Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи исследования 11
1.1. Актуальные задачи проектирования и эксплуатации стартовых сооружений ракет-носителей 11
1.2. Анализ методов и результатов работ по исследованию аэрогазодинамических процессов, происходящих при старте РН в СС 21
1.3. Цель и задачи работы 37
1.4. Выводы по 1 главе 42
2. Теоретические основы разработки гидродинамических способов защиты РН КА в СК 43
2.1. Применение системного анализа 43
2.2. Развитие методологии структурно-элементного моделирования газоструйных процессов 50
2.3. Анализ физического моделирования течений, образующихся в СС 59
2.4. Обзор результатов исследования течений несжимаемой жидкости 65
2.4.1. Метод расчета турбулентного пограничного слоя 65
2.4.2. Метод интегральных соотношений в теории турбулентных струй 69
2.4.3. Методы решения гидродинамических задач 72
2.4.4. Решение задач с помощью интегрального соотношения Кармана 73
2.5. Исследование теплообмена в турбулентном слое смешения струи и по граничном слое на обтекаемой пластине 74
2.5.1.Перенос тепла в свободных затопленных струях 74
2.5.2. Теплообмен в турбулентном пограничном слое 75
2.5.3. Интегральные уравнения теплового пристенного пограничного слоя 77
2.5.4. Видоизмененная аналогия Рейнольдса 79
2.6. Выводы по 2 главе 82
3. Исследование гидрогазодинамических процессов в стартовом сооружении 83
3.1. Подача жидкости из перекрытия СС 83
3.1.1. Разработка математической модели формирования гетерогенной струи вСС 83
3.1.2. Смешение составной струи с охлаждающей жидкостью 92
3.2. Подача жидкости по газоотражательному устройству СС 95
3.3. Подача жидкости из боковых стенок газохода СС 101
3.4. Определение количества испарившейся жидкости для ее различных вариантах подачи 108
3.5. Выводы по 3 главе 110
4. Применение способов оптимизации для проектирования стартовых сооружений 111
4.1. Анализ методов оптимизации 111
4.2. Метод геометрического программирования 116
4.2.1. Основные понятия и расчетные формулы 116
4.2.2. Общий случай ГП 120
4.2.3. Решение задач ГПс ненулевой степенью трудности 122
4.3. Определение минимальных размеров СС с помощью метода ГП 124
4.3.1. Формулировка общей задачи проектирования 124
4.3.2. Пример расчета характеристик СС идеализированной схемы... 129
4.4. Выводы по 4 главе 132
Заключение 133
Список литературы 134
Приложение
- Анализ методов и результатов работ по исследованию аэрогазодинамических процессов, происходящих при старте РН в СС
- Развитие методологии структурно-элементного моделирования газоструйных процессов
- Исследование теплообмена в турбулентном слое смешения струи и по граничном слое на обтекаемой пластине
- Определение количества испарившейся жидкости для ее различных вариантах подачи
Введение к работе
Актуальность задачи. При проектировании стартовых сооружений (СС) с целью обеспечения безопасного и надежного старта ракет - носителей (РН) необходимо знать закономерности аэрогазодинамических процессов, возникающих при взаимодействии струй ракетных двигателей (РД) с газоотражательными устройствами (ГУ) пусковых установок (ПУ). Достаточно подробное изучение процессов, сопутствующих старту, вызвано существенным силовым и тепловым воздействием образующихся течений на ГУ ПУ и ракеты. Это воздействие входит в число основных факторов, варьированием которых решается задача оптимизации при выборе конструктивных характеристик СС.
Важный вклад в решение проблем стартовой газодинамики внесли работы, выполненные в научно-исследовательских институтах (ЦНИИмаш, ЦАГИ и др.), конструкторских бюро (РКК «Энергия» и др.), ряде учебных заведений (БГТУ «ВОЕНМЕХ», МГТУ им. Н.Э. Баумана, МАИ, ОмГТУ и
ДР-)-
Характеризуя в целом достигнутый уровень изучения вопросов стартовой газодинамики, можно отметить, что в основных чертах были выявлены и содержательно описаны за небольшим исключением наиболее существенные газогидродинамические процессы, сопутствующие стартам ракет различного назначения. Тем не менее, тенденция к расширению и углублению исследований в области стартовой газодинамики сохраняется, так как имеются нерешенные вопросы, затрудняющие разработки перспективных комплексов или использование современных для старта более мощных ракет.
