Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Нелинейные электрические системы. Возникновение и характеристики хаотических колебаний 13
1.1 Динамические системы 13
1.2 Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств
1.3. Исследование свойств детерминированного хаоса. Характеристики хаотических режимов нелинейных электрических систем
1.4 Обоснование возможности возникновения хаотических режимов в электроэнергетической системе. Идентификация хаотических и переходных хаотических колебаний 4-*
1.5 Выводы 55
Глава 2 Исследование динамики и анализ возникновения режима детерминированного хаоса в нелинейных электрических системах 57
2.1 Нелинейная электрическая система Чу а 57
2.1.1 Уравнения цепи 5 9
2.1.2 Компьютерное моделирование 61
2.1.3 Физическое моделирование 65
2.2 Неавтономный генератор Чуа 68
2.3 Автономный генератор, реализующий аттрактор типа «двойной завиток»
2.3.1 Физическая реализация и наблюдение 73
2.3.2 Экспериментальные наблюдения 76
2.4 Нелинейная электрическая цепь, содержащая индуктивность с гистерезисом
2.5 Выводы 85
Глава 3 Моделирование процессов в нелинейных электрических диссипативных системах автономных генераторов 87
3.1 Исследование динамики системы двух идентичных генераторов Чуа
3.1.1 Система двух генераторов Чуа, соединенных посредством резистивной связи
3.1.2 Система двух идентичных генераторов Чуа с емкостной связью
3.2 Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов
3.3 Генератор Анищенко - Астахова 106
3.3.1 Моделирование в программе MathCAD 108
3.3.2 Моделирование в программе Micro-Cap 114
3.4 Выводы 115
Глава 4 Обоснование возможности возникновения и моделирование хаотических процессов в электроэнергетических системах
4.1 Нестабильность и хаос в электроэнергетической системе 117
4.1.1 Модели электроэнергетической системы 117
4.1.2 Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах 119
4.1.3 Неустойчивость и хаос 124
4.1.4 Неустойчивые режимы и хаос 126
4.2 Сосуществование четырех различных аттракторов в фазовом пространстве изолированной электроэнергетической системы
4.3 Переходные хаотические колебания в электроэнергетической системе 4.3.1 Определение характеристических показателей Ляпунова 131
4.3.2 Измерение фазы в реальном времени 133
4.3.3 Обнаружение переходных хаотических колебаний 135
4.3.4 Анализ и моделирование переходных хаотических колебаний
4.4 Выводы 149
Основные выводы по результатам научных исследований 150
Литература
- Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств
- Компьютерное моделирование
- Система двух идентичных генераторов Чуа с емкостной связью
- Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах
Введение к работе
Актуальность темы. Детерминистские законы, некогда бывшие наиболее приемлемыми научными законами, сейчас предстают перед нами как чрезмерные упрощения. В классическом представлении считают, что если бы в некоторый момент времени состояние нелинейной электроэнергетической системы (НЭЭС) было известно с достаточной точностью, то в принципе будущее поведение НЭЭС можно было бы предсказать, а прошлое - восстановить. Такого рода теоретическая схема указывает, что в определенном смысле настоящее содержит в себе прошлое и будущее.
В классическом понимании выражение «вскрыть причинно - следственные связи » означает «понять динамику процессов», происходящих в НЭЭС. При этом предполагается, что причина и следствие соизмеримы. Для устойчивых и нейтральных процессов это имеет место. В неустойчивых процессах ситуация иная: очень «малая» причина приводит к следствию, которое по масштабу несоизмеримо с причиной. Обычно в таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие. Но тогда происходит существенный сдвиг понятий: в качестве причины фигурирует не внешнее воздействие, а внутреннее свойство НЭЭС, приводящее к внезапному качественному изменению поведения НЭЭС при изменении некоторого ее параметра.
Описание НЭЭС требует привлечения понятий порядка и хаоса. Выясняется, что хаос может появляться из упорядоченного состояния (детерминированный хаос), а порядок - из хаотического состояния. Отмечают два свойства и одну особенность хаотических состояний НЭЭС. Термин «хаос» применяется к таким состояниям НЭЭС, траектории которых в фазовом пространстве обнаруживают сильную зависимость от начальных условий. Другое свойство НЭЭС в хаотическом состоянии - потеря информации со начальных условиях. Особенностью НЭЭС в хаотическом состоянии является возбуждение непрерывного
спектра частот реакции - отклика НЭЭС, расположенного ниже частоты внешнего воздействия.
