Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Кинематика электромеханических манипуляторов 18
1.1. Основные определения 18
1.2. Однородные координаты и проективное пространство 22
1.3. Обобщенные координаты манипулятора 26
1.4. Уравнение кинематики манипулятора 37
1.5. Прямая и обратная кинематические задачи 39
1.6. Уравнения кинематики манипулятора на
подвижном основании 46
ГЛАВА II Кинематические критерии качества 48
2.1 . Характеристика функциональных возможностей робота 48
2.2. Критерии качества управления движением 69
2.3. Критерии качества кинематических схем 77
ГЛАВА III Методы построения программных траекторий электромеханических манипуляторов 82
3.1 . Постановка задачи 82
3.2. Метод избыточных переменных 86
33. Алгоритмы, основанные на методе Бубнова -Галеркина 89
3.4. Метод, основанный на линеаризации уравнения кинематики 98
3.5. Метод параметризации, использующий конечно-
сходящиеся алгоритмы решения систем неравенств 102
ГЛАВА IV Динамика электромеханических манипуляторов 115
4.1. Уравнения динамики на основе уравнений Лагранжа II рода 115
4.2. Учет внешних сия 127
4.3. Динамическая модель манипулятора на основе принципа Гаусса 129
4.4. Учет внешней среды 135
4.5. Моделирование динамики манипулятора на ЭВМ 138
4.6. Параметрическое представление уравнений динамики манипулятора 153
ГЛАВА V Обобщенные уравнения и структурные схемы электроприводов 160
5.1. Введение 160
5.2. Обобщенные уравнения и структурные схемы линеаризованного привода 161
5.3. Уравнения и структурные схемы приводов с учетом люфтов и упругих деформаций в механической передаче : 170
ГЛАВА VI Стабилизация программных траекторий электромеханических манипуляторов 174
6.1. Постановка задачи 174
6.2. Алгоритмы стабилизации программных траекторий с учетом динамики приводов 177
6.3. Оптимальная стабилизация программных траекторий 185
6.4. Анализ влияния параметрических возмущений на качество управляемого движения манипулятора 196
ГЛАВА VII Алгоритмы адаптивного управления электромеханическими манипуляторами 210
7.1. Адаптивный подход куправлению роботами 210
7.2. Оценка влияния возмущений на динамику управления 211
7.3. Адаптивное отслеживание программной траектории 216
7.4. Адаптивное управление конечным состоянием 220
7.5. Методы дискретной адаптации 223
7.6. Локально-оптимальные рекуррентные алгоритмы 225
7.7. Оптимальные многошаговые алгоритмы 230
7.8. Методы непрерывной адаптации 233
ГЛАВА VIII Организация систем управления сложными электротехническими комплексами 236
8.1. Принципы организации и структура управления электротехническими комплексами 236
8.2. Функциональная диагностика сложных электротехнических систем 243
ГЛАВА IX Концепция построения самовоспроизводящейся электромеханической среды автомобильных производств 253
9.1. Основные положения и понятия 253
9.2. Многообразие элементной базы и тенденции развития современного электропривода 259
9.3. Модули движения. Агрегатирование модулей при реализации сложных движений 268
9.4. Энергетическая модель электромеханических преобразователей энергии 283
9.5. Адекватность электрических и механических состояний. Априорное программирование 294
9.6. Единая форма математического описания модулей движения 307
9.7. Работы по созданию бесфрикционных многокоординатных систем движения 319
9.8. Создание и производство модульных электродвигателей для автомобильных приборов 336
9.9. Новые разработки элементов электромеханических комплексов 341
Заключение 344
Литература 345
- Основные определения
- . Характеристика функциональных возможностей робота
- . Постановка задачи
- Уравнения динамики на основе уравнений Лагранжа II рода
Введение к работе
Современный автомобиль насыщен электромеханическими исполнительными средствами. Об этом свидетельствует простое и неполное перечисление используемых электродвигателей и приводов (рис.В.1):
Электропривод колес в электромобилях.
Электродвигатели и генераторы мощностью до 1 кВт: генератор; электродвигатель насоса терморегулирования; электродвигатель вентилятора охлаждения моторного отсека; - электродвигатель вентилятора системы отопления салона; электродвигатель кондиционера; электродвигатель стеклоподъемника; электродвигатель регулировки положения сидений; электродвигатель стеклоочистителя; электродвигатель фароочистителя; насос бочка омывания.
