Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методологическая программа логического позитивизма и стандартная трактовка научной теории 25
1.1 Формальная программа логического позитивизма и современная философия науки 25
1.2 Эволюция формальной программы логического позитивизма: основные этапы 35
1.3 Критика формальной программы логического позитивизма: основные направления 60
1.4 Стандартная трактовка научной теории и проблема преемственности в развитии научного знания 86
Выводы по Главе 1 98
Глава 2. Теоретико-множественная программа обоснования научного знания 101
2.1 Общая характеристика теоретико-множественной программы обоснования научного знания 101
2.2 Теоретико-множественная программа аксиоматизации научных теорий П. Суппеса 110
2.3 Формальные критерии эмпирической осмысленности предложений теории 133
2.4 Логика эмпирической осмысленности и трёхзначная логика Д. А. Бочвара 142
2.5 Примеры теоретико-множественной аксиоматизации некоторых теорий 151
2.6 Семантическая программа обоснования научных теорий 159
2.7 Структуралистская программа аксиоматизации научных теорий 174
2.8 Теоретико-множественные модели развития научного знания 228
Выводы по Главе 2 244
Глава 3. Логические модели обоснования и развития научного знания 251
3.1 Теория логических модальностей: теоретико-множественная семантика системы Льюиса S5 258
3.2 Теория логических модальностей и модельные схемы традиционной силлогистики 290
3.3 Теоретико-множественная семантика системы Льюиса S4 300
3.4 Теоретико-множественная семантика системы Гейтинга Int 316
Выводы по Главе 3 332
Заключение 337
Список литературы 348
- Эволюция формальной программы логического позитивизма: основные этапы
- Теоретико-множественная программа аксиоматизации научных теорий П. Суппеса
- Теоретико-множественные модели развития научного знания
- Теоретико-множественная семантика системы Гейтинга Int
Введение к работе
Актуальность исследования:
Современная философия науки представляет собой особый раздел философского знания, предметной областью которого является структура и динамика научного знания, специфика науки как особого способа получения достоверного знания о мире, особенности частно- и общенаучной методологии, трактовка категории истины в научном познании, особенности постановки и решения научных задач, присущие различным отраслям научного знания, критерии научности знания.
Для решения эпистемических и методологических задач, относящихся к описанной предметной области, формальная философия науки использует технический аппарат искусственных языков логики и математики, методы и понятия формальной семантики, классические и неклассические системы логического вывода.
Примером первой подобной формальной программы в философии науки традиционно считается программа обоснования научного знания, предложенная логическим позитивизмом.
Данная программа предполагала решение ряда эпистемических и формально-логических задач.
К основным эпистемическим задачам программы логического позитивизма можно отнести обнаружение элементарных и достоверных основ научного знания, строгое различение аналитических и синтетических высказываний, входящих в состав научного знания, формулировку процедур обоснования теоретического знания (сведения теоретического знания к эмпирическому), которая одновременно оказывалась вариантом решения задачи строгого определения критериев осмысленности высказываний и критериев демаркации научного и ненаучного знания.
і
Необходимым условием успешного осуществления этого методологического проекта объявлялось успешное решение формальнологической задачи строгой экспликации указанных проблем в некоторых формализованных языках.
Поскольку реализация эпистемической части программы была поставлена
в прямую зависимость от формально-логической её части, именно логический
позитивизм, несмотря на последовавшую в итоге дискредитацию ряда его
исходных философских оснований, выявил первостепенную роль
принимаемых норм и способов формализации знания в решении фундаментальных содержательных проблем философии науки.
Накапливавшиеся в рамках данной стратегии обоснования научного знания противоречия и проблемы привели в конце 60-ых гг. 20-го века к радикальному пересмотру ряда основных «программных постулатов» логического позитивизма или прямому отказу от них.
Одним из следствий данного кризиса стала дискредитация формальных методов анализа научного знания, отказ от попыток строгого уточнения понятия истинности предложений научной теории и возрастание популярности сугубо «описательных» методик исследования, развитых в работах Т. Куна, П. Фейерабенда, М. Полани, Р. Рорти и др.
В большинстве отечественных изданий, посвященных истории философии науки, развитие данной отрасли философского знания, начиная с двадцатых годов 20 в., характеризуется сменой следующих методологических программ: 1) логический позитивизм (третий позитивизм) 2) постпозитивизм, охватывающий, в первую очередь, концепции К. Поппера, И. Лакатоса, Т. Куна 3) «анархистские» версии философии науки П. Фейерабенда и Р. Рорти, а также различные варианты социологии науки, концентрирующиеся на изучении социо-культурных факторов развития науки.
Данная картина, на наш взгляд, не является полной, поскольку ещё с
конца 50-х годов 20 в. в формальной философии науки разрабатывалась так
называемая теоретико-множественная стратегия анализа научного знания,
альтернативная программе логического позитивизма. Данная стратегия в
качестве основного понятия использует понятие формальной модели в смысле
А. Тарского, допускает (с определёнными оговорками) оценку теорий как
истинных или ложных и в большей степени соответствует способу
характеризации научных теорий, принятому в реальной научной практике.
Актуальность настоящего диссертационного исследования определяется, таким образом, следующими обстоятельствами:
в отечественной литературе по философии науки отсутствует целостная реконструкция эволюции формальной программы логического позитивизма;
в отечественной литературе по философии науки отсутствует целостная реконструкция развития теоретико-множественной стратегии анализа научного знания;
отсутствует описание стандартной и теоретико-множественной стратегий анализа научного знания как взаимосвязанных аспектов реконструкции научных теорий и этапов развития формальной философии науки;
в отечественной литературе по философии науки отсутствует систематическое описание особенностей применения формальных методов к реконструкции развития научного знания;
- отсутствует способ построения семантик неклассических (в первую
очередь, модальных) логик, приближенный к способу построения моделей
естественно-научных теорий, что затрудняет применение данных логических
систем к решению проблем философии науки.
Степень научной разработанности исследуемых проблем: в
отечественной философской литературе преимущественное внимание
уделялось критическому анализу эпистемической и общеметодологической составляющих программы логического позитивизма. Подобный анализ представлен, к примеру, в некоторых работах В. С. Стёпина, В. С. Швырёва, А. П. Огурцова, С. А. Лебедева. Анализ отдельных аспектов формальной программы логического позитивизма осуществлён в работах Е. К. Войшвилло, В. В. Целищева, В. А. Смирнова.
В работах Е. К. Войшвилло рассматриваются проблемы уточнения понятий динамического закона науки и необходимой связи между высказываниями теории при помощи, соответственно, интенсиональной (так называемой релевантной) импликации и импликации модальной системы Льюиса S4. В работах Е. К. Войшвилло также рассматривается возможность уточнения понятий диспозиционного предиката, номологического объяснения, контрфактического высказывания и индуктивного следования на основе интенсионального (релевантного) понятия логического следования, позволяющего отразить связь между высказываниями теории по информации.
В работе В. В. Целищева осуществляется критический анализ принятых в неопозитивистской методологии представлений о природе истин логики и математики и об особенностях трактовки синтетических и аналитических суждений в данных науках.
