Страгглинг-диффузионное приближение в теории переноса электронов средних энергий Бураков Алексей Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Сечение упругого рассеяния электрона на атоме Резерфорда—Мотта 16

1.1 Сечение Резерфорда-Бете 16

1.2 Транспортные-/ сечения 17

1.3 Сечения Резерфода-Мотта 19

1.4 Транспортные сечения Резерфода-Мотта 19

1.5 Выводы 21

2 Новая формула для средней энергии возбуждения вещества, полученная методом Томаса-Ферми 22

2.1 Определение логарифмической средней энергия возбуждения 22

2.2 Расчет средней энергии возбуждения по функции экранирования 24

2.3 Сравнение с экспериментом и известными эмпирическими формулами 26

2.4 Выводы 29

3 Эффективный атомный номер и эффективная средняя энергия возбуждения в области малых энергий электронов

3.1 Эффективный атомный номер и эффективная средняя

энергия возбуждения вычисленные методом Томаса-Ферми 31

3.2 Эффективный атомный номер и эффективная средняя энергия возбуждения, вычисленные по функции оптических потерь 33

3.3 Вероятность потерь энергии быстрым электроном на единице пути 35

3.4 Средние потери энергии на единице пути 36

3.5 Средний квадрат потерь энергии на единице пути 37

3.6 Модифицированные формулы Бете и Вавилова для тормозной способности вещества 37

3.7 Модифицированная формула Бете - Вавилова 39

3.8 Выводы 40

Страгглинг электронов в фазовом пространстве пройденный путь - энергия 41

4.1 Кинетическое уравнение Больцмана с учетом только неупругих столкновений 41

4.2 Решенеие уравнения Ландау 42

4.3 Диффузия в пространстве энергий с начальным условием в виде распределения Ландау 45

4.4 Страглинг-приближение Бора - Тер-Микаеляна 52

4.5 Фундаментальное решение уравнения для плотности электронов 56

4.6 Выводы 60

Учет разброса по пробегам в уравнении диффузии электронов 61

5.1 Диффузия в пространстве координат

5.2 Волновая модель кинетического уравнения 63

5.3 Учет страглинга в уравнении диффузии электронов 63

5.4 Тестирование по зависимости обратного рассеяния от атомного номера вещества 66

5.5 Выводы 68

6 Прямая задача электронной микротомографии 69

6.1 Постановка задачи 69

6.2 Транспортно-малоугловая модель переноса электронов 71

6.3 Источник изотропизированных электронов 73

6.4 Краевая задача для диффузионного компонента 74

6.5 Энергетические спектры обратно рассеянных электронов 75

6.6 Многослойная мишень 79

6.7 Выводы 83

Заключение 84

Список используемых источников

• Транспортные сечения Резерфода-Мотта
• Сравнение с экспериментом и известными эмпирическими формулами
• Вероятность потерь энергии быстрым электроном на единице пути
• Страглинг-приближение Бора - Тер-Микаеляна

Введение к работе

Актуальность работы. Данная работа посвящена исследованию процессов переноса электронов пучка, падающего на многослойные наноструктуры, используемые в современной технологии интегральных схем, который основан на применении аналитических моделей уравнения Больцмана, полученных из первых принципов без введения в теорию эмпирических подгоночных параметров.

Знание и понимание процессов переноса падающего потока электронов в наноструктурах чрезвычайно важны и актуальны, как в научных исследованиях, так и в практических приложениях: технология низковольтной электронографии прямой записи топологии больших интегральных схем (БИС), неразрушающие методы диагностирования многослойных структур БИС. В настоящее время особенно интенсивно разрабатываются методы исследования многослойных структур на основе энергетических спектров обратно рассеянных электронов [10,11]

В теории рассеяния электронов в веществе могут быть сформулированы два основных подхода: аналитический и метод Монте-Карло (МК). Аналитический подход основан на построении моделей уравнения переноса Больцмана. В случае его реализации он позволяет определить плотность потока электронов в фазовом пространстве координат, направлений движения и энергии. Однако этот подход сталкивается со значительными математическими трудностями.