3. Сервисные микроэлектродвигатели: электродвигатели центрального замка дверей; автомобильные часы; регулировка положения зеркал; электродвигатели задвижки штор; электродвигатель в составе отсчетного механизма счетчика пути; - электродвигатель регулировки подачи топлива (клапан холостого хода).
Характерной чертой является при этом разнообразие конструкций и типов электродвигателей: коллекторные и бесконтактные двигатели постоянного тока, синхронные, шаговые, с постоянными магнитами, индукторного и реактивного типов.
Подходы к расчету, конструированию и управлению различны, вместе с тем, мы имеем перед собой единую функционально организованную электромеханическую среду.
Производство компонентов этой среды немыслимо без гибких автоматизированных электротехнических (технологических) комплексов.
Рис.В.1. компоненты отектрооборудования автомобиля
Сам электротехнический робототехнический комплекс состоит главным образом, а иногда полностью, как это имеет место в гексаподах, из тех же элементов электромеханической среды.
Разработчикам элементов и систем электромеханики, очевидно, что автомобильная электромеханика проходит путь, проложенный электромеханикой в машиностроении.
В самолетных, корабельних и железнодорожных системах картина аналогична.
Цель опубликования настоящей книги в формулировке концепции по унификации подходов в физических представлениях, в выборе конструкций и управления в современной электромеханике.
В настоящее время электропривод является наиболее узким местом робототехники. Его стоимосгь и массогабаритные характеристики должны, быть снижены, при значительном расширении функциональных возможностей. Это требует: однотипности индивидуальных приводов по конструкции и управлению; конструктивной интеграции с рабочими органами машины или робота; высоких удельных показателей и бесконтактности двигателя; максимального использования физических и информационных возможностей собственно электромеханического преобразователя через адаптацию питания и управления к его особенностям; уменьшения или полного исключения узлов кинематического преобразования движения. расширения средств и роли централизованного программного управления при организации сложных многомерных движений.
Привод, построенный на использовании шаговых электродвигателей (ШД), обладает многими из перечисленных свойств. В настоящее время области его применения чрезвычайно разнообразны и продолжают расширяться, а структуры управления и сами двигатели интенсивно совершенствуются. Для наиболее полного решения задачи комплексной автоматизации технологических и производственных процессов (безлюдная технология) современные роботизированные участки и гибкие автоматизированные производства (ГАП) требуют модульного и однотипного выполнения как элементов используемого привода, так и привода в целом при его максимальной конструктивной и функциональной интеграции с другими компонентами технологического оборудования. Многокоординатный дискретный электропривод полностью отвечает этой концепции и в ряде случаев конструктивно сливается с производственным участком (электротехническим комплексом).
Рис. В.2. Организация технологической среды с применением типовых модулей движения
1 - платформа верхнего уровня с движениями х, у, z, ч>, несущая инструмент;
2 и 3 - платформы нижнего уровня с движениями х, у, несущие детали.
На рис. В .2 схематически показан участок ГАП, обеспечивающий произвольную взаимную комбинацию движений инструмента или схвата манипулятора с платформами 2 и 3, несущими обрабатываемые детали. Линейные и поворотные координаты приводов построены однотипно и одновременно выполняют функции конструктивов рассматриваемого производственного участка. Объединение транспортных и производственных операций и возможность их варьирования как необходимые условия реализации гибкого производственного процесса делают неизбежным программное управление с развитой многоканальной, иерархически построенной структурой связей. Поэтому в центре нашего внимания будут задачи выбора и проектирования привода с программным управлением. При высокой степени определенности технологических процессов или производственного цикла привод может строиться по разомкнутой структуре, что обеспечивает ему возможность смены программ без наладочных работ. Замыкание такой программной структуры необходимо либо при значительной вариации условий эксплуатации, либо с целью расширения диапазона рабочих скоростей и ускорений. В этом случае, как показано в [34, 36], дискретный электропривод становится полным эквивалентом бесконтактного привода постоянного тока. Это дает возможность опираться на хорошо разработанную теорию синтеза приводов постоянного тока, уделив внимание лишь некоторым частным вопросам, связанным с конструктивными особенностями и параметрами применяемых ШД.