В фундаментальной работе В. А. Смирнова рассматриваются некоторые проблемы эмпирической интерпретации формальных теорий, возможность применения аппарата неклассических логик к решению философско-методологических проблем, философский смысл формальных результатов Рамсея и Крейга.
Каноническая для англоязычной философской и логико-методологической литературы реконструкция основных этапов развития формальной программы логического позитивизма изложена в работах
американского философа Фредерика Саппа, являющегося сторонником так называемой семантической стратегии анализа научного знания.
К сожалению, предложенная им реконструкция страдает, на наш взгляд, некоторой предвзятостью. В ней, в частности, утверждается, что, согласно основным принципам анализа естественно-научных теорий, принятым в методологии логического позитивизма, теория должна быть полностью формализована в языке классической логики предикатов первого порядка
(я.к.л.п.-1=).
Формализацию теории в Я.К.Л.П.-1= принято называть стандартной.
В свою очередь, трактовку теории как множества предложений (высказываний) некоторого формализованного языка принято называть стандартной.
В силу ограниченности выразительных средств Я.К.Л.П.-1=, стандартная формализация естественно-научных теорий не позволяет явным образом отличить предусмотренные/желательные (intended) модели теории от её непредусмотренных моделей.
Именно поэтому, согласно трактовке Ф. Саппа, данный способ
формализации естественно-научных теорий не решает своей основной задачи -
задачи исчерпывающего описания и однозначной идентификации
соответствующих теорий, а, следовательно, оказывается, при всей своей технической изощрённости, бессмысленным в прикладном плане.
Практически во всех работах сторонников теоретико-множественной стратегии аксиоматизации научного знания понятия «стандартная трактовка» и «стандартная формализация» научной теории отождествляются. Данное отождествление, как мы стремились показать в настоящем исследовании, в действительности некорректно.
Теоретико-множественная программа анализа научного знания является на сегодняшний день господствующей в зарубежной формальной философии науки. Будучи представлена целым спектром стратегий, различающихся некоторыми философскими предпосылками и используемой техникой формализации научного знания, она также нуждается в целостной реконструкции и анализе с некоторых единых методологических позиций.
Наиболее разработанной в техническом смысле версией теоретико-множественной стратегии является так называемая структуралистская программа обоснования научного знания, предложенная в работах Д. Снида, В. Штегмюллера, В. Бальцера, К. У. Мулинеса. Данная программа, помимо теоретико-модельных методов, использует некоторые элементы стандартного, «высказывательного» представления теорий. По этой причине Ф. Сапп характеризует структуралистскую программу как результат незначительной ревизии логико-позитивистской методологической программы и исключает её из числа приоритетных направлений современной формальной философии науки.
Подобная оценка структуралистской программы также, на наш взгляд, является некорректной.
Как нам представляется, корректная реконструкция развития формальной философии науки в 20 веке предполагает оценку стандартной и теоретико-множественной стратегий аксиоматизации научного знания не как антагонистических, а как взаимодополняющих программ. Преимущественное использование синтаксических или семантических средств анализа научных теорий в различных версиях формальной философии науки в немалой степени коррелятивно соответствующему этапу развития логики как самостоятельной отрасли научного знания.
Возможность расширения стандартной репрезентации научных теорий,
предложенной в логико-позитивистской формальной программе, за счёт
некоторых технических средств логической семантики была 6
продемонстрирована в работах польского исследователя М. Пржелецкого. К сожалению, его работы практически не известны отечественному читателю.
Уже в поздних версиях формальной программы логического позитивизма отмечалась недостаточность экстенсиональных языков классической логики для решения основных проблем философии науки. Формальная экспликация понятия закона науки предполагает корректное отображение необходимой (динамической) или вероятностной (статистической) связи между явлениями, отношение между которыми описывается в формулировке закона, что, в свою очередь, подразумевает использование аппарата некоторых неклассических (модальных) логик.
Использование модальных понятий оказывается необходимым и при построении моделей развития научной теории, а также при отображении некоторых особенностей функционирования теории «в реальном времени». На необходимость использования модальных понятий при построении подобных моделей неоднократно указывал, в частности, Б. ван Фраассен.
Использование систем неклассической логики при анализе теорий естественных наук существенно осложняется принятым в современной логике способом построения семантик формальных систем. В качестве основных инструментов экспликации модальных операторов обычно используются понятия возможного мира, модельной структуры, отношения достижимости между мирами, являющиеся в действительности сугубо формальными понятиями и нуждающиеся в дополнительном содержательном истолковании. В результате понятие модели в подобных формальных системах существенно отличается от понятия модели естественно-научной теории.
Поэтому одной из центральных задач современной логики и формальной философии науки оказывается описание такой стратегии построения семантик неклассических логик, которая использовала бы только традиционные для логики и философии науки понятия (логической) истинности, (логической) ложности, (логической) недетерминированности высказываний теории и
обеспечивала бы успешное применение данных систем к анализу теорий естественных наук.
Объектом исследования являются программы обоснования научного знания, предложенные в различных направлениях так называемой формальной философии науки 20-21 вв., а также некоторые системы неклассической логики.
Предметом исследования являются различные варианты формальной реконструкции (формализации и аксиоматизации) конкретно-научных теорий, принятые в них способы установления истинности (адекватности) предложений теории, особенности использования некоторых логических систем при анализе структуры и динамики научных теорий.
Цель исследования заключается в целостной реконструкции развития формальной философии науки в 20 - начале 21 века, построении ряда семантик неклассической (модальной) логики, соответствующих пониманию модели в естественно-научных теориях, и обосновании тезиса о необходимости использования формальных методов анализа научного знания как условия сохранения статуса философии науки в качестве самостоятельной и плодотворной дисциплины, способной эффективно влиять на практику научного познания.
Задачи исследования - для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
осуществить реконструкцию основных этапов развития формальной программы логического позитивизма;
осуществить критический анализ некоторых имеющихся реконструкций развития данной программы;
- осуществить обобщённую характеристику теоретико-множественной
стратегии обоснования научного знания;
- продемонстрировать комплементарный, взаимодополняющий характер
стандартной и теоретико-множественной стратегий анализа научного знания;
обосновать возможность расширения стандартной трактовки научной теории за
счёт теоретико-модельных понятий;
- реконструировать основные постулаты теоретико-множественной
программы обоснования научного знания и способы аксиоматизации
некоторых конкретно-научных теорий, изложенные в работах П. Суппеса;
осуществить реконструкцию основных версий теоретико-множественной программы анализа научного знания, развитых на основе общей стратегии П. Суппеса в работах Б. ван Фраассена, Ф. Саппа, Д. Снида, В. Штегмюллера, В. Бальцера, К. У. Мулинеса, Н. да Косты, С. Френча, О. Буэно, Р. Чоки;
- предложить общую стратегию построения семантики ряда неклассических логик, использующую только традиционные для логики и философии науки понятия истинности, ложности, логической недетерминированности высказываний научной теории;
продемонстрировать возможность эффективного применения построенных семантик для решения ряда задач философии науки.
