Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы исследования природы математики 12
1. Анализ проблемного поля современных дискуссий о природе математического познания 12
2. Социокультурный подход к исследованию специфики исторического развития математики 37
Глава 2. Парадигмальные аспекты в историческом развитии математики 59
1. Специфика трансляционных механизмов системы практической математики 61
2. Парадигмальные аспекты становления античной математики 103
Заключение 128
Библиография
- Анализ проблемного поля современных дискуссий о природе математического познания
- Социокультурный подход к исследованию специфики исторического развития математики
- Специфика трансляционных механизмов системы практической математики
- Парадигмальные аспекты становления античной математики
Введение к работе
Актуальность темы исследования обусловлена рядом серьезных проблем, стоящих как перед философией математики, так и перед эпистемологией в целом. Ситуацию, которая сложилась в современной философии математики, можно охарактеризовать как попытку выхода из идеологического тупика, в котором она оказалась в результате исчерпанности круга проблем, связанных с обсуждением проблем кризиса оснований. Эта ситуация получила наименование «эпистемического поворота», суть которого - в обращении к темам познания в математике. Можно отметить рост числа конференций, остроту происходящих на них дискуссий, нарастание объема публикаций, посвященных философским проблемам математического познания. Диссертант считает важным подчеркнуть отличия в тематике дискуссий в зарубежном и отечественном сообществах философов, что в значительной степени определило общую направленность диссертационного исследования. На Западе, где сильны традиции аналитической философии направление дискуссий задается знаменитой дилеммой П. Бенацеррафа: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?» (В. В. Целищев) Соответственно, ставится задача такой интерпретации «идеальных конструкций», «абстракций»
(«математических сущностей»), которая позволила бы осуществить этот контакт. При всем разнообразии концепций, направлений, решений можно отметить единство в подходе, задаваемое аналитической традицией.
Отечественная философия изначально отличается ориентацией на исследование истории математики. Концептуально это выразилось в поисках общих закономерностей развития математического познания, критериальных особенностей этапов его генезиса, выявлении механизмов перехода от одного этапа к другому. К настоящему времени в ходе оживленных дискуссий в
рамках отечественного сообщества четко оформились два направления -фундаменталистское, ориентированное на обсуждение эпистемических вопросов в традициях классической проблематики оснований, и нефундаменталистское, поднимающее проблемы, связанные с культурно-историческим, личностным контекстом математического познания. Анализ показывает достаточно жесткое противостояние по всем вопросам предметной области философии математики. Напряженные дискуссии происходят и между сторонниками нефундаменталистского направления, в котором, несмотря на общность тематики, отмечается разное понимание сути социокультурного подхода, отличия в определениях понятий «наука», «культура», несогласие в механизмах их взаимодействия.
Сторонники социокультурного подхода пытаются концептуально осмыслить ситуацию динамики математического знания, процесс интенсивного образования новых предметных областей, изменение статуса математики в общей системе культуры. Поиск инвариантов, обеспечивающих единство математического знания и специфицирующих его в системе научного познания, становится в этих условиях одной из важнейших задач. Обсуждаются понятия «стиль», «познавательная установка», «парадигмальная схема», в которых фиксируются определенное единство и различие элементов дисциплинарной системы математики. Основное концептуальное противоречие, служащее предметом жесткой критики со стороны сторонников классической философии математики, — «культурный релятивизм», элементы которого можно видеть уже в культурологических идеях О. Шпенглера, и четкое выражение в представлении о «несоизмеримости» парадигм концепции Т. Куна.
Автор диссертационного исследования предполагает, что концептуально осмыслить вопрос о единстве науки и, тем самым, преодолеть культурный релятивизм возможно только путем прояснения глубинных, фундаментальных закономерностей, определяющих природу науки, выявив факторы, конституирующие науку вообще, и математику, в частности. С
точки зрения автора работы, это возможно при понимании науки как системы социальной деятельности, регулируемой механизмами культуры.
