Условная оптимизация с ограничениями в виде уравнения с монотонными операторами Исмаилов Исмаил Габулла оглы

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1 Общие торемы об условной оптимизации в банаховых пространствах 14

1.1. Постановка задачи и примеры 14

1.2. Предварительные сведения 18

1.3. О существовании экстремума 24

1.4. Условия оптимальности. 27

1.4.1. Некоторые следствия леммы 1.4.2 29

1.4.2. Оптимальность в общей минимизационной задаче 33

1.5. Условия оптимальности в задачах оптимизации с линейными уравнениями состояния 37

1.5.1. Необходимое условие оптимальности первого порядка (I) 40

1.5.2. Необходимое условие оптимальности первого порядка (II) 46

1.5.3. Минимизация функционала энергии. Необходимые и достаточные условия оптимальности 49

1.6. Минимизация неаддитивных функционалов 56

ГЛАВА 2 Оптимальное управление коэффициентами эллиптических уравнений второго порядка 61

2.1. Существование экстремума в задачах управления младшими коэффициентами 61

2.2. Существование экстремума в задачах управления старшими коэффициентами 66

2.3. Условия оптимальности в задачах управления старшими коэффициентами 71

ГЛАВА 3 Оптимизация области задания граничных задач 80

3.1. Уравнения с неограниченными коэффициентами 80

3.2. Постановка задачи об оптимальном выборе области задания граничных задач 84

3.3. Условия оптимальности 87

3.4. О существовании оптимальной области 89

ГЛАВА 4 Задача оптимального выбора коэффициентов эллиптических уравнений четвертого порядка 94

4.1. Свойства сравнения решений граничных задач для эллиптических уравнений четвертого порядка 94

4.2. Разрешимость граничной задачи для квазилинейного уравнения с монотонными коэффициентами 96

4.3. Минимизация интегрального функционала 100

Заключение 104

Литература

• Некоторые следствия леммы 1.4.2
• Минимизация функционала энергии. Необходимые и достаточные условия оптимальности
• Существование экстремума в задачах управления старшими коэффициентами
• Постановка задачи об оптимальном выборе области задания граничных задач

Введение к работе

Актуальность темы. Спектр практических проблем, которые приводят к задачам условной оптимизации при наличии связей в виде граничных или начально-краевых задач для уравнений с частными производными, очень широкий. Систематическое изучение таких задач начинается с 60-х годов. Ранее исследования в этой области концентрировались вокруг небольшого числа одномерных задач. Благодаря развитию методов вариационного исчисления, теории оптимальных процессов, нелинейного программирования и др., в последующий период стало возможным проведение общих исследований в этом направлении. Основные результаты того периода систематизированы в монографиях А.Г. Бутковского ¹ и Ж.-Л. Лионса².

В книгах Ж.-Л. Лионса и К.А. Лурье³ обращается внимание на специфику задач оптимизации старших коэффициентов эллиптических уравнений второго порядка, на аспектах разрешимости и вывода необходимых условий оптимальности. В работах М. Мюрата⁴, Л.В. Корсаковой⁵, Ю.С. Осипова и А.П. Суетова⁶ и в работе автора [2] приведены примеры задач оптимизации старших коэффициентов, в которых отсутствует оптимальный коэффициент. В целом, общие

¹ Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.:
Наука, 1965.

² Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными произ
водными. М.: Мир, 1972.

³Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.

⁴Murat M.F. Un contre-example pour de problm du contrle dans les coeficient//CRAS. Sr. A. Paris, 1971. V. 273. P. 708-711.

⁵Корсакова Л.В. Пример несуществования решения задачи Лионса об оптимальном управле-нии//Проблемы мат. анализа ЛГУ. 1977. Вып. 6. С. 60-67.

⁶ Осипов Ю.С., Суетов А.П. Об одной задаче Ж.-Л. Лионса//ДАН СССР. 1984. Т. 276. № 2. С. 288-291.