Теоретическими и методологическими основами диссертационного
исследования являются методы логического анализа научного знания, метод
сравнительного анализа, формально-аксиоматический метод, методы
логической семантики, синтаксические и семантические формулировки систем классической и неклассической логики, современная теория определения, теория понятия, теория логического вывода, а также принятые в современной формальной философии науки способы уточнения структуры и динамики научных теорий.
Гипотеза исследования. В диссертационном исследовании выдвинута и обоснована гипотеза о необходимости и плодотворности использования
формальных методов реконструкции и анализа научного знания в философии науки. Формальные (синтаксические и семантические) методы являются эффективным инструментом уточнения ряда эпистемических и методологических понятий - в первую очередь, понятия истинности теории. Полезным инструментом анализа структуры и динамики научных теорий оказываются также некоторые системы неклассической логики. При этом способ описания семантик данных систем может быть максимально приближен к пониманию модели в теориях естественных и социальных наук.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:
1. Осуществлена реконструкция основных этапов развития формальной
программы логического позитивизма, уточнены основные принципы данной
программы.
2. На основе осуществлённой реконструкции сделан вывод о
некорректности канонического для англоязычной философской литературы
истолкования данной программы, предложенного Ф. Саппом, и о
необоснованности некоторых элементов критики формальной программы
логического позитивизма, выдвигаемой определёнными представителями
теоретико-множественной стратегии анализа научного знания.
3. Показана возможность расширения стандартной трактовки научной
теории, принятой в логическом позитивизме, за счёт теоретико-модельных
понятий, что позволяет рассматривать стандартную и теоретико-
множественную стратегии аксиоматизации и анализа научного знания как
взаимодополняющие направления развития формальной философии науки.
4. Продемонстрирована некорректность абсолютизации тезиса о
несоизмеримости сменяющих друг друга научных теорий, принятого в
некоторых версиях постпозитивистской философии науки.
-
Осуществлена реконструкция основных этапов развития теоретико-множественной стратегии анализа научного знания, рассмотрены наиболее существенные версии данной стратегии.
-
На основе осуществлённой реконструкции продемонстрирована продуктивность использования теоретико-модельной интерпретации категории истинности как существенной характеристики научной теории.
-
На основе предложенной Ю. В. Ивлевым стратегии разработана естественная теория логических алетических модальностей, которая может служить инструментом уточнения понятия «закон науки» в дисциплинах логико-математического цикла. Аксиоматизацией данной семантики оказывается известная система модальной логики Льюиса S5. Способ построения семантики данной системы максимально приближен к способу построения моделей естественно-научных теорий (использует только традиционные для логики и философии науки понятия (логической) истинности, (логической) ложности, (логической) недетерминированности высказываний теории); модальные операторы рассматриваются как кванторы по классическим описаниям состояний, а их свойства выражаются при помощи естественных моделей - конечных множеств описаний состояний. Исчерпывающий пересчёт данных множеств описаний состояний обеспечивается элементарными арифметическими функциями.
8. Арифметические функции, построенные для описания множеств
моделей системы S5, успешно применены для описания множества модельных
схем традиционной силлогистики.
9. Разработана естественная семантика модальной системы Льюиса S4, в
рамках которой предлагается содержательное истолкование итерированных
(«многослойных») модальных операторов. Полученную семантику можно
рассматривать как общую схему описания допустимых изменений состояний
предметной области теории во времени (пространства возможных состояний
предметной области). Предлагаемая семантика, использующая только
її
традиционные для логики понятия логической истинности, ложности, недетерминированности, может также рассматриваться как корректный инструмент описания отношений между предложениями теории в составе некоторой эволюции теории (множества сетей теории, моделирующего «нормальный» период её развития).
Свойства модальных операторов системы S4 описываются при помощи конечных множеств описаний состояний. Исчерпывающий пересчёт этих множеств обеспечивается при помощи элементарных арифметических функций.
-
Поскольку импликация системы S4 является адекватной языковой моделью метаязыкового отношения дедуктивного логического следования, построенную семантику можно также считать естественной формализацией данного логического отношения.
-
На основе известного перевода формул основной интуиционистской системы А. Гейтинга Int в формулы модальной системы S4, предложенного в 1948 г. Маккинси и Тарским, в работе строится теоретико-множественная семантика для системы Int. Поскольку, согласно свойствам системы Int, множество её истинных предложений не убывает, предложенная семантика может рассматриваться как кумулятивная модель роста научного знания - то есть, как инструмент описания отношений между предложениями теории в составе некоторой прогрессивной эволюции теории.
Выносимые на защиту положения:
1. Каноническая для англоязычной философской литературы реконструкция развития формальной программы логического позитивизма содержит существенные искажения. В частности:
- В программе логического позитивизма отсутствует трактовка Я.К.Л.П. - 1= как единственного допустимого языка формализации и аксиоматизации теорий; в действительности в качестве основного инструмента логической
реконструкции научных теорий в формальной программе логического позитивизма рассматривается расселовская теория типов и, соответственно, языки логики предикатов неэлементарного порядка;
В программе логического позитивизма отсутствует требование полной (исчерпывающей) аксиоматизации естественно-научных теорий в Я.К.Л.П. - 1= или каком-либо другом формализованном языке;
Программа логического позитивизма допускает расширение за счёт семантических (теоретико-модельных) методов анализа научного знания, поэтому её трактовка как сугубо синтаксической некорректна;
- Предложенный в программе логического позитивизма способ
реконструкции научных теорий не является попыткой определения понятия
«теория вообще» и не предполагает формулировки универсальных критериев
различения аналитических и синтетических предложений теории.
Стандартную трактовку научной теории следует рассматривать как общую
схему возможного уточнения структуры и концептуальных основ различных
теорий, параметры которой могут меняться в зависимости от используемых
формальных средств и особенностей предметных областей теорий.
2. На основе стандартной трактовки научной теории было развито
специфическое представление об эволюции науки как процессе
систематической редукции предшествующих теорий к последующим; под такой редукцией понимался дедуктивный вывод предложений предшествующей теории из предложений последующей. Критика подобных представлений, ставшая одной из центральных тем в трудах ряда представителей постпозитивистской философии науки, привела к известному тезису о несоизмеримости фундаментальных научных теорий (парадигм). Из этого, в свою очередь, вытекал тезис о некорректности реалистической трактовки научных теорий, получивший пространное обоснование в ставшей классической работе Л. Лаудана «Опровержение конвергентного реализма» («А
Confutation of Convergent Realism»).
із
В действительности бо льшая часть аргументов, выдвигаемых в защиту указанных тезисов, основывается на традиционной трактовке научной теории как совокупности предложений, замкнутой относительно дедуктивной выводимости, а также на недостаточно строгом учёте логических характеристик понятий, входящих в состав различных теорий. Логические методы анализа структуры понятий, входящих в состав научных теорий, и теоретико-модельная стратегия их обоснования позволяет в большинстве случаев нейтрализовать или существенно ослабить как утверждение о несоизмеримости сменяющих друг друга теорий, так и выводы об их нереалистической природе.