Применение метода МК позволяет избежать математических трудностей, однако требует больших затрат вычислительного времени. В CERN (Европейская организация по ядерным исследованиям) разработана и помещена в открытом доступе МК программы GEANT4 и PENELOPA предназначенная для вычисления прохождения заряженных частиц через образцы (в том числе со сложной геометрией). Метод МК, предоставляя картину траекторий движения электронов, не дает необходимого описания физической картины переноса на языке математических выражений, которая позволила бы увидеть существенные факторы и отбросить второстепенные при рассмотрении тех или иных наблюдаемых результатов переноса, например, спектров обратно рассеянных электронов, распределения поглощенной энергии в веществе или инжектированного заряда. Такую физическую картину могут дать аналитические подходы, если в теорию не вводятся подгоночные эмпирические параметры.

Степень разработанности темы исследования. В противоположность методу МК, число исследований в рамках аналитического подхода очень ограниченно. В некоторых предельных случаях, точные аналитические решения получены только для малых углов рассеяния падающих на мишень электронов и малых потерь энергии или, напротив, когда плотность потока электронов становится почти изотропной по направлениям движения электронов И хотя в рамках допущенных ограничений задачи решаются математически строго и дают в рамках этих ограничений верную физическую картину переноса электронов, в целом такой картины из отдельных фрагментов не складывается.

Интенсивные попытки решить уравнение Больцмана для электронов стандартными методами разложения по сферическим функциям, предпринятые в 1950 -1960 гг. не привели к успеху - вычислению плотности потока во всем фазовом

пространстве. Позднее B.C. Галишев показал [12], что метод сферических гармоник, хорошо работающий для 7~квантов и нейтронов, оказывается достаточно грубым даже для описания многократного рассеяния электронов в однородном слое конечной толщины. Наиболее полный обзор аналитических подходов к моделированию уравнения Больцмана собран в монографиях [13,14]

Для преодоления математических трудностей приходится упрощать исходные уравнения, заменяя их приближенными формами. Наиболее последовательно этот подход был сформулирован в работе [15], в которой применялся метод сращиваемых асимптотических разложений по малым параметрам, расщепление полного кинетического уравнения на ряд более простых и получение уравнений для главных членов этих разложений. Для каждой модели определялась область применимости. Взаимодействие между моделями в рамках этой схемы осуществлялось с помощью граничных условий, которые могут быть получены при использовании процедуры сращивания асимптотических разложений. В ряде последующих работ диффузионная часть этой схемы использовалась для вычисления вероятности выхода электронов, рожденных на заданной глубине с заданной энергией - основной задачи рентгеноэлектронной эмиссии.

Теме не менее, ограниченные рамками области применимости аналитические решения могут служить основой при построении феноменологических моделей. Широкое распространение получила эмпирическая модель с центром диффузии, базирующаяся на понятии о "глубине полной диффузии которое ввел Бете в его диффузионной модели кинетического уравнения. Однако феноменологические модели имеют ограниченные области применимости, содержат эмпирические подгоночные параметры и, следовательно, не могут применяться для изучения переноса электронов и связанных с этим эффектов в таких приложениях, которые требует знания процесса переноса электронов практически во всем фазовом пространстве, в котором записано уравнения Больцмана для электронов.

Следующим этапом построения упрощенных исходных уравнений было расщепление кинетического уравнения на два связанных между собой уравнения, каждое из которых применялось во всем фазовом пространстве [16]. Первое из них описывало проникновение в мишень падающего пучка электронов, его малоугловое рассеяние и постепенное уменьшение интенсивности за счет рассеяния на большие углы. Второе уравнение описывало перенос в мишени изотропизиро-ванных по направлениям движения электронов. К этому уравнению применимо стандартное Р\ - приближение метода разложения по сферическим функциям при определенных условиях приводящее к диффузионному приближению.

В ряде последующих работ эта, названная авторами "транспортно-малоугловой" модель кинетического уравнения применялась для решения задач вычисления обратного рассеяния и распределения выделенной энергии в многослойных мишенях при нормальном падении пучка электронов средних энергий (10-50 кэВ) [17-19] Однако исследования последнего времени показали, что недостатком этой модели кинетического уравнения является использование в ней приближения непрерывного замедления и, следовательно, пренебрежение страгглингом (разбросом пробегов) электронов.

