Содержание к диссертации
Введение
1. БАЗОВЫЕ КОНЦЕПЦИИ, МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ 18
1.1. Ортогонализация и итерационные методы матричной декомпозиции 21
1.2. Сингулярное разложение матриц 27
1.3. Вычислительные алгоритмы сингулярного разложения матрицы 35
1.4. Задачи оптимизации на многогранных множествах 45
1.5. Численная реализация SVD разложения односторонними ортогональными преобразованиями 50
2. ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКТОР: УПРАВЛЕНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ 57
2.1. Минимизация сводного уровня загрязнения 58
2.2. Многокомпонентная оптимизация 64
2.3. Минимальная реконструкция показателей производства в целях
экологической приемлемости 69
2.4. Экстремальные задачи для природосберегающего производства 75
3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ПОДВИЖНОЙ СУБСТАНЦИИ 83
3.1. Метод единичного гидрографа и расчет паводкового стока 83
3.2. Коллективное регулирование концентрации распадающегося в потоке загрязнителя 89
3.3. Оценка предельной нагрузки участка потока 98
3.4. Модель линейно-пропорционального влияния 103
3.5. Вычислительный анализ матричного метода определения единичного
гидрографа 106
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 112
ЛИТЕРАТУРА 116
- Ортогонализация и итерационные методы матричной декомпозиции
- Минимизация сводного уровня загрязнения
- Метод единичного гидрографа и расчет паводкового стока
Введение к работе
Процесе приобретения человечеством новых знаний показывает, что перспективы развития большинства наук не мыслимы без использования современного математического аппарата. Математизация экологии яркий тому образец. Сложность разрешения экологических задач поэтому, сопряжена с некоторой раздвоенностью роли математических методов. В естествознании математика быстро и прочно заняла ведущие позиции, однако в области социальных наук ее успехи намного скромнее.
Следует также отметить, что развитие наук экологического цикла сильно меняет человеческие представления о ювелирной тонкости окружающего нас мира. Создается впечатление, что мы находимся в ограниченной нише, выход за границы которой несет абсолютно непредсказуемые и потенциально гибельные последствия для всей цивилизации. Помимо антропогенных воздействий рамки нашего существования определяются также чисто природными гранями. Этими гранями являются, например стабильность электромагнитного фона (отсутствие магнитных бурь) или строго регламентированные дозы микроколичеств химических элементов и соединений.
Связи локальных и планетарных процессов, которые помогают выявлять математические методы, могут оказаться очень значимыми и даже жизненно важными. Так, в южной части Тихого океана преобладают ветры, дующие с востока на запад. Это влияние непостоянно, оно изменяется в течение года и от года к году, причем изменения образуют более или менее регулярный цикл, называемый el NirTo. Ученые пытаются анализировать эти циклы, так как они имеют огромное экономическое значение для сельского хозяйства и для прогнозирования погоды. Один из способов анализа основан на применении так называемого "Указателя южных колебаний", в котором фиксируются разности атмосферных давлений на острове Пасхи и в дарвиновской Австралии, измеренных на уровне моря в одно и то же время. В этом справочнике содержаться ежемесячные данные, представляющие собой
4 средние значения измерений, которые можно отнести к середине месяца.
На основе данных "Указателя" за 14-летний период с 1962 по 1975 г. (168 значений) проведено выявление периодических циклов [31]. По результатам анализа следует, что велики члены суммы, соответствующие четвертой, пятой и шестой компонентам периодограммы при длинах периодов в 42, 33.4 и 28 месяцев. Дополнительный анализ тех же данных показывает, что наибольший пик, соответствующий циклу продолжительностью около 44 месяцев, "размазался" по ближайшим компонентам. Изучались и другие пики, для всех были получены более точные оценки. Один из выводов состоит в том, что пики этих синусоид в 1982 г. совпали, что давало возможность предсказать грязевые оползни в Калифорнии, которые снесли множество домов и причинили убытки в миллионы долларов. Возможно, в следующий раз такое явление удастся предсказать заранее.
Даже без свидетельств ученых большинство жителей промышленных стран на себе ежесекундно ощущают итоги химического воздействия в дыхании, пище и воде, а также негативное влияние на самочувствие через разные виды излучений. Видимо, создание искусственных, заранее регламентированных, элементов естественной среды существования, как, например, использование фторсодержащей зубной пасты не станет приемлемым выходом из ситуации, так как возможна разбалансировка доз некоторого неучтенного микроэлемента. Как грустно констатируется в [24] "Объявлено, что "человек - царь природы", и он стал брать с нее дань спокойно и планомерно. Хлопковые плантации покрыли некогда зеленые холмы Диксиленда (южные штаты США) и через известное, довольно короткое время превратили их в песчаные дюны. ... Промышленность развивается и приносит огромные прибыли, а Рейн, Сена и Висла превратились в сточные канавы."