В диссертации высказывается предположение о том, что смысловой потенциал понятия «парадигма» далеко не исчерпан. Несмотря на критику нечеткости его определения, неоднородности содержащихся в нем компонентов различного эпистемического статуса, можно отметить постоянное использование этого понятия в различных контекстах философии науки. С точки зрения автора работы, это связано с тем, что в модели Т. Куна парадигма фактически выступает фактором, конституирующим науку, обеспечивая ее стабильное функционирование в рамках концептуального единства научного сообщества. Вместе с тем, желая избежать смысловой неоднозначности, стоящей за понятием «парадигма», автор вводит представление о «парадигмальных аспектах», под которыми подразумевается система онтологических допущений и регулятивных структур, обеспечивающих конституирование математики как науки.
По мнению автора, наиболее явно этот фактор выступает в период перехода от практической математике к теоретической и приобретения ею статуса науки в рамках рационального познания античной Греции. Таким образом, этот процесс становится предметом диссертационного исследования. В соответствии с развиваемыми в работе представлениями в сфере внимания оказывается и анализ возможностей социокультурного подхода при исследовании процессов формирования науки.
Степень разработанности проблемы.
Анализ современного состояния философии математики осуществлен на основе работ новосибирской школы философии математики под руководством В. В. Целищева, что позволило выделить ключевую проблему, определившую направление диссертационного исследования.
Выделение этапов исторического развития математики и их периодизация рассматривается в работах А.Н.Колмогорова, Н.Бурбаки, Ф. Китчера, Г. Е. Шилова, Б. С. Чендова, А. Г. Барабашева, С. С. Демидова,
A. Д. Александрова.
В представлении механизма развития математики существуют в основном, две модели: эволюционная и революционная. В рамках первой позиции (А. Д. Александров, Н. Бурбаки, А. Г. Барабашев, А. П. Юшкевич, Е. И. Славутин Ф. Китчер) намечаются некоторые элементы преемственности (внутренняя эволюция типов задач, развитие теоретической систематизации, появление аксиоматического метода) в осуществлении перехода практическая-теоретическая математика. Согласно второй модели (А. Н. Колмогоров, С. С. Демидов, Г. И. Рузавин, Л. Я. Жмудь, С. Н. Бычков, И. Г. Башмакова), при возникновении теоретической математики имеет место качественный скачок, связываемый в большинстве случаев с действием внешних факторов развития математики, основную роль среди которых играет социокультурная детерминация.
При анализе развития практической математики использовались классические работы Л. Леви-Брюля, О. Нейгебауэра, Дж. Вуда, Л. Б. Ван дер Вардена, Д. Я. Стройка. Материал о развитии счетных систем содержится в работе Ф. Кликса.
При анализе современного априоризма использовались работы
B. Я. Перминова, А. Г. Барабашева, В. А. Бажанова, В. Б. Губина,
A. Н. Кричевца.
Интересные результаты относительно факторов, определяющих становление теоретической математики, получены в
нефундаменталистской философии математики (М. А. Розов, А. В. Родин,
B. Л. Шапошников, С. Н. Бычков, О. А. Габриелян, Г. А. Нуждин, Р. К. Кадыржанов, А. Н. Нысанбаев, В. К. Петросян и др.), в рамках которой активно дискутируется вопрос о единстве математического знания, выявляется степень различия этапов развития математики, осуществляется поиск инвариантных структур, специфицирующих математическую деятельность.
В соответствии с поставленной проблемой и определением предмета исследования формулируются цели и задачи диссертационной работы.
Цели и задачи исследования.
Целью работы является выявление парадигмальных аспектов, выступающих фактором конституирования теоретической математики как науки, определяющих возможность функционирования математики как стабильной системы научной деятельности.
В соответствии с этой целью, в работе ставятся следующие задачи:
- Используя возможности социокультурного подхода, сформулировать критерии различения математики как практической деятельности (практической математики) и теоретической математики.
- На историческом материале выявить особенности механизма развития практической математики, становление понятия числа и числовых систем древности.
- Проанализировать истоки априоризма в понимании математики и логику его развития в современных версиях философии математики.
- Рассмотреть факторы, определяющие становление теоретической математики и особенности формирования ее предметной области.
Методологическая основа исследования.
Представляемое исследование основывается на методологии социокультурного подхода в философии науки, получившего развитие в работах отечественных философов науки. Социокультурный подход сегодня представляет разнообразие методов и предметных областей исследования, в соответствии с которыми в настоящей работе был востребован следующий ряд идей.
- Представление о науке как системе совместного духовного конструирования.