Целью работы является учет флуктуации энергетических потерь электронов в моделировании кинетического уравнения переноса электронов средних энергий в многослойных наноструктурах БИС для разработки неразрушающих методов диагностирования многослойных структур БИС.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи::

1. Модификация формулы дифференциального сечения упругого рассеяния Резерфорда-Бете так чтобы полное и первое транспортное сечение совпадали с вычисленными по релятивистской формуле Мотта, помещенными в базы данных NIST.

2. Модификация формулы Бете - Вавилова для тормозной способности вещества так чтобы средние потери энергии на единице пути, вычисленные по модифицированным аналитическим формулам совпадали с результатами вычислений неупругого рассеяния электронов в рамках диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна и помещенными в базы данных NIST (National Institute of Standards and Technologies)).

3. Вычисление страгглинга электронов путем решения уравнения диффузии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау.

4. Учет страгглинга электронов в рамках модели кинетического уравнения Больцмана соединяющего транспортно-малоугловое и страгглинг-диффузионное приближения в ST-SD - модели кинетического уравнения (Small-angle Transport and Staggling -Diffusion approximation)).

5. Приложение ST-SD - модели кинетического уравнения для решения задачи о вычислении энергетических спектров обратно рассеянных электронов.

Научная новизна работы заключается в следующем: В диссертационной работе впервые:

6. Предложена аналитическая формула дифференциального сечения упругого рассеяния электронов на атомах, интегральные формы которой - полное и первое транспортное сечения - совпадают с вычисленными по релятивистской формуле Мотта, помещенными в базы данных NIST (формула Резерфорда-Мотта).

7. Предложена модификация формулы Бете - Вавилова для тормозной способности вещества путем замены атомного номера Z и средней энергии возхбуждения / эффективным атомным номером Z_ejj и эффективной энергией возбуждения /_е//, так чтобы средние потери энергии на единице пути, вычисленные по модифицированным аналитическим формулам совпадали с результатами вычислений неупругого рассеяния электронов в рамках диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна и помещенными в базы данных NIST.

3.Получено решение уравнения диффузии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау, описывающее флуктацию энергетических потерь и разброс пройденных путей электронов во всем интервале энергий - от начальной энергии электронов до их остановки (термализации).

4. Показано, что страгглинг электронов можно учесть путем корректировки транспортной длины упругого рассеяния в рамках модели кинетического уравне-

ния Больцмана соединяющего транспортно-малоугловое и страгглинг- диффузионное приближения (ST-SD - модель кинетического уравнения).

5. В ST-SD - модели кинетического уравнения без введения в теорию подгоночных эмпирических параметров вычислены энергетические спектры обратно рассеянных электронов от многослойных структур.

Научная и практическая ценность работы заключается в следующих полученных в работе результатах:

8. Для моделей кинетического уравнения, в которых дифференциальное сечение рассеяния заменяется транспортным, предложен способ облегчающий подгонку аналитической формулы дифференциального сечения упругого рассеяния электронов на атомах Резерфорда-Бете, ограниченный требованием, чтобы только две интегральные формы дифференциального сечения - полное и первое транспортное сечения - совпадали с вычисленными по релятивистской формуле Мотта (формула Резерфорда-Мотта).

9. Улучшено соответствие физической реальности модифицированной формулы Бете - Вавилова для тормозной способности вещества путем замены в ней атомного номера Z эффективным атомным номером Д=//, вычисленным по методу Томаса-Ферми, что позволяет ограничиться подгонкой только двух параметров

В формуле ДЛЯ I_eff .

3. Получено более точное, чем известное в настоящее время [13], описание
флуктуации энергетических потерь и разброса пройденных путей электронов во
всем интервале энергий - от начальной энергии электронов до их остановки (тер-
мализации) путем решения уравнения диффузии электронов в пространстве энер
гий с начальным условием - распределением Ландау,

4. Предложен способ учета флуктуации энергетических потерь электронов путем корректировки транспортной длины упругого рассеяния в рамках диффузионной модели кинетического уравнения Больцмана (ST-SD - модель кинетического уравнения).

5. Предложен способ вычисления энергетических спектров обратно рассеянных электронов от многослойных структур.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, аналитические и численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, статистические методы расчёта и обработки данных, современные методы вычислительной математики и программирования.

