Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор результатов по теме диссертации 12
1.1 Пространства Соболева 12
1.2 Емкости 14
1.3 Теорема Лебега 15
1.4 Теорема Лузина о С-свойстве 18
1.5 Обзор содержания диссертации и выводы 20
Глава 2. Пространства Соболева и емкости 21
2.1 Пространства однородного типа 21
2.1.1 Метрические пространства 21
2.1.2 Функциональные пространства 22
2.1.3 Количественная форма условия удвоения 23
2.1.4 Максимальная функция Харди-Литтлвуда 25
2.1.5 Меры Хаусдорфа 26
2.1.6 Леммы о покрытиях 27
2.1.7 Разбиения единицы 29
2.2 Пространства Соболева W?(X) 32
2.2.1 Дробные классы Хайлаша-Соболева W%(X) 32
2.2.2 Обобщенные а-градиенты 33
2.2.3 Описание W^(X) в терминах максимальных функций . 35
2.2.4 Плотность класса Гельдера На(Х) в W?(X) 37
2.3 Вспомогательные неравенства 40
2.3.1 Неравенства Пуанкаре 40
2.3.2 Неравенства для шарп-максимальных функций 42
2.4 Емкости 43
2.4.1 Определение емкостей 44
2.4.2 Свойства непрерывности для емкостей 46
2.4.3 Сравнение различных емкостей 46
2.4.4 Связь емкости с мерой 47
2.4.5 Емкость и размерность Хаусдорфа 52
2.5 Выводы 55
Глава 3. Точки Лебега 57
3.1 g-точки Лебега 57
3.2 q-точки Лебега в терминах емкостей 58
3.2.1 Дискретная максимальная функция 59
3.2.2 Неравенство слабого типа для емкости 62
3.2.3 Сара?р-свойство Лузина 64
3.2.4 Оценки емкостей дополнения ко множеству q-точек Лебега 64
3.3 q-точки Лебега в терминах мер Хаусдорфа 68
3.3.1 Дробные максимальные функции 68
3.3.2 Размерность Хаусдорфа дополнения ко множеству q-точек Лебега 70
3.4 О скорости сходимости средних Стеклова 72
3.5 Выводы 74
Глава 4. Аппроксимация Лузина 76
4.1 Основная теорема 76
4.2 Доказательство основной теоремы 77
4.2.1 Оценки исключительных множеств 78
4.2.2 Продолжение функции 79
4.2.3 Гладкость аппроксимирующей функции 80
4.2.4 Аппроксимация по норме в W%(X) 83
4.2.5 Переход к глобальной форме теоремы 84
4.3 Выводы 85
Заключение 87
Библиографический список 88
- Теорема Лузина о С-свойстве
- Емкость и размерность Хаусдорфа
- Размерность Хаусдорфа дополнения ко множеству q-точек Лебега
- Гладкость аппроксимирующей функции
Теорема Лузина о С-свойстве
Очевидно, что при q 1 каждая q -точка Лебега является также точкой Лебега. Кроме того, в силу неравенства Гельдера понятие q-точки Лебега тем сильнее, чем больше q.
Классическая теорема Лебега (см., например, [ "., с. 4], а также [ , с. 4]) утверждает, что для любой функции и Є Ljoc(]Rn) соотношение (3.1) выполнено почти всюду. Другими словами, исключительное множество точек, которые не являются точками Лебега, имеет меру нуль. Важность этого результата, в частности, состоит в том, что он дает естественное определение значений функции почти всюду.
Основная задача, которую мы рассматриваем в этой главе, состоит в исследовании зависимости массивности дополнения ко множеству точек Лебега от регулярности функции — можно ожидать, что если функция более регулярна, то это исключительное множество точек меньше в том или ином смысле.
Такая задача изучалась многими авторами. Напомним (см. раздел 1.3), что история таких результатов восходит к работе известных математиков Х.Федерера-В.Зимера [ Г], в которой доказано, что для и Є Wf(Rn) (классические пространства Соболева) соотношение (3.1) выполнено всюду, за исключением множества Capj „-емкости нуль, и и эквивалентна функции, удовлетворяющей С-свойству Лузина относительно С арг „-емкости10.