Новые поколения получают опасное наследство и в прямом и переносном смысле. Даже такая "безобидная" характеристика как запыленность воздуха постоянно возрастает [57], [67]. Было установлено, что за одно десятилетие помутнение атмосферы над Тихим океаном увеличилось на 30%. При этом каждый кубический сантиметр воздуха больших городов содержит несколько тысяч микроорганизмов.
Лозунг "возвращения первозданности природе любой ценой!" встретит как минимум две неодолимые на сегодня преграды: 1)точно не известно насколько человеческая деятельность пощадила природные механизмы самовосстановления (например, изменения генотипов, вызванные мутациями вирусов и бактерий); 2)подавляющее большинство жителей индустриальных и довлеющих к ним стран не допустят этого любыми средствами. Последнее принадлежит области печальных парадоксов, а первое основано на не знании точных характеристик "первичной" природы. В стародавние времена никому не приходило на ум "точно" фиксировать параметры "среды существования", не говоря уже о наличии соответствующих ресурсов и знаний. А нынче это делать поздно за редкими исключениями, такими как, исследование прецизионного состава воздуха в глубинных пустотах ледников и т.п.
Удивительные данные об экономике Китая помогают понять, почему современное развитие не может привести нас туда, куда нам хотелось бы. Его экономика является самой быстрорастущей в мире, увеличившись с 1980 г. более чем в четверо. По сути, Китай как бы разворачивает мировую историю в сжатые сроки, демонстрируя что происходит, когда массы бедняков быстро богатеют.
По мере роста доходов растет и потребление. Китайцы уже догнали американцев по потреблению свинины на душу населения и теперь сосредоточили усилия на увеличении производства говядины. Чтобы догнать Америку в расчете на одного человека Китаю надо производить корм для скота равный всему урожаю зерновых в США. Япония, например, чтобы получить нужное количество животного белка, обратилась к морю. Потребление морепродуктов Японией составляет приблизительно 10 млн. т. Если бы и Китай с его населением, в 10 раз больше японского, пошел тем же путем, ему потребовалось бы 100 млн. т. морепродуктов - весь мировой улов рыбы [7].
В 1994 г. китайское правительство решило сделать ставку главным образом на автомобильный вид транспортных перевозок. Пекин обратился к мировым производителям - "Фольксваген", "Дженерал Моторс", "Тойота" - с предложением инвестировать средства в китайскую промышленность. Если у каждой китайской семьи в гараже будет стоять 1-2 автомобиля, которые начнут потреблять бензин на американском уровне, то только Китаю, с населением 1,3 млрд. человек, потребуется 80 млн. баррелей нефти в день, а при текущей мировой добыче только 74 млн. баррелей. Для обеспечения такой армады автомобилей дорогами и местами стоянок потребуется 16 млн, га земли - половина всех рисовых полей страны (31 млн. га), которые приносят урожай 132 млн. т риса, основного продукта питания.
Похожим образом обстоит дело с производством и потреблением бумаги. Если нынешний расход - 35 кг на человека в год, поднимется до американского уровня - 342 кг, то Китаю понадобится бумаги больше, чем ее производит весь мир.
Это говорит о том, что западная модель индустриального развития общества для Китая не годится. Даже всей земной суши и всех пресных запасов воды на Земле не хватит, чтобы удовлетворить полные потребности Китая в зерне.
Группа видных ученых, среди которых члены Китайской академии наук, обратилась к обществу с открытым письмом. В нем ставится по вопрос целесообразность развития автомобильного транспорта. Ученые указывают, что в итоге не останется земли для выращивания сельхозпродуктов. Они также отмечают, что страна попадет в сильную зависимость от внешних поставок нефти.
Экономика, основанная на сжигании ископаемого топлива, не сможет нормально функционировать не только в Китае, но и в Индии с ее 1 млрд. населения, и в других странах развивающегося мира. Эта схема, в конце концов, перестанет работать и в развитых странах.
Глубокий исторический вывод автора [24] гласит "Человечество как биологическая форма - это единый вид с огромным количеством вариаций,
7 распространившийся ... по всей поверхности земного шара. ... И не следует думать, что где-нибудь есть "девственные" земли, .... Нынешние пустыни и дебри наполнены следами палеолитических стоянок; леса Амазонки растут на переотложенных почвах, некогда разрушенных земледелием древних обитателей; даже на утесах Анд и Гималаев найдены следы непонятных нам сооружений." говорит и о временной глубине происходящих процессов. Причем их масштабность не является прерогативой современности "...человек, вооруженный техникой, даже палеолитической, мог бы уничтожить все живое вокруг себя, отнюдь не подозревая, что этим он погубит и свое потомство. Ведь примитивное дуалистическое отношение к природе - деление животных на "полезных" и "вредных" - теоретически обосновывало нарушение биоценозов, вне коих звери и растения жить не могут. ... Казалось бы, древние люди, не знавшие основ биоценологии, именно так и должны были бы поступать. ... человек не только социальная единица, ...,но и органический элемент земной поверхности, связанный с биосферой неразрывно через инстинкты, позволяющие ему не погибнуть."