- Используется основополагающий тезис о социокультурной природе науки, наиболее последовательно разрабатываемый в отечественной философии и методологии науки М. К. Петровым, В. С. Степиным,
Л. М. Косаревой, Е. А. Мамчур, А. П. Огурцовым, Б. Г. Юдиным, М. А. Розовым и др.
- Для анализа надындивидуальной структуры памяти научного сообщества используется предложенное М. А. Розовым представление о нормативных системах и социальных эстафетах. Функционирование таких систем осуществляется на основе непосредственного копирования образцов деятельности индивидами и может рассматриваться как простейшая модель социальной памяти научного сообщества. Такая модель позволяет исследовать научное познание в рамках взаимодействия индивидуальных и надындивидуальных структур в процессе совместной деятельности индивидов в науке по конструированию предметных значений.
- Используется представление о нормативной регуляции науки как необходимом элементе научной деятельности, формируемой в системе научной рефлексии. Деятельность индивидов при этом может рассматриваться как дестабилизирующий фактор, расшатывающий систему знания и несущий потенциальную угрозу ее гибели. Это позволяет исследовать научное познание как самоорганизующуюся систему, одной из важнейших и конституирующих функций которой является необходимость стабилизации знания, обеспечения его устойчивого понятийного и методологического пространства. Важную роль в связи с этим представляет анализ регулятивных механизмов научного познания в работах Ю. К. Никитинской.
Положения, выносимые на защиту.
Практическая и теоретическая математики исторически суть две принципиально отличные формы знания, не содержащие возможности естественного эволюционирования одна в другую. В практической математики числа и фигуры являются знаками операций в составе трансляционного механизма надындивидуальных структур деятельности.
- Формирование теоретической математики связано с процессом придания онтологического статуса числу и фигуре путем включения их в схемы
рационального конструирования античной натурфилософии. Формирование предметного поля математического познания есть онтологизация знаков операций практической математики и превращение их в предмет исследования.
- Источником априоризма в его современной праксеологической версии является отсутствие четкого разграничения индивидуальных и надындивидуальных структур и типов деятельности в практической и теоретической математике. Эффект априорности математических объектов возникает за счет рефлексивного осознания превращения знаков операций в предмет исследования.
- Одним из факторов становления теоретической математики является формирование регулятивной системы, элементом которой является совокупность методологических требований, которые выполняют функцию стабилизации системы, то есть, выступают в роли парадигмальных аспектов математического познания.
- Парадигмальные аспекты, элементами которых являются система определенных онтологических допущений (онтологизация числа) и регулятивная система в структуре методологического сознания, выступают фактором, конституирующим математику как науку.
Научная новизна.
1. Научная новизна заключается в переводе классической постановки проблемы выяснения специфики математического познания в плоскость изучения факторов, конституирующих науку вообще, и математику, в частности.
2. В рамках представленной интерпретации социокультурной природы математики введена спецификация практической и теоретической математики как разных типов деятельности, обеспечиваемых различными трансляционными механизмами.
3. Используемая в работе концепция позволяет объяснить возникновение «эффекта априоризма» в понимании математического познания, в результате онтологизации знаков операций практической деятельности, в роли которых выступают числа и фигуры в процессе включения их в схемы рационального познания, в результате чего они становятся предметом исследования.
4. Проведена периодизация этапов эволюционного развития счетных и измерительных систем в соответствии с изменением характера практической деятельности в рамках развития практической математики.
5. Введено понятие парадигмальных аспектов, представленных системой определенных онтологических допущений и элементов регулятивной структуры, которое позволяет выявить необходимый фактор конституирования математики как науки.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в разработке одной из актуальных проблем философии математики -специфических особенностей механизма развития математического познания. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях эпистемических проблем, а также применены в педагогической практике, как в основном учебном курсе философии, так и при чтении спецкурсов по философии и истории науки.
Апробация работы. Основные положения настоящей работы докладывались автором на конференциях: "Философия и жизненный мир человека" (Саратов, СГУ, 2003), "Человек в глобальном мире" (Саратов, СГУ, 2004), "Человек в научном и религиозном мире: проблема внутреннего диалога" (Саратов, СГУ, 2005). Диссертационное исследование обсуждалось на заседаниях кафедры философии и методологии науки Саратовского государственного университета (июнь 2005г., сентябрь 2005г.)