Обзор состояния применяемых и вновь создаваемых исполнительных органов и приборных электромеханических устройств в автомобилях позволяет оперировать понятием электромеханической исполнительной среды, охваченной информационными связями управления, контроля и диагностики состояний. Эта среда может рассматриваться как функциональный технический организм, к которому предъявлены требования топологической и информационной гибкости при быстрой смене моделей и потребности выполнения новых операций. Принципы, правила, физические критерии при создании функционально развитых технических организмов неразрывно связаны, а во многих случаях полностью обусловлены, технологией производства и сборки их компонентов. Изделие создано не раньше, чем производственный участок по его изготовлению. В условиях рыночной экономики это ограничение носит абсолютный характер.
Все виды организации и программного воспроизведения движений в пространстве технологических операций реализуются электромеханической исполнительной средой так же, как в создаваемом функциональном комплексе, например, автомобильном. Отличия количественные: по мощности, точности, согласованности, видам и многомерности движений.
Таким образом, речь идет о стратегии саморазвития и самовоспроизводства элементов и систем электромеханики в составе развитых технических организмов.
Электромеханика проходит путь, аналогичный развитию пленарных технологий в электронике. Принципы модульности, повторяемости, агрегатирования и конструктивной интеграции - те же, но реализуются труднее и поэтому требуют концептуальных обобщений в условиях лавинно нарастающего многообразия рыночно доступных изделий, использования новых материалов и ужесточения главного критерия производимой продукции «качество - стоимость». При дефиците времени и денег руководители нашей промышленности, ученые и разработчики практически лишены привычного права проб и ошибок. В этой ситуации для принятия решений актуальны физически строгие обобщения, позволяющие ранжировать многообразие вариантов и видеть объективную картину.
Концептуальные принципы не придуманы. Они являются простым итогом многолетней работы по теории управяения сложными движениями, созданию многокоординатных электромеханических комплексов, конструированию и производству функционально специализированных модулей движения. Именно итоговый опыт позволяет утверждать, что сегодня, как никогда ранее, успех любой специализированной разработки в электромеханике поставлен в прямую зависимость от понимания единых концептуальных закономерностей. В частности, двигатели, выпускаемые под руководством автора на электротехническом заводе ЗАО «АКБ» для автомобильных приборов [82, 83], при всей своей конструктивной и технологической специфике по управлению и физическим процессам, не отличаются от ранее разработанных с участием автора модулей движения для гибких автоматизированных производств.
Настоящая работа обобщает научные, инженерные и производственные результаты работ автора, полученные за последние 30 лет.
Главным итогом сделанных обобщений являются не столько сами разработки, ставшие за истекшее время частью как нашей, так и мировой техники, сколько систематизированный подход к развитию элементов и систем электромеханики.
Взаимная адаптация конструктивных параметров электромеханического преобразователя энергии (функция положения) и вида управляемого токового питания (функция времени) положена при этом в основу понимания и всех построений изначально, т.е. на стадии выбора конструкционной модели и принципа действия.
Теоретическое и инженерное развитие этого подхода является альтернативой методу проб и ошибок, чем существенно облегчаются сравнительный анализ вариантов, принятие решений и их реализация. Методология оказывается единой для широкого круга разнообразных и внешне разнородных задач.
Теоретические обобщения опираются на научные и инженерно-производственные результаты трех этапных периодов работы автора: разработка алгоритмов и реализующих их структур управления в робототехнике (1975-1985 г.г.); создание многокоординатных бесфрикционных и малофрикционных сборочно-монтажных и лазерных технологических комплексов на базе агрегагируемых модулей движения (1985-1991); разработка новых конкурентноспособных типов синхронно-импульсных электродвигателей модульного исполнения с организацией и освоением их серийного производства применительно к современным требованиям автопрома и приборостроения (1991-2003).
На каждом этапе названные тематические постановки были продиктованы актуальностью преодоления «узких мест» в развитии электромеханики и ее производственных технологий. Это привело нас, в конечном счете, к понятию электромеханической среды, воспроизводящей себя.
Новые электромеханические преобразователи энергии, средства управления ими и техника их массового производства оказались неразрывно и органически связанными. В реальных условиях серийного производства конкурентно-способных микродвигателей для автомобильной промышленности, стало очевидным, что задачи текущего момента и дальнейшего развития электромеханики требуют широко понятного подхода к агрегатированию внутренне завершенных модулей движения с закрепленным токовым питанием.
