Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи исследования 10
1.1. Описание нелинейного динамического объекта и выбранных задач, методов и алгоритмов управления 10
1.2. Применение приближенных алгоритмов определения и формирования управляющих воздействий в обратных задачах динамики 14
1.3. Обоснование и выбор методики анализа замкнутых систем с приближенными алгоритмами управления 18
1.4. Выводы и результаты 22
2. Исследование численных методов формирования алгоритмовуправления 23
2.1. Методы первого порядка. Метод Ньютона - Рафсона 23
2.2. Численные методы второго порядка 25
2.3. Экспериментальное исследование численных методов формирования алгоритмов управления 34
2.3.1. Исследование скорости сходимости 34
2.3.2. Исследование областей сходимости 38
2.4. Выводы и результаты 43
3. Анализ свойств процедур вычисления управляющих воздействий в замкнутых системах 44
3.1. Определение условий устойчивости автономных систем методом Ляпунова 44
3.2. Экспериментальное исследование устойчивости предлагаемых алгоритмов управления 52
3.2.1. Описание локальной системы управления дисководом 52
3.2.2. Алгоритм управления при аналитическом решении обратной
задачи динамики 55
3.2.3. Применение и анализ приближенных алгоритмов управления нелинейным объектом 61
3.2.4. Исследование устойчивости замкнутых систем с приближенными алгоритмами управления 74
3.3. Аналитическое и экспериментальное исследование точности вынужденных режимов 83
3.4. Выводы и результаты 91
4. Приближенные алгоритмы управления вынужденными колебаниями электромеханических систем 92
4.1. Описание вибродиагностического комплекса, его математической модели и применяемых алгоритмов управления 92
4.2. Формирование приближенных алгоритмов управления колебаниями виброисточника 101
4.3. Экспериментальное исследование устойчивости систем с приближенными алгоритмами управления 103
4.4. Исследование точности приближенных алгоритмов управления вынужденных колебаний объекта 110
4.5. Аппаратные и программные средства комплекса «Прогноз-1М» и их применение для построения систем управления вибростендом 115
4.6. Выводы и результаты 122
Заключение 123
Библиографический список 125
Приложение 1. Акт внедрения 135
- Описание нелинейного динамического объекта и выбранных задач, методов и алгоритмов управления
- Методы первого порядка. Метод Ньютона - Рафсона
- Определение условий устойчивости автономных систем методом Ляпунова
- Описание вибродиагностического комплекса, его математической модели и применяемых алгоритмов управления
Введение к работе
Управление нелинейными объектами является одной из самых сложных и пока окончательно не решенных задач современной теории и практики автоматического управления и чаще всего предлагаемые методы ее решения бывают приближенными или численными. Одним из таких подходов является оптимальное управление [2, 70, 72, 80, 88, 96, 106, 115, 117], в котором используется или конечная аппроксимация или линеаризация [34, 86, 108, 112].
В современных электротехнических комплексах в качестве регуляторов широко применяются микропроцессорные устройства, позволяющие создавать новые, эффективные в вычислительном отношении, универсальные и достаточно простые цифровые алгоритмы формирования управляющих воздействий, поэтому для описания непрерывных объектов и систем необходимо использовать дискретные модели. В этом виде моделей наиболее перспективными являются алгоритмы траєкторного управления [54, 78], реализующие абсолютную управляемость, когда переходные процессы в системе заканчиваются за конечное время и имеют апериодический характер. Они применяются, если необходимо выбрать такие управления, при которых состояние объекта или его выход изменялись бы в соответствии с требуемой траекторией. Именно к этому классу принадлежат электромеханические системы стабилизации, обеспечивающие поддержание выходного сигнала на заданном уровне, а желаемое движение постоянно, и программного управления, если требуемое изменение состояния -детерминированная или заданная функция времени [32, 39, 73, 103, 118].