Хаос представляет собой реально существующее причудливое и устойчивое нелинейное явление, которое трудно проанализировать. Издавна многие исследователи обращали внимание на хаос, но, приняв его за физический шум, не занимались изучением этого явления. Проявления хаоса разнообразны: от безобидных явлений (турбулентность) - до событий, способных приводить к катастрофам (потеря управления). Сведения о тех или иных проявлениях хаоса имеются практически во всех научных дисциплинах - астрономии, биологии, биофизике, химии, электротехнике, геологии, медицине и др.
Хаос - это новый тип и особая форма поведения НЭЭС в установившемся и переходном режимах. Из фундаментальных курсов по теории электрических цепей известно, что реакция - отклик всех устойчивых линейных цепей содержит две составляющие, одна из которых соответствует переходному процессу, а другая - установившемуся состоянию. При этом отклик в установившемся состоянии, описывающий поведение цепи или системы после завершения в ней всех переходных процессов, может представлять собой либо константу, либо некоторое периодическое решение. Это заключение настолько прочно входит в сознание инженеров, что большинство из них подсознательно экстраполирует его и на случай нелинейных цепей и систем. Для математического описания таких цепей составляют системы нелинейных уравнений.
В системе линейных уравнений знание собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов позволяет записать ее решение в замкнутом виде. В системах нелинейных уравнений замкнутые решения могут быть получены лишь для небольшого числа систем, вследствие чего решающая роль в отыскании и анализе различных нелинейных явлений отводится методам численного моделирования. Но это никоим образом не затрагивало основополагающий научный принцип, заключающийся в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях, описывающих некоторую НЭЭС, и начальных условиях для этих уравнений режим
НЭЭС может быть предсказан на любой интервал времени. Открытие хаотических режимов НЭЭС доказало неправомерность такой точки зрения. Хаотическая НЭЭС представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом.
При наличии нелинейности существует широкий диапазон параметров элементов, при которых поведение цепи или системы в установившемся состоянии оказывается хотя и ограниченным, но непериодическим. Колебания приобретают случайный характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный спектр. Кроме того, поведение системы оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным.
Цель диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является анализ возникновения разработка метода идентификации и математическое моделирование хаотических режимов в электроэнергетических системах для экономичного и надежного производства электроэнергии, ее транспортировки и снабжения потребителей электроэнергией в необходимом количестве и требуемого качества.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих конкретных задач:
Обзор имеющихся методов и средств анализа хаотических режимов работы НЭЭС.
Математическое и компьютерное моделирование процессов в нелинейных диссипативных электрических системах.
Создание физической модели для проверки результатов компьютерного и математического моделирования.
Исследование и моделирование на ЭВМ электроэнергетических систем и их частей.
Обоснование возможности возникновения хаотических процессов в электроэнергетических системах (ЭЭС).
6. Разработка метода идентификации переходных хаотических колебаний.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются нелинейные диссипативные ЭЭС и их режимы работы. Предметом исследования являются хаотические процессы, а также их идентификация в ЭЭС с несколькими генераторами.
Методы исследований. В диссертации приведены результаты теоретических и экспериментальных исследований, полученные с использованием методов теоретических основ электротехники, теории ЭЭС, вычислительной математики, прикладного пакета программ для инженерных и научных расчетов в среде Windows «MathCAD», системы схемотехнического моделирования «Micro-Cap».
Научная новизна работы заключается в следующем:
Разработаны методы математического и физического моделирования хаотических режимов в ЭЭС с несколькими генераторами.
Разработаны методы расчета установившихся и переходных хаотических процессов, связанных с устойчивостью ЭЭС.
Для НЭЭС выявлены основные отличительные особенности и закономерности, по которым можно идентифицировать хаотические колебания. Введена математическая модель ЭЭС, позволяющая моделировать хаотические режимы работы.
Показано, что посредством малых управляющих воздействий можно стабилизировать хаотическую фазовую траекторию ЭЭС, осуществляя тем самым управляемые переходы из режима развитого хаоса к режимам периодических колебаний. Синтезирована функция управляющего воздействия.
