Содержание к диссертации
Введение
1 Электропривод, как один из основных элементов автоматизации технических средств корабля 10
1.1 Краткая историческая справка появления и развития электропривода и теории электропривода 10
1.2 Электропривод, как система автоматического управления 12
1.3 Сухое трение в задачах автоматического управления 15
1.4 Краткий обзор исследований автоматических систем с сухим трением 24
1.5 Постановка задачи и краткое изложение диссертации 25
2 Математическая модель электропривода с жестко присоединенной инерционной нагрузкой при присутствии сухого трения в нагрузке .29
2.1 Моделирование сухого трения в нагрузке электродвигателя 29
2.2 Математическая модель электропривода 36
2.3 Выводы по главе 2 40
3 Исследование математической модели подвижной части электропривода при присутствии сухого трения в нагрузке 41
3.1 Исследование динамики модели при типовом внешнем воздействии – «скачок» 42
3.2 Исследование динамики модели при типовом внешнем воздействии – «линейно изменяющееся воздействие» 46 3.3 Исследование динамики модели при типовом внешнем воздействии – «периодическое воздействие». Исследование с помощью формулы Коши 49
3.4 Выводы по главе 3 60
4 Исследование математической модели электропривода с жестко присоеди ненной инерционной нагрузкой при присутствии сухого трения в нагрузке 62
4.1 Исследование математической модели приводного электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой 62
4.2 Использование разбиения пространства параметров 83
4.3 Выводы по главе 4 88
5 Практическое применение результатов исследования 90
5.1 Пример расчета типового электропривода 90
5.2 Объяснение причин возникновения фрикционных автоколебаний и самопроизвольных остановок 112
5.3 Экспериментальная установка 113
5.4 Выводы по главе 5 116
Заключение 117
Список использованных источников
- Электропривод, как система автоматического управления
- Математическая модель электропривода
- Использование разбиения пространства параметров
- Объяснение причин возникновения фрикционных автоколебаний и самопроизвольных остановок
Введение к работе
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Современное развитие электротехнических систем, участвующих в комплексной автоматизации морских транспортных средств характеризуется повышенными требованиями к эффективности и безопасности их эксплуатации, надежности и долговечности функционирования.
Нередко в электротехнических системах возникают автоколебательные режимы, приводящие к повышенному износу механизмов, потери устойчивости и авариям различного уровня. Одной из причин возникновения автоколебательных режимов часто является присутствие сухого трения в механических элементах электротехнических систем. Раскрыв механизм влияния сухого трения в элементах систем на их динамическое поведение, можно более обоснованно подойти к разработке и проектированию сложных современных электротехнических комплексов, значительно упростить их настройку и наладку и, как следствие, повысить их эксплуатационную эффективность и надежность, что имеет определенное научное и практическое значение.
Известные исследования, выполненные в этом направлении, не позволяют до конца понять причины возникновения подобных автоколебаний, поскольку были проведены при упрощенных представлениях закона сухого трения. В связи со сказанным, тема работы по исследованию влияния сухого трения на возникновение автоколебательных режимов в электротехнических системах является актуальной.
Цели и задачи работы. Целью данной работы было аналитически строгое исследование влияния сухого трения в электроприводе на его динамическое поведение. Под электроприводом в работе понималась электромеханическая динамическая система, представляющая собой приводной электродвигатель с жестко присоединенной инерционной нагрузкой с учетом в нагрузке сухого и вязкого трения. Цель работы была определена существованием такой научно-технической проблемы как возникновение в электроприводах и их составляющих элементах автоколебательных режимов.
В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи на исследование: первая задача обеспечивала необходимые условия достижения цели и заключалась в создании принципиально новой математической модели, позволяющей эффективно исследовать нелинейные эффекты динамического поведения электропривода, необъяснимых с позиций линейного анализа и упрощенных представлений закона сухого трения; вторая задача обеспечивала необходимые и достаточные условия достижения цели и заключалась в полном аналитически строгом исследовании полученной модели на предмет установления причинно-следственных закономерностей по влиянию параметров сухого трения на динамическое поведение электропривода; третья задача заключалась собственно в достижении
поставленной цели – использовании полученных результатов для практических применений (разработка, проектирование настройка и наладка электроприводов и их составляющих элементов).