теоремы разрешимости задач оптимизации старших коэффициентов удалось доказать после разработки В.В. Жиковым, С.М. Козловым, О.А. Олейник⁷, С. Спаньолой⁸ и Е. де Джорджи⁹ и др. теории сходимости обратных операторов – G-сходимости. Эта теория показала, что множество скалярных старших коэффициентов не замкнуто в G-топологии и соответствующее расширение экстремальной задачи (G-замыкания класса скалярных коэффициентов), предложенное У.Е. Райтумом¹⁰, приводит к задачам оптимизации в классе матриц. В примере 1 (см. ниже) это означает, что свойства мембраны из изотропного материала могут быть сколь угодно близки к свойствам мембраны из анизотропного материала. Это обстоятельство углубляет важность разработки методов для поиска оптимальных матриц.

Упомянутые Ж.-Л. Лионсом проблемы на пути получения необходимых условий оптимальности решены в работах автора []. Там же получены условия оптимальности, установлена разрешимость некоторых классов задач. Вопросы существования оптимальной области задания граничных задач рассматривались в работах Ю.С. Осипова и А.П. Суетова, Л.А. Муравья¹¹, А.К. Керимова¹² и др.

⁷ Жиков В.В., Козлов С.А., Олейник О.А., Ха-Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференци
альных операторов//УМН. 1979. Т. 34. Вып. 5. С. 65-133.

⁸ Spognolo S. Convergence in energy for elliptic operators//Proc. 3-rd Symp. Numer. solute. Part. Diff. equa
tions. College park. 1976. P. 469-498.

⁹ De Giorge E. Г-convergenza e G-convergenza// Boll. Un. Mat. Ital. 14-A. 1977. № 3. P. 213-220.

¹⁰ Райтум У.Е. Расширение экстремальных задач, связанных с линейным эллиптическим уравнени-
ем//ДАН СССР. 1978. Т. 243. № 2. С. 281-283.

¹¹ Муравей Л.А. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными граница-
ми//ДАН СССР. 1984. Т. 278. № 3. С. 541-544.

¹² Керимов А.К. Задачи оптимизации со свободными границами// ДАН СССР. 1982. T. 266. № 3. С.
545-548.

Постановка задач. В работе рассматриваются вопросы разрешимости и методы решения некоторых классов задач условной оптимизации. Отличительной чертой у рассматриваемых задач является наличие ограничения в виде операторного уравнения и включения.

Пусть V- рефлексивное банахово пространство, V - пространство, сопряженное с V. Значение функционала / є V на элементе и є V обозначим

(f,u). Пусть KczB - некоторое подмножество банахова пространства В.

Формулировка основной группы задач, рассматриваемых в работе, следующая:

Задача З1. J(k,u)^mm

А(к)и = /(к),кєК, (1)

где A(k) : К -> Г, f(k) є V при к є К. Предполагается, что уравнение (1) имеет единственное решение и(к) є V для любого к є К.

Пример 1. Задача оптимального выбора распределения жесткости мембраны заключается в минимизации целевого функционала J (и) (например,

функционала податливости конструкции J = f(x)u(x)dx) на множестве реше-

ний семейства граничных задач

-div(k(x)Vii(x)) = f(x\ хєП, и\_дп=0 из соболева пространства #J(Q), где параметр семейства - коэффициент к(х) - принадлежит множеству К = {keL_a0 (Q) | 0 < а < ^ (х) < к(х) < ₂ (х) < оо}.

Здесь Осі?² - некоторая область, а , є 4,(0) - известные функции.

Пример 2. Задача минимизации жесткости кручения или крутящего момента, соответствующего единичной степени кручения, заключается в минимизации функционала J {и) = lju(x)dx на множестве областей {Q | Q с П} задания

граничной задачи

-div(Vw(x)) = 2, и |_5Q= 0 .

Здесь П с R² - некоторая область.

Пример 3. Пусть в задаче З1 B = B_lxV\ К = K_lxK₂, К_Х<^В_Х, K₂^V, A(k)u = A(k_x)u, f(k) = k₂. Тогда операторное уравнение приобретает вид A(k_l)u = ₂, и мы получаем задачу условной оптимизации с ограничением в виде операторного включения А{к_х)иєК₂. В частности, если К_Х=В_Х, V = R², а К₂ a R² обозначает первую четверть, то задача З1 переходит в задачу математического программирования с двумя ограничениями. Случай К₂ = R² соответствует отсутствию ограничения A(k_l)u = k₂.