Одной из важных научно-технических задач, которую в целом еще предстоит решить, является задача построения универсального программного обеспечения газодинамических расчетов при старте РН. При этом часто требуется рассматривать возможности использования имеющихся СС под пуски более мощных ракет. Приходится выявлять резервы надежности
6 строящихся СС, когда изменяются характеристики разрабатываемых ракет, но отсутствуют возможности внесения изменений в проектные параметры СС. Кроме того, экономически целесообразным для перспективных СС является уменьшение их геометрических характеристик. Появившиеся к настоящему времени работы основывались, в основном, на аэрогазодинамических способах защиты корпусов РН. Что касается подачи жидкости в СС, то результатами работ, выполненных в ЦНИИмаш при изучении старта РН «Зенит» и «Ангара», являются установленные характеристики жидкости, подаваемой к оси струй РД или на ГУ, например, ее расход превышает в 1,5 расход топлива РД. Несомненным достоинством таких способов подачи жидкости является защита всех элементов СС. Однако для конкретной задачи защиты стартующего РН такие эмпирические рекомендации имеют ограниченный диапазон их применимости, особенно для перспективных СС.
Цель работы. Целью диссертации является совершенствование гидродинамических способов защиты ракет - носителей и элементов стартовых сооружений от течений, образующихся при старте, использование которых позволит предотвратить воздействие на их корпус течений, возникающих при старте. Указанной цели подчинены следующие задачи.
Определение физической картины течений и изучение основных механизмов газогидродинамических процессов, происходящих при старте РН при различных вариантах подачи жидкости в СС.
Разработка моделей структур течений и осуществление для них математического моделирования на базе интегральных методов.
Анализ различных способов гидродинамической защиты корпуса РН и определение оптимальных конструктивных характеристик СС.
Научная новизна.
1. Применен комплексный подход к решению газогидродинамических задач, возникающих при проектировании СС для старта РН, на основе системотехнических принципов и концепции структурно-элементного моделирования газоструйных процессов.
Выявлены основные механизмы газогидродинамических процессов при старте РН: распространение газовых течений и потоков жидкости в СС и их взаимодействие между собой.
Созданы математические модели, адекватно учитывающие основные факторы, влияющие на происходящие процессы.
Практическое значение.
Разработанное программное обеспечение расчетов газогидродинамических процессов, характеризующееся достаточным быстродействие, может быть применено для автоматизации проектирования СС. На основе методов оптимизации и конструктивных патентоспособных разработок разработаны практические рекомендации по проектированию СС.
Методы исследования.
Использованы фундаментальные методы механики жидкости и газа, имеющих строгие математические и физические обоснования и широко апробированных в различных областях исследования. В работе применяются интегральные методы расчета струйных течений, успешно применяемых для аналогичных задач. Результаты расчетов по представленным методикам дают удовлетворительное согласование с экспериментальными и расчетными данными других авторов.
Достоверность результатов.
Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обусловлена использованием фундаментальных методов механики жидкости и газа, имеющих строгие математические и физические обоснования и широко апробированных в различных областях исследования. В работе применяются интегральные методы расчета струйных течений, успешно применяемых для аналогичных задач. Результаты расчетов по представленным методикам дают удовлетворительное согласование с экспериментальными и расчетными данными других авторов.
8 Реализация результатов.
Полученные к настоящему времени основные результаты могут найти применение в организациях отрасли КБТМ, КБОМ, ЦНИИмаш (г. Москва), КБСМ (г. Санкт-Петербург) и других для построения программного обеспечения гидродинамических расчетов, сокращения объемов проведения научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по проектированию СС и оптимизации их конструктивных параметров. Кроме того, результаты диссертационной работы уже используются на аэрокосмическом факультете ОмГТУ в курсовом и дипломном проектировании, а также при проведении занятий по ряду специальных курсов.