3. Формально-логические (логико-семантические) экспликации понятия
«истина» являются эффективным инструментом анализа структуры научного
знания и особенностей его развития.
Согласно основным принципам теоретико-множественной стратегии обоснования научного знания, говорить об «истинности» теории допустимо в следующих смыслах: 1) «вертикальная» иерархия моделей теории корректно репрезентирует изучаемую область реальности 2) предложение теории истинно в некоторой её* модели соответствующего логического типа. Общим понятием, используемым для уточнения условий истинности теории в обоих смыслах, оказывается понятие формальной модели теории в смысле Тарского.
4. Предложенная логическим позитивизмом идея формулировки
критериев эмпирической осмысленности высказываний научной теории
осуществима в рамках теоретико-модельной стратегии обоснования научного
знания. В качестве критериев осмысленности может рассматриваться
инвариантность истинностных значений высказываний относительно
соответствующего типа преобразований используемых в них количественных
величин. В этом случае критерии эмпирической осмысленности могут быть
корректно определены и для теорий со стандартной формализацией.
Логикой эмпирической осмысленности оказывается, согласно П. Суппесу, трёхзначная истинностно-функциональная логика с допустимым набором истинностных значений {t, f, m} (истинно, ложно, бессмысленно). В настоящем диссертационном исследовании устанавливается следующий факт: матричные определения связок в логике эмпирической осмысленности П. Суппеса совпадают с определением так называемых «внутренних» связок в трёхзначной логике Д. А. Бочвара.
5. Трактовка структуралистской стратегии аксиоматизации научных
теорий как незначительного видоизменения формальной программы
логического позитивизма является некорректной. Элементы лингвистического
представления теорий служат в рамках структуралистской программы для
синтаксической характеристики дескриптивных терминов теории (определения
числа видов этих терминов, фиксации их теоретико-типового порядка), что,
однако, не подразумевает ни строгого описания соответствующего
формализованного языка, ни исчерпывающей аксиоматизации самой теории в
данном языке. Кроме того, структуралистская методологическая программа не
предполагает формулировки универсальных критериев различения
эмпирических и теоретических терминов и не использует принятый в
логическом позитивизме аппарат правил соответствия. В действительности
принятые в структуралистской программе критерии различения теоретических
и не теоретических терминов являются прагматическими, поскольку
детерминируются контекстом конкретной теории и возможностью определения
её терминов с использованием/без использования её собственных
фундаментальных законов (истинность собственного закона теории с
необходимостью предполагает существование, по крайней мере, одной её
актуальной модели).
6. В работах Н. да Косты, С. Френча, О. Буэно, Р. Чоки, Л. Майкенберга
были предложены модели концептуальных и структурных изменений научных
теорий в ходе их развития. Основой построения таких моделей стал аппарат
частичных структур и понятие квази-истинности (прагматической
истинности), являющиеся обобщением соответствующих понятий семантической теории А. Тарского.
В качестве конкретной логической системы, точно эксплицирующей понятие квази-истинности, в работах указанных авторов предлагается расширение известной модальной системы Льюиса S5, не использующее требующих пояснений понятий «возможный мир», «отношение достижимости между мирами» и др.
В настоящем диссертационном исследовании также предлагается естественная семантика для системы Льюиса S5, в которой в качестве исходных используются только традиционные для логики понятия истинности/ ложности/ выполнимости формулы в модели, совместимости/несовместимости высказываний теории по истинности и.т.д. Модальные понятия, таким образом, моделируются при помощи классических. Рассматриваемый подход к построению семантик модальных логик был впервые намечен в работах Ю.В. Ивлева независимо от работ указанных авторов.
Поскольку данная семантика строится «снизу вверх», путём описания содержательных аналогов понятий «возможный мир» и «модельная структура» и определяемых при их помощи модальных понятий, указанный способ построения семантики системы S5 можно рассматривать как конкретную реализацию «внешней» характеризации некоторой теории посредством описания класса её моделей, предложенной П. Суппесом.
Предлагаемая семантика S5 оказывается теорией логических модальностей и может поэтому использоваться при экспликации понятия «закон науки» применительно к наукам логико-математического цикла.
7. На основе указанной в предыдущем пункте стратегии в настоящем диссертационном исследовании предлагается естественная семантика модальной системы Льюиса S4, которую можно рассматривать как единую модель описания допустимых изменений состояний предметной области теории
во времени. Определяемые в ней модальные понятия являются моделями изменения состояний предметной области теории, в которой данные изменения вызваны следствиями нефактического характера из законов теории.
Импликация системы S4 оказывается адекватной языковой моделью метаязыкового отношения дедуктивного логического следования.
Построенная семантика может также рассматриваться как логическая модель так называемой парадигмальной эволюции теории - конструкции, введённой в рамках структуралистской методологической программы для анализа нормальных периодов развития науки.
-
На основе известного перевода Маккинси, Тарского формул основной интуиционистской системы А. Гейтинга Int в формулы модальной системы S4 в работе строится теоретико-множественная семантика для системы Int. Предложенная семантика Int отличается естественной простотой (использует только традиционные для логической семантики понятия описания состояния, истинности/ложности высказываний в модели и пр.) и может рассматриваться как кумулятивная модель роста научного знания.
-
В предлагаемых в настоящем исследовании семантиках для S5, S4, Int используются лишь финитные, «конструктивные» средства: в качестве естественных моделей этих логических систем используются конечные упорядоченные множества классических описаний состояний. Эффективный пересчёт этих множеств обеспечивается при помощи элементарных линейных арифметических функций, что делает возможным использование предложенных семантик в системах автоматического моделирования теоретико-познавательной деятельности.
О теоретической значимости работы
К наиболее значимым теоретическим результатам диссертационного исследования относится следующее:
1. В диссертационном исследовании осуществлена целостная
реконструкция развития формальной программы логического позитивизма,
отсутствовавшая до настоящего времени в отечественной философской
литературе;
2. В диссертационном исследовании осуществлена реконструкция
развития теоретико-множественной стратегии аксиоматизации научного
знания, а также различных её версий, отсутствовавшая в отечественной логико-
методологической литературе;
3. В диссертационном исследовании продемонстрирована эффективность
использования формально-логических методов для выявления структуры и
динамики научной теории и уточнения понятия истинности предложений
теории (адекватности, приблизительной истинности) в корреспондентском
смысле;
4. В работе реализована общая стратегия построения семантик ряда
неклассических логик, максимально приближенная к способу построения
моделей эмпирических теорий. Данная стратегия обеспечивает возможность
корректного применения данных логических систем к описанию структуры и
динамики конкретно-научных теорий.
Практическая ценность: Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в процессе формальной реконструкции научных теорий и уточнении их логической структуры. Кроме того, поскольку все понятия и процедуры, используемые при построении семантик описанного в диссертации типа, носят принципиально конечный, «конструктивный» характер, их можно использовать в процессе автоматического моделирования теоретико-познавательной деятельности. Полученные в диссертации результаты можно также использовать при чтении курсов по дисциплинам «История и философия науки», «Логика», «Методология научного познания».
