Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ существующих методов оценивания параметров и состояния асинхронных двигателей 11
1.1. Необходимость знания параметров и состояния асинхронных двигателей 11
1.2. Существующие методы идентификации асинхронных двигателей 15
2. Теоретические основы идентификации асинхронных электродвигателей 22
2.1. Методы идентификации 23
2.2. Выбор и анализ математической модели асинхронного двигателя 28
2.3. Оценка адекватности выбранной модели 31
2.4. Преобразование математической модели 33
2.5. Математический аппарат искусственных нейронных сетей 34
Выводы 42
3. Определение потокосцепления статора 44
3.1. Определение потокосцепления статора при известном активном сопротивлении статора 44
3.2. Определение активного сопротивления статора введением постоянной составляющей в фазные напряжения 54
Выводы 5S
4. Идентификация параметров и состояния ад в динамических режимах работы 60
4.1. Определение переходной индуктивности, активного сопротивления и частоты вращения ротора 60
4.2. Оптимизация вычислительных алгоритмов 63
4.3. Практическая проверка алгоритмов 73
4.4. Применение искусственных нейронных сетей для определения параметров ротора 75
Выводы 79
5. Определение параметров и состояния ад в режимах работы, близких к статическим 81
5.1. Определение активного сопротивления статора по опыту пуска 81
5.2. Определение частоты вращения и активного сопротивления ротора 83
5.3. Практическая проверка алгоритмов 91
5.4. Определение индуктивности цепи намагничивания 93
Выводы 96
6. Испытательный стенд 97
6.1. Аппаратная часть стенда 97
6.2. Алгоритмы обработки данных 100
6.3. Результаты испытаний 102
Заключение 107
Список литературы 109
Приложение
- Необходимость знания параметров и состояния асинхронных двигателей
- Выбор и анализ математической модели асинхронного двигателя
- Определение потокосцепления статора при известном активном сопротивлении статора
- Определение переходной индуктивности, активного сопротивления и частоты вращения ротора
Введение к работе
Актуальность работы. Асинхронный электродвигатель с короткозамкнутым ротором (АД) является наиболее распространенным электромеханическим преобразователем во многих отраслях промышленности. В частности, АД применяется в большинстве электроприводов подземных горных машин угольных шахт -проходческих и очистных комбайнах, конвейерах, насосах и т.д.
Одним из путей повышения эффективности использования промышленных установок является применение регулируемых асинхронных электроприводов, что позволяет снизить уровень динамической нагруженности, уменьшить энергопотребление, увеличить производительность и повысить надежность АД, электропривода и всей установки в целом.
Современные системы управления регулируемых асинхронных электроприводов требуют знания параметров и состояния АД, которые должны определяться в реальном времени. Кроме того, знание текущих значений параметров и состояния АД позволит делать заключение о техническом состоянии АД в процессе его работы и производить на этой основе функциональное диагностирование с обнаружением на ранней стадии зарождающихся дефектов для своевременного их устранения.
Большая часть необходимых для этого величин недоступна для прямого измерения. Сюда входят такие параметры АД, как активное сопротивление и индуктивность ротора, индуктивность цепи намагничивания, а также переменные величины, определяющие состояние АД - ток ротора, потокосцепление статора и ротора. Использование датчика частоты вращения ротора также может быть нецелесообразным или невозможным по условиям функционирования привода.
Значения перечисленных параметров АД при приемосдаточных испытаниях в условиях завода-изготовителя не определяются, а каталожные значения являются рассчитанными в процессе проектирования АД и могут существенно отличаться от реальных величин, которые индивидуальны для каждого конкретного двигателя. Кроме того, такие параметры, как активные сопротивления и индуктивности АД, могут существенно изменяться в процессе работы в зависимости от режима работы и теплового состояния АД.
Исходя из этого, современная система управления, диагностирования и защиты электропривода должна включать в свой состав подсистему определения в реальном времени параметров и состояния АД (оперативная идентификация). Кроме того, эта информация может быть использована, например, при моделировании АД с целью расчета пусковых токов, создания эффективных систем управления, оценки качества выпускаемых (ремонтируемых) двигателей с определением их параметров.