Положения, выносимые на защиту:

1. Модифицированная формула дифференциального сечения упругого рассеяния Резерфорда-Бете (формула Резерфорда-Мотта) обеспечивающая совпадение полного и первого транспортного сечений с вычисленными по релятивистской формуле Мотта, помещенными в базы данных NIST

2. Модифицированная формула Бете - Вавилова для тормозной способности вещества путем замены в ней атомного номера Z и средней энергии возбуждения / эффективным атомным номером Z_ejj и эффективной энергией возбуждения I_eff обеспечивающая совпадение средних потерь энергии на единице пути, вычисленных по модифицированным аналитическим формулам, с результатами

вычислений по диэлектрической теории с использованием алгоритма Пенна, помещенными в базы данных NIST.

3. Решение уравнения диффузии электронов в пространстве энергий с начальным условием - распределением Ландау, описывающее флуктуацию энергетических потерь и разброс пройденных путей электронов во всем интервале энергий -от начальной энергии электронов до их остановки (термализации).

4. Способ учета страгглинга электронов путем корректировки транспортной длины упругого рассеяния в рамках модели кинетического уравнения Больцмана соединяющего транспортно-малоугловое и страгглинг-диффузионное приближения (ST-SD - модель кинетического уравнения).

6. Способ вычисления энергетических спектров обратно рассеянных электронов от многослойных структур без введения в теорию подгоночных эмпирических параметров в модели кинетического уравнения, учитывающей диффузию в пространстве координат и страгглинг в пространстве пройденных путей (ST-SD -модель кинетического уравнения).

Апробация результатов. Результаты диссертационного исследования докладывались на 2 Международных семинарах: Физико-математическое моделирование систем : Матер. VII 2010г. и XIV междунар. семинар. 2015 г./ Воронежский гос. техн. ун-т, Ин-т проблем химической физики РАН. Доклады на внутривузов-ских научных конференциях ВолгГТУ (Волгоград, ВолгГТУ, 2010 - 2015 годы).

Публикации. Научные результаты работы опубликованы в 9 печатных изданиях, из них 7 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК РФ, 2 статьи в материалах Международных семинаров.

Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.04 - «Физическая электроника», а именно пункту 1 - «Эмиссионная электроника, включая процессы на поверхности, определяющие явления эмиссии, эмиссионную спектроскопию и все виды эмиссии заряженных частиц», пункту 4 - «Физические явления в твердотельных микро- и наноструктурах, молекулярных структурах и кластерах; проводящих, полупроводниковых и тонких диэлектрических пленках и покрытиях», и пункту 6 - «Изучение физических основ плазменных и лучевых (пучковых) технологий, в том числе модификации свойств поверхности, нанесение тонких пленок и пленочных структур».

Личный вклад автора заключается в том, что им а) предложены модифицированные формулы Резерфорда-Мотта и Бете-Вавилова [1-4,8]; б) предложен способ учета страгглинга электронов вследствие неупругих столкновений [5-7,9]; в) совместно с научным руководителем сформулированы задачи исследования и проанализированы результаты вычислительного моделирования. Основные положения диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованных источников. Работа изложена на 95 страницах текста и включает 25 рисунков, 1 таблицу. Список использованных источников включает 70 наименований.

Транспортные сечения Резерфода-Мотта

Бете ввел в формулу Резерфорда единственный параметр учитывающий экранирование кулоновского поля ядра электронами атома. Кроме того, чтобы учесть некоторый вклад неуругих столкновений налетающей частица с атомными электронами, можно заменить Z на Z{Z + 1) в формуле Резерфорда . Запишем формулу Резерфорда-Бете с экранированием поля ядра атомными электронами в виде [24] где T = E/mec2, re = e2/(mec2) - классический радиус электрона, me -масса электрона, р - импульс электрона в единицах шес, Т - кинетическая энергия электрона в единицах тпес . Параметр экранирования ц в первом приближении может быть вычислен по формуле Интегрируя дифференциальное сечение (1.1) по всем углам, получаем полное сечение упругого рассеяния

При этом только одна из них - /дв(#, rj) зависит от угла рассеяния в . Выделение зависимости от угла рассеяния в отдельную функцию делает формулу Резерфорда-Бете столь привлекательной для аналитических вычислений в теории переноса.