В предлагаемой концепции построения электромеханической среды, максимально приближенной к принципам построения планарной электроники, обосновывается само понятие «электромеханическая среда» и формулируются принципы обеспечения топологической и информационной совместимости ее элементов, общие для всех типов электрических машин, что и позволяет единственно возможным образом минимизировать трудозатраты при производстве и энергопотребление при эксплуатации электроприводов и координатных систем движения в условиях их серийного производства при изменчивости требований по конкретным заказам.
История электротехники, начавшаяся с гальванических источников питания и первых электрических машин, вся является наглядным свидетельством инженерного развития одной и той же центральной идеи - взаимной адаптации видов питания и электромеханических преобразователей энергии. В истекшие эпохи доминировало приспособление электромеханических элементов к закрепленным видам питания, что и породило все многообразие электрических машин, аппаратов и приборов.
По мере развития средств преобразовательной техники, достигнута возможность управлять в реальном масштабе времени величиной, частотой и формой токов во всех электрических контурах электромеханического преобразователя и их совокупности в техническом организме.
Концептуально это означает, что любой электродвигатель рассматривается только в неразрывном сочетании с вторичным источником питания, обладающим свойствами управляемого источника токов во всех каналах по числу независимых электрических контуров электродвигателей.
При этом адаптация питания к электромеханическому преобразователю не только доминирует, но позволяет уже на стадии выбора и оценки вариантов облегчить инженерное и технологическое решение задачи. Физическая однотипность, модульность, агрегатируемость и глубокая конструктивная интеграция обретают при этом конкретность и действенность.
Содержательный смысл терминов адаптивная электромеханика и мехатроника состоит в слитной конструктивной и информационной адаптации модулей движения и прямой реализации всех видов операций в составе технического организма.
Логика обобщающих представлений является естественным развитием первого этапа работ по теории управления роботами.
Построение теории объектно-ориентированного управления промышленными роботами [48], практические реализации в этой области и параллельное развитие различных систем привода с цифровым управлением, прежде всего шагового и вентильного [35], сделало очевидными задачи по унификации управления всех видов привода, поиску путей понимания порядка уравнений, описывающих поведение многокоординатных систем, упрощения их кинематики. Все это и привело к созданию модульных, иерархически агрегатируемых многокоординатньгх комплексов движения с компьютерным управлением. Эти работы, ставшие в настоящее время наиболее развитой частью мехатроники потребовали:
Анализа и обобщения энергетических представлений в электрических машинах синхронного типа и машинах постоянного тока. Создания единой энергетической модели, положенной в основу типовых модулей движения адаптивных электротехнических комплексов.
Создания теории адекватности электрических и механических состояний электромеханического преобразователя энергии.
Разработки методов априорного программирования токов в контурах преобразователя, реализующих заданную траекторию движения.
Изменения роли внешних обратных связей, обеспечивающих коррекцию программных состояний системы.
Разработки единого математического описания модулей движения управляемых функций времени и /или положения.
Введения безразмерных критериальных оценок физической реализуемости технического задания на стадии выбора и проектирования системы
Обоснования агрегатно-модульных структур с параллельной кинематикой движений для построения электротехнических комплексов автомобильных производств.
Решение этих главных вопросов и новые разработки типовых модулей движения, предлагаемые в работе на их основе, позволяют дать научно обоснованную концепцию развития современной электромеханики и построения самовоспроизводящейся электромеханической среды для производственных систем автомобилестроения.
Основные определения
Анализ кинематики манипуляторов является начальным этапом решения более сложных задач, связанных с анализом динамики и синтезом управления движением манипуляторов. Механическая система манипулятора состоит из звеньев, обычно цилиндрической формы, на которые наложены голономные, склерономные связи [16]. Все звенья, если не будет оговорено противное, будут считаться абсолютно твёрдыми телами.
Рабочий орган манипулятора (захватное устройство, рабочий (сменный) инструмент и т. п.), осуществляющий непосредственное воздействие на объект манипулирования или рабочую среду, в настоящей работе будем считать жестко связанным с последним звеном. При этом выберем некоторую принадлежащую ему точку, например, геометрический центр рабочего органа, которую в дальнейшем будем называть характеристической точкой рабочего органа.