Научная новизна. Для решения задачи в первую очередь необхо
дима была соответствующая математическая модель элемента с тре
нием, учитывающая физически существенные особенности закона
сухого трения и правильно отражающая его динамическое поведение
в составе электротехнической системы.
Важнейшим требованием, предъявляемым к математической модели, является ее адекватность изучаемому явлению относительно выбранной системы его свойств. Адекватность при этом следует рассматривать по определенным признакам – свойствам, принятым в исследовании за физически значимые (основные).
Выявление на модели существенных свойств в поведении электротехнических систем помогает правильно ориентироваться в дальнейших более сложных и детальных исследованиях, например, приближенными аналитическими методами, методами вычислительного эксперимента и др. с целью подтверждения предварительных результатов и выдачи окончательных рекомендаций.
В связи со сказанным, научная новизна работы заключается: 1) в обоснованном создании определенной математической модели электропривода, позволяющей эффективно исследовать нелинейные проявления его динамического поведения (необъяснимого с позиций упрощенных моделей и упрощенных представлений закона сухого трения); 2) в результатах исследования полученной модели на предмет установления причинно-следственных закономерностей по влиянию параметров сухого трения на динамическое поведение электропривода.
Теоретическая и практическая значимость работы. Разработанная в работе математическая модель электропривода предоставляет возможность получать новые знания о причинах возникновения в электроприводах фрикционных автоколебаний – однонаправленных относительно быстрых, чередующихся с остановками, перемещениях подвижной части электропривода.
Полученные в работе результаты исследований, представленные в виде диаграмм-разбиений пространства параметров электропривода (с учетом параметров сухого трения) на области качественно различного динамического поведения, позволяют проектировать исполнительные механизмы электроприводов различного назначения с параметрами, исключающими возникновение фрикционных автоколебаний.
Методология и методы исследования. Внимание к расчету и исследованию динамических режимов и их математическому описанию резко усилилось в середине прошлого века. Большой вклад в развитие теории следящих электроприводов и методов расчета их ди-
намических режимов внесли: В.С. Кулебякин, А.Г. Ивахненко, В.И. Полонский, В.В. Тихонов, С.Я. Березин, Б.А. Тетюев, И.Р. Фрейдзон, С.А. Ковчин, Ю.А. Сабинин, Ю.А. Борцов, Б.К. Чемоданов и многие др.
Математическое описание процессов в электроприводе рассматривалось как математическая модель динамической системы, исполненная с определенной (разумной) степенью приближения к реальному объекту исследования. Существующий в настоящее время математический аппарат позволяет создавать математические модели любой сложности с любой, требуемой для практики, степенью приближения к реальному объекту. Затруднения, обычно, возникают с исследованием полученных математических моделей.
Научной и методологической основой исследования математиче
ских моделей является теория автоматического управления
(ТАУ), целенаправленно объединяющая результаты и достижения
других теорий, способствующих созданию и исследованию систем ав
томатического управления (САУ). В ТАУ определены два основных
направления - теория линейных САУ и теория нелинейных САУ.
Теория линейных САУ до сих пор служит основным инструментом при исследовании САУ, допускающих линеаризацию, присущих им не-линейностей. Однако исследование устойчивости при больших возмущениях или для систем с существенными нелинейностями (принципиально не допускающих линеаризацию) линейная теория либо вообще не позволяет обнаружить важные свойства системы, либо приводит к недопустимым погрешностям.
Теория нелинейных САУ значительно обширнее в сравнении с теорией линейных систем и поэтому разработана не столько подробно. В рамках теории нелинейных САУ существуют различные методы исследования, которые условно можно разделить на неаналитические и аналитические. К неаналитическим методам относятся методы вычислительного эксперимента, базирующиеся на численное интегрирование исходных уравнений математической модели. Аналитические методы, в свою очередь, подразделяются на аналитические приближенные и аналитически точные.