Основные результаты исследования изложены в следующих публикациях:
1. Агафонов И.В. Рациональность и смысл жизни //Философия и жизненный мир человека, Саратов, 2003, С. 160-164.
2. Агафонов И.В. Парадигмальные установки (аспекты, элементы, традиции) развития математического познания // Человек в глобальном мире, Саратов, 2004, С. 153-156.
3. Агафонов И.В. Социокультурные аспекты формирования науки в античности // Человек в научном и религиозном мире: проблема внутреннего диалога», Саратов, 2005, С. 84-88.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих четыре параграфа, заключения и списка литературы.
Анализ проблемного поля современных дискуссий о природе математического познания
В тексте осуществляется анализ проблемного поля философии математики и вьвделяется основная проблема, решению которой посвящено данное диссертационное исследование.
Как автономная сфера исследований философия математики сформировалась в начале XX века в ситуации, так называемого «третьего кризиса» математики и возникшей в связи с этим задачей нахождения надежного обоснования ее исходных допущений. Вместе с тем, круг проблем связанных со спецификой математики обозначен уже в методологической рефлексии античности. В концепциях Платона и Аристотеля можно зафиксировать все основные темы, которые становятся предметом дискуссий впоследствии.
Развитие математики в Греции связано с пифагореизмом и в основном завершилось к III веку до н. э. созданием «Начал» Евклида. С пифагореизмом связывают обычно и первый кризис в математике, который заставил задуматься о предпосылках, определяющих математическое познание. Суть серьезного кризиса заключалась в обнаружении факта несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. В соответствии с этим возникал мировоззренческий вопрос: если все есть число, то почему диагональ квадрата числом не выразима? Понятие числа, которое есть предел и беспредельное, логические противоречия, связанные с апориями Зенона потребовали выяснения смысла понятия числа и природы математического познания.
Платонизм сформировался на пересечении онтологических, гносеологических, логических представлений и связанных с ними проблем, которые обозначились в античной философии к III веку до н. э. Наиболее значимыми из них являются представления об истинном, т. е. логически выведенном бытии элеатов, текучем, меняющемся чувственном бытии Гераклита, релятивность, «гибкость» изощренной логики софистов.
Заслуга Платона в том, что он, как справедливо утверждал М. Мамардашвили, введением представления о мире идей впервые выразил факт существования интеллигибельного мира, элементы которого делают мир окружающих вещей понятным человеку. Числа и фигуры (не их изображения) как объекты математики принадлежат этому миру, выполняя ту же функцию в умозрительном познании. «Когда геометры пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых они служат».
Аристотель, как отмечают многие исследователи, (А. Ф. Лосев, М. Мамардашвили) во многом упростил концепцию Платона: «прежде всего надо исследовать математические предметы, не прибавляя к ним никакой другой природы, например, не ставя вопрос, идеи ли они или нет, начала ли они и сущности существующего или нет, а подходя к ним только как к математическим - существуют ли они или не существуют, и если существуют, то как именно»1. Для него математические объекты берут свое начало непосредственно из ощущений, которые, подвергаясь аналитико-дедуктивной деятельности рассудка, фиксировались затем в виде постулатов и аксиом. В дальнейшем эти два подхода выступают как различные модификации реализма (платонизма) и эмпиризма
В эпоху Нового Времени в центре философских дискуссий становятся проблемы источника истинного познания. Специфика математического познания начинает рассматриваться в ракурсе особого эпистемического статуса математической истины («надежность», «очевидность» «необходимость»). Признание особого статуса математической истины среди различных видов познания вызывает поиски причин ее исключительной природы, которые оказывается тесно связанным с представлениями об объекте в математике. На протяжении всего Нового Времени и до начала XX века, попытка согласовать онтологический статус математического объекта и эпистемический статус математических утверждений составляет существенную часть тем, обсуждаемых в философской теоретико-познавательной рефлексии.
Д.Беркли подвергает сомнению представления о специфике математического знания, связываемые с особой достоверности математической истины. «Как бы ни прославляли ясность и несомненность доказательств, равных которым едва ли возможно найти где-либо вне ее, тем не менее, ее нельзя считать совершенно свободной от ошибок... Хотя математики выводят свои теоремы из весьма очевидных основоположений, тем не менее, их первые принципы не выходят за пределы рассмотрения количества, и они не возвышаются до исследования тех трансцендентальных положений, которые оказывают влияние на все частные науки; каждая часть их, не исключая математики, должна, следовательно, страдать ошибками, допущенными в эти положения»2.
