Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Область исследований и постановка задачи . 11
1.1. Мощные резонансные СВЧ приборы О-типа 11
1.2. Методы математического и компьютерного моделирования мощных резонансных приборов О-типа. 20
1.3. Основные цели и задачи исследования. Положения, выносимые на защиту. 30
Глава 2. Дискретно-аналитические модели вакуумных СВЧ приборов . 32
2.1. Общая формулировка задачи построения дискретно-аналитической модели. 33
2.2. Основные уравнения 41
2.3. Квазиламинарный электронный пучок в плоском диоде (аналитические решения). 59
2.4. Электронный пучок в узком канале (аналитические решения) 71
2.5. Дискретно-аналитическая модель трубы дрейфа. 86
2.6. Модель распределения СВЧ поля в зазоре резонатора. 100
2.7. Дискретно-аналитическая модель эффективного зазора. 111
2.8. Анализ процесса торможения сгустка в выходном зазоре. 119
2.9. Дискретно-аналитическая модель приборов клистронного типа.
1 2.10. Пример двумерной численно-аналитической модели (электронная пушка М-типа). 144
2.11. Заключение по главе 2. 155
Глава 3. Методы оптимизации параметров клистрона . 156
3.1. Параметры клистрона. 157
3.2. Классы эквивалентности. Принцип GSP. 163
3.3 Структура целевой функции и требования к методу оптимизации . 172
3.4. Метод зондирования. 180
3.5. Метод перебора с масштабированием. 186
3.6. Метод макрошагов для оптимизации мощных клистронов. 194
3.7. Метод минимальной невязки. 198
3.8. Заключение по главе 3. 205
Глава 4. Комплекс программ KlypWin . 206
4.1. Компьютерная реализация дискретно-аналитической модели и методов оптимизации. 207
4.2. Структура данных и интерфейсы. 214
4.3.Дополнительные программы комплекса KlypWin. 231
4.4. Оценки адекватности и эффективности компьютерного моделирования . 236
4.5. Заключение по главе 4. 247
Глава 5. Методы достижения предельных значений КПД в клистронах. 248
5.1. Анализ факторов, влияющих на КПД клистрона. 248
5.2. Максимальный КПД двух- и трехрезонаторных клистронов 258
5.3. Поэтапная оптимизация и приведенная длина. 269
5.4. COM-группирование и COM-клистроны. 287
5.5. Группирование при СВЧ воздействии на гармониках. Режимы CSM и COM2 298
5.6. Двумерные и нестационарные эффекты. 311
5.7. КПД при высоком первеансе. 318
5.8. Проекты высокоэффективных клистронов для современных коллайдеров и для других применений. 326
5.9. Заключение по главе 5. 330
Глава 6. Методы сочетания высоких значений КПД с высоким значением коэффициента усиления в приборах с модуляцией эмиссии . 332
6.1. Резотрод с 0-регенерацией. 332
6.2. Возможные конструкции и применения резотрода с 0-регенерацией 342
6.2. Резотрод с 2-регенерацией. 350
6.4. Проблемы расширения полосы в приборах с модуляцией эмиссии. 361
6.5. Заключение по главе 6. 372
Заключение. 373
Список литературы
- Методы математического и компьютерного моделирования мощных резонансных приборов О-типа.
- Квазиламинарный электронный пучок в плоском диоде (аналитические решения).
- Структура целевой функции и требования к методу оптимизации
- Оценки адекватности и эффективности компьютерного моделирования
Методы математического и компьютерного моделирования мощных резонансных приборов О-типа.
1. Введение.
Проблема увеличения КПД клистронов и других резонансных СВЧ приборов О-типа наталкивается на значительные трудности проектирования, в первую очередь, - на трудности математического моделирования и многопараметрической оптимизации.
Для успешного преодоления этих трудностей необходимы следующие условия.
Во-первых, должна быть реализована возможность достаточно точного компьютерного моделирования работы таких приборов в сочетании с высокой скоростью расчетов.
Во-вторых, необходим высокоэффективный метод оптимизации приборов на основе компьютерной модели, позволяющий находить глобальный экстремум целевой функции.
В-третьих, необходимо глубокое и всестороннее исследование физических процессов, протекающих в таких приборах и выявление наиболее критичных факторов, влияющих на КПД приборов.