Соседние звенья манипулятора образуют кинематические пары, т. е. такие соединения двух соприкасающихся звеньев, которые допускают их относительное движение [4, 110]. Техническую реализацию кинематической нары будем называть сочленением. Число условий связи, налагаемых на относительное движение каждого звена кинематической пары, может быть любым в пределах от одного до пяти. Это связано с тем, что положение в пространстве одного тела относительно другого определяется, в общем случае, шестью независимыми параметрами. Число условий связи определяет класс кинематической пары, который характеризуется числом потерянных степеней свободы2.
В робототехнике принят термин «степень подвижности», однако ввиду того, что нас интересует манипулятор как механическая система, в книге используется принятый в аналитической механике термин «степень свободы». относительного движения. Кинематическая пара к-го класса имеет 6 — к независимых параметров, определяющих относительное положение звеньев, где к — число условий связи. Кинематические пары, как известно, подразделяют также на низшие и высшие, в зависимости от того, соприкасаются ли звенья этой пары по поверхности (низшие) или по линии и точкам (высшие) [4].
В манипуляторах, как правило, находят применение низшие кинематические пары 5-го класса, т, е. пары, обладающие одной степенью свободы, которая обеспечивает возможность вращения относительно некоторой оси либо поступательного перемещения вдоль определенной оси. Эту ось назовем осью кинематической пары. В табл. 1.1 показаны типовые кинематические пары.
При описании манипулятора будем обозначать его звенья порядковыми номерами от 1 до и, начиная со звена, прикрепленного к основанию, которое обозначим номером 0, считая его некоторым фиктивным звеном (рис. 1.1). Кинематической паре, образуемой i-u и (г+1)-м звеном, присвоим номер і (г=0, 1,..., п—1). Единичный вектор, направленный по оси /-Й кинематической пары, будем обозначать е 0=0,1, .... я-1).
Введем две последовательности принадлежащих манипулятору характерных точек. На оси z -й кинематической пары (г=0, 1, ..., п—1) выберем некоторую точку Р ь принадлежащую /-му сочленению. Будем называть эту точку Р\ центром і-го сочленения, а также концом і-го звена и началом (i+lj-го звена. За коней п-го звена Р „ примем характеристическую точку рабочего органа, жестко связанного с этим звеном. Длину отрезка Р І.ІР І будем называть длиной і-го звена и обозначать //,(/= 1,..., п).
На оси г -й кинематической пары выберем точку Р; (г—1, ..., п—1), принадлежащую также общему перпендикуляру к осям (г—1)-йиі-й кинематических пар, если эти оси не совпадают и не параллельны. Если они параллельны, то положим Р Р ь а если они совпадают, то Pt г Р )_,. Положим Р0 = Р о, Рп Р п- Точку Pj (i-0, \,...,п—1) будем называть центром, і-й кинематической пары. Заметим, что точки Ps и Р\ не обязательно совпадают, так как местонахождение точки Р , зависит от места расположения сочленения на оси кинематической пары Кинематические цепи, составленные из звеньев, образующих кинематические пары, могут быть замкнутыми или разомкнутыми. В замкнутой кинематической цепи все звенья входят не менее, чем в две кинематические пары, а в разомкнутой — хотя бы одно звено входит только в одну кинематическую пару. Механическая система манипулятора представляет собой разомкнутую я-звенную кинематическую цепь с закрепленным основанием. В типовом случае, когда манипулятор состоит только из низших пар 5-го класса, число степеней свободы манипулятора будет равно числу подвижных звеньев и кинематических пар, а также числу переменных, определяющих положение (конфигурацию) манипулятора; эти переменные в дальнейшем будем называть обобщенными координатами q (qi, —qt) - (Здесь и далее — знак операции транспонирования векторов или матриц).