Методы вычислительного эксперимента с развитием средств вычислительной техники получили в настоящее время самое широкое распространение. При решении технических задач, связанных с управлением сложных объектов метод вычислительного эксперимента часто оказывается единственно возможным. Основным недостатком данных методов остается невозможность получения результатов исследования в общем виде.
Среди аналитических приближенных методов основными методами являются методы гармонического баланса (гармонической линеаризации). Наибольшее применение метод имеет в интерпретации
Е.П.Попова и Л.С.Гольдфарба. Ограничением данного метода является жесткое требование, предъявляемое к линейной части системы – наличие свойства фильтра низких частот. Получить решение задачи в общем виде с помощью данного метода удается лишь при одиночных, достаточно простых нелинейных зависимостях.
К аналитически точным методам относится Прямой метод Ляпунова и методы теории нелинейных колебаний. Прямой метод Ляпунова, связанный с отысканием функции Ляпунова, пока может быть эффективно использован лишь при относительно простых нелинейных зависимостях.
Созданная школой академика А.А.Андронова теория нелинейных колебаний базируется на качественную теорию дифференциальных уравнений, в рамках которой был создан метод точечных преобразований в пространстве состояний системы. Наличие общего решения, связывающего наиболее важные величины и параметры, всегда желательно при проектировании электропривода, поэтому к его получению необходимо стремиться в первую очередь. Ограничением на успешное применение данного метода является требование невысокого порядка линейной части системы.
В данной работе строгие аналитические выводы использованы на основе качественной теории исследования динамических систем – применения точечного отображения и применения формулы Коши. Полученные результаты сравнивались с результатами, достигнутыми методами вычислительного эксперимента.
Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные положения:
математическая модель подвижной части приводного электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой при учете сухого трения;
результаты исследования математической модели подвижной части приводного электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой при учете сухого трения, представленные в виде диаграмм-«разбиений» пространства параметров электропривода и параметров сухого трения на области качественно различного динамического поведения;
математическая модель приводного электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой при учете сухого трения;
результаты исследования математической модели приводного электродвигателя с жестко присоединенной инерционной нагрузкой при учете сухого трения, представленные в виде диаграмм-«разбиений» пространства параметров электропривода и параметров сухого трения на области качественно различного динамического поведения.
Степень достоверности. Поскольку исследования в работе были проведены на основе точных аналитических методов (полученные результаты которых затем были подтверждены вычислительным экспериментом), то степень достоверности по отношению к представленной в работе математической модели является абсолютной. Степень адекватности математической модели подтверждена качественным натурным экспериментом.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и широко обсуждались на научно-технических конференциях:
1. Всероссийская межотраслевая научно-техническая конференция «Актуальные проблемы морской энергетики», СПб.: СПбГМТУ, февраль 2012 г.
3. 24 Межвузовская научно-техническая конференция «Неделя военной науки». Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ «Военно-морская академия», Петродворец – Санкт-Петербург. 28-29 апреля 2013 г.
-
25 Межвузовская научно-техническая конференция «Неделя военной науки». Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ «Военно-морская академия», Петродворец – Санкт-Петербург. 2-7апреля 2014 г.
-
VI Международная научно-практическая конференция «Современные концепции научных исследований». Москва, 26 – 27 сентября 2014 г.
-
4-ая Всероссийская межотраслевая научно-техническая конференция «Актуальные проблемы морской энергетики», СПб.: СПбГМТУ, 12 – 13 февраля 2015.
-
Вьетнамо-Российская научно-техническая конференция – 2015. Ханой. ГТУ им. Ле Куи Дона, 2 - 3 апреля 2015 г.
-
26 Межвузовская научно-техническая конференция «Неделя военной науки». Военно-морской политехнический институт ВУНЦ ВМФ «Военно-морская академия», Петродворец – Санкт-Петербург. 21-27 апреля 2015 г.