В случае общих пространств однородного типа X в работе финских математиков Ю.Киннунена-О.Мартио [і ] для классов Wf(X) была построена теория емкости, а в другой работе Ю.Киннунена-В.Латвалы [ ] в терминах этой емкости теорема Х.Федерера-В.Зимера была перенесена на классы Wf(X).
В терминах мер Хаусдорфа эти вопросы рассматривали Х.Федерер-В.Зимер (для Wf(En), [;:]) и П.Хайлаш-Ю.Киннунен (для Щ(X), [ВО]),
В этой главе мы перенесем данные результаты на пространства W (X) мы покажем, что функция из W%(X) почти всюду по соответствующей емкости имеет g-точки Лебега и совпадает Сара„-почти всюду с некоторой функцией, которая обладает Сара„-свойством Лузина. Более того, последняя функция может быть получена как предел средних интегральных исходной функции. Мы также оценим размерность Хаусдорфа дополнения ко множеству q-точек Лебега для W%(X) и рассмотрим скорость сходимости средних интегральных к исходной функции. При этом даже в уже изученном случае а = 1 наши результаты сильнее полученных в [Sfl, ]. Этот раздел посвящен обобщению результатов работы со случая а = 1 на случай 0 а $С 1 (эти ограничения на а предполагаются выполненными до конца раздела 3.2). При этом наши основные утверждения в некоторых отношениях сильнее, нежели в [59}. Обычные методы изучения множества точек Лебега на lRn основаны на неравенствах слабого типа для максимальной функции Харди-Литтлвуда в терминах соответствующих емкостей (см. [Щ -", i 81]), В классическом случае используется также тот факт, что максимальный оператор Харди-Литтлвуда ограничен в Соболевском пространстве [б ]. Однако существуют примеры, показывающие, что максимальная функция Харди-Литтлвуда не 10 С ар а р -свойству Лузина по нашей терминологии, см. подраздел 3.2.3 ниже. является достаточно регулярной на произвольном метрическом пространстве Поэтому наше доказательство основной теоремы о точках Лебега использует дополнительные построения — "разбиение единицы" и так называемую дискретную максимальную функцию, которая является более гладкой и может быть использована в качестве тест-функции для емкости. Этот метод был предложен в [59] для пространств Wf. Все вспомогательные утверждения раздела 3.2 при а = 1 доказаны в [59].,
Емкость и размерность Хаусдорфа
В данной главе рассмотрена задача аппроксимации Лузина для классов Соболева на произвольном метрическом пространстве с мерой. Конечно, щ может зависеть от шара В(ХІ, 1) , но это не существенно.
Показано (теорема 4.1), что для любой функции и Є W%(X) существует функция w Є W(X) j которая локально принадлежит классу Гельдера Нр, такая что и w лишь на малом открытом множестве — его размеры оценены в терминах вместимости Хаусдорфа и емкостей CapQ „. Кроме того, дана оценка уклонения и от w в исходной норме [.. - А].,
Диссертация посвящена изучению функций из обобщенных Соболевских классов Wv(X) на любом метрическом пространстве X с мерой и метрикой, которые связаны условием удвоения. В диссертации 1. Введены и изучены емкости, порождаемые рассматриваемыми пространствами, и установлена связь емкостей с исходной мерой и мерами Хау-сдорфа [ .- \, їм Ц ], 2. Описана количественная картина массивности множества точек Лебега функций из Соболевских классов в терминах емкостей и в терминах мер Хаусдорфа [ , it 10 ]. 3. Решена задача аппроксимации Лузина для классов W%(X) — доказано, что для любой функции из W%(X) в этом же классе существует локально гельдеровская функция, совпадающая с исходной вне некоторого открытого множества, сколь угодно малых емкости и вместимости Хаусдорфа, и приближающая исходную функцию по норме первоначального класса W%(X) Эти результаты являются в определенном смысле точными и не допускают улучшения. Доказанные утверждения обобщают, уточняют и дополняют результаты, полученные ранее в этом направлении другими авторами. Рекомендации по практическому использованию результатов Представленные в диссертации результаты имеют теоретический характер. Они тесно связаны с некоторыми фундаментальными теоремами анализа и могут быть использованы при дальнейшем развитии теории функциональных пространств. Например, в области анализа на неоднородных структурах, бедных алгебраическим содержанием. Результаты исследования получены с использованием новых методов и подходов неклассического анализа и могут быть использованы в учебном процессе для составления спецкурсов по современному анализу.