Дополнительные условия, накладываемые на устойчивость и качество процессов в замкнутых системах, относят траекторное управление к обратным задачам динамики, которые наиболее полно рассматривались Петровым Б.Н. и Крутько П.Д. [64, 66, 85]. Аналитическое решение такой задачи получено рядом авторов и известно только для линейных и аффинных объектов [54, 62, 78], например, в классе непрерывных моделей следует выделить работы Фомина В.Н., Фрадкова А.Л., Якубовича В.А., Мирошника И.В., Вострикова А.С., дискретные системы и регуляторы исследовались Калманом Р.Е., Джури Е.И., Цыпки-ным ЯЗ., Изерманом Р., а также Волгиным Л.Н. и именно им введено понятие абсолютной управляемости. В общем случае решение в явном виде существует у нелинейных зависимостей, обладающих свойством диффеоморфизма.
Одним из таких подходов можно выделить метод, разработанный Руба-ном А. И. [93, 94] для дискретных нелинейных объектов. Применяется аппроксимация модели линейным отрезком ряда Тейлора и рекуррентный алгоритм управления аналогичен итерационной процедуре типа Ньютона-Рафсона, область и скорость сходимости которой ограничены. С целью улучшения свойств алгоритмов траєкторного управления предлагается методика, когда обратная задача динамики заменяется определением корня нелинейного уравнения, т.к. в этом случае, появляется возможность использовать и другие численные методы, например полиномиальную аппроксимацию, учитывающую и высшие производные [57, 58]. Поэтому актуальной является задача исследования поведения приближенных алгоритмов как итерационных вычислительных процедур, так и в виде процессов или законов формирования управляющих воздействий в регуляторах замкнутых систем.
Цель диссертационной работы заключается в повышении эффективности работы электромеханических систем при использовании в дискретных регуляторах приближенных, основанных на численных методах, алгоритмов формирования управляющих воздействий нелинейными объектами.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
получить доказательство сходимости двухступенчатых итерационных алгоритмов полиномиальной аппроксимации и определить выражения для оценок скорости сходимости численных методов второго порядка;
определить условия сходимости методов полиномиальной аппроксимации и ее частных случаев - алгоритмов Хэлли и Чебышева для непрерывных функций общего вида;
получить формулы, позволяющие оценивать точность систем при формировании управляющих воздействий приближенными алгоритмами;
определить на основании метода Ляпунова достаточные условия устой-чивости систем с объектами, имеющими устойчивую линейную часть и нели-нейный элемент с нечетно-симметричной характеристикой;
получить формулы для приближенных алгоритмов управления колебаниями вибродиагностического стенда;
разработать предложения по синтезу системы автоматического управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного стенда на базе существующих аппарат-
ных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз-1М» и устройства формирования эталонных сигналов.
Теоретические исследования рекуррентных процедур, учитывающих первую и вторую производные нелинейных функций общего вида, проводились на основе методик прикладной математики. При анализе устойчивости замкнутых систем с приближенными алгоритмами управления динамическим объектом, состоящим из нелинейного элемента с нечетно-симметричной характеристикой и инерционной линейной части, использовался прямой (второй) метод Ляпунова. Получение аналитических выражений оценок для ошибок в системах и исследование точности процессов управления проводилось на основе аппарата классической теории автоматического управления. Экспериментальная проверка работоспособности, устойчивости и эффективности алгоритмов первого и второго порядков осуществлялась современными средствами автоматизации математических вычислений.
Новые научные результаты диссертации заключаются в получении:
методики решения обратной задачи динамики в классе дискретных систем с помощью итерационных процедур нахождения корня нелинейного уравнения, не требующей определения обратных нелинейных функций;
теоретических зависимостей для условий сходимости и точности методов полиномиальной аппроксимации;
выражений для анализа устойчивости и исследования точности замкнутых систем, при формировании в регуляторах управляющих воздействий приближенными алгоритмами первого и второго порядков;
приближенных алгоритмов управления пневматической подвеской вибродиагностического стенда.
Достоверность научных положений и выводов диссертации подтверждена проверкой результатов теоретических исследований с результатами экспериментального моделирования. Расхождение расчетных и экспериментальных данных не превышает 3%.
Практическая ценность работы заключается в следующем: 1. Получены аналитические выражения для оценки областей устойчивости замкнутых систем автоматического управления позволяющее более эффективно применять в дискретных регуляторах рекуррентные алгоритмы полиномиальной аппроксимации.