В разложение интеграла по упругим столкновениям по сферическим функциям сечение упругого рассеяния входит в виде разности нулевого и /-того компонентов разложения по полиномам Лежандра, которые получили специальные названия - транспортные-/ сечения - и определяются выражениями

Изменим классическую формулу Резерфорда - Бете (1.1) так, чтобы она давала величины полного и первого транспортного сечений совпадающие с соответствующими сечениями, вычисленным по релятивистской формуле Мот-та в работе [53]. Назовем новую формулу формулой Резерфорда-Мотта и введем её выражением [2] д -анм(в, Т) = B(Z, T)r 2 eZ{Z + l)- -—n , (1.16) дП v v /е v у/ЗУ(1 + 2?7ям(Т)-со8б )2 где B(Z,T) - подгоночный коэффициент, T]RM(T) - новый параметр экранирования. Сечения Резерфорда-Бете (1.1) представляют собой произведение функции, зависящей только от одной переменной г] и функции, зависящей от энергии электронов Т и атомного номера вещества Z. Из формул (1.3), (1.4) и (1.9)—(1.13) видно, что все усреднённые по углам величины, и в том числе транспортные-/ сечения, вычисленные по исходным дифференциальным сечениям Резерфорда-Бете (1.1) полностью заданы, если известна величина полного сечения о" и параметра экранирования г].

Здесь полное сечение Резерфорда-Бете 7ДБ(Т, rf) - дается формулой (1.3) с параметром экранирования туям, вычисляемым из требования равенства полных и первых транспортных сечений. Потребуем равенства полных сечений _2т7дм(1 +Шм). В результате вместо исходной формулы Резерфорда-Бете (1.1) получим модифицированную формулу Резерфорда - Мотта (1.16), и будет обеспечено совпадение с соответствующими «точными» полных и первых транспортных модифицированных резерфордовских (RM) сечений с релятивистскими сечениями Мотта.

На рисунке 1.1 транспортные сечения упругого рассеяния на атомах кремния вычисленные по формуле модифицированной формуле Резерфорда - Бете с использованием простых аналитических подгонок для параметра экранирования (1.23) и множителя B(Z,E) (1-24) , сравниваются с вычисленными по модифицированной формуле Резерфорда-Бете с табличными данными релятивистских транспортных сечений упругого рассеяния Мотта о"о, c"i, о"2, приведенными в работе [53].

Сравнение с экспериментом и известными эмпирическими формулами

Функцию оптических потерь дает мнимая часть диэлектрической проницаемости вещества, которая может быть измерена в широком диапазоне энергий фотонов huj - от десятых долей эВ до десятков кэВ [52]. Для проверки внутренней согласованности функции оптических потерь, построенной по экспериментальным оптическим данным, используют правило сумм (f-sum). Правило сумм позволяет оценить общее эффективное число электронов на один атом, вносящих вклад в неупругое взаимодействие, и определяемое как здесь Im [—\/e{hhj)\ - функция оптических потерь энергии, п концентрация атомов в единице объема, Qp - плазменная частота вещества. При условии, что энергия налетающего электрона Е — оо, максимальная потеря энергии шах оо? тогда Zeff должно становиться равным Z - числу электронов в одном атоме .

Эффективную логарифмическую среднюю энергию возбуждения также можно вычислить по оптическим данным так

Эффективное число электронов в алюминии и золоте в зависимости от энергии падающих на атом электронов: линии - ввічисление по модели атома Томаса-Ферми, крестики - вычисление на основе диэлектрического формализма по полному алгоритму Пенна. от классической формулы Бете в наличии функциональной зависимости от энергии электронов у эффективного заряда, рассевающих атомов, и у их среднего ионизационного потенциала. Таким образом, осуществляется естественный переход от классической формулы Бете к МФБ через переход от обычного заряда Z к эффективному заряду - Zejf{E) и от среднего ионизационного потенциала / к эффективному среднему ионизационному потенциалу - Ieff{E). Естественность перехода к классической формуле Бете обеспечивается тем, что с возрастанием энергии и достижением нескольких кэВ (в области, в которой классическая формула Бете дает хорошие результаты) значения Zeff(E) — Z, a Ieff(E) — I.