Кинематические пары других классов, например, шаровые шарниры и т. п., могут быть сведены к кинематическим парам 5-го класса путем их декомпозиции [4]Различным наборам обобщенных координат отвечает пространство конфигураций манипулятора Q. Каждому конкретному qsQ соответствует определенная конфигурация манипулятора. Совокупность положений его рабочего органа, соответствующих различным конфигурациям, заполняет некоторый объем в обычном трехмерном евклидовом пространстве 5RJ, называемый рабочей зоной. Прежде чем перейти к выводу и анализу векторного уравнения кинематики манипулятора x=F(q), связывающего декартовы координаты x=(xh х2, Xj)e5R3 с обобщенными координатами манипулятора qeQ, рассмотрим вопросы, касающиеся использования однородных координат
. Характеристика функциональных возможностей робота
Часто исследование манипулятора на базе его математического описания (математической модели) требует предварительного выбора обоснованных критериев качества, которые позволяют дать количественную оценку существенных для данного исследования свойств манипулятора. Использование таких критериев тесно связано с оптимизационными задачами, когда требуется выбрать наилучший для данных условий вариант манипулятора из ряда возможных.
Манипулятор можно рассматривать с различных позиций и с различной степенью детализации. Можно представлять его, например, как кинематическую систему, состоящую из звеньев и сочленений, функционирующую в трехмерном пространстве. Далее, можно учесть массо-инерционные характеристики его звеньев. Можно рассматривать манипулятор как систему, управляемую изменением моментов (усилий) в сочленениях, учесть при этом приводы в сочленениях, внешние обратные связи [73] и т. д. Наконец, можно рассматривать манипулятор как объект, характеризуемый такими параметрами, как габариты, вес, надежность, стоимость, потребляемая мощность и т. д. [115, 119, 133]. Каждому такому подходу соответствуют различные математические модели манипулятора, различные критерии качества и различные оптимизационные задачи. В зависимости от того, какой аспект в работе манипулятора является основным предметом исследования, выбираются его модель и критерии качества.
В рамках тематики настоящей книги можно выделить следующие основные математические модели манипулятора: кинематическая, модель, механическая модель, электромеханическая модель и т. д. 1. Кинематическая модель. В этом случае манипулятор рассматривается как совокупность звеньев, соединенных сочленениями. Простейшие величины, описывающие поведение манипулятора, — декартовы координаты его точек в трехмерном пространстве (в частности, декартовы координаты рабочего органа, например, схвата), перемещения в сочленениях (обобщенные координаты), а также скорости и ускорения всех этих величин. Управление кинематической моделью манипулятора производится изменением обобщенных координат. 2. Механическая модель. Данная модель манипулятора — это механическая система, описываемая системой дифференциальных уравнений 2-го порядка. Управление манипулятором осуществляется моментами (усилиями) в сочленениях, причем это управление может быть с обратной связью. 3. Электромеханическая модель. В этом случае к механической модели добавляются электрические приводы, т. е. дополнительная система дифференциальных уравнений. В настоящей главе рассматривается кинематическая модель, представляющая собой пару уравнений, решающих соответственно прямую и обратную кинематические задачи. В этой модели фигурируют следующие величины: декартовы координаты, обобщенные координаты, скорости, ускорения. Рассмотрим, прежде всего, кинематические критерии качества, которые характеризуют функциональные возможности манипулятора. Простейшими величинами, которые определяют манипуляционные возможности робота в этом случае, являются: число степеней свободы, размеры и объем рабочей зоны, объем пространства обобщенных координат. Однако перечисленные величины часто недостаточно отражают специфику функциональных возможностей робота, и возникает потребность введения более специальных критериев качества.
Рассмотрим следующий общий подход. Пусть известен круг операций, которые должен выполнять манипулятор. Формально это может означать, что заданы области (точки), в которых должен работать манипулятор, его конфигурации, заданы траектории его движения или последовательности близких точек, через которые он должен проходить. Из этих данных можно определить (в некоторых случаях точно, в других приблизительно) следующие вероятностные меры и соответствующие им функции плотностей вероятностей: Р](Е) — вероятность нахождения рабочего органа манипулятора в подмножестве є рабочей зоны; р\(х) — плотность вероятности нахождения рабочего органа в точке х рабочей зоны; Р2(е) — вероятность перехода рабочего органа из подмножества ] рабочей зоны в подмножество Е2 рабочей зоны, где є=єі х г2; рг(хі, х2) — плотность вероятности перехода рабочего органа из точки X; рабочей зоны в точку х2 рабочей зоны; Р3(є) — вероятность движения по траекториям из подмножества траекторий є; рзС ) — плотность вероятности движения рабочего органа по траектории х; Р4(е) — вероятность конфигурации манипулятора, принадлежащей подмножеству конфигураций Е; рА(х) — плотность вероятности конфигурации х. Эти и подобные им вероятностные меры и функции позволяют учитывать специфику функциональных задач манипулятора. Рассмотрим примеры определения вероятностных мер. Пример 2.1. Пусть промышленный робот с рабочим органом в виде схвата предназначен для выполнения простейшей технологической операции, заключающейся в том, что следует снять со станка деталь, перенести и положить ее в бункер готовой продукции. Считаем, что точка xj крепления детали в станке фиксирована относительно основания манипулятора, так же как и точка хо над бункером готовой продукции, в которой происходит открепление детали от схвата манипулятора. Тогда можно считать, что схват должен находиться только в двух точках рабочей зоны Xj и хо с равной вероятностью - и переходить только из точки хі в точку х0 и обратно.