8. VIII Международная конференция «Современные методы при
кладной математики, теории управления и компьютерных технологий»
(21 сентября – 27 сентября 2015 г.), г. Воронеж.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 научных статей: 3 статьи - в изданиях из Перечня, рекомендованного ВАК РФ (из них 2 статьи без соавторства), 10 статей – в других издательствах (из них 7 статей без соавторства). Доля соискателя в опубликованных статьях с соавторами составляет 50%.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав с основными выводами, заключения, списка использованных источников и приложения.
Электропривод, как система автоматического управления
Электрическим приводом (автоматизированным электрическим приводом) называется электромеханическая система, предназначенная для приведения в движение рабочих органов машин, состоящая, в основном, из управляющего, преобразовательного, электродвигательного и передаточного устройств (ГОСТ 16593-79) [1].
Не рассматривая детально все эти технические устройства и их взаимодействие, дадим лишь краткие пояснения. История электропривода начинается с первой половины 19 века открытиями закона механического взаимодействия магнитного поля и проводника с током (Г.Х.Эрстед, 1777 - 1851) и закона электромагнитной индукции (М.Фарадей, 1791 - 1867). В 1834 году Б.С.Якоби (1801 - 1874) и Э.Х.Ленц (1804 1865) сконструировали основанный на этих законах двигатель – электродвигатель, а в 1838 году – электропривод на постоянном токе. Во второй половине 19 века в России электропривод начинает интенсивно применяться на военно-морском флоте. Русские инженеры А.П.Давыдов, К.И.Константинов и В.Ф.Петрушевский разрабатывают и внедряют синхронную электрическую систему для управления артиллерийским огнем. В 1972 году русский ученый В.Н.Чиколаев впервые применяет электрическую машину для автоматического регулирования - проектирует электропривод для вентилятора и лебедки широко применяемый на многих военных и транспортных кораблях. В 1882 году первый рулевой электропривод устанавливается на броненосце Черноморского флота «12 апостолов» [1, 2]. В 1899 – 1905 годах А.В.Шубин создает рулевой электропривод, работающий по системе «генератор-двигатель», который устанавливается на броненосцах «Князь Суворов», «Слава» и др. В 1900 году при строительстве эскадренного броненосца «Князь Потемкин-Таврический» А.Э.Шотт применил электрический привод для башен главного калибра [1, 2].
В развитии электропривода и теории электропривода можно выделить следующие этапы.
1 этап (начало 20 века) - разрабатываются основы расчета и улучшения энергетических показателей электропривода, идет накопление теоретических обоснований будущей науки - теории электропривода [3, 4].
2 этап (первая половина 20 века) – в теорию электропривода внедряются методы теории автоматического регулирования и управления, исследуются вопросы создания рациональных динамических режимов работы электропривода на основе замкнутых систем управления. Широко распространяются труды отечественных ученых, предопределивших дальнейшее развитие теории электропривода [5 - 9].
3 этап (вторая половина 20 века) характеризуется коренным изменением технической базы и структуры электропривода. В состав силовой части электропривода входят разнообразные статические преобразователи, резко повышающие быстродействие электромеханической системы [10 - 13].
Возникает интерес к механическим колебаниям в электроприводе, обусловленными наличием упругих механических связей, зазоров (люфтов) и сухого трения [14, 15].
4 этап (конец 20 века – по настоящее время) выдвинули в теории элек тропривода новые проблемы, которые обусловлены использованием разнообраз ных нетрадиционных электромеханических преобразователей в электроприводе и широким внедрением средств вычислительной техники [16, 17]. Настоящий период также характеризуется разработкой новых методов исследования динамики систем электропривода и новых принципов построения электромеханических систем - мехатронных модулей, обладающих значительно более высокими техническими характеристиками [1, 18, 19].
Электрическим приводом (ЭП) называется электромеханическое устройство, посредством которого приводятся в движение рабочие органы машин. Электрическая часть этого устройства содержит электрический двигатель и систему управления им. Двигатель преобразует подводимый электрический сигнал в угловую скорость вращения (либо в угол поворота) вала. В большинстве случаев в ЭП применяются двигатели постоянного тока независимого возбуждения серий МИ, ДПМ, ДИ и П. Двигатели этих серий имеют закрытое исполнение, кроме того, двигатели серий МИ и ДИ могут выполняться со встроенными тахогенераторами.