Введение эффективных Zeff(E) и Ieff(E) идет с использованием в них четырех подгоночных параметров, которые позволяет получать значения тор мозной способности с отличием в несколько процентов от значений, которые дает алгоритм Пенна на основе оптических данных для области энергий где классическая формула Бете неприменима. Таким образом, в работе [? ] удалось получить МФБ хорошо работающую от нескольких эВ до сотен кэВ, но требующую для своего использования таблиц подгоночных коэффициентов для Ieff(E), Zeff(E) для разных веществ.

Нахождение функциональной зависимости заряда и среднего ионизационного потенциала от энергии через подгоночные коэффициенты являлось, главным образом, удобным математическим инструментом, обеспечивающим склеивание областей где хорошо работает классическая формула Бете и области где успешно применяются исключительно алгоритмы на основе оптических данных. В настоящем разделе мы рассматриваем нахождение функциональной зависимости Ieff(E) и Zejj{E\ но исходя уже из модели атома Томаса-Ферми. Для построения модифицированной формулы Бете как будет показано ниже, можно использовать Zejj[E\ найденную по модели атома Томаса-ферми, и только Ieff(E) подгонять для получения значений тормозной способности близких к значениям по алгоритму Пенна.

В наиболее важной и интересной области энергий электронов, когда v va и переданный импульс q значительно больше импульса атомных электронов mva, выражение для вероятности потери энергии є на единице пути в веществе с атомным номером Z при , имеет простой вид [24]: - (є, Е) nZdefE) = 2ше\лЩ \, І є, Е « тес\ (3.8) оє оє Е є где ге = е2/(тес2) = 2.81794 Ю-13 см - классический радиус электрона; п -число атомов в единице объёма; nZ - число электронов в единице объёма; / - средний ионизационный потенциал атома. Эта величина называется дифференциальной обратной длиной неупругого рассеяния и имеет размерность

Получим средние потери энергии на единице пути электрона, исходя из выражения для дифференциальной обратной длины при неупругом рассеянии (3.8). По определению В силу неразличимости падающего и выбитого из атома электронов верхний предел в интеграле положим равным етах = Е/2, и для нерелятивистских электронов положим Е = mev /2. После этих подстановок интегрирование даст то же самое выражение для средних потерь энергии электрона на единице пути, что и (3.17). В компактной форме, удобной для аналитических выкладок, средние потери энергии электрона на единице пути можно записать так: ё(Е) = A{E)Llon) (3.11) где А{Е) = 2ш2епїЩ , Llon = \n 1- . (3.12) Величину Lion принято называть ионизационным логарифмом. 3.5 Средний квадрат потерь энергии на единице пути

Средний квадрат потерь энергии на единице пути быстрых электронов вычислим, воспользовавшись выражением для обратной длины неупругого рассеяния (3.10). По определению,

Здесь Е = (І/у 1 - (З2 - 1) - релятивистская кинетическая энергия электрона, измеренная в единицах энергии покоя электрона тес ; е - заряд электрона; те - масса покоя электрона; с - скорость света; [5 = v/c; s - путь, пройденный электроном в веществе; Z - атомный номер; п - плотность атомов в веществе; / - средняя энергия возбуждения атома, или средний ионизационный потенциал; 5 - поправка на эффект плотности, учитывающая поляризацию среды. Электрическое поле падающей частицы поляризует близко расположенные атомы, что приводит к ослаблению поля при далеких столкновениях и уменьшению потерь энергии частицы. Поэтому величина среднего потенциала возбуждения может быть оценена теоретически лишь качественно, поскольку зависит от электронных состояний атомов в веществе, и ее значение должно быть взято из эксперимента.