Результаты работы можно использовать при синтезе алгоритмов функционирования управляющих устройств нелинейными объектами, особенно в системах программного управления. Предлагаемые алгоритмы могут применятся не только к одномерным, но и к более широкому классу полностью наблюдаемых инерционных объектов. При построении рекуррентных процедур управления рекомендуется использовать и другие итерационные методы прикладной математики.
Результаты работы использованы в научно-исследовательском институте технологии, контроля и диагностики железнодорожного транспорта (НИ-ИТКД) и подтверждены соответствующим актом. Разработаны алгоритмы цифрового нелинейного управления вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного диагностического стенда, за счет изменения жесткости пневмоподвески, предложена структурная схема системы управления вибростендом на базе существующих аппаратных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз-1М» и устройств формирования эталонных сигналов.
Диссертационная работа проводилась при выполнении госбюджетной НИР «Разработка и исследование алгоритмов и методов анализа и автоматизированного проектирования интегрированных компьютерных систем управления и обработки информации» (№ ГР 0120.0.0602862), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения.
Личный вклад автора заключается в получении аналитических выражений для определения условий, областей сходимости и точности численных методов полиномиальной аппроксимации, определении условия устойчивости автономных систем методом Ляпунова, получении выражения для оценки точности работы системы при реализации в регуляторе алгоритмов первого и второго порядков; разработке структурной схемы системы автоматического управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного диагностического стенда на базе существующих аппаратных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз-1М» и устройств формирования эталонных сигналов.
Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на XIII международной молодежной научной конференции «Ту-полевские чтения» (Казань, 2005), XI , XII и XIII международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиотехника, электрони-
8 ка и энергетика» (Москва, 2005, 2006, 2007), XI, XII и XIII международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2005, 2006, 2007), VI международной научно-технической конференции «Молодые ученые - транспорту» (Екатеринбург, 2005), межвузовской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (Омск, 2005, 2007), IV международной научной конференции «Trans-Mech-Art-Chem» (Москва, 2006), всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития Транссибирской магистрали в XXI веке» (Чита, 2006), всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2006), VI международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления. Опыт инновационного развития» (Томск, 2007), VIII международной научно-практической конференции «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» (Новочеркасск, 2007), международной конференции «Информационные и телекоммуникационные системы и технологии» (Санкт-Петербург, 2007).
По теме диссертации опубликовано 25 научных работ: одна статья в издании по списку ВАК; восемь статей в сборниках научных трудов; 16 работ опубликованы в материалах международных, всероссийских и межвузовской конференций.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 119 наименований и приложения. Общий объем (с приложением) составляет 135 страниц печатного текста и содержит 70 рисунков и 23 таблицы.
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи работы, указаны научная новизна и практическая ценность результатов исследования, представлена структура диссертации.
В первой главе рассмотрена задача обратной динамики траєкторного управления дискретным динамическим объектом, определены существующие подходы к решению таких задач. Предложен подход, не требующий определения обратных функций, когда обратная задача динамики для дискретных систем заменяется определением корня нелинейного уравнения. Рекомендовано использовать численные методы, основанные на схемах линеаризации первого и второго порядков. Обоснован выбор методов дальнейшего анализа системы, использующих алгоритмы формирования управляющих воздействий.
Во второй главе проведен анализ итерационных процедур как методов решения нелинейных уравнений. Получены оценки точности алгоритмов полиномиальной аппроксимации, определены условия их сходимости и выражения для нахождения границ областей сходимости. Проведено имитационное моделирование с целью определения достоверности полученных результатов.
В третьей главе определены на основании метода Ляпунова условия устойчивости исследуемых систем при реализации в регуляторе алгоритмов первого и второго порядков. Получены выражения для оценки точности работы системы с приближенными алгоритмами. Проведен сравнительный анализ устойчивости и точности систем, использующих методы первого и второго порядка. Выполнено имитационное моделирование с целью определения достоверности полученных результатов.