Известно много научных публикаций, посвященных данной проблеме, в которых предложены различные методы определения недоступных для измерения параметров и переменных величин непосредственно в процессе работы АД, но они, как правило, базируются на различных реализациях фильтра Калмана и обладают рядом общих характерных особенностей, например достаточно высокой чувствительностью к уровню и статистическим характеристикам шумов в системе, при изменении которых возможны значительные погрешности оценок параметров и состояния АД или неустойчивые процессы оценивания. Это является серьезным недостатком при создании устройств, предназначенных для работы в автоматическом режиме в составе электропривода.
Отсюда следует, что задача построения устойчивых и малочувствительных к шумам алгоритмов для получения информации о недоступных для прямого измерения параметрах и переменных величинах АД с целью обеспечения необходимых функциональных свойств действующих или создаваемых асинхронных электроприводов, является актуальной.
Цель работы — разработка методов и программно-аппаратных средств, позволяющих в реальном времени определять параметры и состояние АД в процессе функционирования электропривода, не требующих априорной информации о шумах в системе.
Идея работы заключается в определении параметров и состояния АД на основе поисковых методов оценивания, математического аппарата искусственных нейронных сетей (ИНС), уравнений динамики обобщенной электрической машины и информации, содержащейся в измеряемых фазных токах и напряжениях статора.
Задачи исследований:
провести анализ существующих математических методов оценивания параметров и состояния сложных нелинейных динамических объектов;
выбрать математическую модель АД и преобразовать ее к виду, удобному для применения выбранных методов оценивания;
разработать устойчивые и малочувствительные к шумам методы оценивания параметров и состояния АД в реальном времени;
разработать программные средства, реализующие данные методы, и испытательный стенд для их практической проверки;
произвести проверку полученных алгоритмов на основе компьютерного моделирования, лабораторных и промышленных испытаний.
7 Методы исследований. Научные и практические результаты диссертационной работы получены с использованием следующих основных методов:
теории обобщенной электрической машины для анализа процессов, происходящих в АД;
поисковых методов оценивания для построения алгоритмов оценивания параметров и состояния АД в реальном времени;
математического аппарата искусственных нейронных сетей для идентификации параметров и состояния АД;
— методов аналитического и численного решения систем
дифференциальных уравнений;
— компьютерного моделирования процессов в АД с исполь
зованием полученных алгоритмов для оценивания параметров и
состояния.
Основные научные положения.
Определение текущих значений активного сопротивления, потокосцепления, частоты вращения ротора, переходных индук-тивностей статора и ротора, индуктивности цепи намагничивания может быть проведено на основе уравнений обобщенной электрической машины и информации, содержащейся в значениях токов и напряжений статора двигателя, работающего с динамической нагрузкой при использовании разработанных методов оценивания.
При работе АД со статической или медленно изменяющейся нагрузкой применение поисковых алгоритмов оценивания позволяет определять индуктивность цепи намагничивания, пото-косцепление ротора, частоту вращения или активное сопротивление ротора.
Для определения параметров ротора АД в процессе его работы может быть использована искусственная нейронная сеть.
Активное сопротивление статора можно определить на основе уравнений обобщенной электрической машины и измеряемых токов и напряжений статора при пуске АД. Определение активного сопротивления статора на основании значений токов и напряжений статора двигателя в процессе его работы возможно введением малой постоянной составляющей в фазные напряжения.
Точность определения потокосцепления статора при известном активном сопротивлении статора и наличии в измеренных значениях токов и напряжений статора погрешностей с неизвестными постоянными составляющими может быть значительно повышена применением искусственной нейронной сети.
Научная новизна:
Установлена степень влияния различных параметров АД на оценки потокосцепления и тока ротора. Получена преобразованная математическая модель АД, учитывающая значимость параметров, позволяющая упростить алгоритмы оценивания и добиться их устойчивой работы в условиях действия нестационарных шумов.
Разработаны методы и алгоритмы, обеспечивающие устойчивые и малочувствительные к шумам процессы оценивания в реальном времени активного сопротивления, потокосцепления и частоты вращения ротора, переходных индуктивностей статора и ротора, индуктивности цепи намагничивания в динамических и статических режимах работы АД.
Разработан способ определения активного сопротивления статора по опыту пуска.
Разработан способ определения потокосцепления статора АД, применимый при наличии в измеренных значениях токов и напряжений статора погрешностей с неизвестными постоянными составляющими.