Математические модели резонансных СВЧ-приборов O-типа, на основе которых разрабатывались компьютерные программы, исторически делились на два различных типа: аналитические модели и численные модели. Рассмотрим коротко историю развития и современное состояние этих моделей.
2.Аналитические модели.
Впервые работа клистрона была объяснена в рамках кинематической модели с бесконечно тонкими зазорами [41-42]. Такая модель и в настоящее время является очень популярной для объяснения работы клистрона с качественной точки зрения. В большинстве современных учебников по СВЧ-электронике [3-6, 43, 44] работа клистрона объясняется с точки зрения именно этой модели.
Отметим, что наряду с эффектами работы клистрона, которые правильно объясняются с качественной точки зрения кинематической моделью, существуют эффекты, которые кинематическая модель не может описать или объясняет неправильно. Например, одним из важных параметров, вытекающих из кинематической модели, является параметр группирования [4], введение которого подразумевает, что максимальная гармоника конвекционного тока в двухрезонаторном клистроне может быть достигнута при любой амплитуде СВЧ-воздействия, в том числе при стремлении этой амплитуды к 0. Такой вывод является качественно неверным, т.к. из-за сил пространственного заряда глубокая группировка не может быть осуществлена при малой амплитуде СВЧ-воздействия.
Для учета влияния пространственного заряда, который является важным физическим фактором, определяющим характер группирования и отбора энергии в клистроне, были разработаны более адекватные аналитические модели на основе волн пространственного заряда. Следует отметить, что волны пространственного заряда исследовались независимо от теории клистрона в работах [45-46]. Применительно к теории клистрона модель волн пространственного заряда была впервые представлена в работе Г. Бранча и Т. Мирана [47] в 1956 г., в которой волны пространственного заряда в трубе дрейфа были проинтерпретированы как распространяющиеся плазменные колебания с «редуцированной плазменной частотой». Аналитическая теория группирования Г. Бранча и Т. Мирана стала основой для построения большинства последующих аналитических моделей клистрона.
Похожая на теорию Г. Бранча и Т. Мирана, но полученная из несколько других физических соображений теория группирования в клистроне с учетом влияния пространственного заряда была разработана С.А. Зусмановским и З.И. Хаплановой в 1959г. [48]. В этой работе было получено уравнение колебаний, решение которого оказалось достаточно близким к решению Г. Бранча и Т. Мирана, но отличалась другой зависимостью «редуцированной плазменной частоты» от коэффициента заполнения канала пучком и от СВЧ-частоты. Другие аналитические решения, полученные позже, например, в работе [2], также отличались от модели Г. Бранча и Т. Мирана этими зависимостями.
Модели группирования в клистроне на основе волн пространственного заряда являются более адекватными, чем кинематическая модель, но не могут обеспечить высокой точности результатов. Это связано с достаточно жесткими упрощающими предположениями, которые были использованы при построении таких моделей.
Во-первых, использованное в этих моделях предположение о малости амплитуды модуляции плотности заряда является неверным в режиме глубокой модуляции электронного пучка, который необходим при реализации высоких значений КПД.
Во-вторых, как будет показано далее, даже в рамках линейной модели предположение о синусоидальном характере группирования нарушается при больших длинах пространства дрейфа.
Модель бесконечно тонкого зазора, используемая в аналитических моделях клистрона, также не позволяет обеспечить правильные количественные результаты, особенно в последних каскадах группирователя. Для выходного же зазора эта модель является заведомо неадекватной.
Тем не менее, аналитическая модель группирования в клистроне является очень удобным инструментом для исследования физических процессов с качественной точки зрения.
Для приборов с модуляцией эмиссии аналитические модели также позволяют описать процесс, в основном, с качественной точки зрения. В таких приборах процессы взаимодействия электронного пучка с электромагнитными полями является существенно двумерными, т.к. СВЧ-модуляция во входном зазоре происходит в сильно неоднородном статическом электрическом поле.
Для таких приборов аналитически можно получить только приближенные оценки, которые, тем не менее, часто оказываются достаточно важными (см. [49]).
В целом же для получения практически важных количественных результатов используются, в основном, численные модели вакуумных электронных приборов.
3. Численные модели.
Численными принято называть модели, основанные на непосредственном решении самосогласованных уравнений взаимодействия электронных пучков с электромагнитными полями с помощью разностных схем или других аналогичных численных алгоритмов [50-52].