Определены основные пути, ведущие к хаосу в ЭЭС. Рассмотрено место хаоса в эволюции нестабильности электроэнергетической системы.
Предложен метод обнаружения переходных хаотических колебаний в ЭЭС, используя показатели Ляпунова.
Практическая ценность.
Практической ценностью работы является анализ и выявление свойств хаотических колебаний, а также разработка алгоритма обнаружения переходных хаотических колебаний в электроэнергетических системах.
Предложены способы управления, синхронизации и стабилизации хаотических колебаний в электрической системе, состоящей из двух идентичных генераторов.
Создан метод обнаружения переходных хаотических колебаний в нелинейной электрической системе или ее части, использующий показатели Ляпунова как параметр идентификации.
Разработан и внедрен в учебный процесс лабораторный стенд, моделирующий хаотические колебания в нелинейных электрических системах, позволяющий наглядно продемонстрировать свойства и особенности хаотических режимов работы.
Основные положения, выносимые на защиту:
Результаты исследований основных свойств и особенностей функционирования нелинейных диссипативных электроэнергетических систем в режиме детерминированного хаоса.
Методы идентификации и анализа хаотических процессов, происходящих в нелинейных электроэнергетических системах.
Предложенные способы управления, синхронизации и стабилизации хаотических колебаний в системе из двух идентичных генераторов путем малых воздействий на один из генераторов.
Алгоритм идентификации переходных хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова.
Реализация и внедрение результатов работы.
Алгоритм обнаружения переходных хаотических колебаний, использующий показатели Ляпунова применяется на Омской ТЭЦ-4 в электрической системе очистки пылегазовыбросов.
Полученные результаты используются в учебном процессе ОмГТУ.
Личный вклад.
Основные научные результаты и положения, изложенные в диссертации, постановка задач, методология их решения, исследование хаотических режимов в ЭЭС разработаны и получены автором самостоятельно.
Достоверность результатов подтверждается корректным применением для теоретических выводов математического аппарата; качественным совпадением и достаточной сходимостью результатов вычислительных и физических экспериментов; апробацией как предварительных, так и окончательных результатов диссертационной работы.
Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на:
научно - практической конференции «Энергетика на рубеже веков», посвященной 60 - летию ОАО АК «ОмскЭнерго» и Омского механико-технологического техникума (Омск 2003),
V международной научно-технической конференции «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2004),
65 юбилейной студенческой научно-практической конференции, посвященной 75 - летию СибАДИ (Омск, 2005),
- XI Всероссийской научно - технической конференции «Энергетика,
экология, надежность, безопасность» (Томск, 2005).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 18 печатных работ, в том числе: 1 тезис доклада на научно-технической конференции, 17 статей. В публикациях в соавторстве личный вклад соискателя составляет более 50%. Статьи: «Хаос в нелинейных электрических цепях» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Энтропийный анализ режимов нелинейных электроэнергетических систем» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Случайные и хаотические процессы в электроэнергетических системах» (Омский научный вестник № 22, Омск 2003), «Нелинейные электрические цепи: возникновение хаотических режимов» (Вестник Павлодарского университета №14, Павлодар 2003), «Хаос как неотъемлемое свойство нелинейных электрических
цепей» (Энергетика на рубеже веков: Сб. матер, науч.- практ. конф. Омск 2003),
«Динамика системы двух идентичных связанных хаотических генераторов» (Динамикасистем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч-техн. конф., Омск 2004), «Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов» (Динамика систем, механизмов и машин: Матер. V Междунар. науч.- техн. конф., Омск 2004), «Возникновение хаотических режимов в нелинейных электрических цепях» (Научные труды инженерно - строительного института. Вып. 1, Омск 2005), «Возникновение хаотических режимов в нелинейных электрических цепях» (Межвузовский сборник трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. Омск: СибАДИ, 2005), «Динамика системы двух хаотических генераторов Чжуа» (Межвузовский сборник трудов студентов, аспирантов и молодых ученых. Омск: СибАДИ, 2005), «Особенности диссипации энергии в нелинейных электрических цепях» (Омский научный вестник. № 1(30)., Омск 2005), «Детерминированный хаос в электрических цепях» (Энергосбережение и энергетика в Омской области. № 14 Омск 2005), «Хаос в системе связанных нелинейных генераторов. Управление и синхронизация» (Энергосбережение и энергетика в Омской области. № 14, Омск 2005), «Моделирование на ЭВМ хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей» (Омский научный вестник. № 2(31). Омск 2005), «Исследование простейших моделей детерминированного хаоса» (Омский гос. техн. ун-т- Омск, 2005. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1338 - В2005), «Разработка программы для расчета хаотических режимов работы нелинейных электрических цепей» (Омский гос. техн. ун-т.- Омск, 2005. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.10.2005, № 1339 - В2005), «Эффективность электроэнергетических систем при возникновении в них хаотических режимов» (Энергетика, экология, надежность, безопасность: Матер. XI Всероссийской науч. - техн. конф. Томск, изд - во ТПУ 2005), «Моделирование процессов в нелинейной диссипативнои системе двух автономных генераторов с различными типами связи» (Омский научный вестник. № 9(46). Омск 2006).