9 Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты могут быть использованы:
при создании наблюдающих устройств для асинхронных электроприводов, необходимых для настройки и функционирования систем управления, защиты и диагностирования;
при моделировании переходных процессов в электрических сетях, содержащих АД;
для создания автоматизированных компьютерных комплексов, предназначенных для определения параметров и качества АД после изготовления и ремонта.
Достоверность научных положений и выводов подтверждена результатами вычислительных экспериментов на ЭВМ, а также экспериментальной проверкой на испытательном стенде на кафедре электропривода и автоматизации Кузбасского государственного технического университета, испытательном стенде НИИ взрывозащищенных электрических машин и аппаратов (г. Кемерово), а также результатами промышленных испытаний в условиях обогатительной фабрики ОАО «Шахта Заречная».
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и получили одобрение на Всероссийской научно-практической конференции «Автоматизированный электропривод и промышленная электроника в металлургической и горно-топливной отраслях» («АЭПЭ-2004», г. Новокузнецк, 2004 г.), XVII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» («ММТТ-17», г. Кострома, 2004 г,), X Международной научно-практической конференции «Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири» («Сибресурс 2004», г. Кемерово 2004 г.), Международной научно-практической конференции «Энергетическая безопасность России. Новые подходы к развитию угольной промышленности» (г. Кемерово, 2004 г.),
10 на ежегодных научных конференциях Кузбасского государственного технического университета (г. Кемерово, 2002-2005 гг.)
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 9 печатных работ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов и заключения, изложенных на 124 страницах машинописного текста, содержит 38 рисунков, 11 таблиц, приложение и список литературы из 113 наименований.
Необходимость знания параметров и состояния асинхронных двигателей
Асинхронные электроприводы составляют около 95% от общего числа [1]. Практически весь электропривод подземных горных машин (ГМ) построен на АД в качестве электромеханических преобразователей энергии.
Сложные условия работы электроприводов ГМ в подземных выработках угольных шахт характеризуются наличием токопрово-дящей угольной пыли, образованием в ряде случаев взрывоопасной метано-пыле-воздушной смеси, высокой влажностью окружающего воздуха. Режимы работы АД и всей ГМ отличаются при этом высоким уровнем динамической нагруженности, повышенными вибрационной и ударной нагрузками во всех элементах ГМ.
В [2] отмечается: "Шахтное электрооборудование должно быть настолько надежным, насколько позволяет сделать это имеющаяся техника, технология и материалы. Всякие затраты на изготовление рудничного электрооборудования окупятся облегчением шахтерского труда и снижением простоев оборудования, а значит и повышением безопасности ведения горных работ".
Одним из способов снижения уровня динамической нагру женности элементов ГМ при эксплуатации является применение регулируемого электропривода, например частотно регулируемого. Использование такого электропривода, в большинстве случаев, также позволяет получить экономию электроэнергии. Известно, что около 60% вырабатываемой в стране электроэнергии потребляется электроприводами, из которых основную массу составляют нерегулируемые асинхронные электроприводы, а экономия электроэнергии при переходе к регулируемому электроприводу во многих случаях может достигать 30% и более. Так, в [3] показано, что за счет использования частотно-регулируемого электропривода можно добиться экономии не менее 20 миллионов тонн условного топлива за год в промышленности России.
Структура асинхронного частотно-регулируемого электропривода Для построения системы управления частотно-регулируемого электропривода с различными законами управления, например с векторным управлением, необходимо знание величины потокосцепления ротора, статора или цепи намагничивания АД. Однако непосредственное измерение потокосцепления представляется затруднительным, поэтому наибольшее распространение получили косвенные методы, суть которых заключается в расчете его из уравнений динамики двигателя, с использованием измеренных фазных токов и напряжений статора, а также, в некоторых случаях, частоты вращения ротора. Структура частотно регулируемого электропривода таких систем показана на рис, 1.1. В информационной части структуры электропривода выделено наблюдающее устройство, представляющее собой специальный вычислительный комплекс, задачей которого является расчет величины потокосцепления двигателя по измеренным токам и напряжениям статора и частоты вращения ротора. Необходимой для такого наблюдающего устройства информацией являются математическая модель и параметры используемого двигателя.