Численные модели принято классифицировать исходя из пространственной размерности: 1D, 2D, 3D. Кроме того, модели различаются с точи зрения временного описания процессов, подразделяясь на стационарные (моделирующие стационарный режим работы прибора) и нестационарные (моделирующие переходные процессы при включении прибора, на фронте и на срезе импульса).
В резонансных СВЧ-приборах О-типа можно разделить задачи самосогласованного взаимодействия электронных пучков с электромагнитными полями и задачи моделирования СВЧ-полей в резонаторах. Если проведено такое разделение, то наиболее эффективными численными методами решения электродинамических задач оказываются те или иные вариации метода конечного элемента [53, 54].
Задачи самосогласованного взаимодействия электронных пучков с
электромагнитными полями решаются, как правило, на основе различных модификаций метода крупных частиц (МКЧ) [55-59].
Для одномерных (1D) моделей наиболее распространенным вариантом МКЧ является дисковая модель, в которой электронный пучок в клистроне представляется в виде набора одинаковых монолитных «электронных дисков» с радиусом, равным радиусу пучка, и с фиксированными значениями толщины и электрического заряда.
На каждом шаге дисковой модели рассчитывается сила кулоновского взаимодействия текущего диска со всеми остальными дисками и сила воздействия на диск со стороны СВЧ-поля (если диск находится в зазоре). Необходимость учета кулоновского взаимодействия для всех пар дисков на каждом шаге приводит к сложности алгоритма порядка N2 по отношению к количеству дисков.
Одна из первых дисковых моделей была описана в работе [60]. В дальнейшем аналогичные модели были разработаны многими другими исследователями.
В настоящее время одной из самых используемых программ на основе одномерной дисковой модели является программа AJDisk, разработанная А. Дженсеном [61] (A.Jensen, SLAC, Stanford University).
Двумерные и трехмерные модели резонансных СВЧ-приборов О-типа строятся, как правило, на основе модификации метода крупных частиц, получившего название PIC (Particles-in-Cell). PIC-модели изначально были разработаны для описания коллективных процессов в плазме [62-66].
Развитие 2D и 3D PIC-моделей привело к созданию универсальных программ, способных решать общую задачу самосогласованного взаимодействия произвольной заряженной среды с возбуждаемыми ей и/или возбужденными извне электромагнитными полями при произвольных граничных условиях.
Квазиламинарный электронный пучок в плоском диоде (аналитические решения).
Пучок, который может быть описан уравнениями (2.2.33), (2.2.34), (2.2.37), (2.2.38), будем называть квазиламинарным [92 ]. Примером квазиламинарного пучка, является любой пучок, эмитируемый термокатодом, при достаточно низких напряжениях, когда влияние теплового разброса (его характерная величина 0.1 V) на динамику пучка является существенным. Другим примером квазиламинарного пучка является пучок, состоящий из двух или нескольких ламинарных субпотоков, таких, что разница скоростей субпотоков мала по сравнению с их общей средней скоростью. Таким можно считать пучок в пространстве дрейфа клистрона, если в нем произошли процессы перемешивания по сечению и/или продольного обгона.
Отметим, во-первых, что наличие лагранжевой производной в уравнении (2.2.34) позволяет интерпретировать левую часть уравнения (2.2.34) как ускорение элемента заряженной среды, а правую часть этого уравнения - как удельную силу, действующую на этот элемент. Эта удельная сила отличается от удельной силы, действующей на электроны (см. выражения (2.2.9) и (2.2.21)), т.к. она учитывает трансформацию частиц среды в процессе движения за счет взаимного обмена электронами. Таким образом, динамика движущегося элемента заряженной среды отличается от динамики электрона, соответственно, называть этот объект «электроном» нельзя.
Движущийся элемент заряженной среды будем называть усредненной частицей.
Далее под усредненной частицей будем понимать дифференциальный элемент заряженной среды, полученный в результате усреднения не только по скоростям, но и, возможно, по некоторым пространственным координатам. Например, при построениии одномерной модели пучка в клистроне будет проведено усреднение по радиальной и по азимутальной координатам. Усредненная частица в этом случае будет представлять собой движущийся вдоль оси z дифференциальный диск с радиусом, равным радиусу пучка.
Для качественного анализа усредненной частицей иногда бывает удобно считать не только дифференциальный, но и сравнительно протяженный элемент пучка. Такой подход будет использован при оценке влияния разброса скоростей на возможность возникновения виртуального катода в зазоре резонатора.