. Постановка задачи
Задача построения программных траекторий манипуляторов состоит в том, чтобы по заданному перемещению рабочего органа манипулятора в рабочей зоне х К5 определить, как следует изменять во времени обобщенные координаты q=(qi, ..., q„) eQ, чтобы осуществить это перемещение. Иными словами, требуется построить вектор-функцию q(t)=(qiQ), ..., (?«()) , t [to, tf], которая обеспечивает требуемое перемещение рабочего органа манипулятора. Здесь t — время, t0, tT — соответственно начальный и конечный моменты времени, Т в tT-10 О — время движения. Задача допускает различные постановки в зависимости от того, в каком виде задано требуемое перемещение и какие ограничения налагаются на манипулятор в процессе движения.
Кинематические параметры манипулятора (его кинематическая схема и параметры звеньев) вместе с законом перемещения рабочего органа определяют некоторое функциональное либо дифференциальное векторное уравнение относительно обобщенных координат манипулятора q={qj, ..., 7„) sQ. Типичными примерами уравнений, описывающих поведение манипулятора, являются уравнение кинематики (1.28) и уравнение кинематики для скоростей (1.35).
При некоторых способах задания перемещения рабочего органа остаются не определенными граничные условия, характеризующие начальные и конечные условия перемещения и представляющие собой значения функций q(t), x(t), x(t) и их производных q(t), x(t), x(t) в начальный и конечный моменты времени. В подобных случаях эти граничные условия следует задать. Как упоминалось выше, на движения манипулятора могут налагаться различные ограничения. Их можно представить в следующем виде. Здесь через р (Хм( 7(0) Хп) обозначено расстояние между множествами %M(q(t)), и Хп, где %M(q(t)), Xne4R3. Множество &, составляет препятствия для манипулятора и задано в пространстве переменных x=(xi, х2, х3) еШ3. Через Хм(д{ф обозначено множество возможных положений точек манипулятора в процессе движения в пространстве переменных при te[0, x). Заметим, что для сокращения объема вычислений часто бывает удобно брать не само множество %т а его дискретное подмножество х п. такое, что из того, что Препятствие Хп обычно заранее известно, а что касается множества Хм(?(0) то оно строится в процессе решения поставленной задачи, т. е. после того, как будет найдено неизвестное q(t). Условие (3.4) означает, что при выполнении программного движения манипулятор не должен пересекаться с препятствиями. Можно требовать также, чтобы манипулятор не подходил к препятствию ближе, чем на є 0: p(xM(?W), ХгО є 0.
Требование, чтобы звенья манипулятора не сталкивались. Аналитически это требование можно задать, например, следующим образом. Выберем на звеньях манипулятора набор таких точек, что из условия достаточной удаленности их друг от друга следует непересекаемость звеньев. Условие достаточной удаленности точек друг от друга можно задать как векторное неравенство Увеличение числа точек в этом дискретном наборе ведет к увеличению точности описания зоны допустимых конфигураций qeQ и, соответственно, увеличивает эту зону.
В целом задачу построения программных траекторий можно описать совокупностью П(С 8, Р), где G—векторное функциональное или дифференциальное уравнение, 5 — граничные условия, Р — векторное неравенство, определяющее ограничения. Для конкретных вариантов
Заметим, что первую задачу (Ш) можно рассматривать как задачу (ПЗ), если разбить траекторию перемещения рабочего органа на достаточно мелкие участки и решать на каждом из них задачу (ПЗ) с заданным временем перемещения.