Структура и объем работы. Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, основные выводы по результатам научных исследований, список литературы и приложение. Общий объем составляет: 160 страниц, в том числе 102 рисунка, 3 таблицы, 77 литературных источников.
Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, научная новизна и практическая значимость результатов, сформулированы цель и задачи работы, представлена структура диссертации и основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе проведен аналитический обзор методов и средств теории хаотических колебаний. Рассмотрены основные характеристики, параметры и отличительные особенности режима детерминированного хаоса. Обоснована возможность появления бифуркационных переходов типа хаос - хаос в нелинейной диссипативной электрической системе. Приведено аналитическое обоснование возможности идентификации переходных хаотических колебаний, используя характеристические показатели Ляпунова.
Во второй главе представлены результаты исследований динамики электрических систем, в которых могут возникать хаотические процессы. Детально рассмотрена так называемая «схема Чу а». Рассмотрено поведение электрической системы при различных вариациях управляющих параметров. Представлена математическая модель, описывающая процессы, происходящие в схеме Чуа. Динамика цепи Чуа исследована путем компьютерного и математического моделирования. По результатам моделирования построены временные зависимости токов и напряжений в цепи, фазовые портреты колебаний и частотные спектры. Приведены экспериментальные подтверждения результатов моделирования. .
Также в главе приведено исследование динамики нелинейной электрической диссипативной системы, содержащей индуктивность с гистерезисом, обусловленным ферромагнитным сердечником. Динамика системы исследовалась в программе схемотехнического моделирования Micro-Cap 6.
Третья глава посвящена исследованиям режимов различных типов гене-
раторов, а также системы из двух идентичных генераторов Чуа. Проведены исследования основных свойств хаотических генераторов. Произведено моделирование различных режимов работы системы из двух генераторов Чуа. Обоснована возможность управления, синхронизации и стабилизации хаотических колебаний в этой системе. Предложена математическая модель режимов системы двух генераторов. С помощью математической модели осуществлено управление, синхронизация и стабилизация детерминированного хаоса в системе двух генераторов Чуа. Предложен алгоритм управления системой.
В четвертой главе рассматриваются электроэнергетические системы. Анализируется возникновение, разрабатываются методы идентификации и математического моделирования хаотических режимов в электроэнергетических системах. Обнаружено явление разрушения хаотических колебаний с последующей потерей устойчивости электроэнергетической системы.
Разработан алгоритм обнаружения переходных хаотических колебаний в электроэнергетической системе с помощью характеристических показателей Ляпунова.
В приложении представлены акты внедрения результатов работы.
Установившиеся режимы, размерность и устойчивость предельных множеств
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени t0 в точке пространства х0 определить его будущее в любой момент времени t to- В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.
Проблема предсказания эволюции объекта в естествознании представляет собой безусловно математическую задачу. Математическая логика требует от нас четкой формулировки предмета и задачи исследования. С этой целью необходимо сформулировать определение изучаемого объекта и указать его свойства. Предметом нашего анализа будут не системы и объекты вообще, а так называемые "динамические системы" в математическом понимании этого термина.
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Описание динамических систем в смысле знания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.