Потеряв одно жизненно необходимо приобретать другое. Этим другим можно считать тот самый комплекс экологических наук, благодаря которому человечество хотя бы частично осознает, что же оно все-таки теряет. "Золотым правилом" наступающего периода становится — "не спешность безвозвратных изменений". Это очень заметно в современных исследованиях, например, по проблемам клонирования и всему что с этим связано. Другим образцом использования "золотого правила" была попытка ограничить суммарный атмосферный выброс загрязнителей, которая привела к формулировке известного Киотского протокола. Суть которого сводится к введению квот на промышленные выбросы всеми странами, пропорционально их населению. Если же некоторое государство превышает отведенный ему порог, то оно обязано компенсировать свое превышение тем странам, которые до квоты не "добирают". Такими парами стран могут считаться США, промышленность которых потребляет порядка 65% "запредельного" воздуха [83], и Бразилия, в тропических лесах которой образуется крупная доля мирового атмосферного кислорода. Некоторые промышленно активные страны, в частности Австралия и США, к Киотскому протоколу не присоединились, сославшись на неведение современной наукой точных причин глобального изменения климата. Этот упрек можно считать прямым вызовом по активизации соответствующих исследований.
Комплексность исследований присуща не только научным коллективам, но и многим разделам экологического знания. Если в восемнадцатом веке передовую науку своего времени двигали гениальные единицы, то в последующие периоды картина резко изменилась. Дифференциация научного знания привела к появлению новых ветвей науки, и наоборот, интеграционные процессы в познании мира детонируют своеобразную диффузию научных идей из одной области в другую. Исторически, представление о кругообороте химических элементов - углерода, азота, серы, фосфора и других - целиком возникло из наблюдений, показывающих непрерывность их поступления в биосферу и выхода из нее и непрерывность обмена элементами между различными частями самой биосферы. Незадолго до того как жизнь великого А. Лавуазье трагически оборвалась, он закончил небольшой, но исключительный по насыщенности глубокими идеями труд - "Кругооборот элементов на поверхности земного шара". Можно считать эту работу одной из главных вех зарождения экологии. Суть передовых для своего времени выводов заключена в следующих строках. "Растения получают из окружающего их воздуха, из воды и из всей неживой природы в целом, вещества, необходимые для их организма.
Животные питаются либо растениями, либо другими животными, так что, в конечном счете, вещества, из которых строится их организм, берутся из воздуха или из минерального царства.
Наконец, брожение, гниение и сгорание непрерывно возвращают в воздух атмосферы и в минеральное царство те исходные вещества, которые у них позаимствовали растения и животные. Какими путями осуществляет природа
9 этот изумительный круговорот?"
Позже, восхищаясь этими утверждениями, Л. Пастер продолжает цепь выводов: "Необходимо, чтобы фибрин костей, мочевина мочи, древесина растений, сахар их плодов и крахмал их семян постепенно распались бы до воды, аммиака и углекислого газа, прежде чем эти исходные элементы, из которых строятся сложные органические вещества, будут снова подхвачены растениями и переработаны ими в вещества, служащие пищей для животных, подобных тем, останки которых послужили источником этих элементов. И такой круговорот совершается непрерывно на протяжении веков".
Современная экология свидетельствует, что во всех таких процессах первостепенную роль играет Мировой океан. Центральным моментом в круговороте углерода является автоматическое поддержание концентрации углекислого газа в атмосфере на определенном уровне. И здесь решающая роль принадлежит Мировому океану: фотосинтез с участием водорослей и водных растений примерно в 8 раз интенсивнее, чем фотосинтез с участием всей наземной растительности [2]. Однако, загрязнение морей не всегда можно обнаружить по внешним проявлениям. Так, Северное море, в сильнейшей степени загрязненное отбросами и сточными водами, все еще остается одним из наиболее продуктивных в мире районов рыболовства [2]. Специалисты океанологи, наблюдавшие флору и фауну морей на протяжении последних десятилетий, единодушно отмечают постоянное уменьшение интенсивности жизни в океане. Отравление океана есть результат многих процессов, накладывающихся один на другой. Биосферные цепи питания начинаются с фитопланктона, который можно назвать "пастбищем моря" и заканчиваются на млекопитающих, в числе которых находится и человек. Огромную опасность представляет загрязнение океана такими металлами, как ртуть, свинец, кадмий, медь, цинк и хром. Например, отравление ртутью проявляется в расстройстве нервной деятельности, наступающем уже при малой ее концентрации. Печально известна болезнь, объявившаяся в Японии между 1953 и 1960 гг. в префектуре Минамата (о. Кюсю). От нее погибли или стали инвалидами 111 человек. Причиной болезни было употребление в пищу креветок и рыбы, отравленных дим етил ртутью, которую выбрасывал в море завод, производивший поливинилхлорид. Диметилртуть выводится из организма достаточно медленно — 50% за 70 суток. Другой опасный загрязнитель — свинец попадает в океан в результате естественного вымывания континентальных пород, но в наши дни попадание свинца в океан происходит главным образом из воздуха, который все больше загрязняется выхлопными газами автотранспорта и за счет сжигания каменного угля. Расстройство обмена веществ у человека возможно уже при малых дозах соединений свинца. По оценкам ежегодно из атмосферы и рек в океан выбрасывается 200 тыс. т. свинца.