В четвертой главе рассмотрен вибродиагностический стенд с пневматической подвеской, позволяющей за счет изменения ее жесткости получать максимально возможные амплитуды механических колебаний подвижной части стенда; сформулирован ряд теоретических предпосылок, необходимых для применения предлагаемых приближенных методов управления. Получены аналитические выражения для алгоритмов управления колебаниями вибростенда, использующих приближенные алгоритмы решения обратной задачи динамики и, на основе имитационного моделирования результаты, подтверждающие предпосылки. Определены аналитические выражения для оценки точности вынужденных режимов в дискретных системах, выявлено преимущество одного из предложенных методов. Разработана структурная схема системы управления жесткостью пневмоподвески и вынужденными механическими колебаниями подвижной части вибрационного диагностического стенда на базе существующих аппаратных и программных средств оперативного диагностического комплекса «Прогноз-1М» и устройств формирования эталонных сигналов.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.
В приложении приведен акт о внедрении результатов диссертации.
Описание нелинейного динамического объекта и выбранных задач, методов и алгоритмов управления
В современных цифровых системах локальной автоматики, использующих микропроцессорные устройства в качестве регуляторов, достаточно широко применяются для описания непрерывных объектов и систем дискретные модели, поэтому выражение (1.1) представим в виде разностного уравнения: хм=ахк+ Р(щ), (1.5) где к - дискретные моменты времени. Основным способом формирования воздействия u{t) выберем траектор ное управление [54, 75, 78]. Именно к этому классу задач сводятся системы стабилизации и программного управления, когда закон изменения выходной величины или переменных состояния известен или заранее определен. Примерами являются автоматизированные комплексы диагностических исследований электропривода, вибрационных испытаний радиоэлектронной аппаратуры, станки с числовым программным управлением, робототехнические и меха-тронные системы При траекторном управлении объектом (1.5) целью является изменение состояния хк+1 по заданной дискретной функции или траектории движения gk+l, поэтому должно выполняться очевидное равенство: +i=gt+,- (1-6) Для непрерывных процессов определение алгоритма управления u(t), обеспечивающего получение заданного выходного сигнала x(t) при известной модели объекта (1.1) в теории дифференциальных уравнений известно как обратная задача Е.Н. Еругина [64, 65, 78]. В управляемых системах, как линейных, так и нелинейных под влиянием работ П.Д. Крутько [64, 65] в настоящее время обратной задачей динамики называется нахождение такого управляющего воздействия u(t), чтобы, во-первых, выходной сигнал объекта x(t) совпадал или был достаточно близок к некоторой эталонной функции g(t) и, во-вторых, полученная замкнутая система обладала желаемым качеством процессов управления [54, 75]. В случае дискретных систем к обратной, задаче динамики сводится предложенный А.И. Рубаном [93, 94] метод прямого оптимального управления, обеспечивающий на каждом шаге минимизацию динамической ошибки ек+1, как разности между требуемым значением gk+] и наблюдаемым изменением переменных состояния хк+}, который и приводит к выполнению условия (1.6). Решение обратной задачи динамики находится путем подстановки равенства (1.6) в уравнение (1.5) объекта gM=axk+(p{uk), (1.7) откуда и следует основной алгоритм формирования или определения управляющего воздействия " = Pu-\gM -axJ. (1.8) Непосредственное применение формулы (1.8) при синтезе прямого оптимального управления возможно только в тех случаях, когда существует аналитическое выражение