Пример 4. Задача оптимизации с ограничением в форме вариационного неравенства¹³:

./(^w)->min

k.eK,, г/єС/,<^)",^-">^0,УуєС/сК.

Пример 5. Задача оптимизации анизотропных свойств упругих тел заключается в минимизации функционала J (и) на решениях из соболева пространства #J(Q) семейства уравнений

- div( Дjc)Vw(jc)) = /, х є О с R², (2)

где параметр семейства - матрица А(x) - принадлежит множеству

М = {A(x):R²^R²\ у\\\\²<{A{х)%^)<5\\%\\², \/eR² п.в. хeQcR²}. Здесь Q - некоторая область, у>0 и S>0 - константы, а элементы матрицы А - ограниченно-измеримые функции а є L^Q), i,j = 1,2.

¹³ Flegel M.L. Constraint Qualifications and Stationarity Concepts for Mathematical Programs with Equilibrium Constrain. Dissertation. Institute of Applied Mathematics and Statistics. University of Wrzburg. 2005.

Ya-Ping Fang, Nan-Jing Huang. Well-posedness for vector variational inequality and constrained vector optimization// Taiwanese Journal of mathematics. 2007. V. 11. №5. P. 1287-1300.

Lignola M.B., Morgan J. Well-posedness for optimization problems with constraints defined by variational inequalities having a unique solution// Journal of Global Optimization. 2000. V. 16. №1. P. 57-67.

Цели исследования. Целью диссертации является исследование двух основных вопросов, связанных с задачами условной оптимизации со связями в виде операторных уравнений:

1. существование оптимального решения;

2. методы поиска решения: вывод необходимых условий оптимальности и построение численных методов минимизации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней впервые доказываются (разными методами) условия оптимальности для общей задачи условной оптимизации со связью в виде операторных уравнений, в частности, для задач оптимального управления эллиптическими системами. Из доказанных необходимых условий выводятся принцип максимума Понтрягина и правило множителей Лагранжа для этих задач. Для одного класса невыпуклых задач доказывается необходимое и достаточное условие оптимальности, т.е. на них обобщается теорема Каруша-Куна-Таккера. Доказаны ряд теорем разрешимости оптимизационных задач. Построена теория оптимального выбора области задания граничных задач.

Теоретическая и практическая значимость. В диссертации построена теория задач условной оптимизации при наличии связей в виде операторных уравнений, приведены общие методы решения таких задач. Вопросы разрешимости, непрерывной зависимости решения от данных задачи и методы решения изложены с единой позиции. Обращено внимание на возможные усиления теорем. Некоторые ранее известные утверждения теории оптимизации получены как следствия построенной теории.

Практическая ценность работы заключается в том, что исследования некоторых типов задач доведены до этапа использования пакетов прикладных программ. Это относится к задачам оптимизации области задания граничных задач, оптимизации коэффициента нелинейного уравнения четвертого порядка. В некоторых случаях выписываются явные формулы для решений задач.

Методология и методы исследования. Теоремы о существовании экстремума – оптимального коэффициента или правой части – в работе доказываются путем установления компактности множества решений уравнения состояния двумя способами:

3. через их непрерывную зависимость от управляющего параметра;

4. через разрешимость обратных задач.

Для исследования задач о выборе оптимальной области задания эллиптических систем используется идея метода штрафных функций, с помощью которого эта задача приводится к задаче оптимального выбора их младших коэффициентов. Вводится понятие невырожденной задачи, устанавливается критерий ее разрешимости. Для доказательства разрешимости одного класса задач с нелинейным уравнением состояния непосредственно строится минимизирующая последовательность, доказывается ее сходимость.

Доказываются необходимые условия оптимальности, характеризующие решения оптимизационных задач. Для одних типов задач формула решения получаются из условий оптимальности, для решения других предлагаются численные методы.

Апробация результатов. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на научной конференции «XXI Гагаринские чтения» (Москва, 1995), на международной конференции, посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (МГУ, 1996), на международной конференции «Интеллектуальные системы» (Санкт-Петербург, 1996).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах профессора Ф.П. Васильева на факультете ВМК МГУ, профессора Б.Т. Поляка в ИПУ РАН, профессора В.В. Арутюнова в РУДН и профессора А.В. Фурсикова на механико-математическом факультете МГУ.