Апробация работы.
Наиболее существенные результаты работы: докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях в 2003 - 2004 гг. в гг. Казани, Миассе, Новосибирске, Санкт-Петербурге, Москве, Красноярске, Ижевске, Омске, на научно-технических семинарах кафедр «Автоматические установки», «Авиа- ракетостроения», «Стандартизация и сертификация» аэрокосмического факультета ОмГТУ.
Публикации.
По теме диссертации опубликованы 13 печатных работ, предложенные конструктивные разработки защищены 3 патентами на полезные модели.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, 4-х разделов с выводами, заключения с изложением основных результатов, содержит 149 страниц машинописного текста, проиллюстрированных 33 рисунками, и библиографический список из 145 наименований и 2-х приложений.
В первой главе: рассмотрены основные виды воздействий образующихся при старте течений на корпуса РН и элементы СС, которые относятся к числу наиболее значимых факторов, определяющих технический облик и выбор конструктивных размеров СС, а также представлен обзор существую-
щих в настоящее время способов защиты ракет-носителей и элементов СС от данных течений, сформулированы цель и задачи работы.
Во второй главе рассмотрены основными направлениями разработки методик расчета газогидродинамических процессов при старте РН, основанные на известных аксиомах системного подхода и структурно-элементного моделирования (СЭМ), выполнен аналитический обзор интегральных методов, используемых ранее для решения аналогичных задач.
Третья глава предложены три патентоспособных способа гидродинамической защиты элементов СС и корпуса стартующей РН от теплового воздействия горячего обратного потока: подача жидкости из перекрытия СС, по ГУ и из боковых стенок газохода СС. Для каждого из указанных способов разработаны модели структур течений, полуэмпирические методики расчета основных гидродинамических характеристик.
В четвертая глава диссертации посвящена разработке практических рекомендаций для проектирования СС. В ней представлен анализ методов многопараметрической условной оптимизации, среди которых метод геометрического программирования использован для решения задачи оптимизации геометрических характеристик СС.
В Приложениях представлены: наиболее характерные результаты вычислений основных параметров для различных вариантов подачи жидкости в СС, программа расчета для метода геометрического программирования, а также основные результаты вычислительного эксперимента по указанному методу.
Работа выполнялась на протяжении более четырех лет на кафедрах аэрокосмического факультета Омского государственного технического университета. Автор приносит искреннюю благодарность преподавателям и сотрудникам этого факультета за помощь в выполнении работы. Особую признательность автор выражает: д.т.н., профессору кафедры «Авиаракетостроения» Комаревичу Леонарду Васильевичу за большую научную школу во время учебы в аспирантуре и заведующему кафедрой «Стандарти-
зация и сертификация» д.т.н., профессору Шалаю Виктору Владимировичу за ценные советы при обсуждении основных положений и результатов, изложенных в данной работе.
I!
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Анализ методов и результатов работ по исследованию аэрогазодинамических процессов, происходящих при старте РН в СС
В работах [4,19] отмечается, что полное исследование газодинамических процессов в создаваемом СС проводится в несколько этапов.
На первом этапе проводится весьма приближённая расчётная оценка основных газодинамических параметров в зависимости от изменения характерных размеров комплекса. Модель газовых течений при этом, положенная в основу расчётов, является зачастую эскизной и может существенно, даже качественно, отличаться от реальной картины процессов.
На втором этапе с помощью установок гидродинамической аналогии определяется качественная картина течения, выявляются характерные особенности процессов, намечаются в случае необходимости и некоторые возможности усовершенствования формы газодинамического тракта.
На третьем этапе уточняется физическая картина процессов, проводятся более подробные исследования с помощью воздушных продувок моделей в аэродинамических трубах или в специальных стендовых установках. На этом этапе могут быть получены и некоторые зависимости, создающие основу для теоретических разработок.