В некоторых случаях решение задачи построения программных траекторий может быть получено как решение обратной кинематической задачи. Например, в 1.5 (рис. 1.9) задается шесть величин — три декартовы координаты рабочего органа и трехмерный вектор его ориентации. Эти шесть величин полностью определяют шесть обобщенных координат манипулятора, причем выражения для обобщенных координат даются формулами (1.38), (1.39), являясь решением обратной кинематической задачи.
Уравнения динамики на основе уравнений Лагранжа II рода
В этой главе рассматривается механическая модель манипулятора, представляющая собой систему, состоящую из звеньев, которые обладают определенными массо-инерционными характеристиками. Для описания такой системы могут быть использованы различные методы, в том числе второй закон Ньютона [67], принцип
Даламбера [23], принцип наименьшего принуждения Гаусса [90], принцип стационарного действия Гамильтона [103]. Ниже мы в основном будем пользоваться уравнениями Лагранжа II рода, которые наиболее удобны при описании динамики подобного типа объектов [59, 88]. Уравнения Лагранжа II рода, которыми, как известно, можно описать любую голономную систему с п степенями свободы, имеют вид «« дцъ Щк (4.1) где L=T—П — функция Лагранжа системы, Г — кинетическая энергия системы, П — потенциальная энергия системы, дк — обобщенные координаты, qk — обобщенные скорости, Qk — обобщенные силы.
Рассмотрим компоненты формулы (4.1) для манипулятора, представляющего собой разомкнутую кинематическую цепь из п звеньев, с учетом объекта манипулирования. Кинетическая энергия манипулятора равна сумме кинетических энергий его звеньев и объекта манипулирования: т=2т,+тг. Здесь Ті— кинетическая энергия г -го звена, ТГ— кинетическая энергия груза (объекта манипулирования).
Обозначим через f ,,={x tl) =(x isx 2p,x 3p,l) радиус-вектор некоторой точки г -го звена в системе координат, связанной с р-и звеном (г=1, ..., п\р = 0, 1, ..., и), и положим г =г 0 . Тогда для элемента г -го звена dmh соответствующий ему элемент энергии где г р —радиус-вектор этого элемента, р=0, 1, ..., п. Из формулы (1.8) 116 следует, что где Bi=B&qi, ..., q„) — B,{q )—матрица перехода от г -й системы координат к инерциальной. Следовательно, Воспользовавшись известным соотношением для векторов а и b перепишем формулу (4.2) в другом виде: dTt \\x{3M Bf)dmt. (43)
Полная кинетическая энергия z -ro звена где интеграл берется по объему г -го звена. Назовем матрицей инерции і-го звена тогда (4.5) Теперь заметим, что объект манипулирования представляет собой некоторый груз, жестко связанный с последним (п-м) звеном
Поэтому последнее звено можно рассматривать совместно с грузом и матрицу инерции этого звена #„ формировать, учитывая груз. В результате получаем выражение для кинетической энергии манипулятора с грузом: л =1 (4.6) Элементы матриц Я,, г =1, ..., и, хорошо известны в механике. Учитывая, что т\ = (х п1) = (х н,х 2і,х ЗІ,1) можем записать 117 #,.= x tfxit dnti [ {х {)л dmt С x ux u dm{ x{i 6т( \ Altai dmi [ xtix[{ іщ С (4c) іщ 4 dm{ \xitdmi V xndmi \хцйщ mi (4.7) где mi— масса z-го звена; J а, » = J«.» = J (хід dmt, J\x 2 = Ла, і) = J {хід dm( — моменты инерции относительно плоскостей (X2j, ХЗІ), (Хц, Хзі), (Хц, x2t) соответственно; JU = J к = J Х[{Х[І dm,, JU = JL = \ 4І4І dmt, J J xiixiidrri; — центробежные моменты.
Заметим, что для систем координат, связанных со звеньями, которые были выбраны в гл. I по кинематическим соображениям, матрицы #,, i=\, ..., п, могут иметь совершенно произвольный вид, за исключением того, что они будут симметрическими. Если в качестве таких систем координат выбрать системы координат, оси которых являются осями главных эллипсоидов инерции звеньев, то матрицы Д-, /=1, ..., п, будут иметь диагональный вид.