Значительно позже, Дж. Ст. Милль приходит к парадоксальному выводу о том, что метод всех дедуктивных наук гипотетичен. Строгость и достоверность их касается только строгости вывода следствий из некоторых базовых предположений, «предоставляя особому исследованию вопрос, истинны сами эти предположения или нет». Согласно этому, по мере увеличения абстрактности знания возрастает и степень его гипотетичности, а соответственно, и степень относительности истинности знания. Таким образом, математика, рассматриваемая как образец истинного, рационального и достоверного знания, также оказывается гипотетичной. «Почему "математическая точность", "математическое доказательство" и т. п. выражения обозначают обыкновенно высшую степень достижимой для разума достоверности?
Социокультурный подход к исследованию специфики исторического развития математики
Идеи об укорененности математики в недрах культуры высказывались еще в начале XX века. О.Шпенглер утверждал, что в основе любых общественных явлений - науки, религии, искусства и, в том числе, математики лежат особенности (самобытности) данной культуры, таким образом, как не существует одинаковых культур, так не существует и единой математики. «Не существует и не может существовать никакого числа в себе. Есть множество миров чисел, так как есть множество культур. Мы обнаруживаем индийский, арабский, античный, западный тип математического мышления и вместе тип числа, каждый по самой сути своей представляющий нечто самобытное и единственное, каждый являющийся выражением особого мирочувствования, символом некой значимости, точно ограниченной также и в научном отношении, принципом устроения ставшего, в котором отражается глубочайшая сущность одной-единственной, а не какой-нибудь еще души, той самой, которая является средоточием именно этой, а не какой-нибудь иной культуры. Таким образом, существует более чем одна математика»24. Здесь характерен тот факт, что культура при этом понимается весьма расплывчато. Так, если продолжать дифференциацию типов математики таким образом, то различные математики можно будет выявлять не только в рамках различных культур, но и под воздействием ряда субкультурных факторов. Как отмечает В. Л. Шапошников, «мы можем разделять математику через преимущественное тяготение к определенной смежной области культуры: так у нас будут появляться не только математика физиков или инженеров, но и математика философов, математика художников, математика поэтов и т.д.» . Более того, «дифференциацию стилей математического мышления можно продолжать и далее, пока не дойдем до уникального стиля данного математика или даже данного математического текста»26.
Очевидно, что такое понимание быстро приводит к абсурду. Одной из причин этого является отсутствие общей концептуальной основы, обеспечивающей единство в использовании и интерпретации категориального аппарата. В наибольшей степени это относится к самим понятиям «социальность» и «культура». Ключевым здесь оказывается понятие культуры, традиционно связываемой в отечественных подходах с формированием категориального (обосновательного) слоя (В. С. Степин), а также сферой духовного производства ценностей (Л. М. Косарева).
Такое понимание культурной детерминации познания сегодня вызывает резкую критику со стороны фундаменталистской философии математики и, прежде всего, современных версий априоризма. При этом справедливо отмечается тот факт, во многих случаях фактически не удается преодолеть традиционного разделения когнитивных и социально-культурных аспектов познания, в рамках которого последние выступают в качестве внутренних и внешних его факторов. Так, В. Я. Перминов сравнивает их значение в развитии науки с ролью природных факторов в росте растений. Они могут стимулировать или тормозить это развитие и даже привести к его гибели, однако, само конституциональное содержание, раскрываемое в процессе роста, неизменно определяется внутренним причинами, определяемыми генетическим кодом растения. Подобная параллель с биологическим развитием отражает, по его мнению, глубокую связь научного знания с предметной онтологией действительности. Укорененность знания в онтологическом строении мира является тем стержнем, который обеспечивает соответствие научного знания универсальным закономерностям окружающего мира. Социокультурные факторы выступают внешними факторами, которые могут лишь замедлить или ускорить данный процесс, не влияя на его "генетически заложенную" внутреннюю логику.