Достоверность полученных результатов: основные утверждения и
выводы, касающиеся темы диссертационного исследования, подтверждены и
обоснованы анализом значительного числа первоисточников (большая часть
которых не переведена на русский язык). Результаты, полученные в ходе
диссертационного исследования, докладывались на нескольких
международных конференциях, на научном семинаре Логического центра Института философии РАН, были обсуждены на заседании кафедры философии МГТУ им. Н. Э. Баумана. Основные результаты диссертационного исследования были опубликованы в ряде научных работ автора.
Апробация: основные результаты диссертационного исследования доложены на:
третьих Смирновских чтениях (международной конференции, посвященной проблемам логики и методологии науки и проводимой Институтом философии РАН и кафедрой логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова), Москва, 2001;
- четвёртых Смирновских чтениях (международной конференции, посвященной проблемам логики и методологии науки и проводимой Институтом философии РАН и кафедрой логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова), Москва, 2003;
заседании научного семинара Логического центра Института философии РАН, Москва, 24. 04. 2014;
- конференции «Методология в науке и образовании», МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 2017.
Диссертация обсуждалась на заседании кафедры философии МГТУ им. Баумана в 2017г.
Результаты диссертационного исследования изложены в 22 научных работах автора; из них 17 работ общим объёмом 29 п.л. опубликовано в
научных журналах, рекомендованных ВАК РФ для публикации научных результатов на соискание учёной степени доктора философских наук.
Структура и объём диссертации; диссертация включает в себя
введение, три главы, заключение и изложена на 367 страницах, включая
список литературы. Список используемых источников содержит 239 наименований.
Эволюция формальной программы логического позитивизма: основные этапы
Наиболее ранними работами, содержащими изложение основ методологической программы логического позитивизма, является работа английского физика и философа науки Нормана Роберта Кэмпбелла «Physics: The Elements», вперые опубликованная в 1920 году [93], и работа Рудольфа Карнапа «ber die Aufgabe der Physik und die Anwendung des Grundsatzes der Einfachstheit» [239] («О задаче физики и применении принципа простоты»), впервые опубликованная в 1923 году.
Согласно изложенной в указанной работе Р. Карнапа стратегии, научная теория может быть представлена (аксиоматизирована) в прикладном языке логики предикатов первого порядка с равенством. При этом словарь данного языка должен содержать три группы терминов: 1) логические и математические термины 2) теоретические термины 3) термины наблюдения, имеющие «реальную» интерпретацию (в качестве значений им приписываются наблюдаемые феномены из соответствующей предметной области). Аксиомы полученной формальной системы представляют собой формулировку научных законов и определяют отношения между теоретическими терминами соответствующей формальной системы. При этом теоретические термины представляют собой всего лишь «сокращения», «аббревиатуры» феноменологических описаний (т.е. описаний, содержащих только термины наблюдения). Поэтому все «стандартные» представления научных теорий должны в качестве своего необходимого элемента содержать явные определения теоретических терминов вида TxOx, где Т и О – теоретический и эмпирический термины соответственно. Подобные явные определения, называемые правилами соответствия, были призваны однозначным образом связать теоретические термины с сопоставленными им множествами терминов наблюдения. Таким образом, в стандартной трактовке научной теории термины наблюдения имеют в качестве референтов (обозначаемых ими объектов) отдельные наблюдаемые феномены или их наблюдаемые свойства, теоретические же термины получают интерпретацию только за счёт явных определений, задаваемых правилами соответствия [208, Р. 12].
Данные постулаты стандартной трактовки структуры научной теории оказали определяющее влияние на ряд других принципиальных положений ранней версии логического позитивизма. В частности, требование различения теоретических и эмпирических терминов, а также способы приписывания значений этим группам терминов, были распространены на все формы рационального дискурса и были положены в основу критериев (эмпирической) осмысленности теорий и их отдельных предложений: все разновидности рациональной познавательной деятельности могут осуществляться либо в терминах языка наблюдения, либо в теоретических терминах, принципиально сводимых к наблюдаемым при помощи правил соответствия. Любые высказывания, не удовлетворяющие данным требованиям (в том числе утверждения традиционной метафизики) являются бессмысленными. На основе этих положений базировалась хорошо известная верификационная теория значения, суть которой можно выразить следующим кратким принципом: значение термина есть способ его верификации. Поскольку структура естественного языка и правила его использования очевидным образом не согласовывались с верификационной теорией значения, в рамках логического позитивизма прилагались серьёзные усилия для построения так называемого «логически идеального» языка, структура которого могла бы автоматически гарантировать осмысленность всех правильно построенных предложений [208, Р. 14].
В исходной версии стандартной интерпретации все высказывания научной теории трактовались как принципиально сводимые к высказываниям о наблюдаемых феноменах. Результатом распространения этого утверждения на язык в целом стало понимание любых фактических утверждений как принципиально сводимых к высказываниям о феноменальном опыте, сформулированным в некотором протокольном языке («нейтральном языке наблюдения»). При этом в данном протокольном языке различались общие фактические утверждения, являющиеся результатом генерализации опытных данных, и единичные фактические утверждения. Для верификации высказываний первого типа в рамках программы логического позитивизма была предпринята попытка построения варианта индуктивной логики – логики подтверждения (Р. Карнап, Г. Рейхенбах) [97, 196]. Для верификации единичных фактических утверждений первоначально были предложены два метода. Некоторые члены Венского кружка, придерживаясь феноменалистических взглядов, в качестве значений выражений протокольного языка рассматривали «непосредственные чувственные данные». Соответственно, истинность выражений так понятого протокольного языка гарантировалась «непосредственной очевидностью» индивидуального чувственного опыта. Другая, более «объективистская» альтернатива трактовала протокольный язык как физикалистский, содержащий утверждения о регистрируемых свойствах объектов внешнего мира. В более поздний период развития стандартной трактовки научной теории именно физикалистская трактовка природы протокольного языка стала преобладающей.
Результатом распространения указанной трактовки структуры языка научной теории на естественный язык стала своеобразная концепция происхождения и развития языка (касающаяся как онтогенетических, так и филогенетических аспектов его эволюции). Согласно данной концепции, исходным этапом формирования и освоения языка является конструирование «базового словаря наблюдения», элементы которого задаются посредством остенсивных определений. Затем на основе этого «базиса» посредством явных определений вводятся значения ненаблюдаемых терминов языка. Впоследствии данная схема стала рассматриваться в рамках логического позитивизма как «полезная аналогия», моделирующая процесс развития научного знания: исходной информационной основой любой науки являются эмпирические обобщения, сформулированные в терминах наблюдения; по мере накопления опытных данных и наблюдений о соответствующей предметной области на указанной основе формулируются теоретические законы и.т.д. Данная аналогия рассматривалась как универсальная индуктивная модель развития научного знания.
Изложенные выше принципы формальной реконструкции научных теорий могут быть суммированы следующим образом:
1) Теория должна быть сформулирована в формализованном языке L – прикладном языке логики предикатов первого порядка с равенством.