При наличии резких и значительных колебаний внешнего возмущающего момента в ЭП используются двигатели постоянного тока смешанного возбуждения, имеющие в несколько раз большую перегрузочную способность, чем двигатели независимого возбуждения, а также двигатели последовательного возбуждения. Следует отметить, что при проектировании ЭСП с применением двигателей последовательного или смешанного возбуждения эти двигатели, как правило, имеют специальные обмотки возбуждения, рассчитываемые применительно к данному режиму работы ЭП.
В маломощных ЭП находят также применение двигатели постоянного тока серии ДПР с возбуждением от постоянных магнитов, и также малоинерционные двигатели постоянного тока серии МИГ.
Математическая модель электропривода
Для моделирования динамики подвижной части механизма средствами вычислительной техники необходимо организовать вычислительный процесс в соответствии с определенным алгоритмом, учитывающим особенности представленной логико-динамической математической модели.
Алгоритм процедуры вычисления ускорения (Q) в модели представлен на рисунке 2.7. Поскольку, согласно принятому закону сухого трения, при прохождении скорости через ноль значение сил сухого трения скачком изменяется на противоположное необходимо фиксировать это обстоятельство. При аналоговом моделировании переменная Q при смене знака обязательно прошла бы через ноль. При аналоговом моделировании переменная Q при смене знака обязательно прошла бы через ноль. При моделировании на ЭЦВМ все переменные изменяются дискретно, поэтому очевидна ситуация «проскакивания» переменной Q значения Q = О. В связи с этим для определения нулевого значения Q применяется процедура с алгоритмом, представленным на рисунке 2.8.
Целиком алгоритм моделирования динамики подвижной части исполнительного механизма на ЭЦВМ представлен на рисунке 2.9. Рисунок 2.8 - Структура алгоритма процедуры вычисления Q = О
Достоверность результатов аналитических исследований, полученных по математической модели, безусловно, определяется тем, насколько близко и точно осуществлено описание физических процессов в реальном исследуемом объекте с помощью математического моделирования. Любое физическое явление неизмеримо богаче его математического отображения, по необходимости всегда являющегося ограниченным.
Однако, неверно считать, что всегда следует стремиться к большей полноте и сложности математического описания исследуемого явления. Для практических целей важно выделить из общей совокупности проявлений только ту часть, которая непосредственно позволит дать ответ на интересующую нас проблему. Рисунок 2.9 – Структура алгоритма моделирования динамики подвижной части исполнительного механизма на ЭЦВМ Как правило, математическая модель, полученная исследуемым физическим явлением с помощью классической математики, затем изучается и решается, по мере возможности, аналитически с привлечением возможностей прикладной математики путем создания вычислительных алгоритмов и программ, реализующихся на ЭВМ.
За основу принципиальной схемы электродвигателя с нагрузкой примем следующую, значительно упрощенную, принципиальную схему (представлено на рисунке 2.10).
Для получения динамической модели электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой добавим к уравнениям (2.1) следующее аналитическое описание (уравнение электрического равновесия): Ь-Ія=-Я-Ія-іp-сe-П + и, (2.2) при этом М = ір-см-Ія. В описании (2.2) обозначено: U - входное напряжение; 1я - ток якоря; L, R - параметры, характеризующие индуктивное и активное сопротивления обмотки ротора соответственно; см, с е - параметры, передаточные коэффициенты электродвигателя по току и по скорости соответственно [64, 65].
Примечание. В действительности, помимо уравнений (2.1) - (2.3) существует еще ряд уравнений, обусловленных реакцией якоря, токами в коммутируемой секции и др. Однако, как показывает практика, они (в соответствии с целью исследования) не оказывают существенного влияния на рассматриваемую динамику электродвигателя.