С тех пор как вошли в обиход морские перевозки нефти с помощью танкеров, в море ежегодно попадает около 5 млн. т. нефти [2], [67]. Удивительно, что Мировой океан еще не так загрязнен, как, казалось бы, мог быть. Это объясняется естественными процессами самоочищения: испарением, рассеянием за счет штормов, приливов и отливов, окислением и микробным разложением углеводородов. Первым следствием рассеяния является образование тонких поверхностных слоев, а из них затем образуются эмульсии. В конце концов, эти эмульсии поглощаются массой океана. Для того чтобы частицы водно-нефтяной эмульсии опустились на глубину 4000 м, требуется несколько месяцев. Анаэробное разложение нефтяных остатков на глубине происходит гораздо медленнее. К этому следует добавить сознательное захоронение в морях опасных грузов. Например, в 1970 г. США захоронили в Мексиканском заливе несколько тысяч тонн боевого нервно-паралитического газа (зарина), заключенного в герметичные кессоны. Остается лишь надеяться, что герметичность кессонов будет сохраняться бесконечно долго. Мировое потребление основных энергоисточников в 1980г. в долях от суммарного потребления составляло: нефти 46%, газа 15%, угля 30%, торфа 0.1%, дров 3.0%, гидроэнергии 6.0%.
Само слово токсин (to^iecov) первоначально означало экстракты, которыми смазывали наконечники отравленных стрел. Когда же речь заходит о токсических веществах, вырабатываемых позвоночными появляется слово "яд" (анг. Venom, фр. Venin, нем. Gift). Например, в Японии, несмотря на строгую регламентацию кулинарной обработки, все еще не редки случаи смертельного отравления от токсинов рыбы "фугу" (Sphoeroides rubripes).
Одной из серьезных в глобально экологическом (а не физиологическом) понимании категорией токсинов являются фитотоксиканты — загрязнители атмосферы, воды и почвы вредные для растений. Они способны пагубно повлиять на всю пирамиду органической жизни. Фитотоксиканты поглощаются листьями, оттуда поступают в побеги и другие органы растений. Атмосферные осадки способствуют поступлению растворенных фитотоксикантов в растения. Например, диоксид серы SO2 (сернистый газ) в атмосфере окисляется до сернистого ангидрида (S03) при фотохимических реакциях (с участием солнца). В конечном итоге образуется раствор серной кислоты в дождевой воде. Это не только подкисляет почвы, но и вызывает хлороз растений. Фитотоксикантами являются также свинец и кадмий, накапливающиеся в растениях вдоль автодорог. Попутно через растения (наряду с дыханием) в человеческий организм попадает сильнейший канцероген бензапирен (БаП). Его выброс в атмосферу резко возрос в связи с распространением двигателей внутреннего сгорания и интенсивным потреблением горючих ископаемых в промышленности. Определения содержания БаП в зеленой водоросли Scedesmus acutus, выращенной на открытом воздухе, показывает, что в Дортмунде (ФРГ) его концентрация почти в 30 раз выше, чем в Бангкоке [2].
Критерием качества атмосферного воздуха установлена ПДК -максимальная концентрация примесей в атмосфере и гидросфере, отнесенная к определенному времени осреднения, которая при периодическом воздействии или на протяжении всей жизни человека не оказывает на него вредного влияния, включая отдаленные последствия.
В нашей стране действуют показатели ПДК вредных газов, паров и
12 аэрозольных примесей в воздухе рабочей зоны и ПДК вредных веществ в атмосферном воздухе населенных мест, для которых установлено две нормы -максимальная разовая ПДКмр и среднесуточная ПДКСС. ПДКмр - основная характеристика опасного воздействия вещества - устанавливается с целью предупреждения рефлекторных реакций у человека на кратковременном (до 30 мин) воздействии атмосферных примесей. ПДКСС - для предупреждения прямого или косвенного влияния на организм человека при неопределенно длительном воздействии.