Система уравнений (2.2.33), (2.2.34), (2.2.37) при условии (2.2.38) и при заданных фокусирующем магнитном поле В h и СВЧ поле Ёш (или при отсутствии СВЧ поля) является замкнутой. Если же СВЧ поле возбуждается пучком, то к системе необходимо добавить соотношения (2.2.16) и (2.2.17).
Рассмотрим теперь ламинарный пучок, т.е. пучок с пренебрежимо малым разбросом скоростей (скоростная часть функции распределения близка к дельта-функции). В этом случае все моменты функции распределения равны 0, за исключением нулевого момента, т.е. плотности заряда р, которую можно найти из уравнения непрерывности в виде (2.2.31) или (2.2.33). Уравнение движения частицы ламинарного пучка d _ є —V — — dt те -{P)rd\EHF-V(pq+ VxBph ) (2.2.39) совпадает с уравнением (2.2.34) при Пу = 0 и с уравнением (2.2.27) при замене скорости w микрочастицы на скорость v усредненной частицы. Таким образом, для ламинарного пучка в общем случае трехмерного движения понятия «микрочастица среды» и «усредненная частица» являются тождественными. Однако после выполнения усреднения по каким-либо пространственным переменным эти понятия становятся различными.
Общая система уравнений, описывающая самосогласованное (по пространственному заряду) движение ламинарного электронного пучка состоит из уравнений (2.2.26), (2.2.33) и (2.2.39). При необходимости согласования процесса движения с процессом возбуждения СВЧ поля в резонаторах к этим уравнениям необходимо добавить соотношения (2.2.16) и (2.2.17) или (2.2.18).
Не все электронные пучки могут быть описаны в рамках ламинарного или квазиламинарного приближений. При возникновении таких физических процессов как обгон, отражение электронов, пересечение траекторий и т.п. плотность заряда и другие моменты функции распределения будут испытывать разрыв на некоторых поверхностях. Такие пучки будем называть пучками с разрывами.
Далее (в главе 5) будет показано, что предельные значения КПД в резонансных приборах О-типа достигаются только в том случае, если пучок сохраняет ламинарность в процессе группировки и отбора энергии. Однако, учитывая необходимость моделирования различных приборов, включая неоптимальные, а также необходимость проведения оптимизации, в процессе которой могут проявляться неоптимальные промежуточные варианты, необходимо построить модель, позволяющую описывать пучки с разрывами.
Структура целевой функции и требования к методу оптимизации
Рассмотрим две задачи о трансформации электронного пучка в узком канале, имеющие точные аналитические решения и иллюстрирующие суть физических процессов, происходящих в электронном пучке, движущемся в узком протяженном канале. Эти решения будут использованы далее для некоторых оценок и для тестирования программных компонент дискретно-аналитической модели.
Для продольных волн в электронном пучке, возникающих в отсутствии внешней СВЧ волны, приняты термины "волны пространственного заряде" [2, 4, 5, 47] и "конвекционные волны" [4 ]. Первый термин отражает кулоновский характер взаимодействия между частицами, формирующими волну. Второй термин отражает тот факт, что эти волны являются волнами смещения частиц относительно их положений в однородном пучке. Далее мы будем рассматривать волновые процессы в лагранжевых координатах, в этом случае более подходящим представляется термин "конвекционная волна".
Задача о продольных конвекционных волнах в электронных пучках без учета граничных условий впервые была рассмотрена в работах [45, 46]. Затем в работе [47] было получено решение с граничными условиями на стенках узкого канале. В этой работе был использован такой же подход, как и для бесконечно широкого скомпенсированного электронно-ионного потока. Т.к. конвекционные волны в бесконечно широком скомпенсированном потоке представляют собой распространяющиеся плазменные колебания [45], то получившийся параметр распространения синусоидальных конвекционных волн был назван "редуцированной плазменной частотой".
При этом остались без внимания два важных факта. Во-первых, найденный в работе [47] параметр распространения конвекционной волны в узком канале является безразмерной величиной, и превращается в величину с размерностью частоты только после умножения на частоту СВЧ сигнала (являющейся по отношению к пучку внешней и произвольно задаваемой). Во-вторых, в отличие от плазменной частоты, квадрат этого параметра пропорционален первеансу, а не плотности заряда. Этим фактам не уделили должного внимания и другие авторы, занимавшиеся исследованием аналогичных задач [2, 4, 48, 205, 206].