Публикации. По теме диссертации имеется восемь публикаций. Основные результаты опубликованы в шести статьях из списка ВАК РФ [1-4, 8].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 72 наименований. Объем работы составляет 112 страниц.

Некоторые следствия леммы 1.4.2

Семейство г подмножеств множества X называется топологией [38,39] в X, если оно удовлетворяет следующим условиям: а) Пустое множество и все множество X принадлежит г; б) Объединение произвольного числа множеств из т принадлежит г; с) Пересечение конечного числа множеств из г принадлежит г. Пара {X, т}, состоящая из множества X и топологии т в нем, называется топологическим пространством. Часто топологическое пространство обозначают, как и лежащее в его основе множество, через X. Элементы топологического пространства именуют точками. Множества из т называют открытыми множествами топологического пространства X. Дополнения к открытым множествам называют замкнутыми. Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих некоторое множество МсХ, называют замыканием этого множества, а объединение всех открытых множеств, содержащихся в М , его внутренностью. Замыкание и внутренность множества М обозначаются соответственно через М и intM. Множество M\intM называют границей множества М.

Множество М в топологическом пространстве X называется всюду плотным, если М = Х. Топологическое пространство X сепарабельно, если в нем существует счетное всюду плотное множество.

Пусть X - топологическое пространство. Семейство ft подмножеств в X называется базисом топологического пространства, если любое открытое множество этого пространства является объединением множеств из /3. Если на множестве X задана вещественная линейная структура [38, 39], то это множество называется линейным пространством. Отображение А линейного пространства X в линейное пространство Y называется линейным отображением или линейным оператором, если для любых х,уєХ и любых вещественных чисел s,t имеет место равенство A(sx + ty) = sAx + tAy. Отображение линейного пространства X в пространство вещественных чисел R1 называют функционалом. Когда такое отображение линейно, говорят о линейном функционале. Линейные функционалы, определенные в пространстве X, образуют линейное пространство. Это пространство называется пространством, сопряженным к X, и обозначается X .

Под полунормой на линейном пространстве X понимается всякий функционал р, удовлетворяющий следующим условиям: а)р(х + у) р(х) + р(у); б)p(tx) \ 11 р{х) при любом t є R\ Линейное топологическое пространство X называется локально выпуклым, если существует такое семейство /л полунорм на X, что а) если р(х) = 0 для каждого р є ju, то х = 0; б) совокупность выпуклых множеств пространства X вида {хєХ\ p(x-xQ) st, i = l,...,n} образует базис топологии в пространстве X. Здесь х0 - произвольная точка из X, р1,...,р„ - любая конечная система полунорм из //, є1,...,єп - любой конечный набор положительных чисел.

Каждое локально выпуклое пространство можно наделять новой локально выпуклой топологией, используя полунормы р{х) = /О) , / є X . Соответствующая топология называется слабой топологией в X, а соответствующая сходимость - слабой сходимостью в X. Последовательность {хп} слабо сходится вІкІЄІв том и только том случае, если Нт/(хи) = f(x) для каждого f є X . Под нормой - на линейном пространстве X понимается всякий функционал, который удовлетворяет следующим условиям: а) 11 х 11= 0 тогда и только тогда, когда х = 0; б) х= Н1 11 для любыххєХиґє 1; в) jc + i jc + i для любых JC, є X Линейное пространство, наделенное нормой, называется нормированным линейным пространством.