В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему, в зависимости от степени учета различных факторов получают различные математические модели.
Нелинейные электрические системы (НЭС) являются частным случаем динамических систем. Различают несколько типов НЭС. Автономная НЭС п - го порядка определяется уравнением состояния вида: dx - = f(x) , x(t0) = x0 (1.1) dt где x(t) є Rn - вектор состояния системы в момент времени t; f : Rn - Rn - векторное поле. Поскольку такое векторное поле не зависит от времени, то нулевым всегда может быть выбран любой момент времени.
Решение системы уравнений (1.1) с начальным условием с называется траекторией и обозначается как Ft(xo). Отображение Ft :Rn -»Rn называется потоком системы. Неавтономная НЭС п - го порядка определяется уравнением состояния с зависящей от времени правой частью. dx = f(x,t) , x(to) = x0 (1.2)
В этом случае векторное поле f: Rn -» Rn зависит от времени, а начальный момент не может быть произвольно перенесен в некоторую точку. Решение СИСТеМЫ уравнений (1.2), ПрОХОДЯЩее В МОМеНТ Времени tg Через ТОЧКу Х0, обозначается как Ft(xQ,to). В тех случаях, когда существует такое значение Т 0, что выполняется равенство f (х, t) = f (х, t + Т) для всех х, говорят, что система является периодической по времени с периодом Т.
Любое отображение f: Rn - Rn определяет НЭС с дискретным временем, которая задается своим уравнением состояния Xk+l=f(xkb k = 0,1,2,..., (1.3) где х є Rn называется состоянием системы; f- отображение состояния х в состояние хк+1.
Если отображение f последовательно применять к вектору состояния с начальным значением XQ , то будет получена последовательность точек х , называемая орбитой системы с дискретным временем.
Компьютерное моделирование
Динамика цепи Чуа описывается системой дифференциальных уравнений, записанных по законам Кирхгофа: где g(U) выражает вольт - амперную характеристику нелинейного элемента, а через UQ,UC25IL обозначены соответственно напряжения на конденсаторах С1 и С2 и ток в индуктивности L.
В качестве g(U) можно рассматривать гладкую функцию (например, полином 3-й степени), представленную на рисунке 2.2а. Гладкая функциональная зависимость в большей степени соответствует истинному виду вольтамперной характеристики нелинейного элемента. С целью упрощения анализа математической модели цепи можно выбрать кусочно-линейную аппроксимацию (например, 5 - сегментную) - рисунок 2.26.
Для практических целей может использоваться одна из этих аппроксимаций. Каждая из них позволяет описать большинство интересных явлений, наблюдаемых в реальной цепи. Кусочно-линейная форма вольтамперной характеристики нелинейного элемента имеет ряд преимуществ по сравнению с полиноминальной зависимостью, поскольку дает возможность проводить аналитическое исследование модели (для каждого сегмента записывается линейная система уравнений, которую можно решать без помощи компьютера). Для исследования большинства явлений в динамике реальной цепи Чуа очень часто ограничиваются более простой аппроксимацией нелинейного элемента - 3 сегментной кусочно-линейной характеристикой (рисунок 2.2в), потому что эта аппроксимация включает только ниспадающие участки ВАХ.
Нам интересна именно ниспадающая часть ВАХ, потому что на ниспадающих участках произведение тока на напряжение (мгновенная мощность) является отрицательным, а значит, нелинейный элемент является активным, непрерывно подавая энергию во внешнюю цепь, тем самым создавая предпосылки для возникновения хаотических режимов.
Таким образом, трехсегментная аппроксимация является вполне достаточной для описания ВАХ нелинейного элемента и моделирования режимов работы НЭС Чуа. В ходе компьютерного моделирования установлено, что хаотические колебания в схеме возможны при следующих значениях управляющих параметров: a = 0.06...0.07, р = 0.75...0.83.
В ходе компьютерного моделирования исследовалась зависимость процессов, происходящих в НЭС Чуа, от значений управляющих параметров аир. При варьировании этих параметров изменялся и характер процессов, происходящих в схеме.
При значениях а =0.03 , (3=0.45 в схеме отсутствовали колебания. При изменении параметров характер процессов менялся. Так, при а = 0.43, Р =0.51 в схеме происходили периодические колебания с частотой f = 3 кГц (рисунок 2.3), а фазовый портрет колебаний имел вид «правильной» фигуры - эллипса.