Размерность Хаусдорфа дополнения ко множеству q-точек Лебега
Пространства Соболева W (lRn) были введены в середине 30-х годов (см. HLj 22, ]). Они играют важную роль в анализе и его приложениях, например, в линейной и нелинейной теории уравнений с частными производными.
"Важность пространств Соболева заключается в, том, что с их помощью мы можем довольно легко проследить, как ограничения на поведение частных производных налагают соответствующие ограничения на поведение самой функции" — см. [_ , с. 146].
Пространства Соболева дают возможность определить гладкость функций в форме, удобной практически для любых целей. Этим обусловлены их широкие применения во многих областях математики.
Эту же роль выполняют и различные обобщения пространств Соболева, например, на случай нецелых значений к. Изучению различных свойств функций из этих классов посвящено огромное число работ (см., например, [L, 1G, Ks, 28] и библиографию в этих книгах).
Пространство Соболева Wf (Мп), 1 $J р ос состоит из (классов эквивалентности) функций и Є Lp(Rn) таких, что \Vu\ Є Lp(Kn). Здесь Wu — вектор частных производных, понимаемых в смысле обобщенных функций (см., например, [ 2.1, с. 143-144]). Оно является банаховым пространством относительно нормы
В последние годы значительно вырос интерес к анализу на метрических пространствах с мерой, а в частности — к исследованию пространств гладких функций на таких структурах. Это связано, например, с интенсивным развитием теории фракталов, римановых пространств, пространств Харди и нелинейного гармонического анализа. Вследствие этого особый интерес представляет определение пространств Соболева в наиболее общем контексте — см. [Г, , , , , і .].
Классы Соболева Wf (X), 1 р оо, на произвольном метрическом пространстве X с мерой ji были введены польским математиком П.Хайлашем в 1996 году [52] (см. также [51} 54]) В случае X = W1 пространство Wf(X) совпадает с классическим пространством Соболева [52], Отметим, что определение пространства Соболева 1-го порядка на любом метрическом пространстве можно усмотреть из одного результата А.Кальде-рона [/], который задолго до П.Хайлаша дал описание H IR72) в терминах, не использующих ничего, кроме меры и метрики. В 2003 году в работах Я.Ху и Д.Янга [57 \ ] появились дробные шкалы пространств Соболева которые рассматривались на фракталах в lRn ] и в контексте пространств однородного типа [80], В настоящее время есть целый ряд эквивалентных описаний этих пространств на любом метрическом пространстве [6, " ]. В теории Соболевских пространств важную роль играют понятия емкостей, использование которых позволило решить ряд известных задач. Первые емкости, порождаемые функциональными пространствами, были введены еше в начале 50-х годов. Подобные определения фигурировали в работах Н.Ароншайна-К.Т.Смитта [ и Н.Ароншайна-Ф.Муллы-П.Шептыцкого [ ] при изучении различных исключительных множеств. См. также работу Н.Ароншайна [3 ]. Позже С.Левнером были введены объекты, весьма близкие к емкостям Сарг (см. определение (1.2)), однако рассматривался лишь случай р = п, где п — это размерность исходного пространства X = Жп \ 4], В б0-е годы В.Г.Мазьей были рассмотрены Сара?р-емкости (см. определение (2.36)) при следующих условиях: а 0, 1 . р оо и X = MJ1 [и, IVI1 Наконец отметим, что в начале 70-х появилось описание Сара -емкостей на Жп в терминах ядер. Эти результаты были практически одновременно получены сразу несколькими авторами []_ , L3, SfCL, ls, 68]. На произвольном метрическом пространстве с мерой Сар- „-емкости Сар1?р() = inf і \\и\\ Р(х) : и Є W (X),u р 1 в окрестности Е С X і (1.2) были определены и изучены в работе Ю.Киннунена и О.Мартио [ 1].