Наибольшая концентрация каждого вредного вещества в приземном слое воздуха населенных мест не должна превышать ПДКмр. При одновременном присутствии в атмосфере нескольких вредных веществ, обладающих однонаправленным действием {эффектом суммации, например, S02 и NO2 и др.), их безразмерная концентрация X должна удовлетворять условию [64],[83],[56]: Л ПДК, +ПДК2 +- + ПДК„51' где С[, С2,..., Сп - концентрации вредных веществ в одной и той же точке местности, мг/м ; ПДКь ПДК2,..., ПДК„ - допустимые максимальные разовые концентрации тех же веществ.
Вредные и ядовитые вещества, в зависимости от их состава и характера действия, нормируются по лимитирующему показателю вредности (ЛПВ), под которым понимают наибольшее отрицательное влияние, оказываемое данными веществами. Для водоемов питьевого и культурно бытового назначения используют три вида ЛПВ: санитарно-токсикологический, общесанитарный и органолептический; в рыбохозяйственных водоемах к указанным трем добавляются еще токсикологический и рыбохозяйственный ЛПВ.
Вода считается чистой, если ее состав и свойства ни по одному из показателей не выходят за пределы установленных нормативов, а содержание вредных веществ не превышает предельно-допустимых значений (ПДК). При наличии в воде нескольких веществ с одинаковым ЛПВ, сумма отношений их
13 концентраций к соответствующим ПДК не должна превышать единицы: k пдк, -1' где С, - концентрация /'-го вещества с одинаковым ЛПВ; ПДК, - предельно допустимая концентрация /-го вещества; п - число веществ с одинаковым ЛПВ.
В настоящее время для водоемов питьевого и культурно бытового назначения установлены ПДК более 1625 вредных веществ, для водоемов рыбохозяйственного назначения - более 1050.
В связи со сложностью и разнообразием химического состава природных вод, а также возрастающим количеством загрязняющих веществ такие оценки не дают четкого представления о суммарном загрязнении водных объектов и не позволяют однозначно выражать степень качества воды с различным характером загрязнения.
Вода по качеству разделяется на классы с различной степенью загрязнения. Однако одно и то же состояние воды по разным показателям может быть отнесено к различным классам качества, что является недостатком данных методов.
Касаясь математической стороны дальнейшего изложения, отметим, что в концепциях современных матричных исследований видное место занимают такие представители отечественной научной школы как Бахвалов Н.С., Воеводин В.В., Гантмахер Ф.Р., Глазман И.М., Годунов С.К., Жидков Н.П., ИкрамовХ.Д., Калиткин Н.Н., Любич Ю.И., Фаддеев Д.К., ФаддееваВ.Н. [3], [12], [14], [17], [77], [0], [29]. Неоценимо важна роль передовых зарубежных ученых, значительно развивших данную отрасль знаний Ван Лоуна Ч., Голуба Дж., Деммеля Дж., Джонсона Ч., Моулера К., Уилкинсона Дж., Форсайта Дж., ХорнаР. [76], [25], [80], [21], [78], [75]. В области разработки методов устойчивых вычислений и решения плохо обусловленных задач, лидирующие позиции принадлежит научным направлениям, развитым в работах АрсенинаВ.Я., Гончарского А.В., ЛоусонаЧ., Морозова В.А., Степанова В,В., Тихонова А.Н., Уилкинсона Дж., Форсайта Дж., Хенсона Р,
14 Яголы А.Г., [71], [72], [55], [78], [45], [75]. Эколого-математические проблемы и методы их решения плодотворно развивались в работах БисвасаА., Горстко А.Б., Каханера Д., Марчука Г.И., Моисеева Н.Н., Моулера К., Муравья Л.А., Нэша С. и многих других ученых [68], [23], [31], [49], [53], [83].
Предваряя дальнейшее изложение, подчеркнем видную роль в нем концепции сингулярного разложения матриц (SVD-разложения) [12], [13], [44], [76], [25], [80]. Изначально сингулярное разложение вещественных квадратных матриц было введено и обосновано Сильвестром в 1889 г. Первое доказательство возможности сингулярного разложения в случае произвольных комплексных mx/7-матриц было дано, согласно [80], в работе: Eckart С, Young G. A Principal Axis Transformation for Non-Hermitian Matrices. - Bull. Amer. Math. Soc, 1939, v. 45, 118-121. В этой же статье доказано, что, для того чтобы две матрицы допускали одновременное сингулярное разложение, необходима и достаточна эрмитовость произведения первой матрицы на сопряженную вторую, а также эрмитовость комплексно сопряженной и транспонированной матрицы к этому произведению.
Сингулярные базисы в совокупности образуют ортонормальные матрицы и для их получения требуются ортогональные операторы специального вида, а именно матрицы вращения и отражения. Вычислительные методы расчета сингулярных чисел и соответствующих им векторов восходят, по всей видимости, к классическому методу Якоби. Как указывают авторы [65], [80] впервые плоские вращения были использованы в работе Jacobi, C.G.J., 1846. "Concerning an Easy Process for Solving Equations Occuring in Theory of Secular Disturbances". J. Reine Angew. Math., 30:51-94, для диагонализации действительной симметричной (7х7)-матрицы. Сто лет спустя метод был переоткрыт и описан в отчете Bargmann V., Montgomery С, von Neuman J., 1946. "Solution of Linear Systems of High Order", Princeton: Institute for Advanced Study.