Отличительной особенностью представленной математической модели электродвигателя с нагрузкой (см.рис.2..8) является учет приведенного к нагрузке сухого трения по «некулоновской» его идеализации. Долгое время практика учета сухого трения в механических элементах управляющих устройств ориентировалась на его простейшую идеализацию – кулоновскую (см.рис.1.2), что не позволяло получить новые знания об изучаемом явлении и выработать обобщающие концепции по влиянию сухого трения на динамику автоматических систем.
В большинстве случаев основой научного познания является математическая модель. Роль математической модели, в значительной степени определяющей исследование ярко отразили А.Н.Тихонов и Д.П.Костамаров (цитируется по источнику [68]): «В прикладных задачах построение математической модели – это один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно подобрать модель – значит решить проблему более чем наполовину.».
В данной главе построены математические модели следящего электропривода и его основных составных элементов. Отличительной особенностью представленных моделей является учет сухого трения в подвижном элементе электропривода по некулоновской идеализации. При некулоновской идеализации в законе сухого трения необходимо учесть большее количество физически значимых особенностей сухого трения, чем это делается при кулоновской идеализации.
Использование разбиения пространства параметров
Для линейно нарастающего внешнего воздействия М(t) = М, М 0 «страгивание» устройства произойдет по достижении М(t) М тр. 0 и дальнейшем движении с нарастающей скоростью, соответствующей (при достаточно малых значениях скорости изменения внешнего воздействия) окрестности характеристики внешнего трения. При последующем линейно уменьшающимся внешнем воздействии М(t) = М, М 0 движение будет происходить с уменьшающейся скоростью в окрестности характеристики внешнего трения вплоть до остановки. Движения как при к к (представлено на рисунках 3.6, 3.7) так и при к к (представлено на рисунках 3.8, 3.9) качественно идентичны.
Графики движения подвижной части при линейном изменении входного воздействия (вначале нарастающим, затем спадающим) при к к Рисунок 3.8 - График движения подвижной части при линейном изменении входного воздействия (вначале нарастающим, затем спадающим) при к к] Рисунок 3.9 - Графики движения подвижной части при линейном изменении входного воздействия (вначале нарастающим, затем спадающим) при к к Примечание. Графики динамических процессов в модели (см.рис.3.6 -рис.3.9) получены с помощью Турбо-Паскаль программы Hlaing_2.pas (представлена в приложении).
С научной точки зрения наиболее интересным является динамическое поведение объекта исследования при внешнем периодическом (гармоническом) воздействии М(t) = Mmax -Sinfco + p). На рисунке 3.10 представлена динамика подвижной части при к к , Мтр 0 Мтр ост Мmin и следующих параметрах внешнего воздействия: Мmax = 5 Н м, со = 3.14 рад / сек. Подвижная часть пе 50 ремещается плавно, без остановок, следуя за внешним воздействием. Однако при уменьшении амплитуды внешнего воздействия (например Мтах = 2.5 Н м) подвижная часть перемещается с остановками (представлено на рисунке 3.11). Такое же поведение будет наблюдаться при Мтах = 5 Н м, но при уменьшении частоты внешнего воздействия (например, со = 0.628 рад/сек), представлено на рисунке 3.12.