Гладкость аппроксимирующей функции
Другими словами, теорема Лебега утверждает, что множество точек, в которых не выполнено соотношение (1.5), имеет меру нуль.
Как оценить размеры исключительного множества, если функция будет более регулярной? Эта задача имеет достаточно богатую историю. В случае, когда функция принадлежит пространству Соболева Wj(]Rn), ответ на этот вопрос грубо можно сформулировать так — исключительное множество имеет нулевую емкость и его размерность Хаусдорфа невелика.
Емкость и размерность Хаусдорфа дополнения ко множеству Лебега для Wf(Rn) была оценена в 1972 году в работе Х.Федерера-В.Зимера [ ]. Позже результаты из 147] были распространены на пространства Соболева Wf(Rn) и на их обобщения — пространства бесселевых потенциалов. Это было сделано в работах Т.Бэгби-В.Зимера [ І ], С.Кальдерона-Е.Фейбса-Н.Ривьера [ ] и Н.Мейерса [69], Определенным итогом исследований в этом направлении является теорема 1.3 [ , с. 159, теорема 6.2.1], для формулировки которой нам понадобится некоторая терминология. Пространство потенциалов Бесселя W (M.n) вводится следующим образом WZ(Rn) = {u:u = Ga g, ge Lp}, a 0, где Ga — ядро Бесселя. Для а Є N пространство потенциалов Бесселя совпадает с пространством Соболева с эквивалентностью норм [ ]. Говорят, что функция и является квазинепрерывной относительно некоторой емкости v (z/-квазинепрерывной), если для любого є 0 существует такое открытое множество G С Rn, что v(G) г и функция и непрерывна на Rn \ G. Выражение о том, что некоторое свойство Р выполнено "z/-почти всюду" или "почти всюду по емкости г/" означает, что емкость множества, где свойство Р не выполнено, имеет нулевую емкость V . Сар -емкость произвольного множества G С Шп вводится аналогично определению (1.2) следующим образом 2Множеством Лебега мы называем множество точек, в которых выполнено соотношение (1-5). Более того, сходимость является равномерной вне множества произвольно малой С&рар-емкости и и является Сара,р-квазинепрерывным представлением и. История результатов такого сорта на Ш.п достаточно подробно приведена в [2i с. 185, комментарии к теореме 6.2.1]. Оценки размеров множества Лебега для WJ(Rn), о 0, в терминах емкостей и мер Хаусдорфа имеются также в монографиях . В 2002 году Ю.Киннунен-В.Латвала исследовали размеры дополнения ко множеству точек Лебега для функций из W {X) в терминах Сар- „-емкостей В терминах мер Хаусдорфа вопрос о размерах дополнения ко множеству, на котором выполнено соотношение (1.5), рассматривался немного раньше — в 1998 году 3Обладает Cap-L „-свойством Лузина по нашей терминологии (см. подраздел 3.2.3). Здесь Е — множество точек, в которых не выполнено условие (1.5), а dime — размерность Хаусдорфа. Другим фундаментальным фактом в теории меры Лебега является следующая классическая теорема Лузина о С -свойстве, входящая в любой серьезный курс теории меры — если функция и измерима на Жп, то для любого г О существуют такие функция (р Є C(Wl) и открытое множество Ее С Мп, для которых Какие дополнительные свойства гладкости может иметь аппроксимирующая функция (р, если функция и является более регулярной в том или ином смысле, например, принадлежит некоторому функциональному пространству? Можно ли утверждать, что (р приближает также и по норме этого пространства,? Эти задачи также имеют весьма длинную историю. Первый результат такого сорта содержится у Г.Федерера [46]: если и дифференцируема почти всюду, то в (1.6) можно взять (реСг(Жп). Несколько позже Х.Уитни [ Г11] показал, что тот же вывод можно сделать, если и имеет почти всюду аппроксимативные частные производные. Из этих результатов, в частности, следует, что такое же утверждение верно для классов Щ (Rn). Важный шаг сделали А.Кальдерон-А.Зигмунд [ ], которые рассмотрели классы Соболева высших порядков и доказали, что если и принадлежит пространству Соболева W (lRn), то в (1.6)