На четвёртом этапе устанавливаются основные количественные закономерности, когда эксперимент проводится с помощью струй реального газа, создаваемых модельными твердотопливными или жидкостными двигателями. Такие испытания требуют создания специального стендового оборудования, включающего модели ПУ и ракет, размеры которых выбираются из условия обеспечения достаточно точного подобия процессов натурному. Однако, как правило, из-за относительно небольшого размера моделей не удаётся полностью скопировать формы всех элементов газодинамического тракта. Обязательным 5-м этапом является проведение крупномасштабных испытаний моделей СС и РН.
Наконец, завершающим этапом отработки газодинамической схемы являются натурные испытания, позволяющие получать окончательную и наиболее достоверную информацию о аэрогазодинамических процессах.
Отметим, что соотношение объёмов работ на том или ином этапе не остаётся постоянным. В связи с накоплением экспериментального материала и развитием различного рода методов расчёта претерпевают изменения, как содержание исследований, так и методика их проведения.
Среди теоретических методов исследования газодинамических процессов можно отметить следующие. 1. Метод осреднения параметров по газовым объёмам или поперечным сечениям потоков. Метод даёт возможность применять хорошо разработанную теорию нульмерных или одномерных течений газовой динамики. С точки зрения теории приближения функций осреднение представляет собой аппроксимацию распределения параметров полиномами нулевой степени. 2. Метод эквивалентной задачи теории теплопроводности. Этот метод основывается на предположении, что турбулентные течения в некоторых фиктивных координатах могут быть описаны уравнениями типа теплопроводности для комплексных величин: P + pU , pUH , pUyt. Связь между фиктивными и физическими координатами должна устанавливаться эмпирическим путём. С точки зрения теории приближения функций метод производит отбор аппроксимирующих зависимостей из числа тех, которые описывают распределение температур в неподвижной среде. 3. Метод полиномиальной аппроксимации турбулентных касательных напряжений в потоке, использующий полуэмпирические соотношения теории пограничного слоя. Эти соотношения дают возможность по полиномиальному распределению касательных напряжений находить полиномиальные зависимости для распределения осреднённых параметров течения. 4. Метод конструирования сложных течений из более простых, нашедший весьма широкое применение в расчётах СС. Метод использует теорию потенциальных движений жидкости, решения для свободных и полуограниченных струй разного типа, схемы численного интегрирования уравнений идеального газа, приспосабливая их с привлечением данных эксперимента к описанию сложных течений.
Каждый из перечисленных методов обладает соответствующими достоинствами и недостатками, в зависимости от того, насколько тип идеализированного течения близок к реальному. Математическое моделирование процессов основано на соответствующих упрощениях общей системы уравне ний, описывающей достаточно точно процессы стартовой газодинамики.
В общую систему уравнений входят: шесть дифференциальных уравнений законов сохранения, уравнение состояния, три соотношения для R,CP,H, двенадцать соотношений для компонента тензора вязких напряжений, потоков тепла и вещества, п соотношений, связывающих весовые концентрации с парциальными давлениями, п уравнений для химических реакций - всего 22+2п уравнений.
Для решения этой системы уравнений необходимо задать краевые и временные условия. Конкретная математическая формулировка краевых и временных условий определяется типом старта, геометрическими и другими характеристиками СС, особенностями запуска РД. Следовательно, вид функций, описывающих краевые и начальные условия, будет различным в различных задачах. При постановке краевых условий должны соблюдаться следующие общие положения: скорость потока на поверхности стенки должна быть равна нулю, а температура газа равной температуре поверхности стенки. Условия равенства температур заставляют рассматривать процесс распространения тепла внутри стенки, т.к. температура поверхности является величиной переменной, зависящей от общего количества тепла, поступающего в стенки ракеты и ПУ при старте. Процесс распространения тепла в твёрдом теле подчиняется уравнению теплопроводности, для решения которого необходимо, в свою очередь, задать начальную температуру стенки и температуру поверхности в текущий момент времени. Таким образом, задачи для уравнений газовой динамики и уравнения теплопроводности оказываются сопряжёнными, что требует их совместного решения.