Основными величинами, определяемыми в процессе приемосдаточных испытаний АД на заводах-изготовителях являются ток и потери мощности холостого хода и короткого замыкания, к.п.д., коэффициент мощности (cosq ), максимальный и пусковой моменты, пусковой ток и скольжение [4, 5]. При этом параметры конкретных двигателей не определяются, а если они и приводятся в каталогах [6, 7], то являются расчетными, следовательно, усредненными на данную серию. Параметры реальных АД индивидуальны, и после некоторых видов ремонта они могут изменяться.
Все параметры АД можно условно разделить на постоянные, которые не изменяются в процессе работы, и изменяющиеся в процессе работы. Индуктивность цепи намагничивания является нелинейной величиной в функции тока намагничивания, но в то же время она практически не зависит от температуры и режима работы АД, о чем сказано, например в [8], поэтому этот параметр можно отнести к условно постоянным, при условии знания характера нелинейности, либо пренебречь явлением насыщения и принять ее постоянной.
Выбор и анализ математической модели асинхронного двигателя
Наибольшее распространение в задачах анализа различных режимов работы АД и построения систем управления получили модели, построенные на базе обобщенной электрической машины (ОЭМ) [67, 97, 99], поскольку они при своей относительной простоте достаточно хорошо описывают процессы, протекающие в АД. В литературе отмечается достаточная адекватность модели ОЭМ для решения многих теоретических и практических задач при условии точного задания значений параметров АД [100]. Прочие известные подходы к моделированию - модели, основанные на уравнениях Максвелла и на основе теории цепей [97] обладают существенными недостатками. Например, для построения модели на базе уравнений Максвелла требуется информация о геометрии машины, что усложняет модель и ограничивает область ее применения преимущественно задачами проектирования.
Таким образом, для идентификации АД нами за основу принята математическая модель ОЭМ, уравнения которой в комплексной форме выглядят следующим образом: Uj IjRj+ j+jay j- (2.3) M = plm(4fjl}); (2.5) a, = l(M-Me); (2.6) =// +/ : (2.7) 42=I2L2+IiLm\ (2.8) Li=Lm+LaI; (2.9) L2=Lm+La2, (2.10) где: Uі - вектор напряжения, подведенного к обмотке статора; І],І2 - векторы токов, протекающих по обмоткам статора и ротора; 4у/, -векторы потокосцеплений обмоток статора и ротора; о)% - частота вращения координат; со - частота вращения ротора; Rj,R2 - активные сопротивления обмоток статора и ротора; Lm - индуктивность цепи намагничивания; ah La2 - индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора; М - электромагнитный момент, развиваемый двигателем; Мс - момент сопротивления на валу; J - момент инерции ротора; р - число пар полюсов. Здесь и далее в работе индекс 1 обозначает соответствие параметра или переменной статору, индекс 2 — ротору, индекс m - цепи намагничивания; обозначение X показывает, что вектор X является сопряженным, точка над переменной говорит о дифференцировании по времени. Обмотка ротора является приведенной к обмотке статора.
Данная математическая модель получена с учетом следующих допущений: 1) распределение магнитного поля каждой из обмоток вдоль окружности воздушного зазора машины считается синусоидальным; 2) статор и ротор имеют симметричные обмотки; 3) не учитывается неоднородность магнитной проводимости, обусловленная наличием пазов и неравномерностью воздушного зазора машины; 4) не учитываются гистерезис, насыщение и вихревые токи в магнитопроводе.
В [97] приводятся также уточненные математические модели АД, позволяющие учитывать такие эффекты, как вытеснение тока ротора, насыщение и вихревые токи в магнитопроводе статора и ротора. Математические модели в этом случае имеют дополнительные статорные и роторные обмотки, а также нелинейные параметры. Введение дополнительных обмоток в математическую модель АД нежелательно, поскольку это сильно усложняет модель и увеличивает число оцениваемых величин, что в итоге может привести к неустойчивому процессу оценивания. По этой причине далее будем использовать основную модель АД, описываемую уравнениями (2.3)-(2.10).