В англоязычной литературе, для определенных разновидностей ортогональных преобразований, употребляются соответственно наименования:
15 метод плоских вращений Гивенса и метод Хаусхолдера, использующий элементарные отражения. Оригинальные работы этих авторов: a)Givens J.W. Numerical computation of the characteristic values of a real symmetric matrix. - Oak Ridge National Laboratry, 1954, ORNL-1574. b)Givens J.W. Computation of plane unitary rotations transforming a general matrix to triangular form. - J. Soc. Industr. Appl. Math., 1958, 6, p. 26-50. c)Householder A. S. Unitary triangularization of a nonsymmetric matrix. - J. ACM, 1958, 5, p. 339-342., были сразу же замечены специалистами. Соответствующие унитарные (ортогональные) матрицы носят имена этих авторов, что, возможно, затеняет принципы их действия. Как будет показано в дальнейшем изложении, относительно малая вычислительная затратность метода Хаусхолдера обусловила его высокую популярность, начиная с 1959 г. Однако позднее, благодаря результатам работ: a)Gentleman W.S. Least squares computations by Givens transformations without square roots. - J. Inst. Math. Appl., 1973, 12, p. 329-336. b) Hammarling S. A note on modifications to the Givens plane rotation. - J. Inst. Math. Appl., 1974, 13, p. 215-218., вычислительная стоимость метода Гивенса снизилась приблизительно до уровня метода Хаусхолдера.
Важную роль в современном матричном анализе играет понятие обобщенного обратного оператора (обобщенной обратной матрицы). Это понятие тождественно обычному обратному оператору, в тех случаях, когда последний существует. Вместе с тем многие существенные свойства обратного оператора естественным образом присущи обобщенному обратному линейному оператору, несмотря на то, что классического обращения для данного оператора может не существовать.
Первым ввел понятие обобщенной обратной матрицы [85], по-видимому, Мур: Moore Е.Н. On the reciprocal of the general algebraic matrix. - Bull. Amer. Math. Soc, 1920, 26, p. 394-395. Однако условия, определяющие такую матрицу, были сформулированы Пенроузом значительно позднее: Penrose R. А generalized inverse for matrices. - Proc. Cambbridge Phil. Soc, 1955, 51, p. 406-413.
Целью настоящей работы является построение математических моделей процессов пространственно временной трансформации распространения загрязнителя; разработка аналитического метода решения задач характеризующихся наличием сводного показателя вредности; исследование экстремальных свойств рассматриваемых экологических моделей в различных метрических пространствах исследование возможности построения альтернативных схем функционирования экологически проблемных техногенных систем, при условии их наиболее малой реконструкции, либо вообще без таковой, а лишь за счет более рационального использования потребляемых ресурсов. При этом такие виды реконструкции, затрагиваемые в рамках данной работы, обосновываются математически на основе решения определенного вида многомерных экстремальных задач.
На защиту выносятся:
Методика учета сингулярной структуры матричного оператора при исследовании соответствующих классов векторно-матричных экологических моделей.
Трехзвенная модель экологически рационального выпуска нескольких видов продукции, обеспечивающая баланс между минимальностью общего вредного выброса и максимально возможным доходом, с учетом нескольких классов суммации.
Методика приведения проблемы дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства к задаче расчета сингулярных характеристик прямоугольной матрицы малого ранга.
Критерии и принципы регулирования совокупного (вдоль потока) сброса распадающегося загрязнителя. Обоснование схемы оптимального размещения точечных источников сброса, а также режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока. Практическая значимость заключается в прикладной формулировке большинства моделей изучаемых проблем. В отдельных случаях исследование проводится без использования специализированных численных методов, что
17 после предварительной обработки информации, может быть использовано при калибровке параметров моделей. Многие виды рассматриваемых задач удается свести к получению основных показателей сингулярного разложения матрицы, при этом в работе приводится вычислительно эффективный метод получения такого разложения, опробованный в разных задачах и проектах.
Научная новизна работы состоит в том, что разработан упорядочивающий алгоритм сингулярного разложения матрицы (SVD-разложения), который применяется (как составная часть) в исследуемых проблемах. Предложена трехуровневая модель регулирования экономико-экологических пропорций производства, реализующая баланс рентабельности единицы продукции и минимума общего масштабированного выброса, с учетом эффекта суммации. Описана методика матричного моделирования процесса заданной дополнительной очистки выбросов многопродуктового производства относительно сингулярных параметров оператора задачи. Приводятся критерии и соответствующие пропорции регулирования коллективного сброса неконсервативного загрязнителя в поток. Обосновывается схема оптимального размещения точечных источников сброса и режима предельно допустимой коллективной нагрузки на рассматриваемый участок потока.