для обратной функции, и нелинейная характеристика обладает следующими свойствами диффеоморфизма [52, 83]: - функция # () гладкая, то есть () є С; - отображение взаимно однозначно и р д х - 1П; - обратная функция цґ существует и также гладкая, то есть р 1 є С. Аналитическое решение обратной задачи динамики известно только для некоторых классов объектов, например, линейных стационарных вида [94] хк+1=Л-хк+В ик, (1.9) где ик eRm - вектор управления; В - матрица размером пхт. Управляющее воздействие определяется из выражения uk=B+-[gk+1-A-xk], (1.10) где В+ - псевдообратная матрица [61, 94]. Существует аналитическое решение для аффинных объектов xM=Fx{xt) + B-uk, (1.11) в виде ut=B -\gM-Fx{xky\. (1.12) Можно получить соответствующие формулы и в более общем случае, когда +i =-F СО + 2 ( )" (1-13) то управление [114, 119] Здесь под [ ]+ понимается операция псевдообращения матрицы. Для псевдообратной матрицы справедливо одно из условий В-В+=1 или В+-В = 1. (1.15) В общем случае, если ик eRm, то при т-п псевдообращение является обычной операцией обращения и В+ = В х; а при т Ф п используется выражение В+=(ВТВУВТ. (1.16) \Т I I 0 ... Ь\ и В+ = 0 ... \1Ь\. Алгоритм вида (1.14) получен при замене переменных состояния и нелинейного уравнения (1.13) линейной моделью. У разных авторов этот подход называется «точной линеаризацией» [78], «линеаризацией обратной связью» [54], «линейные эквиваленты нелинейных систем» [76]. В соответствии с работой [76], задача ставится и решается следующим образом. Требуется найти такие преобразования для гладкой замены координат У = Пх), (1.17) и управления V = V( ,M), (1.18) чтобы модель объекта (1.13) приводилась к некоторой линейной вида Л+. = АЛ + v4, (1.19) где Аь, Вь - матрицы канонической формы Бруновского [54, 76]. В работе [54] преобразование (1.17) называется диффеоморфизмом, а выражение (1.18) записывается в форме u = u(x,v) (1.20) и называется линеаризацией обратной связью, а в работе [76] - это алгоритм точной линеаризации. Зависимость (1.20) в работах [54, 76] предлагается искать в форме uk=a{xk) + P{xk)-vk, (1.21) в которой нелинейные компоненты а(х) и J3{x) подлежат определению. Выражение для вектора ик зададим следующим образом: и =[ &)]+[- !( ) +v4], (1.22) что и позволит привести уравнение (1.13) к линейному виду xM=vk. (1.23) Поскольку целью поставленной задачи является выполнение равенства (1.6), то управление для эквивалентной системы будет записано как v4=g4+1, (1.24) и подстановка его в формулу (1.22) приводит к алгоритму вида (1.14) для формирования управления ик исходным нелинейным объектом. В случае аналитического решения обратной задачи динамики, полученная в результате синтеза замкнутая система управления имеет единичную передаточную функцию, то есть Ф0) = /„, (1.25) что является естественным для дискретных систем при выполнении условия (1.6), и нулевую передаточную функцию по ошибке Ф,(г) = 0-/я. (1.26) В работе Л.Н. Волгина [36] такая система называется абсолютно управляемой. Отметим следующие основные свойства полученной системы. Амплитудная частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (1.25), имеет вид Щ(о)=Ф(е ) (1.27) С точки зрения методов Нх -оптимизации [75], в которых решается задача минимизации верхней границы амплитудной частотной характеристики, постоянное, в соответствии с равенством (1.27), значение Н(а ) является идеальным [87], и следовательно в системе всегда обеспечивается апериодический характер переходных процессов [32]. Характеристическое уравнение замкнутой системы D(z) = zn=0 (1.28) имеет п равных нулю корней. Это означает, что система обладает бесконечной степенью устойчивости [32, 111] и апериодические переходные процессы заканчиваются за п шагов [52].