2) Все термины языка L могут принадлежать одному из трёх попарно непересекающихся классов выражений («словарей»): логическому словарю, включающему собственно логические константы и математические термины; словарю наблюдения Vo, включающему наблюдаемые термины; теоретическому словарю Vt, включающему теоретические термины.
3) Термины из словаря Vo относятся к непосредственно наблюдаемым физическим объектам или к непосредственно наблюдаемым свойствам физических объектов.
4) В составе теории имеется множество теоретических постулатов Т, включающих в качестве нелогических терминов (исключительно) термины из словаря Vt ; значения терминам из словаря Vt приписываются посредством правил соответствия С - явных определений вида Vх(Т(х)=О(х)), сопоставляющих каждому теоретическому термину Т правильно построенное выражение О, не содержащее иных символов, кроме элементов словаря Vo и (возможно) логических символов. Все теоретические термины таким образом построенной теории оказываются осмысленными, поскольку естественным образом удовлетворяют требованиям верификационной теории значения.
5) Теория отождествляется с множеством конъюнкций высказываний вида ТлС, где Т - некоторый элемент множества теоретических постулатов (аксиома системы), С - правило соответствия, трактуемое как явное определение указанной выше формы. Множество ТлС рассматривается как замкнутое относительно отношения выводимости, которое в исходной формулировке «стандартной трактовки» отождествлялось с отношением логического следования [208, Р. 17]. Поскольку в данной трактовке теория, по сути, отождествляется с её языковой формулировкой (т.е. рассматривается как упорядоченное множество высказываний определённого вида, связанных отношением логической выводимости), стандартная интерпретация научной теории иногда называется «высказывательной» (statement view, statement interpretation). В дальнейшем изложении будем использовать термин «высказывательная трактовка/интерпретация» в качестве синонима ранее введённого термина «стандартная трактовка/интерпретация».
Теоретико-множественная программа аксиоматизации научных теорий П. Суппеса
В данном разделе диссертационного исследования осуществляется детальный анализ предложенных Суппесом принципов аксиоматизации научных теорий, приводятся примеры аксиоматизации ряда теорий в указанной технике, решаются некоторые проблемы, связанные с формулировкой критериев эмпирической осмысленности высказываний физических теорий и использованием при данной формулировке аппарата некоторых неклассических логик.
Характеризуя стандартную трактовку научной теории, принятую в логическом позитивизме, П. Суппес называет в качестве основных следующие её черты.
Согласно стандартной трактовке, научная теория состоит из двух частей. Первая – абстрактное логическое исчисление, включающее, помимо чисто логических символов, исходные дескриптивные символы теории; вторая – множество правил соответствия, обеспечивающих эмпирическое истолкование (по крайней мере, некоторых) символов логического исчисления.
Первая часть сама по себе не достаточна для определения теории, поскольку невозможно говорить о некоторой формальной конструкции как о научной теории без систематического описания её предполагаемых эмпирических моделей. В этом случае она может оцениваться лишь как часть (конструкция) чистой математики. Кроме того, невозможно привести ни одного успешного примера представления некоторой реальной научной теории в виде логического исчисления указанного типа.
Второй компонент «стандартной» реконструкции научной теории – группа правил соответствия – также является крайне схематичным и абстрактным. При его критике П. Суппес указывает, в первую очередь, на разнообразие различных допустимых способов сопоставления теоретических и эмпирических понятий (к примеру, множество различных способов измерения физических величин) [214, 217, 218].
Однако, указанные дефекты данной программы являются второстепенными. Более существенным недостатком программы логического позитивизма оказывается, по мнению Суппеса, игнорирование следующего несомненного факта.
Любой конкретный опыт, называемый учёным экспериментом, не может быть сам по себе связан с фундаментальными постулатами теории в сколько-нибудь полном смысле [214, 220].
Подобный опыт «просеивается» через достаточно плотное «понятийное сито»: способы получения эмпирической информации об изучаемой области реальности детерминируются принятыми в данной теории моделями эксперимента, в результате чего полученная информация представляется в некоторой канонической форме – форме моделей данных.
Очевидно, что правила соответствия непосредственно применимы скорее к моделям экспериментальных данных, чем к моделям фундаментальных постулатов теории. Очевидно также, что модели эксперимента относятся к несколько иному логическому типу, чем абстрактные модели теорий. Например, модели теорий обычно содержат непрерывные функции и бесконечные последовательности объектов, в то время как модели эксперимента носят в основном дискретный и финитный (конечный) характер [214].
Таким образом, между фундаментальными постулатами теории и «уровнем» её экспериментальной проверки обычно располагается целая последовательность моделей. В силу этого процесс обоснования научной теории имеет иерархическую структуру, в которой (при перечислении «сверху вниз») можно выделить следующие самостоятельные уровни:
Фундаментальная теория
Модели фундаментальной теории
Теория эксперимента (в рамках которой определяется множество возможных реализаций/приложений теории)
Модели эксперимента
Модели данных
Организация эксперимента
Условия ceteris paribus (позволяющие пренебрегать изменением значений несущественных для данной теории величин) [214, 217, 220].
При этом ключевую роль при проверке предсказаний, осуществлённых на основе фундаментальной теории, играют не «непосредственные данные наблюдения» (с ними мы практически никогда не имеем дела в научном познании), а именно модели данных.
Из факта наличия подобной иерархии моделей, определяющей подлинную структуру научной теории, неизбежно следует вывод о невозможности формулировки непосредственных «правил соответствия» в их логико позитивистской трактовке.
Именно этот дефект программы логического позитивизма «спровоцировал», согласно Суппесу, рост популярности инструменталистских истолкований природы и функций научных теорий.
Согласно инструменталисткой точке зрения, основная функция теорий заключается не в формулировке «реалистически» понимаемых утверждений об изучаемой предметной области, которые могут оцениваться как истинные или ложные, а в формулировке некоторых принципов/ правил вывода, при помощи которых одно множество фактов может быть выведено из другого.
В этом случае, к примеру, в силлогизме «Все люди смертны, Сократ-человек. Сократ смертен» большая посылка истолковывается как правило вывода, и силлогизм имеет только одну «содержательную» посылку – меньшую [220].
В результате при трактовке теории как совокупности подобных правил вывода единственной существенной их характеристикой оказывается не их истинность/ложность, а их полезность в выводе новых фактических утверждений.
Ещё одной неортодоксальной трактовкой научной теории, явившейся своеобразной реакцией на указанный дефект программы логического позитивизма, стала статистическая теория принятия решений: в её рамках теории рассматриваются даже не как совокупности правил вывода, а как методы систематизации данных, позволяющие выбрать оптимальную стратегию действий из нескольких возможных.
Однако, по мнению П. Суппеса, когда речь заходит об оценке сложных научных теорий, дисциплины типа статистической теории принятия решений не могут предложить серьёзной альтернативы традиционным семантическим понятиям истинности и общезначимости [220].