Определение потокосцепления статора при известном активном сопротивлении статора
Потокосцепление статора может быть получено при известном активном сопротивлении статора согласно (2.1 1). Непосредственное использование данного выражения на практике приводит к проблемам, вызванным всегда имеющимися погрешностями с неизвестными постоянными составляющими, в измеряемых токах и напряжениях в реальной системе измерения. Интегрирование в таком случае приводит к постоянно возрастающему во времени смещению рассчитанного потокосцепления. Для решения этой проблемы, как правило, используется замена интегрирования на демпфирование [105-108], что в операторной форме записи может быть представлено зависимостями:
Такое преобразование между (/; — Rjlj) и $ ] соответствует апериодическому звену, представляющему собой фильтр низких частот (ФНЧ) с АЧХ, имеющей наклон -20 дб/дек, и ФЧХ, стремящейся к -90е в области высоких частот, значительно больших сопрягающей частоты 0)с. На высоких частотах свойства апериодического звена совпадают со свойствами интегрирующего звена. В области низких частот, напротив, коэффициент передачи огра 1 ничен значением —, а не устремляется в бесконечность при уст ремлении частоты к нулю, как у интегрирующего звена.
Выбор значения сопрягающей частоты а с зависит от частоты питающего напряжения и возможных значений постоянных составляющих. Чем меньше сопрягающая частота, тем ближе апериодическое звено по своим свойствам к интегрирующему, а значит, и меньше будет погрешность вычислений, вызванная использованием апериодического звена для расчета потокосцепления вместо интегрирования. С другой стороны, с уменьшением сопрягающей частоты растет коэффициент передачи постоянной составляющей, а значит, увеличивается погрешность вызванная ее наличием.
В настоящее время известны методы коррекции погрешностей, вызванных наличием постоянных составляющих для широкого диапазона рабочих частот [105, 107] при работе АД в установившемся режиме. Кроме того, современные системы измерения при правильной настройке имеют очень малые величины постоянных смещений, что позволяет использовать даже прямое интегрирование для небольших интервалов времени порядка единиц секунд, как в случае на рис. 2.3, а значит, и малые величины сопрягающей частоты.
При работе АД в установившемся режиме, когда в фазных напряжениях и токах присутствует преимущественно основная гармоника некоторой угловой частоты а , возможен простой подход к коррекции неточностей, вызванных применением апериодического звена вместо интегрирования, основанный на анализе частотных характеристик. АЧХ интегрирующего звена выражается зависимостью Аи(о ) = —, а апериодического звена - Аап(со) = . =. ФЧХ апериодического звена выражается зависимостью интегрирующего запаздывание выходно го сигнала относительно входного всегда больше и на всех частотах составляет 90. Исходя из приведенных выражений можно рассчитать уточненный коэффициент передачи апериодического звена гг Au( ) К— и дополнительное время запаздывания т ( arctg(—))—. Уточненная передаточная функция имеет 2 о)с со следующее выражение: W(p) = — К.е р , р + сос I J со2+ сэ2 -P -arcts(—)h W(p) = — V c -e 2 » a. (3.2) P + G)c CO
Это преобразование полностью эквивалентно интегрированию в установившемся режиме работы при синусоидальных токах и напряжениях с угловой частотой со.
Для уменьшения погрешности вычисления потокосцепления, неизбежно возникающей в переходных режимах, при использовании выражений (3.1), (3.2) можно использовать искусственную нейронную сеть. Для решения задач аппроксимации функциональных зависимостей хорошо подходит ИНС со структурой многослойного персептрона [103]. При этом, согласно [92], любой многослойный персептрон с большим числом теневых слоев на практике может быть приведен к персептрону с одним теневым слоем, но с большим числом нейронов в нем. Число нейронов в теневом слое подбирается экспериментально.
В результате серии вычислительных и практических экспериментов была выбрана ИНС, показавшая наилучшие результаты, которая имеет следующую структуру: - архитектура ИНС - многослойный персептрон; - число слоев - 3 (входной, теневой, выходной); - активационная функция - экспоненциальный сигмоид; - четыре комплексных величины на входе: ток статора; задержанный ток статора; дважды задержанный ток статора; потокосцепление статора, вычисленное по (3.2); - величина задержки токов — 0.5-1 мс; - комплексная величина на выходе — потокосцепление статора; - число нейронов в теневом слое - от 8 до 12.
Такая ИНС фактически решает задачу уточнения рассчитанного потокосцепления статора на основе информации о текущих и задержанных токах статора.