Методы первого порядка. Метод Ньютона - Рафсона
Рассмотрим задачу определения в допустимой области и є U единственного корня нелинейного уравнения /(и) = 0. (2.1) Будем использовать выражение для итерационных процедур относительно {к +1) -го приближения в виде: им=ик+Аиы. (2.2) При учете только линейных членов относительно разности Awi+1 функцию f(uk+l) можно записать в форме ряда Тейлора [61]: Ж+1) = Ж ) + f (Mk) Аик+} + Я, (Ди4+1), (2.3) где И (Аик+1) - остаточный член ряда, содержащий все высшие производные. Допустим, что выполняется условие близости иы к действительному значению корня и eU и f(uk+l) = Q. С учетом того, что Я{(Аик+1) — 0, из выражения (2.3) получим: 4+1=-/W// W, (2.4) и, подставив полученное выражение (2.4) в алгоритм (2.2), получим известный классический метод Ньютона - Рафсона [40, 48, 71, 82, 105] в форме Wz+I -иь- . (7 5) Он является простейшим и одним из самых популярных итерационных методов решения уравнения (2.1). Правило построения итерационной последовательности {ик) здесь получают или из геометрических соображений, откуда известно и другое название - метод касательных, или из аналитических, путем подмены данной нелинейной функции ее линейной моделью на основе формулы конечных приращений Лагранжа или формулы Тейлора. В связи с чем, метод Ньютона - Рафсона также называют методом линеаризации. В работе [68], основываясь на рассмотрении поведения погрешностей приближения єк=щ-и и єк+х=ик+1-и получено выражение для определения зависимости єк+і от єк в виде 1 /"(" ) 2 єк+г V ,.,, .Л -ек (2.6) 2 /(и ) или єк+} а(и)-є2к, (2.7) где величину а(и гтК (2-8) 2 / (и ) по аналогии с работой [105], будем называть константой асимптотики погрешности. В соответствии с формулой (2.6), можно считать алгоритм (2.5) методом второго порядка [68]. Отметим, что данный подход определения скорости сходимости, основывается на рассмотрении значений функции, а так же ее производных в точке и = и , где и - корень уравнения (2.1). Существует и другой способ определения скорости сходимости, который рассматривает поведение функции и ее производных не в одной точке, а в области значений ue.U. Подробно такой подход рассмотрен в [35], где на основе формы Лагранжа ряда Тейлора получено следующее выражение для ошибок, по которому определяется скорость сходимости: и -ик+] М, 2-т, и —ик (2.9) где тх = тіп/ (и); М2 = max/"(i/); ueU - область, содержащая и0 и и . Таким образом, выражения (2.7) и (2.9) определяют один и тот же порядок сходимости метода Ньютона - Рафсона, а именно, второй. В работах [31, 35, 37, 46] доказано, что, если в области иєі/, содержащей единственный корень уравнения (2.1) функция f(u) имеет непрерывные первую и вторую производные, не обращающиеся в ноль на этом отрезке, то начальное приближение u0eU целесообразно выбирать так, что бы /Ю-/"К) 0. (2.10) В этом случае, последовательность (uk), определяемая методом Ньютона - Рафсона, начатая с точки и0 eU монотонно сходится к корню и . В случае если функция f(ii) нечетно-симметричная, то ее производные будут менять знак в области и EU , поэтому условие (2.10) не может быть использовано для нахождения области сходимости.
При положительных и0 є U для нахождения корня необходимо, чтобы значения последовательности (ик) уменьшались, а для этого, требуется положительность вычитаемого в итерационной формуле Ньютона - Рафсона (2.5). Так как при и 0, значение функции f(u) также положительно, что следует из определения нечетно-симметричной функции, то остается требовать чтобы и первая производная / («о) 0. (2.11) Аналогичным образом можно доказать, что выполнение такого же условия необходимо для нахождения корня нечетно-симметричной функции и при отрицательных начальных условиях и0 eU. Неравенство (2.11) может быть использовано для определения областей сходимости. Для этого, записывается, основываясь на условиях сходимости, равенство вида / К) = 0, (2.12) решение которого - и0 eU и определяет граничное значение области сходимости U0=u0 -и , являющейся подобластью U, то есть С/0 єU . Также к методам первого порядка относятся некоторые модификации метода Ньютона, такие как метод Ньютона с параметром или метод Ньютона -Шредера [46, 82, 95]; модифицированный или упрощенный метод Ньютона с использованием постоянного значения производной [35]; разностный или дискретный метод Ньютона [82]; метод Стеффенсена; метод секущих; метод половинного деления и другие [46, 95]. 2.2. Численные методы второго порядка Перейдем к рассмотрению итерационных методов, основанных на использовании второй производной. В этом случае по аналогии с (2.3) можно записать: f(ukJ = f(uk) + f (uk)-Auk+l +0.5/"(ик).(Аик+]У + R2(AuM), (2.13) где R2(Auk+l)- остаточный член, учитывающий все высшие производные, начиная с третьей. Если выполняется условие близости ыш к действительному значению корня и є U и R2(Аиш) -» 0, можно, в принципе, записать выражение для Auk+l, содержащее нелинейную операцию вычисления квадратного корня, пример таких алгоритмов приводиться в работе [105], где также отмечается, что с кубической скоростью методы работают только при равномерной сходимости. Возможна и численная неустойчивость итерационных процедур при неудачном выборе знака квадратного корня.