Последовательность элементов {fj пространства Х, сопряженного к линейному нормированному пространству X, называется слабо сходящейся, если для каждой точки х є X существует конечный предел lim/,00 . Говорят, и—ко что последовательность {/J слабо сходится к элементу /хєХ , если lim/„(jc) = /„( ) для всех х є X. Последовательность {xJ X точек называется фундаментальной, если оно удовлетворяет условию lim хп - хт = 0. Если предел фундаментальной И,7Я—КО последовательности {хп}а X принадлежитX, то пространство X называется полным. Полное линейное нормированное пространство называется банаховым пространством. Для каждого элемента х банахово пространства X существует единственный элемент х є X = (X ) , обладающий свойством {х\х) = {х\х\ \/хєХ\ При этом 11 х \х = х 11 „. Здесь индексы указывают на пространство, на котором определена соответствующая норма. Таким образом, пространство X можно рассматривать как подпространство банахово пространства X . Банахово пространство X называется рефлексивным, если Х = Х . Банахово пространство X называется равномерно-выпуклым [29], если для любого є 0 существует такое S(s) 0, что из неравенств х 1, _у 1 и 11 х - у 11 є следует неравенство 11 х + у 11 2(1 - 6{є)). Если X - равномерно выпуклое банахово пространство, а последовательность {xJczX, то из слабой сходимости хп - х в X и сходимости норм II хп И—HIх11 следует сильная сходимость ІЯ- ІвІ. Пусть V - вещественное рефлексивное банахово пространство, аГ-его сопряженное. Значение функционала / є V на элементе и є V обозначим через (f,u)v, а норму элемента и є V через и \\v. Ниже индексы будут опущены, если по контексту понятно, в каком пространстве заданы внутренние произведения или нормы.

Минимизация функционала энергии. Необходимые и достаточные условия оптимальности

Пусть в задаче З4 b(x,t) = t, К с (П) - замкнутое ограниченное множество, J {и): Я; (П) - R1 слабо-непрерывный функционал. Тогда задача З4 имеет решение.

Доказательство. Перепишем уравнение (1.2.1) в виде В(к)и = -div(Vw(x))-div[(k(x)A(x)-E)Vii(x)] + k(x)a(x)ii(x) = /( ), xeQ Пусть {& (x)\ - минимизирующая последовательность. В силу огра задача ((2.2.1), (2.2.2.), (2.2.5)) имее ниченно сти множества Т Г {&„(. )} - ограниченная последовательность. Тогда она имеет слабо сходящуюся в К подпоследовательность. Эта подпоследовательность сильно сходится в L2(fi). Поэтому отображение В(к)и = - div[(k(x)A(x) - E)Vu(x)] + к(х)а(х)и(х) принадлежит классу С(К х H Q.) —» Н \ї)). Положив Au(x) = -div(Wu(x)) из следствия 1.3.1 получим, что соответствующая последовательность {и{кп)} сходится к решению задачи. Замечание 7. Пусть в задаче З4 А(х) - ограниченная матрица А(х)р(х) \\ L р(х) , \/х є П. Тогда в предположениях теоремы 1.2.2 оператор А(к)\Н\(П) Н \0.) -Липшицевый: \\A{k)u-A{p)u\\v, Ll\\k-p\\B-\\u\\v, и по теореме 1.3.3 задача З4 имеет решение. Задача З5. Пусть в задаче З4 Ь(х,к(х)) = 1, а(x) = 0, матрица А(x) принадлежит множеству М = {A{x):Rm Rm\ y\\2 {A{x)Z ) S\Z\2 п.в. xєП,УєR}, (2.2.4) A(k)u = -div[ (jc)Vw(jc)] = /, x є О, и 5Q= 0 . (2.2.5) Теорема 2.2.3. Пусть функционал (2.2.1) - слабо-непрерывный, М класс симметрических матриц. Тогда т решение.

Доказательство. Множество симметрических матриц М порождает G-компактный класс операторов [6,7]. То есть класс решений, соответствующий классу операторов, порождаемых матрицами из множества М, слабо компактный. Соответственно, слабо-непрерывный функционал достигает минимума на этом классе решений.

