 2. Решение задачи параметрической идентификации нелинейных зависимостей типа «А». Этап 1. Сбор экспериментальных данных fe, у- \, t = \т, х є X є R", у- єУсД1. Этап 2. Выдвижение гипотезы о значениях параметров модели а. Формализация множества предполагаемых значений параметров модели а є G в виде неравенств. Этап 3. Формализация дополнительных условий и требований на переменные модели и значения идентифицируемой функции в виде ограничений хєХ и уєУ. Этап 4. Формализация задачи расчета предельно допустимой погрешности аппроксимации идентифицируемой зависимости в виде модели (4.25). Этап 5. Формирование информационного множества задачи (4.43).

Для этого необходимо введение дискретной сетки fr } на множестве G. Далее следует организовать вычислительный эксперимент в узловых точках введенной сетки, направленный на выявление подмножества множества к j, элементы которого обеспечивают справедливость ограничений модели (4.43) и требуемый уровень качественных характеристик (пп. 4.3.1). Совокупность таких наборов значений параметров принять в качестве информационного множества I.

Задать допустимое с точки зрения исследователя отклонение предельно допустимой погрешности аппроксимации 9 0. Осуществить анализ элементов информационного множества, по результатам которого сформировать подмножество / = fa є /: у- - у- t + в, t = \jn\ Предельно допустимые оценки параметров модели рассчитать по следующему правилу: аТ = min а,., аах =таха,., / = \м. При таком способе задания множество Ґ включает в себя наборы значений параметров, принадлежащие области неопределенности Л .

В соответствии с представлениями исследователя сформулировать правило, согласно которому из множества / будет выбран оптимальный набор параметров а . Окончательный вид идентифицируемой зависимости сформировать на основе этого набора параметров. Алгоритм 3. Решение задачи параметрической идентификации зависимостей типа «Б». Этап 1. Сбор экспериментальных данных fc, у- \, t = 1т, х є X є R", у- єУсД1. Этап 2. Выдвижение гипотезы о значениях параметров модели а. Формализация множества предполагаемых значений параметров модели fleG0 в виде неравенств.

В случае возникновения у исследователя необходимости уточнения множества начальных значений параметров G0 (пп. 4.2), выполнить действия этапа 2 (дополнительного). Этап 3. Формализация дополнительных условий и требований на переменные модели и значения идентифицируемой функции в виде ограничений хєХ и уєУ. Этап 4. Формализация задачи расчета предельно допустимой погрешности аппроксимации идентифицируемой зависимости в виде модели (4.26). Перейти от зависимости (4.26) к ее разностному аналогу (4.37). Этап 5. Формирование информационного множества задачи (4.37). Аналогичен этапу 5 Алгоритма 2. Этап 6. Расчет предельно допустимой погрешности аппроксимации. Аналогичен этапу 6 Алгоритма 2. Этап 7. Расчет предельно допустимых оценок параметров модели. Аналогичен этапу 7 Алгоритма 2. Этап 8. Определение оптимального набора параметров. Аналогичен этапу 8 Алгоритма 2. 130 Этап 2 (дополнительный). Идентификация множества начальных значений параметров модели. Выписать функцию y = f(a,x,y), представляющую собой линейную часть разложения в ряд Тейлора модели (4.37). Эта функция относится к моделям типа «А». Осуществить ее параметрическую идентификацию согласно Алгоритму 1. В результате, в том числе, будут рассчитаны предельно допустимые оценки параметров и установлено множество неопределенности (обозначим его Л), которое следует принять в качестве множества начальных значений параметров модели: G = A. Перейти к этапу 3.