«Историческое вызревание научной теории, как уже сказано, можно сравнить с ростом растения, законы которого предопределены его генотипом и не зависят от условий среды. Ошибкой социокультурной философии науки является превращение вторичных социокультурных влияний на науку в первичные и определяющие»27. Поэтому, даже допуская, в принципе, наличие социокультурных факторов в процессе научного познания, критикуется какая-либо их значимость в конечном результате познания. «Идея социокультурной детерминация науки является самопротиворечивой, поскольку случайные факторы, безразличные к зрелому состоянию теории, не могут быть причислены к определяющим факторам» .
Весьма знаменательно, что подобная точка зрения в той или иной степени признается и рядом философов социокультурного направления. В частности, С.В.Добронравов признает социокультурную обусловленность процесса зарождения и развития теории, исключая при этом, таковую возможность для конечного результата научного познания. «Свободным от социокультурных влияний может оказаться только конечный результат этого пути, но не сам путь, поскольку положения, первоначально выдвинутые для объяснения, а при дальнейшем развитии науки признанные ошибочными и замененные другими, несомненно, хотя бы отчасти социокультурно обусловлены... Социокультурно не обусловленными могут быть не научные проблемы, а их решения — научные теории, и только в своей развитой, завершенной форме...»29. Однако остается неясным, что считать «конечным результатом познания», а также сама возможность такого результата.
Специфика трансляционных механизмов системы практической математики
Исследование практической математики как донаучного этапа развития математического познания представляет существенный интерес для дальнейшего понимания природы теоретической математики. В связи с этим, наиболее важным является вопрос о действительной природе теоретической и практической математики как науки и донауки.
Исторически первой является точка зрения, согласно которой теоретической математике противостоит конгломерат несистематизированных знаний, представляющих собой образцы деятельности, связанные с выполнением различных практических расчетов. «Как видим, теоретическая систематизация математического знания как один из параметров перехода математики в научное состояние противопоставляется несистематизированному, "донаучному" состоянию, распространено мнение, что в математике Древнего Египта и Междуречья просто накапливался эмпирический материал, и только в Древней Греции математическое знание превратилось в систему связанных положений... При этом считается само собой разумеющимся, что единственный способ организации математического знания, соединения математического материала - это способ логического вывода одних положений из других. Такой подход к возникновению математического знания можно определить как переход от эмпирической совокупности к теоретической системе. Смещенный (как и у Б. Л. Ван дер Вардена) еще далее в глубь веков конгломерат эмпирически полученных знаний противопоставляется системе, которая понимается только как теоретическая, поскольку другой в принципе не существует»47.
Однако в ходе последующих исследований древнейшей математики стало выясняться, что практическая математика представляет собой сложную определенным образом систематизированную систему знаний. В связи с этим, выдвигаются предположения, согласно которым предпосылки формирования теоретической математики в той или иной форме содержатся уже в практической математике. Более того, рядом исследователей высказывается мнение о том, что этот переход начинает осуществляться уже в рамках практической математики. Аргументами для этого является возникновение новой классификации задач в соответствии с общими методами их решения, используемыми в процессе обучения. На основании этого некоторыми исследователями также делаются выводы о возбуждении в рамках практической математики теоретического интереса к познанию нового.
Г. И. Рузавин, в частности, отмечает следующее, «...есть все основания предполагать, что известная работа по систематизации и теоретическому осмыслению фактического материала по арифметике и геометрии начала проводиться еще в догреческой математике, в частности древними вавилонянами и египтянами... Поэтому этот период, естественно, следует рассматривать как период зарождения и возникновения, или, лучше сказать, становления, математики как науки»48.
Близкой позиции придерживается К. А. Рыбников. «Первые математические теории, абстрагированные из совокупности конкретных задач и из методов их решения, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило у древнегреческих математиков стремление систематизировать факты математики и логически последовательно построить ее основы»49.
Точку зрения, согласно которой качественный скачок, приводящий к возникновению теоретического вывода, определяется всем предшествующим этапом накопления знаний в рамках практической математики, разделяет также известный отечественный математик А. Д. Александров. Этот переход является тем более преемственным, что уже в рамках древневосточной вычислительной математики, по его мнению, возникают первые математические доказательства, «...наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретические способы вывода новых результатов и первые математические доказательства. В конечном итоге это привело к качественному скачку: сложилась чистая математика с ее дедуктивным методом»50.