Вероятность потерь энергии быстрым электроном на единице пути

Для краткости в дальнейшем будем употреблять термин страглинг (stragglin - разброс пройденных по траектории путей частиц с одинаковой начальной энергией, потерявших одинаковую энергию в процессе их движения в рассе ивающей среде. В первом приближении - приближении непрерывного замедления - между энергией электронов Е и пробегом R имеет место взаимно-однозначное соответствие, и этот пробег имеет смысл среднего пути пройденного электронами с энергией Е. Во втором приближении с удержанием квадратичного члена в разложении в степенной ряд интеграла по неупругим столкновениям пробег и энергия электрона не связаны между собой однозначной зависимостью, и это более точное приближение показывает, что имеет место разброс пробегов при фиксированной потерянной энергии (страглинг пробегов) или дисперсия энергий электронов при фиксированном пройденном пути (страгглинг энергий).

Рассмотрим подход к проблеме страгглинга в приближении Бора - Тер-Микаеляна [68, 69] изложенном в [24]. Запишем уравнение для плотности потока в фазовом пространстве {s х s(E)}, где, согласно определению, s(E)) - средний путь электронов потерявших энергию А = EQ — Е, s - простран ство пройденных путей электронов с энергией Е с учетом их страглинга, т.е. разброса относительно среднего значения s(E), однозначно связанного с потерянной энергией. Имеем 5(Д) = У Щу Ло = 5(Д = Д,). (4.31) Энергию будем измерять в единицах EQ, а путь - в единицах R$. Плотность потока электронов в фазовом пространстве {sxs} связана с плотностью потока электронов в фазовом пространстве {s х Е} соотношением N(s(E),s)ds = F(E, s)dE, (4.32) где N(s, s) - это число электронов пересекающих в единицу времени единичную площадку, пройденные пути которых s находятся в единичном интервале вблизи среднего пройденного пути s(E).

Коэффициенты исходного уравнения (4.20) являются функциями среднего пробега s, однозначно связанного с энергией электронов Е, так как источник электронов в уравнении моноэнергетический — 5(Е — Eo)S(s). После несложных преобразований исходного уравнения получим д (єЧз) _, Уравнение (4.33) описывает диффузию электронов в пространстве средних пройденных путей s при пройденном пути s, играющем роль времени.

Здесь в качестве единицы длины выбран RQ - средний пробег электронов с начальной энергией EQ, И величины пройденных путей s и средних пройденных путей s измеряются в этих единицах. Величина So граница перехода от распределения Ландау к диффузии - определяется так, чтобы распределение Ландау ещё не потеряло точности, а диффузионное приближение уже стало применимым. Уравнение (4.33) по виду совпадает с уравнением Фоккера-Планка для одномерной диффузии с коэффициентом диффузии D = , (4-35) и конвекцией частиц под действием внешних сил со средней скоростью конвекции близкой к единице: d /1\ dD , Поведение функциональных коэффициентов уравнения можно оценить с помощью рассмотренных ранее приближенных аналитических выражений для средних потерь и среднего квадрата потерь энергии на единице пути. Коэффициент диффузии монотонно убывает практически до нуля с увеличением пройденного пути, в то время как скорость конвекции изменяется мало и остается близкой к единице на всем интервале пройденного пути.

По виду решений уравнения диффузии в пространстве энергий, показанных на рисунке 4.10, и по поведению функциональных коэффициентов, показанному на рисунке 4.11 можно утверждать, что искомое распределение имеет резко выраженный максимум относительно некоторого наиболее вероятного значения, в то время как коэффициенты уравнения изменяются плавно и монотонно почти везде , за исключением узкой области потерянных энергий А = {EQ — Е)/Е—) 1 . Под переменной s, играющей в уравнении (4.33) роль времени, будем понимать средний путь, определяемый выражением (4.31). Как видно из рисунка 4.11, скорость изменения плотности N(s, R) значительно больше изменения скорости изменения функциональных коэффициентов.

Страглинг-приближение Бора - Тер-Микаеляна

Рассмотрим как влияет учет разброса по пробегам на энергетические спектры обратно рассеянных электронов, полученных на основе транспортно-малоугловой модели кинетического уравнения. В качестве примера приведем энергетические спектры обратно рассеянных электронов из слоя золота толщиной 350 им. рисунок 6.1. Решение уравнения (6.24) с граничными условиями (6.25) и (6.26) производилось численно с помощью программы написанной на Matlab с использованием встроенного решателя параболических дифференциальных уравнений pdepe. На рисунке представлены спектры, полученные на основе транспортно-малоугловой модели с учетом страглинга и без учета этого явления.