Пусть уравнение состояния в минимизационной задаче имеет вид Аl(k)u = -diy(a(x,kl(xX\Vu(x)\2)-Vu(x)) = f(x\ ieQ. (2.2.6) Оно задано в двусвязной области QcFс внутренней и внешней границами Г1 и Г2. На границах области Q выполняется условия и \Г = (рГ =0, а{x,k1{x),\\u\ )—\Г = g{x) (2.2.7) 1 дп 2 (задача о потенциальном течении сжимаемой жидкости) или и L =0, — Г=0 (задача о потенциале электромагнитного поля [60]). Здесь f eL2(Q) и а -известные функции, притом для любых хєП, a t j3, q 0 выполнено 0 S a(x,t,q), к1єК = {к1єЬа0(П)\ а к1(х) /Зп.в.хєП}. (2.2.8) Решением уравнения (2.2.6) с граничными условиями (2.2.7) является функция и є Я1 (О), и\Г = фГі, удовлетворяющая тождеству + j a(x, k1(x), Vu 2 ) V«, Vv)Jx = j f(x)v(x)dx + J g( JC)V( JC)& . Покажем, что оператор A1(k1) удовлетворяет неравенству (1.5.12). Лемма 2.2.1. Для любых p,q є R,s 0 справедливо неравенство р Г /?,» -(р Г+2 + а Г+2). (2.2.9) Доказательство. Рассмотрим функцию Ф(p, q) = р 2є+2 + 2+2 -2 /? 2 /?, q). Найдем градиент этой функции: дФ (2s + 2)p2s p-2p2s q-4sp2s-2(p,q)p, dp (2гг + 2)д2гд-2/?2г/?. dq Приравнивая к нулю градиент функции Ф(p,q), получим уравнения для стационарных точек: (2є + 2) р 2є р-2 р 2є q-4є р 2є 2 (p,q)p = О, (2s + 2)q2E q-2p2E р = 0. Умножая первое уравнение этой системы скалярно на р, а второе на q, затем выражая из первого уравнения (р, q), а из второго д 2+2 получим, 2є+2 ( = + 1 2 2в+2= + 1 + 1 , 2 + 1 Следовательно, в стационарных точках 2є+2 1 2гг + 2 1 + = 0. Ф(p,q)=p V 2є + 1 2є + 1; Итак, на векторах (р, q), подозрительных на экстремум, в частности, в точках минимума Ф(p,q) = 0. Но функция Ф(p,q) - бесконечно растущая, т.е. Ф(p,q)- оо, при p q и (p,q) оо. Эта функция имеет точку глобального минимума на всем пространстве R" xR", и в этой точке она неотрицательна. Записав неравенство (2.2.9) для разных st, і = 1,2,... и умножив эти неравенства на неотрицательные числа г., а затем сложив их, получим следующее неравенство: СО 1 Г СО СО (2.2.10) Yp24p,q)rt - І 2,+2г;+Е г=0 2 _ ;=0 j=0 Лемма 2.2.2. Пусть а(s) - целая функция, функция а(s) и все ее производные при s = 0 неотрицательны. Тогда а(р2){p,q) -{a(р2)p2+a(q2)q2}. (2.2.11) Доказательство. Пусть функция a(s) имеет разложение СО а( s) = / KS i=0 Утверждение этой леммы при ; = /, р = s следует из неравенства 2е.. (Р,ФЪР2" 2 р ijip +М LJiP г=0 г=0 г=0 являющемся видоизменением неравенства (2.2.10). Неравенство (2.2.10) показывает, что при указанных требованиях на функцию a(x,t,s), оператор Д( ) удовлетворяет неравенству параллелограмма 4M,V -«4M,M + 4V,V). (1.5.12 ) Рассмотрим задачу минимизации функционала (M) = Jy(jc)w(jc)dbc + J g(jc)M(jc)dbc (2.2.12) на решениях семейства граничных задач (2.2.6) и (2.2.7) с классом управляющих параметров (2.2.8). Теорема

Пусть в задаче ((2.2.6) -(2.2.8), (2.2.12)), а(x,t,s) целая функция аргумента s, непрерывна по t, функция а(x,t,s) и все ее производные по s неотрицательны при s = 0 для почти всех хєСІ. Тогда эта задача имеет решение, притом оптимальная пара (k1,u) удовлетворяет следующему уравнению: a(x,t(xX\Vu\2) = max(a(x,t,\Vu\2), \/хєП. (2.2.13) t E[a,P] Доказательство. Из леммы 2.2.2 следует, что в наших предположениях оператор удовлетворяет неравенству (1.5.12 ). Пусть к2єК, и = u{kx\ v = и(к2). Тогда с помощью преобразований (1.5.14), которые не использовали линейность оператора Д, при В = Д( ), А = А1(к2) получим неравенство - ( ((Д -Д КУ), из которого следует (2.2.13).