Однако наиболее последовательно такую позицию в отечественной литературе проводит А. Г. Барабашев. В основе его позиции лежит убеждение о том, что теоретической математике как теоретическому способу систематизации знания предшествует иной тип систематизации, имеющий место в практической математики. Таким образом, в качестве одного из критериев научности знания А. Г. Барабашев рассматривает его систематизацию и делает в своем анализе этот критерий решающим. При этом как практическая, так и теоретическая математика выступают различным образом упорядоченными системами знания, и, в этом смысле, претендуют на научность.
Парадигмальные аспекты становления античной математики
Выше была рассмотрена природа практической математики как вычислительной деятельности с числами и фигурами, используемыми в качестве знаков операций предматематической деятельности. В настоящем параграфе с привлечением исторического материала будет исследован начальный этап становления теоретической математики в античности.
В основе этого будет лежать рассмотрение следующего ряда взаимосвязанных вопросов: о специфике теоретической математики как особой формы рационального познания, включающей деятельность по операциональному конструированию операциональных объектов особого рода - чисел и фигур; о специфике формирования предметного поля математического познания как процесса онтологизации операциональных значений чисел и фигур практической математики в ходе их рационального познания в рамках деятельности по операциональному конструированию значений. С позиции такого понимания природы чисел и фигур будут отмечены недостатки традиционных подходов к формированию математических объектов. К последним относятся подходы, рассматривающие возникновение математических объектов в результате их абстрагирования из практики вычислительной математики, а также, дающие их априорное истолкование.
Наконец, исходя из особенностей взаимодействия индивидуальных и надиндивидуальных структур в процессе операционального конструирования математических объектов, будут выявлены механизмы, обеспечивающие стабильность математического познания. К таковым будут отнесены парадигмальные аспекты, содержащие систему неконцептуализируемых ограничений, конституирующих предметную область операционального конструирования предметных свойств математических объектов. Наличие определяемых таким образом парадигмальных аспектов на протяжении любого этапа развития математики выступает в роли формирующего принципа математического познания, гарантирующего единство математики как особой формы рационального познания, связанной с предметным конструированием свойств особого рода, - операциональных, - объектов, -чисел и фигур. Определение конкретных механизмов, реализующих роль парадигмальных аспектов математического познания в эпоху античности, будет связано с анализом формирования требования строгости в античной математике.
Центральный из рассматриваемых здесь вопросов заключается в выявлении специфики теоретической математики. Разрешение этой проблемы, как нам представляется, необходимо искать на путях анализа формирования предметной области математического познания и, связанного с этим, становления надиндивидуальных структур математического познания. Роль последних заключается в обеспечении стабильности предметного поля деятельности по операциональному конструированию свойств математических объектов. В связи с этим, необходимо ответить на следующий неоднозначно понимаемый в современной истории и философии математики вопрос. Он заключается в определении места и времени формирования теоретической математики и предполагает выявление критерия теоретической математики и ее связи с практической математикой и философским познанием.
По мнению А. П. Юшкевича, сложность вопроса о времени и месте возникновения математики как науки определяется как недостаточной определенностью понятия «наука», так и отсутствием фактической базы -достоверных исторических фактов. Достаточно сказать, что не сохранились даже сочинения первых натурфилософов Древней Греции и работы ранних пифагорейцев, взгляды которых нам известны в изложении мыслителей, живших десятилетия или столетия позже.
Основным признаком теоретической математики большинство исследователей (А. Сабо, П. П. Гайденко, И. Г. Башмакова) считают наличие аксиоматической дедуктивной системы, т. е. систематическое введение в математический текст доказательства, которое рассматривается как фундаментальный признак математики.
Вместе с тем отмечается, что многие задачи практической математики, зафиксированные в папирусах и клинописных табличках, не могли быть решены без элементов дедуктивного вывода. В качестве примера можно привести задачу на вычисление объема усеченной пирамиды. Исходя из этого, А. П. Юшкевич приходит к выводу о необходимости установления более четких критериев научного и донаучного мышления. «Нейгебауер писал, что вавилонская математика "не перешагнула порога донаучного мышления". Я лично не сделал бы такого вывода, не установив более определенного критерия того, что следует разуметь под "донаучным мышлением"»91.