Отметим также, что ни в одной из работ до работы [4 ] не рассматривались конвекционные волны в узком канале (в запредельном волноводе), существенно отличающиеся от синусоидальных, в частности, непериодические. Хотя возможность практического применения таких волн не очень ясна, их рассмотрение очень важно с теоретической точки зрения.
Выведенное в разд. 2.2 уравнение трансформации пучка в узком канале (уравнение 2.2.50) учитывает полную кулоновскую силу, определяемую усредненной функцией Грина (2.2.51) и не предполагает какого-либо конкретного вида воздействия на пучок. Поэтому рассмотрение конвекционных волн на основе уравнения (2.2.50) позволяет получить более общее решение этой задачи, чем решения, найденные в цитированных работах. Как будет показано далее, это решение имеет вид волн в нерезонансной среде, которые, вообще говоря, не могут быть интерпретированы как распространяющиеся плазменные колебания.
Итак, предположим, что однородный электронный пучок, распространяющийся вдоль оси узкого канала, подвергается в начальной плоскости некоторому малому воздействию произвольной формы. Найдем волну, порожденную таким воздействием. Для решения поставленной задачи рассмотрим систему уравнение (2.2.50) при следующих дополнительных предположениях. 1. Модуляция скорости мала и происходит медленно, т.е. выполняются условия dvldz V v = v0 + V , «1, «1 (2.4.1) 2. Модуляция плотности заряда мала и происходит медленно, т.е. выполняются условия р (2.4.2) «1, «1 др/дг р0 Р = Р0+Р, Р0/гс 3. Обгон отсутствует (пучок всегда остается ламинарным). Как показано в [4 ], усредненная функция Грина (2.2.51) имеет вид узкого пика с характерной шириной, равной радиусу канала (рис. 2.4.1). G{z,a)k{0,a) і0.8 0.6 0.4 0.2 a = 0.9 її a j ).5 і /і 1 1 і \ \1 Ij & а = 0.Іч; . 7 2-10 1 2 Л преобразовав его из интегро-дифференциального в дифференциальное уравнение в частных производных. Воспользовавшись теоремой о среднем [207], вынесем плотность заряда в уравнении (2.2.50) из-под знака интеграла CO [ G(u) — p(z + u, t)du = — p(z + u ,t) G(u)d dz dz (2.4.3) Величина и мала по сравнению с областью характерного изменения величины р, поэтому в (2.4.3) можно положить и = 0 .
Оценки адекватности и эффективности компьютерного моделирования
После решения уравнения (3.2.10) и корректировки ускоряющего напряжения С/0(2)- С/0(2)+дС/0(2) (3.2.11) остальные параметры группы определяются по формулам (3.2.5)-(3.2.8) аналогично предыдущему случаю. При этом опять необходимо решить электродинамическую задачу и убедиться в реализуемости характеристического сопротивления. Вместо корректировки величины U0 можно аналогичным способом откорректировать величину Р 2 или обе эти величины одновременно. Таким образом, полученные выражения решают задачу о переходе внутри класса эквивалентности от одного клистрона к другому, полностью ему эквивалентному. Эта процедура получила название General Similitude Principal (GSP), [7 ]. 3. Особенности, возможности и области применимости GSP-метода. Метод GSP является модификацией принципа подобия, который применительно к задачам вакуумной СВЧ электроники рассматривался во многих работах, например, [230-235]. Наиболее фундаментальной является работа [230], где сформулирован принцип определения вида зависимостей в вакуумной электронике на основе анализа размерностей [236] и формирования безразмерных комплексов вида (3.1.9)-(3.1.13).
Применительно к клистронам решалась задача частичного подобия [237]: как получить в новом приборе режим группирования и/или отбора энергии, с той или иной точки зрения похожий на режим прототипа. При этом, как правило, для нового прибора фиксировался избыточный набор параметров группы «A», что делало невозможным полную эквивалентность. Отметим принципиальную разницу между частичной и полной эквивалентностями. Предположим, что есть некоторый прототип - оптимальный прибор с КПД, близким к предельному. Если синтезировать частично эквивалентный прибор, то он, вообще говоря, уже не будет оптимальным. Для превращения его в оптимальный требуется проведение оптимизации по компьютерной модели. Поэтому частично эквивалентный прибор является просто хорошим исходным вариантом для оптимизации. Наличие такого варианта сокращает время компьютерной оптимизации, но не позволяет ее избежать.