Существование экстремума в задачах управления старшими коэффициентами

В работе [67] рассматривалась задача минимизации энергии конденсатора с внутренней и внешней обкладками цилиндрической формы, притом форма (основание цилиндра) внешней обкладки свободна и выбирается из заданного класса кривых. С помощью конформных отображений установлено, что если внутренняя обкладка имеет форму окружности, то внешняя обкладка тоже будет иметь форму окружности. В последствии аналогичный результат другим методом получен в работе [51] для внутренней обкладки звездного вида. В [58,59] предлагается решать такие задачи варьированием области задания граничных задач по векторным полям (см. Введение). А в работах [9,18,23] установлены классы областей, в которых минимизационная задача имеет решение. Но для решения задачи в этих классах областей вышеупомянутые методы неэффективны. В настоящей работе предлагается иной подход для решения задачи: строится минимизирующая последовательность областей. Каждый элемент этой последовательности находится с помощью поточечного критерия, устанавливающего принадлежность данной точки к искомой области.

Пусть П с R - некоторая ограниченная область. Через Ч обозначим класс всех подобластей области П. Возьмем область ПєЧ . Через Я0т(О) обозначим замыкание множества бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Q по норме пространства Wm,2 [34, с.73], а через 77 m(Q) - пространство, сопряженное к Н(СЇ). Тогда для любого Qe F Я;(О)СЯ0т(П). Определение. Пусть задан оператор А:Н0т(П) Н-т(П). Оператор Ап назовем сужением оператора А на множество Н(1), если для любого и є Я0т(О) Ааи = Аи.

Определение. Функционал fQ назовем сужением функционала / є Н т{П) на множество Н{1), если для любого и є H(Q) (/» = /». Предположим, что А: H (П) - H т(П) - сильно монотонный полунепрерывный оператор, а / є Я"т (П). Тогда для любого к є Lx (П), k(x) О для почти всех х є П уравнение Au + ku = f (3.1.1) имеет единственное решение и(&) є Н{П). Пусть Q є Р. Положим f(jc), хєО, Аг( JC) = (3.1.2) [оо, хєП\0, где є 4, (П), (х) О для почти всех х є П. Рассмотрим последовательность коэффициентов = (1- Г(П)) + 51Г(П), где х{&) - характеристическая функция области Q, J3q 0 для любого # є N, Ъ — да при # — со. Определение. Решением граничной задачи (3.1.1), соответствующим коэффициенту (3.1.2), назовем предел последовательности функций

Пусть A - линейный коэрцитивный ограниченный оператор. Тогда существует единственное решение и0 граничной задачи (3.1.1), соответствующее коэффициенту (3.1.2), причем 4І«О+#"О=/О woe om(Q)- (3.1.3) Доказательство. Пусть {QJcQ, r = 1,2,... последовательность областей, замыкание которых принадлежат области Q. Рассмотрим последовательность коэффициентов {krq} = {J3q(\- (Qr)) + КЯ)} и предположим, что она слабо сходится к кг в L IJ) при д— оо. По лемме 1.3.1 последовательность {Au(krq)} ограничена в Н т(П), следовательно, имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. Пусть сама последовательность {Au(krq)} сходится к g слабо в Н т(П). Тогда по теореме 1.2.1 и(кщ) и0 = A lg слабо в Я0т(77). С другой стороны, последовательность кг и(кг ) = f - Аи(кг ) сходится слабо в Н т(П), следовательно, она ограничена. Поэтому, если в некотором множестве положительной меры последовательность {krq} почти всюду стремится к бесконечности, то в том же множестве последовательность {u(krq)} почти всюду стремится к нулю. Значит, предел иг последовательности {u(krq)}, г = 1,2..., при д— со -функция из Я0т(77), которая обращается в нуль вне множества Qr, т.е. иеЯДО). С другой стороны, слабая сходимость коэффициентов {krq} в Ьх{П) к функции к при r со влечет за собой слабую сходимость последовательности {u(krq)} к u(kq) (см. теорему 1.3.2). Таким образом, последовательность {u{krq)} имеет двукратный предел, равный щ. Притом, если перейти к пределу сперва по q, а затем по г, то этот предел представляется как предел функций из Щ(П), имеющих компактный носитель в Q. Переход к повторному пределу сперва по г, затем по q показывает, что функция и0 удовлетворяет уравнению (3.1.3). То есть функция и0 - решение уравнения (3.1.3) из ЯДО), продолженное нулем до границы множества 77. Существует только одна такая функция. Таким образом, любая сходящаяся подпоследовательность из слабо предкомпактной последовательности {u(krq)} сходится к одной и той же функции. Тогда вся эта последовательность сходится к той же самой функции.