Обучающая выборка для ИНС может быть подготовлена путем моделирования динамических процессов в конкретном АД, для чего требуются значения его параметров. При этом рассчитанные согласно модели значения потокосцепления статора предъявляются ИНС в качестве истинных, а вычисленные согласно (3.2) — как входные вместе с токами статора.
Определение переходной индуктивности, активного сопротивления и частоты вращения ротора
Для получения математической модели состояния АД подставим выражение (2.15) в (2.4) для неподвижной системы координат и после преобразований получим зависимость: L г Для получения математической модели цепи измерения выразим потокосцепление статора из (2.12) VJ KM+IJUS. (4.2) Вектор состояния х, расширенный параметрами, в таком случае представляется в виде: = Ь?2а Ч2р со R2 Vr L\ Ks Krf. Здесь и далее индексы а и /? обозначают принадлежность составляющих вектора к осям координат а и /?.
Попытки практической реализации оценивания параметров и состояния в рамках данной математической модели не дали удовлетворительных результатов ни с точки зрения точности результатов и сходимости алгоритма, ни с точки зрения требований к вычислительным ресурсам. С подобными результатами столкнулись и другие исследователи, в частности в [93] рассматривается аналогичный подход, и описывается ряд подобных проблем, но для не-преобразованной модели (2.3)-(2.10).
В ходе экспериментов с различными вариантами структуры алгоритмов оценивания и различными вариантами математической модели было определено, что наиболее целесообразным является путь допустимого упрощения математической модели АД с целью снижения размерности вектора параметров и состояния.
Рассмотрим подробнее уже описанный подход к упрощению математической модели, основанный на примерном равенстве переходных индуктивностей статора и ротора, а также коэффициентов электромагнитной связи. Оценка неминуемо появляющихся при таком упрощении ошибок была проведена на основе вычислительного эксперимента. Моделировался процесс пуска, режим работы со статической нагрузкой, а также работа с резко-переменной нагрузкой.
Расчет потокосцепления ротора производился по зависимости, полученной из (2.12) Ч2 = V . (4.3) а ток ротора - по (2.15). При этом значения переходных индуктивностей и коэффициентов электромагнитной связи уже не соответствуют использованным при моделировании значениям, а соответствуют упрощенной модели. Параметры, использованные при моделировании двигателя AMX90L2Y3, а также параметры упрощенной модели приведены в табл. 4.1. Средние и максимальные погрешности вычисления потокосцепления и тока ротора, нормированные относительно их значений в режиме работы с номинальной нагрузкой, представлены в табл. 4.2.
Аналогичные результаты были получены и при моделировании других двигателей - средняя погрешность не превышает 2%, а максимальная - 5%.
Эти вычислительные эксперименты не только подтверждают допустимость применения упрощенной модели в задаче оценивания параметров и состояния АД, но и подтверждают целесообраз 63 ность ее применения. Хорошо видно, что относительно большие изменения индуктивности цепи намагничивания (порядка десятков процентов) и индуктивностей рассеяния (десятки и даже сотни процентов) могут соответствовать относительно малым (единицы процентов) изменениям переходных индуктивностей и коэффициентов электромагнитной связи, а вслед за ними - малым ошибкам определения потокосцепления и тока ротора - порядка 2-3%.
С другой стороны, справедливо и обратное - тот или иной алгоритм оценивания параметров и состояния АД, имея погрешность оценки потокосцепления и тока ротора порядка единиц процентов, что для данной задачи является очень хорошим результатом, вполне может иметь погрешность оценки индуктивностей рассеяния порядка десятков и даже сотен процентов, а индуктивности цепи намагничивания порядка десятков процентов.
Особое внимание следует обратить на последнюю строку табл. 4.1 - здесь видно, что, несмотря на большую разницу между индуктивностями рассеяния полной и упрощенной модели, их сумма фактически одинакова, что собственно и определяет небольшую разницу в значениях переходных индуктивностей.
Исходя из полученных результатов можно уменьшить размерность вектора состояния и параметров, приняв равными друг другу переходные индуктивности и коэффициенты электромагнитной связи. Далее для их обозначения не будет вводиться дополнительных обозначений, а будет указываться, какая модель используется - упрощенная или полная.