Включение в модель разброса по пробегам делает спектры более размытыми и уменьшает амплитуды. На настоящий момент нет достоверных экспериментальных данных по энергетическим спектрам, однако качественный анализ немногих попыток получить энергетические спектры на установках, говорит о том, что величина дисперсии вероятно должна быть большей, чем в транспортно-малоугловой модели, без учета страглинга. Энергетические спектры обратно-вышедших электронов из слоя золота толщиной 350 им при началвной энергии частиц 10 кэВ: верхний график - без учёта разброса пробегов, нижний график - с учетом этого явления

Сравним спектры транспортно-малоугловой модели с учётом страглинга со спектрами, которые получаются из численного эксперимента с помощью метода Монте-Карло рисунок 6.2.

В численном эксперименте разыгрывалось полмиллиона траектории частиц на основании которых получены энергетические спектры обратно-вышедших электронов. Таким образом, из рисунков 6.1 и 6.2 следует, что включение в модель разброса по пробегам позволяет значительно лучше приблизится к физической реальности. Для оценки точности решения транспортно-малоугловой модели учтём тот факт, что внутри мишени нет источников или стоков электронов, таким образом если мы посчитаем все электроны в любой момент времени, а в роли времени у нас выступает энергия (см. уравнение (6.24)), общее число электронов будет сохраняться и определяется падающим на мишень пучком. 1.6г

Энергетические спектры обратно-вышедших электронов из слоя золота толщиной 350 нм при начальной энергии частиц 10 кэВ, полученные на основе метода Монте-Карло и транспортно-малоугловой модели с учётом страглинга (гладкая линия)

Следовательно, первоначальный пучок электронов с течением времени или уменьшением энергии будет перераспределяться на группы электронов: сохраняющих своё первоначальное направление или расплывающихся на очень малые углы и группу "забывших"своё первоначальное направление - изотро-пизированных электронов, но общее число частиц во всех группах будет сохраняться. Для каждого момента времени группу изотропизированных электронов можно разбить на подгруппы: tr - прошедшие сквозь мишень электроны, be - вышедшие обратно из мишени и ab - группа находящихся внутри мишени. all

Контрольная сумма всех групп электронов прямой задачи ЭМ для мишени состоящей из одного слоя золота толщиной 350 им при начальной энергии частиц 10 кэВ. forward - доля прямоидущих электронов, isotr - доля изотроизированных эллектронов, состоящая из долей: tr - доля прошедших сквозь мишень, be - доля обратно-рассеянных, ab - доля находящихся внутри мишени; all - сумма всех долей

Общее число изотропизированных электроновriisotr(Е) = паъ{Е)+щс{Е)+ щг(Е) и число сохраняющих своё первоначальное направление nforward(E) сохраняется Таким образом, правильность найденного решения F(z, Е) (рисунок ?) легко проверить. Достаточно посчитать на основании найденного решения F(z, Е) число частиц всех описанных выше групп внутри мишени и на её границах при любых энергиях Е и сравнить с первоначальным числом частиц падающих на мишень.

Интенсивность падающего пучка мы положили равным единице - это позволяет говорить не о числе частиц, а о процентном соотношении электронов Рис. 6.4: Дифференциальная плотность потока F(z, Е/Е0) [E 1L 2T 1\ (1/(энергияхдлина2хвремя)) прямой задачи ЭМ для мишени состоящей из одного слоя золота толщиной 350 им при начальной энергии частиц 10 кэВ различных групп. Из рисунка 6.3 видно, что для любого момента времени і? сумма всех долей различных групп сохраняется и равна единице, что говорит о правильности найденного решения.

В качестве примера применения транспортно-малоугловой модели с учетом страглинга рассмотрим наиболее интересный с практической точки зрения случай - прямую задачу ЭМ, для которой зададим сложную многослойную мишень. Пусть мишень состоит из слоев: свинец - 20 нм., алюминий - 200 нм., золото - 50 нм., алюминий - 1400 нм. Энергию падающего пучка выберем равной 10 кэВ. С помощью программы написанной на Matlab с использованием встроенного решателя параболических дифференциальных уравнений pdepe получим численное решения задачи рисунок 6.5.