Введение к работе
Актуальность темы. Многие задачи, возникающие и различных властях математики, таких как теория игр, математическое про-раммирование, математическая экономика, могут быть сформу.чи-юваны в следующем унифицированном виде: для заданного отображения / : І?" —> і?" найти вектор х Є Д" такой, что
f(x)R'l и xTf(x)=0. (1)
Задачу (1) обычно называют задачей о дополнительности, и ее воз-южным источником явилась теорема Куна-Таккера для пелиней-юго іі]юграммпрпнаніія, которая дает необходимые условия одггн-іальпостп при выполнении определенных требований о дифферсп-шруемостн целевой функции и ограничений.
За последние 30 лет задача о дополнительности выделилась в са-лостоя тельную ветвь теории оптимизации, находящуюся па пересечении нескольких областей фундаментальной математики (таких сак теория неподвижных точек, теория топологической степени отображения, вариационных неравенств, линейного и нелинейного анализа и др.) и некоторых разделов прикладной математики (теория Ц'р, математическая экономика, механика, оптимальное управление і т.д.). В основном, теория дополнительности ассоциируется с изучением состояний равновесия, возникающих в физических, ииже-Н'риых и экономических моделях. В настоящее время изучаются >азличпые типы задач о дополнительности: явная, неявная, общая іадача на конусе1, задача на решетке и т.д. Каждая из этих задач рассматривается в различных аспектах, начиная с вопросов существования и единственности решения и кончая численными методами нахождения решений.
В отечественной литературе, однако, теории дополнительности и :>е применению к изучению экономических моделей уделяется явно недостаточное внимание. Все вышесказанное определяет актуальность получения новых результатов в области аппарата вариационных неравенств (задач о дополнительности) и в применении последних для изучения математико-экономических моделей.
Целью работы явилась разработка новых методов и получение иг вых теорем в теории дополнительности и применение их к обобщен ным моделям олигополии.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являют ся новыми и заключаются в следующем:
предложен и обоснован новый подход к получению достаточ пых условий существования решения в задачах о дополнительності различных типов;
в качестве техники в этом подходе использована теория то пологической степени непрерывного отображения;
с помощью указанного подхода получены новые достаточ ные условия существования решения в задачах о дополнительности
обосновано новое направление формирования однопродук-товых моделей олигополии с использованием гипотез участников of изменении общего объема рынка в зависимости от изменения вы пуска самого участника. Эти гипотезы названы козффициєнтамі влияния участников;
доказаны теоремы существования и единственности состояния равновесия в обобщенной таким образом модели Курно;
осуществлено сравнение равновесных объемов рынка в моделях Курно и Штакельберга в случае, когда один из участником модели Курно становится лидером рынка;
путем построения подходящих коэффициентов влияния для участников-лидеров на уровне условий первого порядка осуществлено вложение обобщенной модели Штакельберга с несколькими лидерами в рамки обобщенной же модели Курно;
для численного нахождения состояния равновесия в обобщенной модели Курно предложен и обоснован численный метод, сочетающий шаги ньютоновского типа с делением пополам;
для вычисления решения задачи о дополнительности найдены условия глобальной сходимости неточного метода Ньютона и применена методика управления точностью выполнения вспомогательных шагов метода.
Практическая значимость работы состоит и том. что полученные в пей теоретические результаты могут быть использованы для разработки эффективных численных методов решения вариационных неравенств и задач о дополнительности различных типов. Кроме того, полезным для практики может быть предложенное оптимальное управление внутренней точностью в двухуровневых итерационных процессах.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы регулярно докладывались и обсуждались в Центральном экономико-математическом институте РАН на семинарах лаборатории теории и численных методов для задач оптимизации, а также на семинарах лабораторий Вычислительного центра РАН (г. Москва), Института математики Сибирского отделения РАН (г. Новосибирск), Линчёпнигского университета (г. Линчёпинг, Швеция). Кроме того, основные результаты диссертации докладывались на XIV и XV Международных симпозиумах по математическому программированию (Амстердам, 1991, и Анн Арбор, США, 1994), Днях Оптимизации в Монреале, Канада, в 1994 и 1995 гг., 10, 11 и 12 Симпозиумах "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" (г. Нарва-Йыэсуу, 1988 и 1992 гг., г. Кострома, 1990 г.), VI научной конференции "Методы математического программирования и программное обеспечение" (Свердловск, 1989 г.), конференциях "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 1991, 1993 и 1995 гг.), симпозиуме "Вопросы оптимизации вычислений" (Киев, 1993 г.), Сибирской конференции по прикладной и промышленной математике (Новосибирск, 1994 г.).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в работах [1-27].
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 243 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 158 наименования, и приложений А и В.