В отличие от частично эквивалентного прибора, GSP-аналог является по сути тем же самым прибором в безразмерных переменных, поэтому оптимизировать GSP-аналог не требуется.
Можно, например, для любого нового прибора определить, к какому К-v-классу он принадлежит, выбрать по диаграмме рис. 3.2.1 ближайший наилучший прототип и провести GSP-преобразование его параметров.
Такой подход имеет некоторые ограничения, которые необходимо отметить. Полученные после GSP -преобразования параметры прибора могут оказаться физически и/или технически нереализуемыми. Возможная сложность реализации с технической точки зрения относится, в первую очередь, к геометрическим размерам (3.2.5), (3.2.6), (3.2.1), которые на высоких частотах могут оказаться слишком маленькими, а на низких, наоборот, - слишком большими. Понятие «сложность технической реализации» корректируется по мере развития технологий, поэтому такие ограничения являются важными, но не фатальными. Может ли GSP-аналог оказаться нереализуемым с точки зрения физических законов? Такая проблема возникнет, если окажется, что создать резонатор с характеристическим сопротивлением, определяемым формулой (3.2.8), невозможно. Условие реализуемости резонатора, по сути, становится дополнительным ограничением на изменение "свободных" параметров, уменьшающим размерность класса эквивалентности. Например, если использовать выражение для характеристического сопротивления 1 _, s0S S0-Nh7rr2 р = и простейшее выражение для емкости зазора С = = , где со0С lg k-lg коэффициент заполнения торца каналами, т.е. отношение суммарной площади каналов к площади торца, то параметр v можно записать в виде 2 4yf2ku2 2 Р v= И - 3 , (3.2.12) я-- 1+u0 JJ2 В этом случае условие v = const обеспечивается условием 169 1/ U 0 2 1+ 2 P 0т = const , (3.2.13) создающим дополнительную связь между параметрами U0 и P0. Если выражение (3.2.12) рассматривать как уравнение для U 0 , при U0 = U02 , то размерность класса эквивалентности уменьшается на 1. Учитывая, что выражение (3.2.12) получено в рамках упрощенной модели, его можно рассматривать как «мягкое» уравнение, допускающее возможность корректировки полученного решения в соответствии с (3.2.10), (3.2.11). С этой же точки зрения уравнение (3.2.13) можно упростить и записать его решение в нерелятивистском приближении P(2) 23 О {2) U 0 U0{1), (3.2.14) P(1) При этом класс эквивалентности становится 2-х параметрическим, т.е. остаются только два свободных параметра со0 и P0, остальные параметры однозначно определяются по этим двум. Этот 2-х параметрический класс оказывается значительно более узким, чем исходный 2.5-параметрический класс, т.к. выполнение одного из условий (3.2.13) или (3.2.14) не является необходимым; для данного прототипа можно найти GSP-эквиваленты, для которых эти условия не выполняются, даже приближенно.
Использование одного из условий (3.2.13) или (3.2.14) не является и достаточным, т.е. не гарантирует выполнение условия (3.2.8) и не отменяет необходимости его обеспечения на основе подбора геометрии резонатора с помощью численного моделирования электродинамики, но способствует выполнению этого условия.
Рассмотрим еще одно очень важное направление использования GSP-метода. Для контроля и возможной корректировки результатов, полученных по дискретно-аналитической и по другим одномерным моделям, а также для исследования стабильности прибора используются 2D и 3D программы типа MAGIC [67] и CST Studio Suite [328] . Если прибор является многолучевым, то корректное его моделирование по таким программам возможно только в 3D варианте. Но один 3D расчет многорезонаторного клистрона по таким программам требует около одного месяца расчетного времени на стандартном ПК. Расчеты же по 2D программам происходят существенно быстрее - на один расчет требуется чуть больше суток.
На основе GSP преобразования можно вместо исходного многолучевого клистрона получить его однолучевой аналог, который хорошо моделируется по 2D программам. Таким образом, использование GSP позволяет значительно сократить время численных экспериментов. Такое применение GSP-метода будет рассмотрено в гл. 5.
Наконец, еще одно возможное применение GSP заключается в тестировании численных 3D программ: для всех GSP-аналогов должны получаться одинаковые результаты. Если результаты оказываются разными, то их разбросу можно судить о точности программы.