Ключевые теоретические положения представляемой работы, являются составной частью нескольких научных проектов по конкурсам Российского фонда фундаментальных исследований, соисполнителем которых явился автор.
Апробация работы. Результаты и выводы исследования докладывались на научных семинарах кафедр теоретической физики и компьютерных технологий (2002, 2004 гг.) физико-технического факультета и кафедры прикладной математики (2002 г.) факультета прикладной математики Кубанского госуниверситета. Они также были представлены на семинарах и конференциях
Ортогонализация и итерационные методы матричной декомпозиции
В период бурного и стремительного прогресса вычислительной алгебры, роль ортогональных преобразований была переосмыслена кардинально. Одно из важнейших свойств таких преобразований - численная устойчивость, является очень ценным качеством. Произведение ортогональной матрицы и произвольного вектора не меняет евклидову норму последнего, т.е. не происходит катастрофического накопления погрешностей. Хотя Гауссова схема триангуляции произвольной тхп матрицы требует т -т-п2 арифметических операций без дорогостоящих извлечений квадратного корня, что как будет видно в дальнейшем относительно мало, однако численная устойчивость расчетных методов часто оказывается гораздо важней.
Как в теоретических исследованиях, так и на практике в последние десятилетия очень популярны два вида ортогональных операций преобразование вращения и преобразование отражения. Как отмечено во введении для этих преобразований, употребляются соответственно наименования: метод плоских вращений Гивенса и метод Хаусхолдера, использующий элементарные отражения.
Вычислительная стоимость методов Гивенса и Хаусхолдера, измеряемая числом операций умножения и извлечения квадратного корня, для случая плотно заполненных (не разреженных) тхп матриц отчетливо показывает, почему начиная с 1959 г, метод Хаусхолдера был намного более популярен. Однако к середине 1970-х годов, вычислительная стоимость метода Гивенса снизилась приблизительно до уровня метода Хаусхолдера. А поскольку для разреженных матриц метод Гивенса подходит больше, то нынешняя его привлекательность для вычислительных целей достаточно высока.
В современных матричных вычислениях новые разновидности классического метода Якоби (1846 г. см. введение) приобретают достаточно весомые положительные свойства [11], [25].
Для симметричной проблемы собственных значений метод Якоби выполняет последовательность ортогонально подобных обновлений JTA J A k+ обладающих тем свойством, что каждая новая итерация изменения матрицы А является более диагонализованной чем ее предшественники, т.е. внедиагональные элементы становятся достаточно малыми для того, чтобы считать их равными нулю.
Минимизация сводного уровня загрязнения
Зачастую неизбежный вред, наносимый некоторой техногенной системой окружающей природе, достаточно точно может быть оценен некоторым интегральным показателем. Подобные оценки нередко приводятся при обосновании полезности того или иного усовершенствования. Например, летом 2002 года в некоторых передовых странах поступило в продажу комбинированное топливо для дизельных автомобильных двигателей, позволяющее более чем заметно уменьшить вредный выхлоп такого агрегата, а именно на 28%. Дополнительно сообщается, что в состав нового топлива входит 5% масла растительного происхождения. Помимо этого, таким интегральным показателем может выступать лимитирующая характеристика выброса, например концентрация сажи и твердых частиц, либо наличие особо опасных для человеческого здоровья примесей.
Учитывая такие соображения, в качестве первого допущения примем постулат о том, что рассматриваемая система может характеризоваться единым показателем экологической вредоносности. Опираясь на подобную схему оценки работы некоторой хозяйственной технической системы, в качестве второго допущения положим в основу рассматриваемой в данном параграфе модели допущение о линейной связи между потребленным количеством энергетического ресурса и образующимся при этом количеством вредоносного ингредиента. Подобные взгляды довольно отчетливо просматриваются на транспорте и в энергетике.
Задача минимума токсичности для сети котельных. Хорошо известны показатели выделяющегося при сжигании различных видов органического топлива (мазут, природный газ, сланец, уголь, торф, дрова, технический спирт, биогаз и т.п.) тепла q,. Также хорошо известно, что при горении этих видов топлива образуются в большей или меньшей степени вредоносные загрязняющие вещества. На основании принятой для данного рассмотрения схемы полагаем заданными интегральные показатели выделения загрязнителя при сжигании единицы каждого из рассматриваемых энергоносителей ,. Как естественное следствие возникает вопрос - сколько и каких видов топлива необходимо использовать, например, в течении отопительного сезона для получения наперед заданного количества тепла Q (или, что эквивалентно, выработки необходимого количества электроэнергии), но при этом получая минимально возможное загрязнение окружающей природы?