На рисунке 2.7 показан график изменения напряжения на емкости С2 в НЭС Чуа. На графике хорошо видно, что напряжение на емкости подвержено случайным (хаотическим) колебаниям: изменяются амплитуда, форма сигнала. Фазовый портрет (странный аттрактор) в НЭС Чуа (рисунок 2.8) имеет вид двух торов, связанных перемычкой. Решение не выходит за пределы этих торов, а переходит с одного на другой и обратно.
Хаотическому поведению этой схемы можно дать качественное объяснение. Схему условно можно разделить на два участка (рисунок 2.9).
Параллельное соединение С1 и L образует основной осциллирующий механизм. Проводимость G обеспечивает взаимодействие между осциллирующим резонансным контуром C1-L и нелинейным элементом - «Диодом Чуа», описываемым вольтамперной характеристикой g(U) и объединенным с конденсатором С2. В проводимости G рассеивается часть энергии, передаваемой с одного контура на другой. Изменяя величину G можно варьировать параметры управления а и Р, вследствие чего может меняться характер колебаний, их амплитуда и частота. Действие этого нелинейного элемента и объясняет хаотическое поведение схемы. Если бы элемент был локально пассивным, то схема вела бы себя совершенно спокойно - все решения асимптотически стремились бы к устойчивому равновесию.
Система двух идентичных генераторов Чуа с емкостной У1 связью
Система двух генераторов Чуа с емкостной связью описывается уравне С5 ниями (3.1), в которых у = При у = 0 получаем уравнение одиночной цепи Чуа, динамика которой детально исследована и широко описана в предыдущей главе. Основным параметром, от изменения которого в наибольшей степени зависит динамика системы (3.1) является а. При изменении значений а и у с фиксированными значе — 8 — 5 ниями а = —, Ь = —, (3 = 22 в системе уравнений (3.1) помимо бифуркаций удвоения периода циклов, происходят бифуркации потери симметрии, рождения тора и образования хаоса через разрушение квазипериодических движений.
Наблюдается ряд глобальных бифуркаций, в результате которых происходит объединение различных хаотических множеств. Возбуждение автоколебаний и переход к хаосу в связанных системах происходит при меньших значениях їх. Поэтому, при значениях а, соответствующих регулярным режимам в индивидуальном генераторе, в связанной системе при определенных у может существовать развитый хаос с встроенными в аттрактор седловыми симметричными (хі=х2) циклами. Динамика этой системы демонстрирует сложный характер, показывая сильную зависимость от начальных условий, что является одним из признаков хаоса.
В процессе моделирования в программах Micro-Cap и MathCAD были получены осциллограммы колебаний в элементах системы. В случае емкостной связи динамика системы усложняется по сравнению с процессами в системе с резистивной связью.
В связанных через емкость генераторах, также как и в случае резистивной связи, происходят хаотические колебания, однако, явления синхронности колебаний на одноименных элементах, характерного для системы генераторов с резистивной связью уже не наблюдается. Появляется ток в соединительной емкости, кроме того, колебания тока и напряжения в этом элементе имеют сложный непериодический характер.
В зависимости от значений параметра р, изменение которого производится варьированием сопротивлений R1 и R9, колебания в системе емкостно-связанных генераторов Чуа в установившемся режиме либо стабилизируются и становятся периодическими, либо имеют хаотический характер, находясь в противофазе с колебаниями на одноименном элементе другого генератора (рисунок 3.5).
Однако, при уменьшении параметра у, осуществляемого уменьшением емкости С5, колебания на одноименных элементах генераторов системы в установившемся режиме перестают находиться в противофазе (рисунок 3.8), еще больше усложняя процессы в системе.
В данной системе становится возможным новый тип странного аттрактора, имеющего четыре области притяжения - «дважды двойная спираль» (рисунок 3.9). Такой тип аттрактора невозможен в системе генераторов с резистив-ной связью из-за синхронности колебаний на одноименных элементах цепей.