Развитие методологии структурно-элементного моделирования газоструйных процессов
Требованиям программного обеспечения САПР по быстродействию и точности вычислительных алгоритмов удовлетворяет СЭМ [16-19]. Этот метод находит растущее применение в расчетах неизобарических газоструйных процессов. Он базируется на ряде концептуальных положений, сформированных длительной практикой проведения газодинамических расчетов для различных газоструйных систем. В совокупности они образуют методологическую основу для дальнейшего развития методов расчета газоструйных процессов, что предопределяет целесообразность их более подробного рассмотрения.
Универсальность программного обеспечения инженерных расчетов, разрабатываемых на основе СЭМ, обеспечивается постановкой задачи. Здесь рассматриваются типы течений, представляющих актуальный интерес для исследования. На основе выявления общих свойств этих течений производится построение типового модельного течения, позволяющего каждое отдельное течение, входящее в исследуемый тип, рассматривать как частный случай. Для построения обобщенной схемы процесса устанавливается перечень независимо варьируемых параметров и определяется область их возможных значений с учетом перспектив развития газоструйных процессов и технологий. В итоге формулируется задача расчета модельного течения с получением гарантированно надежных результатов в установленном диапазоне варьирования исходных данных.
В соответствии со СЭМ построение решения начинается с разработки физической модели исследуемого процесса. Она представляет собой содержательное описание механизмов процесса, факторов, существенно влияющих на формирование структуры течения. Опыт применения СЭМ к расчету стационарных и нестационарных течений с осевой и плоской симметрией свидетельствует, что, как правило, достигнутый теоретический и экспериментальный уровень изучения газоструйных процессов в сочетании с дополнительным анализом вполне достаточен для построения их физических моделей. В случаях недостатка априорной информации предусматривается проведение как физических, так и численных экспериментов на базе хорошо разработанных конечно- разностных методов.
Физическая модель принимается, если она создает ясное представление о том, на какие именно подобласти однородных процессов следует разбить поле течения, какие математические модели из имеющегося набора следует использовать или разработать дополнительно для определения границ выделяемых подобластей, каков примерный вид функций, позволяющих выполнять аппроксимации форм границ подобластей и распределений параметров как по граничным поверхностям, так и внутри подобластей. Границами выделяемых подобластей являются скачки уплотнения, поверхности тангенциального разрыва, характеристические поверхности разрыва производных каких-либо параметров, фронты вязких напряжений, продвигающиеся внутрь потока или во внешнюю среду и т.д. В совокупности границы образуют структурную сетку, разбивающую естественным образом все поле течения на большие подобласти (макроячейки) с монотонным изменением параметров. Число подобластей в структурной сетке получается на несколько порядков меньше числа необходимых ячеек в сетках, организуемых для численного интегрирования уравнений газодинамики. Выделяемые подобласти и их границы являются, таким образом, отдельными элементами общей газодинамической структуры рассматриваемого течения, что и послужило причиной наименования метода.
Построение моделей и алгоритмов быстрого счета ориентирует на применение метода взвешенных вычетов, сфера приложений которого непрерывно расширяется и который фактически предназначен для выполнения аппроксима ций на больших отрезках. Существуют, как известно, различные формы этого метода (коллокация, минимизация квадратов отклонений и ряд других) и различные варианты его использования (для аппроксимации результатов эксперимента, приближения функции, решения уравнений). Возможности создания быстродействующих алгоритмов, отвечающих требованиям системного подхода, заключены в применении принципа точечного приближения. Общая концепция точечного приближения достаточно проста и предусматривает выполнение следующих этапов. 1. Разбиение поля течения на отдельные подобласти в соответствии со структурой потока. 2. Выделение узловых элементов: разграничительных поверхностей (скачков уплотнения, фронтов турбулентности), характерных сечений, интервалов для проведения аппроксимаций. 3. Выбор параметров, подлежащих заданию системой аппроксимирующих функций. 4. Определение координат узловых точек и значений выбранных параметров в этих точках. 5. Построение зависимостей (в общем случае кусочно-непрерывных), аппроксимирующих распределения выбранных параметров вдоль выделенных поверхностей и сечений между узловыми точками. 6. Построение распределений в произвольно выбранных сечениях.
