Введение к работе
Актуальность теин. Современная технология и новые задачи экономики потребовали исследования математических моделей, в которых одновременно учитываются три фактора:
- качество функционирования управляемой системы оценивается
набором критериев;
наличие помех, возмущений и другого вида неопределенностей, о которых известны лишь границы изменений;
управляемая система меняется с течением времени.
Эти задачи рассматриваются в рамках современной математической теории управления, конкретно в том ее направлении, которое к настоящему времени получило название -"многокритериальные динамические задачи при неопределенности". Данный раздел математической кибернетики находится на стыке теории многокритериальных задач и дифференциальных позиционных игр.
Изучение многокритериальных "статических" задач при неопределенности началось буквально в последние годы и проводится в России, США, Италии, Японии и Болгарии. Основа таких исследований - принцип максимина и его модификации на случай векторного критерия.
Однако принцип максимина рассчитан на реализацию "катастрофы" - самой "плохой" для ЛПР (лица, принимающего решение) неопределенности. Такая ориентация является крайне осторожной (пессимистической) и обычно возникает в конфликтных ситуациях, где противоборствующая сторона стремится
4 'предпринять наихудшее для противника действие. В случае неопределенностей типа возмущений, помех и ошибок измерений обычно маловероятно ожидать реализацию "катастрофы". Поэтому при выборе решения ЛПР может действовать смелее - использовать другие подхода к прин. jo решений. Один из таких принципов -минимаксное сожаление по Сэвиджу и взят в основу настоящей работы.
Цель работы. Формализация векторного риска - аналога минимаксного сожаления Сэвиджа в случае векторного критерия. Исследование свойств такого решения. Разработка основ теории векторного риска для многокритериальных динамических позиционных задач при неопределенности и рекомендации к практическому построению.
Методика исследования. В основе исследования лежат результаты теории позиционных дифференциальных игр и многокритериальных задач. Используются понятия и факты, теории оптимального управления, исследования операций, дифференциальных уравнений, функционального анализа и теории множеств.
Научная новизна. Прежде чем исследовать вопросы векторного риска в многокритериальных позиционных динамических системах при неопределенности, следовало рассмотреть ряд новых задач исследования операций, многокритериальных динамических систем и дифференциальных игр, которые, с одной стороны, являются актуальными и представляют самостоятельный интерес для указанных областей, с другой - играют вспомогательную роль в построении основ 'принципа минимаксного сожаления в векторных динамических системах. В "статическом" случае для многокрите-
5 альных задач при неопределенности в главе I диссертации введены два понятия решения - r-гарантирующего и г-минимаксного и исследованы их свойства. Установлено существование г-минимаксного решения при обычных ограничениях в теории многокритериальных задач (компактность множества решений и непрерывность критериев) и г-гарантирующего решения (в смешанных стратегиях).
Для динамических задач предложена (в главе II) модификация понятия движения, отличающаяся от общепринятого тем, что при построении пошаговых движений допускаются разрывы первого рода в точках разбиения. Необходимость данной модификации вызвана спецификой многокритериальной позиционной динамической задачи. Для последней (в главе III) введено понятие решения - максимальной по Слейтеру стратегии и выявлены ее свойства (существование, внешняя, внутренняя и динамическая устойчивость), способы построения, необходимые условия.
На основе указанных результатов (в главе IV) предложено понятие г-гарантирующей стратегии для многокритериальной динамической позиционной задачи при неопределенности, выявлены свойства и установлено существование для класса задач с "разделенной" динамикой. Основные результаты работы являются новыми.
Практическая ценность. Результаты диссертации могут использоваться при принятии решений в многокритериальных задачах при неопределенности, при построении алгоритмов управления конкретными динамическими системами. Такой алгоритм применен к задаче управления ресурсами при стремлешш к монополии на рынке и максимизации прибыли с учетом себестоимости.
Апробация работы. Результаты, составляющие содержание
диссертации,- доложены на школе-семинаре "Проблемы многокритериальности" (Киев, 1992 г.), на III Международном семинаре по глобальной оптимизации (Иркутск, 1992 г), на межвузовской конференции "Новые информационные технологии -теория и практика" (Орехово-Зуево, 1992 г.). Диссертацонная работа обсуждалась на с чинарах Института Кибернетики АН Украины, факультета ПМ и ПУ Санкт-Петербургского университета, кафедры теоретической механики РосЗИТЛН.
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в публикациях И-б], некоторые из них выполнены в соавторстве. Научные результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы, диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 12 параграфов и приложения. ООьем работы 134 страницы машинописного текста. Библиография содержит 64 наименования.