Такое динамическое поведение - перемещение с периодическими останов ками при определенных параметрах внешнего воздействия - наблюдается также в остальных частных случаях: к к , Мтр 0 Мтр ост = Мmin, М тр.0=М тр.ост. =М min . Представляет практический интерес определение границ области значений параметров подвижной части устройства (М тр.0, Мтр.ост. , Мmin, J, к, к ) и параметров внешнего воздействия (Мтах, со), для которой перемещение подвижной части будет происходить плавно, без чередующихся остановок. Граничным случаем между примером, представленным на рисунке 3.10 (при М(t) = 5-Sin(3.U t + (p) отсутствуют остановки подвижной части механизма) и примером, представленным на рисунке 3.11 (при М(t) = 2.5 Sin(3. Ы + cp) существуют периодические остановки подвижной части механизма) будет график, представленный на рисунке 3.13 при М(t) = 3.265 Sm(3. U + p). Рисунок 3.10 - Графики, характеризующие динамику подвижной части при М(t) = 5-Sm(3A4 + (p) Рисунок 3.11 - Графики, характеризующие динамику подвижной части при М(t) = 2.5-Sin(3A4 + (p) Рисунок 3.12 - Графики, характеризующие динамику подвижной части при М(t) = 5-Sin(0.62S + p) Рисунок 3.13 - Графики, характеризующие динамику подвижной части при М(t) = 3.265 Sm(3. U + p) Граничным случаем между примером, представленным на рисунке 3.10 (при М(t) = 5-Sin(3.U + p) отсутствуют остановки подвижной части меха низма) и примером, представленным на рисунке 3.12 (при М(t) = 5 Sin(0.628 + p) существуют периодические остановки подвижной ча сти механизма) будет график, представленный на рисунке 3.14 при М(t) = 5-Sin(l.52S + p). Общим для графиков, представленных на рисунках 3.13 и 3.14 будет такое расположение графиков Q(t), Q(t), когда существует: Q(t) = Q(t + п/со) = 0, Cl(t) = (М тр0-М тр.ост.)/J, Cl(t + 7r/co) = -(М тр.0 +М тр.ост.)/J. На фазовой плоскости Q(t) - Q(t) этим двум граничным случаям будет соответствовать фазовая полутраектория, выходящая из точки с координатами Q(t) = 0, Q(t) = (М тр.0 -Мтр ост. )lj и проходящая через точку с координатами Q(t + ;rAy) = 0, U(t + 7r/co) = -(М трX)+М трост.)/J (представлено на рисунках 3.15, 3.16). Примечание. Графики динамических процессов в модели (см.рис.3.11 -рис.3.16) получены с помощью Турбо-Паскаль программы Hlaing_3.pas (представлена в приложении). Рассмотрим частный случай, когда для модели выполняется условие М тр.0 М тр.ост. =Мnin . Для нахождения условий существования такой фазовой полутраектории, определяющими границу между движениями с остановками и движениями без остановок воспользуемся формулой Коши [69].
Объяснение причин возникновения фрикционных автоколебаний и самопроизвольных остановок
Для данной подобласти состояние равновесия «Устойчивый фокус» (см. рис. 4.4-а). При моделировании динамики модели с определенными значениями параметров из данной области наблюдались фрикционные автоколебания - при относительно малых значениях напряжения перемещение нагрузки происходило скачками (с периодическими остановками). Теоретически - это означает существование относительно состояния равновесия «Устойчивый фокус» устойчивого предельного цикла на фазовом портрете модели.
Согласно теории бифуркации на плоскости [70 - 72] появление устойчивого предельного цикла (представлено на рисунке 4.11) связано с раздвоением (бифуркацией) полуустойчивого цикла (представлено на рисунке 4.12) на два цикла.
Полуустойчивый предельный цикл на фазовом портрете модели при состоянии равновесия «Устойчивый фокус» Рисунок 4.12 - Раздвоение (бифуркация) полустойчивого предельного цикла на фазовом портрете модели при состоянии равновесия «Устойчивый фокус»
Поскольку состояния равновесия устойчиво, то согласно правилу чередования внутренний предельный цикл будет неустойчивым, а наружный - устойчивым. Область притяжения состояния равновесия «Устойчивый фокус» ограничена неустойчивым предельным циклом, областью притяжения устойчивого предельного цикла является вся остальная фазовая плоскость (см.рис. 4.11).
Таким образом, возникновению фрикционных автоколебаний соответствует появление на фазовой плоскости полуустойчивого предельного цикла (4.11). Полуустойчивый предельный цикл существует, если существует фазовая траектория, выходящая из точки 1 с координатами М(t1) = Мтр 0, Q(t1) = 0 и входящая в точку 2 с координатами М(t2) = Мост, Q(t2) = 0 (представлено на рисунке 4.13). Необходимо найти условия существования такой фазовой траектории.