В итоге становится возможным вычислять значения выбранных параметров в любых интересующих точках поля течения. По найденным значениям выбранных параметров могут быть определены затем все остальные газодинамические величины.
Исследование теплообмена в турбулентном слое смешения струи и по граничном слое на обтекаемой пластине
Уравнения, определяющие перенос импульса и тепла в поперечном направлении, имеют вид т = ue(clu/cly); q = ae-cp-{dtldy), где иси ас- коэффициенты турбулентного обмена импульса и тепла, характеризующие интенсивность переноса. В пограничных слоях при турбулентном движении жидкости в трубах или при обтекании различных тел неограниченным потоком механизм переноса импульса и тепла одинаков. Следовательно, коэффициенты турбулентного обмена импульса и тепла равны между собой. Между тем, опытами установлено, что при распространении неизотермических свободных струй в пространстве профиль температур шире, чем профиль скоростей. Это говорит о том, что механизм переноса импульса и тепла не одинаков. Г. Райхардт [15,41] теоретически и экспериментально исследовал распространение тепла в неизотермических струях. Им установлена связь между распределением температуры и распределением скоростей: где tm — температура на оси струи.
Согласно теории завихренности Тейлора коэффициент турбулентного обмена тепла ав два раза больше, чем vc, ас1ое = 2, Рг, =0,5, где Рг, =оє/ає- турбулентное число Прандтля. Таким образом, принимая во внимание представленные формулы, можно записать соотношение для расчета температуры в любой точке неизотермической струи:
Переход от ламинарного режима течения в пограничном слое к турбулентному зависит от многих факторов, например, от качества поверхности (шероховатости), градиента давления, турбулентности внешнего потока и др. Следует отметить, что градиент давления и турбулентность внешнего потока по-разному влияют на ламинарный переходный и турбулентный режим течения.
Для внешнего течения вдоль пластины можно приближенно оценить величину критического числа Рейнольдса ReKp [41], при котором происходит переход от ламинарного режима течения в пограничном слое к турбулентному по следующему соотношению: где 5 - толщина потери импульса.
Для расчета теплообмена в турбулентном пограничном слое несжимаемого газа на продольно-обтекаемой пластине, путем обобщения экспериментальных данных для воздуха и при условиях Тш= const, ср = const получена следующая формула [67]: которая применяется в диапазоне 105 Re, 107.
При расчете турбулентного пограничного слоя в инженерной практике часто используют интегральные соотношения Кармана—Кружилина [22]. Удовлетворительные результаты получаются при степенном законе распределения скорости и температуры поперек пограничного слоя, например для скорости в форме: и/ит = (y/S)". Результаты решения интегрального уравнения движения для течения вдоль пластины при п=1/7 имеют вид: сf = 0,059 Re 0,2.
Для двухслойной модели турбулентного пограничного слоя на продоль но-обтекаемой пластине получена следующая формула для определения числа Стантона [22]: Stx = (с,./2)Рг"0-4 = 0,0295Re;0,2 Pr 04. Эта формула в диапазоне чисел 0,5 Рг 10 дает результаты, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными. В работе [38] путем использования метода, в основе которого лежит априорная аппроксимация касательного напряжения по поперечной координате пограничного слоя и предельного перехода Re — оо при граничных условиях Tw = const, ср = const составлена следующая формула: StQ = (#/2)Pr 0-75- Re "", которая получена в предположении степенного распределения скорости и температуры поперек пограничного слоя при одинаковых показателях степени пив случае одновременного развития динамического и теплового пограничных слоев.
