Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время в технической, экономической, социальной и др. сферах получили распространение многокритериальные задачи принятия решений. Многокритериальный подход является естественным для моделирования больших и сложных, в частности, территориально-распределенных многопользовательских систем, качество функционирования которых не может быть оценено значением одного критерия. При исследовании таких задач принятия решений зачастую приходится учитывать влияние неконтролируемых оперирующей стороной факторов. Это связано с тем, что для оценки качества существенное значение приобретает в конечном счете не только оптимальность системы, т.е. неулучшаемость ее функциональных характеристик, но и способность системы функционировать при наличии возмущений. Возмущения могут быть вызваны неадекватностью реальных условий заложенным в основу модели предположениям, различными сбоями в работе системы или целенаправленными помехами расчетному функционированию. Характерным примером является задача анализа уязвимости многопродуктовой сети, в которой вектор критериев определяется различием интересов пользователей системы. При изучении подобных задач возникает понятие многокритериального, или векторного, минимак-са.
Проблеме поиска векторного максимума посвящено много работ. Иначе дело обстоит с многокритериальными минимаксными задачами, которые сложны не только с вычислительной, но и с концептуальной точки зрения. В работах Подиновско-го В.В и Ногина В.Д. была поставлена задача поиска седло-вой точки вектор-функции Лагранжа как многокритериального минимакса с распадающимися ограничениями и обсуждались различные концепции ее решения. Ряд многокритериаль-
ных постановок для дифференциальных игр рассмотрен в работах Жуковского В.й. и Салуквадзе М.Е. Однако, в общем случае, неконтролируемые факторы могут влиять не только на значение векторного критерия, но и на множество имеющихся альтернатив, что приводит к появлению связанных ограничений. Таким образом, актуально исследование задачи поиска векторного минимакса со связанными ограничениями.
Цель работы. Формализовать понятие решения задачи поиска минимакса со связанными ограничениями для векторной функции общего вида и разработать методы его параметризации и аппроксимации.
Методы исследования, применяемые в работе, используют математический аппарат теории многокритериальной оптимизации и исследования операций, теорию численных методов оптимизации, выпуклый анализ, линейную алгебру.
Научная новизна. Предложено определение решения задачи поиска минимакса со связанными ограничениями для векторной функции общего вида, соответствующее принципу наилучшего гарантированного результата. Обоснована корректность предложенного определения. Исследована возможность использования стандартной линейной свертки и обратной логической свертки (ОЛС) для описания множества минимизирующих стратегий. Для линейной задачи поиска векторного минимакса со связанными ограничениями предложен метод сведения ее к линейной задаче на векторный максимум. Получено обобщение на минимаксный случай формулы для параметризации решения по Слейтеру с помощью ОЛС и изучены свойства аппроксимации.
Практическая ценность. Обоснована возможность использования ОЛС для аппроксимации векторного минимакса. Предложен способ существенного сокращения числа узлов сетки на множестве значений параметра, требующих решения скаляр-
ных минимаксных задач по методу ОЛС. Разработана методология применения указанных результатов для анализа уязвимости многопродуктовых сетей.
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 9 печатных работ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 1-й Московской международной конференции по исследованию операций (Москва, 10-13 апреля 1996 г.), на 4-й международной конференции по многокритериальным и игровым задачам, учитывающим неопределенность, в Орехово-Зуево (Орехово-Зуево, 8-14 сентября 1996 г.) и на научно-исследовательских семинарах факультета ВМиК МГУ, ВЦ РАН и ИПУ РАН.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих семь параграфов, и списка литературы из 72 наименований.