Определение условий устойчивости автономных систем методом Ляпунова
Выполнение неравенства (3.31) полностью совпадает с условием (2.53) сходимости итерационного метода Хэлли [15, 17]. Таким образом, для устойчивости автономной замкнутой системы, в регуляторе которой алгоритм формирования управляющего воздействия использует метод второго порядка Хэлли, необходимо выполнение неравенства (3.31). Если для систем с регулятором первого порядка условие устойчивости (3.20) накладывало ограничение только на вид характеристики нелинейного элемента, то в регуляторе второго порядка оно зависит и от поведения f(u(t)). С учетом формул (3.14) и (3.22) неравенство (3.31) можно переписать в виде - р"(и)-Аи)-2[(р (и)]2 0. (3.32) При исследовании устойчивости систем с объектом, имеющим устойчивую линейную часть и нелинейный элемент с характеристикой (р{ц) и при реализации в регуляторе алгоритма второго порядка Хэлли в неравенстве (3.32) для f(u) можно использовать формулу (3.13) или подстановку (3.15). По аналогии с областями сходимости итерационной процедуры Хэлли определяемой уравнением (2.58) можно использовать условие (3.31) для оценки граничного значения области U устойчивости замкнутых систем. Перейдем к рассмотрению устойчивости замкнутых систем, в регуляторе которых управляющее воздействие формируется также с помощью метода второго порядка - итерационной процедуры Чебышева. При переходе к непрерывным системам в рекуррентной процедуре (2.17) заменим, как и в предыдущем случае, дискретные разности Аик+] и Sk+] на соответствующие производные Как и в методе Хэлли допустим, что величина S(t) определяется выражением (3.23), т.е. с помощью регулятора, в котором реализован метод первого порядка Ньютона-Рафсона. Подставляя вместо 5{t) формулу (3.23), после несложных преобразований получим () [/ («)] () Используем в числителе вместо x(f) в соответствии с формулой (3.15) подстановку f(u) и запишем, что м .- (If (и)]2 + 0.5 f "(и) /(и)) ,, Таким образом, и при использовании метода второго порядка Чебышева получаем линейный алгоритм формирования управляющего воздействия (3.36) с коэффициентом передачи к22, определяемым выражением (3.35).
При определении в соответствии с неравенством (3.9) условия положительности коэффициента к22, будем также, как и в методе Хэлли, полагать, что сигнал S(t) формируется на основе управления на выходе регулятора первого порядка и выполняется неравенство (3.29) отрицательности f {u). Поэтому, что бы Аг22 0 необходимо выполнение положительности числителя в формуле (3.35), а именно [f (u)]2+0.5f"(u)-f(u) 0, (3.37) которое также можно переписать в форме f"(u)-f(u) + 2[f (u)]2 0. (3.38) Неравенство (3.38) полностью совпадает с условием (2.55) сходимости итерационной процедуры Чебышева, полученным во второй главе работы. Таким образом, если в регуляторе автономной системы реализуется алгоритм (3.36), то для устойчивости необходимо выполнение неравенства (3.37) или (3.38). В условие устойчивости также как и в алгоритме Хэлли входят не только производные от характеристики нелинейного элемента (р(и), но и функция f(u), так как формулу (3.38) можно переписать в виде - р\и) f(n) + 2У(и)]2 0. (3.39) По аналогии с итерационным алгоритмом Чебышева можно записать уравнение вида (2.59) для определения областей устойчивости U замкнутой системы с регулятором (3.36). Следовательно, если для управления инерционным объектом с устойчивой линейной частью и нелинейным элементом с характеристикой р(и) используется регулятор первого порядка с алгоритмом (3.18), то условие устойчивости (3.20), т.е. (р{и) 0 зависит только от вида статической функции (р(и) и области устойчивости могут быть определены предварительно перед выбором типа регулятора. При выборе в качестве устройства управления регулятора второго порядка, построенного на основе инерционных процедур Хэлли (3.27) или Чебышева (3.36), необходимо исследовать устойчивость замкнутой системы в динамическом режиме, когда и =u(t) и х = x(t) и оценить выполнение соответствующих неравенств (3.32) и (3.39). . Экспериментальное исследование устойчивости предлагаемых алгоритмов управления . Описание локальной системы управления дисководом В качестве примера рассмотрим систему управления позиционированием считывающей головки дисковода. В работе [47] приведена модель объекта, в которой пренебрегается индуктивностью обмотки двигателя, в виде передаточной функции
Описание вибродиагностического комплекса, его математической модели и применяемых алгоритмов управления
Вибрационный контроль [4, 56, 79] является одним из основных видов испытаний, поскольку в условиях воздействия вибрационных нагрузок причиной отказа являются различные дефекты, прежде всего в механических узлах. Разработка конструкций объекта на этапе проектирования, имеющих высокую вибропрочность и виброустойчивость, во многом определяются качеством проведения вибрационных испытаний. Виброустойчивость - это свойство объекта выполнять заданные функции во включенном состоянии в условиях воздействия вибраций, а вибропрочность - способность объекта противостоять разрушающему воздействию вибрации в нерабочем состоянии и нормально работать после снятия вибрационных нагрузок [33, 43]. В этой связи испытания на вибропрочность и виброустойчивость часто являются определяющими.