Задача минимума токсичности транспортного парка. Аналогично может интерпретироваться задача для транспортной сети. Известны потребности различных видов топлива на пробег заданного расстояния (литры на километр или милю) г„ а также известны показатели сводного загрязнения атмосферы при сгорании единицы топлива данного вида ,. Требуется так сформировать транспортный парк (пропорции дизельных и карбюраторных двигателей для разнооктановых видов топлива), чтобы при выполнении предварительно заданного объема перевозок D работа такого парка приносила наименее возможный, при известных технических и токсикологических параметрах, вред состоянию атмосферы. Постановка проблемы в таком виде позволяет свести токсическую нагрузку на окружающую природу к минимально возможному, в данных условиях, размеру, либо при помощи расчетов доказать, что такая минимальная нагрузка уже достигнута и дальнейшее улучшение следует искать на принципиально других путях. Случай возможности уменьшить токсичность рассматриваемой техногенной системы, не прибегая к принципиально новым конструкторским усовершенствованиям особенно ценен, тем более, что каждое существенное усовершенствование современной установки не всегда удается провести в обозримые сроки по времени, так как многие разработки достигают своего логического предела и требуется переход на принципиально новые основы функционирования (электромобили, ветровые и волновые источники электричества). А это на данный момент экономически нереально, так например КПД нетрадиционных энергоустановок не позволяет начать их широкое промышленное применение.
class3 ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
ПОДВИЖНОЙ СУБСТАНЦИИ class3
Метод единичного гидрографа и расчет паводкового стока
Осадки являются важнейшей составляющей гидрологического цикла (круговорота воды в природе). Изменение стока на водосборе во времени определяется соотношениями физико-географических и климатических факторов.
Важной задачей расчетов является построение гидрографа стока. Гидрограф - это непрерывная кривая, характеризующая ход речного стока в течении определенного отрезка времени. Гидрограф формируется под влиянием многих физико-географических и гидрометеорологических факторов. Как правило, он представляет собой сложную кривую со многими пиками.
Основной исходной информацией при расчетах стока служат материалы дождемерной сети, характеризующей ход осадков во времени. Часть осадков, которая идет на поверхностный паводковый сток, представляет общий слой дождя минус потери на перехват.
Одной из форм анализа зависимости стока от осадков является построение линейной зависимости "осадки-сток". Степень достоверности такой линейной зависимости выше для бассейнов, на которых условия формирования стока меньше подвержены сезонным и другим временным изменениям. Особенно тесной такая зависимость является для водонепроницаемых территорий (крупные города, скалистые склоны), Такого рода эмпирические зависимости могут быть рассчитаны для отдельных конкретных водоемов. В общем случае следует учитывать, что они не охватывают все множество физических явлений и не являются универсальными.
В течение дождя вода непрерывно расходуется на насыщение верхнего горизонта почвы. Постепенно накапливаясь, вода собирается в небольшие ручейки, дающие начало склоновому стоку в малые водостоки, сливающиеся затем в более крупных потоках и, наконец, в реках.
Обычно русла рек содержат на протяжении значительной части года определенный объем базисного стока. Этот сток поступает из грунтовых вод и может рассматриваться как непрерывно существующий поток. Расходы воды от избыточных осадков (осадков уменьшенных на величину безвозвратных потерь) формируют гидрограф паводкового стока (ГПС). Формирование ГПС на выходе бассейна происходит за счет суммирования ординат гидрографов склонового притока в ходе до бегания воды по руслам. При значительной продолжительности избыточных осадков появляется достаточно времени для того, чтобы приток от все более отдаленных участков водосбора, достигая замыкающего створа, вносил свой вклад в общий гидрограф. Следовательно, продолжительность дождя увеличивает приток, который образует максимальный расход воды. Интенсивность дождя, за период суммирования притока, так же диктует величину максимального расхода. Если в течение длительного периода времени дождь выпадает с постоянной интенсивностью, то устанавливается постоянный расход, т.е. по мере продолжения дождя устанавливается равновесие: приток воды равен ее оттоку. Однако в природе эти условия достигаются редко или не наблюдаются вообще. Хотя продолжительные дожди встречаются часто, однако непостоянство интенсивности в течение их выпадения исключает реальную возможность формирования прямолинейного гидрографа их паводкового стока.
Обычно паводковый гидрограф имеет форму однопиковой кривой. Период подъема паводка, т.е. время от начала паводкового стока до момента прохождения его пика, зависит от интенсивности и продолжительности дождя, размера, уклона, формы и регулирующей способности водосбора. После прохождения пика, сформированного отдельным ливнем, сток вступает в фазу спада. В этот период источником поступления воды становятся в основном запасы, аккумулированные на поверхности водосбора и в руслах рек. Таким образом, форма ГПС является функцией совместного влияния продолжительности и интенсивности дождя, равно как и физико-географических факторов водосбора, определяющих его регулирующую способность.