Разработка методов управления хаосом в динамических системах различной природы является одной из важных прикладных задач современной теории динамического хаоса. К настоящему времени предложено достаточно много способов управления, основная цель которых осуществить эффективный переход от хаотических движений к регулярным посредством малых воздействий на НЭС. Методы, позволяющие стабилизировать седловые циклы, встроенные в хаотический аттрактор НЭС, представляют собой достаточно сложную процедуру, связанную с поиском устойчивых и неустойчивых многообразий седлово го цикла и определения вида возмущений параметра, стабилизирующих данный неустойчивый цикл [11, 18]. Для систем двух взаимодействующих генераторов при некоторых типах связи процедура стабилизации определенного подмножества седловых циклов может быть существенно упрощенна.
Примером такой системы могут служить две связанных через емкость идентичных цепи Чу а с 1.5 степенями свободы, демонстрирующие при вариации значений управляющих параметров типичные переходы к хаосу. При конечной связи хаос возникает при а =9... 10 ,а в одиночной цепи Чуа хаос возникает при а =11.5... 12.5 . Когда во взаимодействующих генераторах уже наблюдаются режимы развитых хаотических колебаний, в индивидуальной системе все еще существуют устойчивые циклы. Это означает, что они существуют и в системе взаимно связанных генераторов, но уже в неустойчивом виде. Причем располагаются эти циклы в симметричном подпространстве Х1=Х2 (X - векторы динамических переменных первой и второй подсистем) фазового пространства НЭС, являясь устойчивыми к симметричным возмущениям и неустойчивыми к несимметричным. Если при конечной связи в системе сформировался хаотический аттрактор, в котором встроены данные седловые симметричные циклы, то фазовую траекторию можно будет легко стабилизировать в их окрестности. Для этого достаточно посредством малых воздействий на один из генераторов стабилизировать фазовую траекторию в симметричном подпространстве Х1=Х2.Поскольку интересующий нас седловой цикл устойчив к симметричным возмущениям, через некоторое время фазовая траектория обязательно подойдет к нему и будет эволюционировать на этом цикле, пока присутствуют управляющие возмущения. Определить вид возмущений, стабилизирующих фазовую траекторию в симметричном подпространстве, существенно проще, чем вид возмущений, стабилизирующих ее в окрестности седлового цикла. Если в отсутствии того или иного типа связи НЭС демонстрируют хаотические колебания, то стабилизация фазовой траектории в данном симметричном подпространстве связанных НЭС приведет к режиму синхронизации хаоса.
Возможные пути возникновения хаотических режимов в электроэнергетических системах
В этом разделе, обсуждаются пути, ведущие к хаосу в ЭЭС. Теоретически возможны два пути: 1) каскад удвоения периода бифуркаций и 2) большое возмущение (наброс нагрузки, перенапряжения, короткие замыкания и т.д.). Каскад удвоений периода бифуркаций
Для анализа используется модель изолированной ЭЭС (4.1), в которой параметром бифуркации является Q . Начальные условия переменных состояния системы принимаются равными: х(0)=(0.761, 0, 1.332, -0.328, 4.198, 0.239, 0.779). Другие параметры те же, что и в таблице 4.1. Постепенно увеличивая значение Qib, получаем бифуркационную диаграмму, показанную на рисунке 4.2. В точке А появляется бифуркация Хопфа.
Рассмотрение предельного цикла от бифуркации Хопфа проводим по кривой АВ. Очевидно, каскад бифуркаций появляется в точке В на предельном цикле кривой АВ. Интегрируем уравнения (4.1), со значением Qib лежащим в промежутке от 1.190 до 1.203, и строим график в осях Qib, показанный на рисунке 4.3. При Qib 1.191, в системе существуют устойчивые колебания с периодом IT. Для 1.191 Qib 1.197, в системе появляются колебания с периодом 2Т. При Qib=1.197, 1.198..., появляются последовательно период-4Т, период-8Т.
При нарастании удвоения периодов бифуркаций (каскад бифуркаций) колебания 8 в системе сводятся к хаотическому режиму.
Когда со(0) 1.302 рад/с, решение сходиться к точке устойчивого равновесия так, как показано на рисунке 4.4 и рисунке 4.5. При ю(0)= 1.302 рад/с, решение становится хаотическим после колебательного переходного процесса (рисунки 4.6 и 4.7). В диапазоне скоростей от 1.302 до 1.698 рад/с, конечные состояния являются хаотическим режимом.