Следующим существенным элементом методологической программы логического позитивизма было, по мнению Суппеса, требование стандартной формализации научной теории. Более того, Суппес, как правило, использует термины «стандартная трактовка» и «стандартная формализация» научной теории как синонимы [220].
В главе 1 настоящего исследования мы указывали на возможные причины подобного отождествления и на его некорректность.
Напомним, что формализация теории называется стандартной, если она осуществлена средствами первопорядкового исчисления предикатов с равенством – Я.К.Л.П. – 1=.
Переменные данного языка пробегают по множествам одного типа (множествам индивидов – элементов некоторой предметной области), в качестве логических символов используются стандартные знаки пропозициональных функций, кванторы общности и существования и знак тождества; в качестве нелогических символов используются предикаторы (знаки свойств и отношений), предметные функторы и индивидные константы.
Все правильно построенные выражения теории (конечные последовательности символов её языка) обычным образом подразделяются на термы и формулы. Элементарным термом является отдельная предметная переменная или константа. Сложные термы строятся из простых при помощи функторов (символов операций). Атомарная формула состоит из отдельного предикатного символа некоторой «местности» и соответствующего числа термов. «Молекулярные» (сложные) формулы строятся из атомарных при помощи пропозициональных связок и кванторов.
Описание любой теории со стандартной формализацией начинается с рекурсивного определения понятий терма и формулы, включающих исходные нелогические термины (константы) теории. Затем из множества правильно построенных формул теории (далее - П.П.Ф.) выделяются формулы, являющиеся её аксиомами.
В качестве простейшего примера теории со стандартной формализацией рассмотрим элементарную теорию частичного порядка. Язык L данной теории включает стандартные символы логических функций , л, v, —», -», кванторы общности и существования V, 3, символ тождества =, список индивидных переменных х, у, z. Единственной нелогической константой языка данной теории является символ отношения
Теоретико-множественные модели развития научного знания
Отдельной методологической и эпистемической проблемой при построении формальных моделей развития научных теорий оказывается проблема определения истинностного статуса высказываний, содержащих так называемые гипотетические термины. Как известно, гипотетические термины обозначают некоторые предполагаемые, возможные объекты из предметной области теории, существование которых (по крайне мере, на момент их введения в предметную область теории) достоверно не подтверждено [31, С. 159], [32]. Подобные термины вводятся из прагматических соображений в процессе построения научных гипотез и абдуктивных выводов, т.е. как элементы правдоподобных объяснений наблюдаемых явлений. Существование некоторых гипотетических объектов подтверждается по мере развития теории, и обозначающие их термины включаются в концептуальный аппарат теории как имеющие «реальные референты». К таким понятиям можно отнести понятие физического поля, молекулы, атома, элементарной частицы и.т.д. Однако, некоторые гипотетические термины («флогистон», «теплород») оказываются «пустыми», не имеющими реальных референтов, и исключаются из концептуального аппарата теории по мере её развития.
В результате при определении истинностного статуса высказываний с гипотетическими терминами необходимо каким-то образом отразить «проблематический» характер их референции. Кроме того, использование известного формального аппарата истинностно-функциональных многозначных логик оказывается в данном случае неуместным: высказывание, содержащее гипотетические термины, в итоге либо оценивается как истинное и (возможно, в некотором модифицированном виде) включается в состав теории, либо отвергается как ложное (относящееся к «фиктивным» объектам).
Выполнение данных условий осложняется следующими особенностями «классического» понимания формальной модели.
Стандартное определение истинности некоторой формулы языка формальной теории в модели предполагает предварительное определение возможной реализации теории – теоретико-множественного объекта D, R, F описанного выше типа – а также определение на множестве D функции интерпретации I, приписывающей значения всем константам данного языка, и функции интерпретации индивидных переменных .
Функция I «выбирает» конкретную возможную реализацию из бесконечного множества возможных реализаций некоторого формализованного языка.
Некоторая формула В общезначима в возможной реализации, если только она истинна при любом приписывании i значений её индивидным переменным. Соответствующая реализация называется в этом случае моделью формулы В.
Некоторая формула В общезначима в (непустой) области D, если только она истинна в этой области при любых функциях интерпретации I.
Наконец, формула логически общезначима, если только она общезначима во всех возможных реализациях.
Данные определения неявным образом предполагают выполнение целого ряда условий.
В частности,
1.Помимо выполнения очевидного требования непустоты предметной области D, должно также выполняться следующее требование: все индивидные константы и индивидные переменные, входящие в формулировку выражений языка, должны иметь определённые референты в области D или, иными словами, функции I, i должны быть полностью определены на D.
Далее,
2.Для каждого определённого на D предиката (n-местного отношения) КІ (п 1, і 1) должны быть однозначным образом определены множества последовательностей объектов из D, выполняющих данный предикат и не выполняющих его. То есть, для каждого такого отношения должны быть однозначным образом определены множества его «истинности» Т(КІ ) и «ложности» Г(КІ ) такие, что:
а). Т(КІ )пг (КІ )—{0}
б). Т(Ki )ur(Ki )—D
Очевидно, что, применительно к особенностям построения и модификации теорий естественных наук, данные требования оказываются излишне «ригористичными».
Условие полной определённости функций І, фі не позволяет отразить возможность изменения концептуальной структуры теории, смыслов и значений её терминов. Объёмы множеств Т(Ri ), Г(КІ ) могут естественным образом изменяться по мере развития теории в результате «перехода» некоторых гипотетических понятий из одного множества в другое. Соответственно, по крайней мере, некоторые предложения теории, содержащие гипотетические термины, не могут оцениваться как определённо принадлежащие ровно одному из классов Т(КІ ), Г(КІ ), а объединение классов Т(КІ ), Г(КІ ) не обязательно исчерпывает предметную область D.
Указанные особенности применения классического понятия модели в смысле Тарского к описанию динамики естественно-научных теорий обусловлены следующим очевидным фактом: в естественных науках мы всегда имеем дело лишь с частичной информацией об изучаемой предметной области. В общем случае лишь в формальных науках логико-математического цикла можно однозначно охарактеризовать все элементы теоретико-множественной структуры D, R, F и определённые на D функции І, фі.
Исходя из данных соображений, один из приверженцев логико-позитивистской программы Г. Рейхенбах ещё в 1938 году предложил ставшее хрестоматийным различение контекстов открытия и обоснования научной теории[\96, 197].
Исходя их этих же соображений некоторыми сторонниками использования корреспондентской теории истины в философии науки было предложено «рабочее» понятие приблизительной истинности эмпирической теории. Однако, все попытки строгой экспликации данного понятия, основанные на традиционной трактовке научной теории, оказались неудачными (критика наиболее известных экспликаций понятия приблизительной истинности, осуществленная Л. Лауданом, была изложена в первой главе настоящего исследования).
Ещё в 1986 году Л. Майкенбергом, Н. да Костой и Р. Чоки в программной статье «Прагматическая истина и аппроксимация истины» («Pragmatic Truth and Approximation to Truth») было осуществлено обобщение понятия модели, позволяющее успешно нейтрализовать описанные технические трудности и построить естественную экспликацию понятия приблизительной истинности теории, что, в свою очередь, нивелирует жёсткое противопоставление контекстов открытия и обоснования научной теории и делает возможным построение более гибкой и правдоподобной модели развития научной теории [172].