При составлении методов расчета процессов теплообмена, протекающих в сложных условиях, можно использовать известные методы расчета для процессов, протекающих в «стандартных» условиях, внеся в соответствующие формулы поправочные коэффициенты. Например, при составлении методов расчета процессов теплообмена струй с преградами можно использовать представленные формулы, дополнив их соответствующими коэффициентами, полученными из опыта. Критерий Рейнольдса Re" в таких случаях составлен следующим образом: Re" = umS" lu, где 8" - толщина потери энергии для случая ср = const равна
Определение количества испарившейся жидкости для ее различных вариантах подачи
Для определения минимальных размеров СС, обеспечивающих безопасный старт РН, можно использовать различные методы условной оптимизации. При этом математическая модель содержит целевую функцию, характеризующую конструктивные параметры сооружения, и ограничения, основным из которых является отсутствие теплового воздействия обратного потока на корпус РН.
Для решения задач оптимизации с ограничениями может быть использован метод Хука - Дживса. При этом общая процедура поиска минимума целевой функции дополняется проверкой принадлежности изменяемых переменных области допустимых решений, определяемой ограничениями задачи. И если переменная выходит за допустимую область, то целевой функции присваивается некоторое большое предварительно заданное значение, что адекватно неудаче при поиске направления движения в пространстве параметров. В случае принадлежности значений переменных области допустимых решений общая процедура решения задачи не изменяется [115].
Для нахождения экстремума целевой функции: при ограничениях gi(xl, х2,..., хп) = О , /=1,2,...,ш. можно воспользоваться классическим методом условной оптимизации функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции f(xl,x2,...,xn) и gj(xl,x2,...,xn) непрерывны вместе со своими первыми частными производными. При этом для решения задачи составляется функция Лагранжа: затем определяются частные производные и приравниваются нулю, в результате чего получается система уравнений:
Метод Лагранжа можно использовать в случае ограничений в виде неравенств. Вводя дополнительные переменные, ограничения - неравенства можно преобразовать в уравнения, причем на дополнительные переменные накладываются ограничения неотрицательности. Метод штрафных функций относится к методам оптимизации на основе преобразования задачи [116].
Задача может быть сформулирована следующим образом: минимизировать/(х), xeRN Суть метода заключается в преобразовании исходной целевой функции путём включения в нее функции от ограничений, получая, таким образом, задачу безусловной оптимизации, для решения которой можно использовать известные методы [121].
Преобразованная функция определяется выражением: где Q - штрафная функция от ограничений задачи, a R- штрафной параметр.
Существуют различные типы штрафов и различные процедуры учёта ограничений при переходе к задаче безусловной оптимизации. Квадратичный штраф
Этот вид штрафа используется для учёта ограничений - равенств и имеет вид: Q. = R(h(x))2 При минимизации этот штраф препятствует отклонению величины h(x) от нуля. Легко видеть, что при увеличении R стационарная точка штрафной функции Р(х, R) приближается к искомому решению х , так как в пределе hk(x{,)) = 0, где t=l, 2,..., Т. Функция Q непрерывна и имеет непрерывные производные. Логарифмический штраф Этот и рассматриваемые далее виды штрафов учитывают ограничения - неравенства. Логарифмический штраф имеет вид Q = -R \n[g(x)].
Штраф положителен при всех х, таких, что 0 g(x) 1, и отрицателен при g(x) 1. В этом случае внутренним точкам области допустимых решений отдаётся предпочтение. Логарифмический штраф - это барьерная функция, не определенная в недопустимых точках (т.е. для таких, в которых g(x) 0). Поэтому на начальном этапе необходимо обеспечить попадание в допустимую область. Поскольку преобразованная задача решается одним из численных методов, то возможно появление недопустимых точек в процессе решения (например, как результата большого первого шага при одномерном поиске). В связи с этим должны быть предусмотрены специальные меры по предотвращению этой ситуации либо её обнаружению и устранению. Итерационный процесс начинается из допустимой точки при положительном начальном R (R=10 или R=100). После решения каждой подзадачи безусловной оптимизации уменьшается и в пределе стремится к нулю. Штраф, заданный обратной функцией