Обратимся к уравнению (4.4). Для сокращения числа параметров введем два обобщенных параметра: В = J-R/L (Н м- с/рад) и С = р-Cе-Cм/R (Н - м-с/рад). Умножим выражение (4.4) на параметр J и произведем «масштабирование» времени z = t/ J (где т - «новое» время), в результате получим уравнение движения (4.4) в следующем виде АМ + (кт+В)-АМ + В-(кт + С)-АМ = 0, (4.6) где - djdx - изображение производной по масштабированному времени. Условия (4.5) примут следующий вид (кт-В)2 4-В-С. (4.7) Уравнением фазовой траектории для уравнения (4.6) при выполнении условия (4.7) будет [AM(t2)-g.AM(t2f +р2 \AM(t2)]2 [AM(h)-a-AM{tl)Y + р2 [AM(h)f (4.8) exp exp 2-а $-AM(t2) arctg V/ , ч P AM(t2)-a-AM(t2)\ 2-а V-AMitA arctg V1/ , ч где (X = —0.5 (kт + В), P = (представлено на рисунке 4.13). Для осуществления точечного отображения точки в 1 в точку 2 (см.рис.4.13) согласно уравнению фазовой траектории (4.8) необходимо подставить в (4.8) координаты этих точек (см.рис.4.13).
В результате получаем уравнение граничной поверхности, отделяющей в пространстве параметров электродвигателя с жестко присоединенной нагрузкой область, где подобные фрикционные автоколебания существуют при выполнении условия (4.7) (состояние равновесия типа «Устойчивый фокус») от области, где подобные автоколебания существовать не могут.
Примечание. Разбиение пространства параметров электропривода получено по уравнению (4.9) с помощью Турбо-Паскаль программы Hlaing_7.pas (представлена в приложении) J = 0.04 Н-м-с2 /рад, к = кт = 6 Н м-с/рад, се =0.04 В-с/рад, см=0.04\Н-м/А. Обобщенные параметры в (4.9) при этом принимают следующие значения В = 4 Н- м-с/рад, С = 80 Н- м-с/рад. При полученных значениях обобщенных параметров (см. рис. 4.14) в электроприводе должны существовать фрикционные автоколебания (представлено на рисунке 4.15). Рисунок 4.14 - Структура разбиения пространства параметров к = кт-к , В = J- R/L, С = L се см R модели электропривода с жестко присоединенной нагрузкой
Для устранения автоколебаний можно изменить параметр кт до значений кт 7.5 Н-м-с/рад, например, кт = 9.5 Н-м-с/рад (см.рис.4.14). Автоколебания исчезают (представлено на рисунке 5.16-а).
Также для устранения автоколебаний можно вместо параметра кт изменить обобщенный параметр В до значений В 4.5 Н-м-с/рад (см.рис.4.14). Этого можно добиться, например, увеличив параметр J до значения J = 0.1 Н м с2 / рад, при этом параметр примет значение В = 10 Н м с/рад. Автоколебания исчезают (представлено на рисунке 5.16-б).
Наличие сухого трения в жестко присоединенной инерционной нагрузке приводного электродвигателя электропривода может вызвать автоколебательный режим. Автоколебательные режимы для электроприводов, представляющих собой разомкнутую автоматическую систему нблюдаются при изменяющемся внешнем управляющем воздействии.
Приведенная математическая модель и ее исследование получено и проведено на примере электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Однако сама методика построения модели и методы ее исследования вполне подходят и для других типов приводных электродвигателей электроприводов различного назначения.
Представленные результаты исследования в виде разбиения пространства параметров электродвигателя и его нагрузки наглядно демонстрирует причины возникновения фрикционных автоколебаний в электродвигателе с жестко закрепленной инерционной нагрузкой: 1) наличие отрицательного участка в характеристике приведенного к валу нагрузки внешнего трения отрицательного участка - Мт[п Мтр ост. ; 2) наличие в характеристике приведенного к валу нагрузки внешнего трения превышения сил трения покоя над силами трения движения М тр.0 М тр.ост. Разбиение показывает, какие необходимо иметь параметры электродвигателя и его нагрузки, чтобы при имеющемся сухом трении в нагрузке фрикционные автоколебания были невозможны.