Исходными при данном подходе к построению моделей развития научных теорий являются понятия частичного отношения (заданного на некоторой непустой области D), частичной структуры и квази - истинности.
Пусть D - непустая предметная область. При этом, однако, не известно, все ли объекты, постулируемые этой областью, существуют.
Частичное N-местное отношение на D есть тройка Rin , R211, R311 , где т- П п п Ri , R2 , R3 есть взаимно непересекающиеся множества, объединение которых совпадает с D: Rin KJ R211 J R311 = D
При этом Ki есть такое множество n-ок из D, которые находятся в отношении К , К 2 - множество n-ок, не находящихся в отношении К, и К з -множество n-ок , относительно которых на данный момент не установлено, находятся они в отношении R друг к другу или нет.
Частичная структура есть упорядоченная пара D, Rin (п 1, і 1) , где D есть непустое множество, а КІ - семейство частичных отношений на D.
Следующим понятием, которое используется авторами [111, 172] при описании данного подхода, является понятие А-нормальной структуры.
Теоретико-множественная семантика системы Гейтинга Int
В основу дальнейшего изложения положим два результата: 1) исходные понятия семантики возможных миров для интуиционистской логики, предложенной С. Крипке; 2) перевод формул языка интуиционистской системы Int в модальную систему S4, предложенный Дж. Маккинси и А. Тарским [171].
Интуиционистской модельной структурой для пропозиционального фрагмента Int обычно называют упорядоченную четвёрку W,Wo,R, ), где W-непустое множество «возможных миров», Wo - так называемый действительный или «выделенный» мир, R- рефлексивное и транзитивное отношение на W XW, - функция оценки формул в произвольном мире w модельной структуры W,Wo,R, ) [65, 69, 70, 129].
Как известно, в интуиционистской логике используется несколько иная по сравнению с классической логикой интерпретация смысла логических операторов и понятия истинности формулы в системе.
В частности, некоторая формула считается истинной в Int, е.т.е. существует (построено) её конструктивное доказательство.
Конъюнкция АлВ истинна, е.т.е. конструктивно доказаны оба её элемента.
Дизъюнкция AvB истинна, е.т.е. конструктивно доказан по крайней мере один из её элементов (причём точно известно, какой именно)
Импликация Az B истинна, е.т.е. всякое конструктивное доказательство формулы А может быть перестроено в конструктивное доказательство формулы В. [34, С. 123]
Функция в модельной структуре Int обладает свойством монотонности («сохранности истинности»): произвольная формула, оцененная как истинная (конструктивно доказанная) в некотором мире, будет истинной в каждом мире, достижимом из данного:
ТА/ос л ocRP= ТА/р. [69, С. 37].
В связи с указанными особенностями системы Int, иногда её рассматривают как модель кумулятивного роста научного знания.
Нетрудно заметить, что условие «сохранности истинности» высказываний в системе Int фактически совпадает с условиями истинности высказываний вида ПА в семантиках нормальных модальных исчислений.
Во всех системах «интуиционистского типа» можно выделить по крайней мере 2 вида отрицания и 2 соответствующих им понимания ложности. А. Гейтинг в книге «Интуиционизм» различал интуиционистское («сильное») отрицание и так называемое «фактическое», т.е. обычное классическое («слабое») отрицание [34, С. 28]. Отрицание первого типа является, по сути, модальным понятием. Истинность произвольного высказывания А с подобным «сильным» отрицанием (обозначим его ) в некотором исходном мире определяется как ложность высказывания А во всех мирах, достижимых из данного:
I А а = t VP( a R Р= IAI p=f)
Содержательно такое сильное отрицание и соответствующее ему понятие ложности можно трактовать как наличие конструктивного опровержения высказывания А в составе некоторой теории или опровержимость А при любых мыслимых путях развития исходной теории. Интуиционистская ложность, как и интуиционистская истинность, подчиняется принципу монотонности [70, С. 270 -273]
Соответственно, ложность высказывания А определяется как истинность А в некотором мире, возможном относительно данного:
I А a=f = ЗР( a R Рл IAI p=t)
Содержательно ложность высказывания А можно истолковать как возможность построения конструктивного доказательства высказывания А в рамках некоторой теории при определённом варианте её развития.
Отрицание второго типа (обозначим его обычным символом \) и соответствующее ему понятие ложности может быть истолковано как отсутствие конструктивного доказательства высказывания А в составе некоторой теории на данном этапе её развития. Очевидно, что слабая («фактическая») ложность не подчиняется принципу сохранности. Однако, оба типа ложности выполняют требование обратной сохранности: высказывание, оцененное как ложное (в сильном или слабом смысле) на текущем этапе развития теории было ложным всегда (в сильном или слабом смысле) на любом предыдущем этапе её развития [70, С. 270 - 273]. Из этого вытекает, что, если множество «интуиционистски истинных» (конструктивно доказанных) высказываний может со временем только возрастать («по крайней мере не убывает»), то множество высказываний, неистинных в интуиционистском смысле, т.е. не доказанных конструктивно в составе некоторой теории на текущем этапе её развития, может только убывать («по крайней мере не возрастает»).
Как модальное понятие определяется и интуиционистская импликация: импликативное высказывание А—»В является истинным в некотором мире, если в каждом мире, достижимом из данного при истинности А обязательно истинно и В.
I А—»В а = t V Р( а R Р ( IАI р =f v ВI р =t))
I А—»В а = fc 3 Р( а R Рл( IАI р =t л ВI р =f))
Аксиомами исчисления Int являются аксиомы к.л.в., за исключением А—»А (снятие двойного отрицания), вместо которой используется аксиома А—»(А—»В).
Правилами вывода Int «являются правила вывода классического исчисления предложений» [34, С. 127] (правило подстановки вместо пропозициональных переменных и т.р. (правило отделения)).
В 1948 году Дж. Маккинси и А. Тарским была предложена следующая процедура перевода исчисления Гейтинга в модальную систему S4 [171].
Пусть ці - функция перевода. Тогда, в зависимости от степени сложности интуиционистской формулы, её перевод в S4 будет выглядеть следующим образом:
1) V/(р) = Dр, где р -пропозициональная переменная;
2) v/(А) = i/(А), где А - произвольная формула;
3) І/(АЛВ) = і/(А)лі/(В);
4) v/(АvВ) = V/(А)v V/(В);
5) v/(Аz)В) = D(v/(А)z)V/(В)).
«Произвольная формула А языка интуиционистской логики доказуема в исчислении Гейтинга тогда и только тогда, когда её перевод V/(А) доказуем в модальной системе S4». [23, С. 354]
При данном переводе, таким образом, все формулы системы Int, включая элементарные, рассматриваются как модальные. Отрицание и импликация системы Int рассматриваются как модальные понятия второй степени.
Распространим принципы построения теоретико-множественных семантик для модальных систем, изложенные в предыдущих параграфах данной главы, на систему Int .