Появление хаотического режима связано с различными начальными возмущениями. Это говорит нам о том, что хаос в ЭЭС в сущности связан с изменением энергии, вызванной действием неожиданных возмущений.
Хаос очень чувствителен к начальным условиям и параметрам ЭЭС. Любое небольшое изменение их может разрушить устойчивые колебания. Рассмотрим, что случится после того, как устойчивые хаотические колебания в ЭЭС будут разрушены. Покажем, что разрушение хаоса может привести ЭЭС к лавине напряжения, угловой нестабильности, или лавине напряжения с угловой нестабильностью одновременно. Лавина напряжения
Рассмотрим в качестве примера исходную модель ЭЭС. Выберем критическую точку в правой части хаотической области на рисунке 4.3: Qib= 1.203. Используем то же самое исходное положение и те же самые параметры как на рисунке 4.3. Результат интегрирования показан на рисунке 4.9. Обнаруживается, что лавина напряжения появляется после того, как исчезнет хаос.
Используем исходную модель изолированной ЭЭС и выбираем два начальных состояния, которые могут рассматриваться как два поствозмущенных состояния для нашей исследуемой ЭЭС. Случай 1:х,(0) = (1.140,0, 1.055,2.368, 1.100, 1.012) Случай 2: х2(0) = (1.300, 0, 1.055,2.368, 1.260, 1.012)
На рисунке 4.10 показано решение для случая 1, на рисунке 4.11 показано решение для случая 2. Из рисунков 4.10 и 4.11, видно, что существуют очевидные угловые нестабильности без признаков лавины напряжения.
Отсюда следует, что хаотический режим может завершиться как устойчивым, так и неустойчивым состоянием.
На рисунке 4.13 показан в увеличенном масштабе фрагмент рисунка 4.2 Выберем пять точек равновесия 0, 1, 2, 3, 4 около бифуркации Хопфа (точка А) показанной на рисунке 4.13, где точка 0 слева от точки А - точка устойчивого равновесия, в то время как другие четыре точки - точки неустойчивого равновесия. Если ЭЭС работает в точке 0, другие четыре точки могут рассматриваться как некоторые возможные состояния поствозмущения. Возмущение в точке 1 самое маленькое, в то время как возмущение в точке 4 максимальное. Выберем эти пять точек как начальные условия и интегрируем систему уравнений (4.1). Параметры, необходимые для интегрирования системы уравнений (4.1), приведены в таблице 4.1. Результаты показаны на рисунке 4.14.
Существование множественных аттракторов в ЭЭС важно в предположении возможности множественных условий эксплуатации для физической системы, рассмотренной в [41]. Типичные точки устойчивого равновесия - номинальные условия эксплуатации в технических системах таких как электроэнергетические системы. Рассмотрим явление сосуществования четырех различных аттракторов в фундаментальной модели ЭЭС.
Характер этих четырех аттракторов разнообразен, он состоит из устойчивого равновесия, устойчивого предельного цикла и двух странных аттракторов. Структура и устойчивость этих четырех аттракторов проанализированы путем вычисления характеристических показателей Ляпунова аттракторов. Сосуществование устойчивого равновесия с устойчивым предельным циклом и хаотическими аттракторами говорит о возможности возникновения переходного процесса в ЭЭС, который может привести к: а) нормальному условию равновесия, Ь) незатухающим колебаниям, или с) хаосу. Переходный процесс полностью определяется начальными условиями поствозмущения.
Примечательно, что продолжение работы в любом из этих четырех аттракторов практически осуществимо, так как устойчивые колебания на неравновесных типовых аттракторах трактуются как переходные состояния устройствами релейной защиты ЭЭС [38]. Защитные устройства в реальной ЭЭС как правило разрабатываются таким образом, чтобы не сталкиваться с переходными состояниями. Поэтому релейная защита вообще не будет участвовать в прекращении устойчивых колебаний , образующих устойчивый предельный цикл и хаотические аттракторы. Однако, работа в течение периода времени, большего нескольких минут, в устойчивом предельном цикле или в хаотическом аттракторе может приводить к серьезному повреждению дорогого оборудования, например, валов роторов.