Вибродиагностические стенды предназначены для проведения проверки изделий на ударную вибропрочность, на воздействие однокомпонентной гармонической, широкополосной случайной и других видов вибраций, и могут эксплуатироваться в лабораторных и производственных условиях в различных отраслях промышленности.
В работе предлагается применение пневматической подвески для обеспечения требуемой формы колебаний подвижной части вибродиагностического стенда. Структурно-функциональная схема вибродиагностического комплекса показана на рисунке 4.1. Воздействия на объект - подвижную часть - в каждый дискретный момент времени вычисляются по алгоритмам, хранящимся в программном обеспечении микропроцессорного комплекса, подаются в порты, и через цифроана-логовые преобразователи и усилители поступают в исполнительные элементы. Значения входного задающего воздействия подаются на катушку индуктивности электромеханического преобразователя гидравлического усилителя, кото- При проведении вибрационных испытаний изделий одним из основных режимов являются вынужденные одночастотные синусоидальные колебания, поэтому необходимо, чтобы выходная переменная x(t) изменялась по синусоидальному закону, а задающее воздействие имело вид 94 F{t) = Fmsm{coBt), (4.2) где Fm - амплитуда; сов - частота вынуждающего воздействия. В памяти процессора храниться 128 значений одного периода синусоидальных колебаний вида (4.2) и в зависимости от требуемой частоты сов вынужденных колебаний x(t) в системе формируется дискретный, а после преобразований и непрерывный сигнал задающего воздействия F{t). В соответствии с выбранным алгоритмом процессор также генерирует управляющее воздействие n(J) для приближения колебаний x(t) к требуемому режиму. Усиленный и преобразованный электрический сигнал управляющего воздействия u(t) подается в исполнительный механизм регулирования давления газа внутри оболочки пневмопружины. Тем самым обеспечивается изменение параметра с в уравнении (4.1), который можно представить в виде суммы обобщенной жесткости всех упругих пружин, соответствующих положению равновесия с0 и жесткости пневмоподвески сп. На инерционной массе закреплен датчик (Д), являющийся тензометриче-ским измерительным преобразователем ускорений (второй производной) вертикальных перемещений инерционной массы. Отфильтрованный сигнал ускорения x{t) преобразуется в дискретный и поступает в процессор, где программными средствами реализовано два последовательно соединенных КИХ-фильтра 32-го порядка, вычисляющих дискретное значение скорости и координаты. Таким образом, объект управления является полностью наблюдаемым.
Основным управляющим блоком всей автоматизированной системы является центральный процессор. Кроме основных сигналов, показанных на рисунке 4.1, на шину центрального процессора подаются все внешние и внутренние сигналы от устройств автоматизированной системы.
Выбором значений параметров системы и вида задающего воздействия, в общем случае невозможно добиться резонансного режима работы системы, и обеспечить максимальную амплитуду выходного сигнала. Тогда возникает необходимость управления жесткостью пневмоподвески сп в соответствии с некоторой зависимостью вида