Постановка задачи об оптимальном выборе области задания граничных задач

Продолжая аналогично, получим цепочку неравенств а(х,к(х),и1(х)) а(х,к(х),и2(х)) а(х,к(х),щ(х)) ... 5, Ащ(х) Аи2(х) ... 0 для почти всех х є Q. Значит, последовательности а(х, к(х), ип (х)), Аип (х) сходятся поточечно. Как Аип, так и по предположению теоремы а(х,к(х),ип(х)) -измеримые функции. Поэтому их пределы также измеримы. Кроме того, эти пределы ограничены сверху числами 0 и S, а снизу функцией Аи0 eL2(Q) и константой у. Следовательно, пределы этих последовательностей принадлежат пространствам L2(Q) и LX(Q) соответственно. Поэтому, последовательность {ип} сходится в Н к их и имеет место соотношение a(x,k(x),uao(x))Auao(x)Av(x)dx = g(x)v(x)dx, v єН, Q Q 100 т.е. их - решение задачи ((4.2.1), (4.2.2)). Таким образом, условия (А) и (В) обеспечивают однозначную разрешимость граничной задачи ((4.2.1), (4.2.2)) для любого к є К.

Как известно, для краевых задач типа (4.2.1), (4.2.2) имеет место единственность в малом. Постоянная М в определении А выражается через постоянные h,d,L. При этом h и d характеризуют размеры области (например, для шара радиуса R в п -мерном пространстве h = R212п, d = 2R) a L характеризует колебание коэффициента. 4.3. Минимизация интегрального функционала Приступим к исследованию задачи минимизации интегрального функционала F{u) = \ f{x,u{x\Hu{x))dx (4.3.1) Q на решениях семейства граничных задач ((4.2.1), (4.2.2)), где функция управления к принадлежит множеству (4.2.3), а область Q удовлетворяет условиям, указанным в 4.2.

Теорема 4.3.1. Пусть f(x,q,r) - непрерывная функция переменных q и г, измерима по х, монотонно не возрастает по г и монотонно не убывает по q, функция а(х,р,и) строго вогнута по р, а граничная задача ((4.2.1), (4.2.2)) удовлетворяет условиям (А) и (В). Тогда на множестве (4.2.3) функционал F достигает своего минимума. Доказательство. Пусть снова, как и в теореме 4.2.2, и0 - решение граничной задачи ((4.2.6), (4.1.2)). Положим kn(x)= argmax a(x,t,un_l(x)\ є[йО),еі»] т.е. max a(x,t,u ,(x)) = a(x,k (x\u Ax)) 101 (напомним, что функция а вогнута по t для почти всех х и, следовательно, кп - измеримая функция). Рассмотрим последовательность граничных задач A(a(jc,fc„(jc), W JC))AW„(JC)) = g(x), х є Q, un = Aun = 0, uedQ. Повторяя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 4.2.2, получим сходимость последовательностей {AW„(JC)}5 {a{x,kn{x\un-i(x))} и {W„(JC)}. Кроме того, нетрудно проверить что последовательность {F{un)} монотонно не возрастает. Через Ь(х) обозначим предел последовательности ( 2(JC, (JC),WW_1(JC))}. Тогда для почти всех х є Q справедливо неравенство: min a(x,t,u(x)) b(x) max a(x,t,u(x)) (4.3.2) Действительно, min a(jc,?,w ,(JC)) max a(jc,?,w Ax)) = a(x,k (x\u Ax)). Далее, переходя к пределу при и—»со, получим левое неравенство из (4.3.2). С другой стороны, а(х,к(х),и ,(х)) а(х,к (х),и(х)) max а( ,ґ, "„( ))

Снова переходя к пределу при п —»со, получим правое неравенство из (4.3.2). Очевидно, что в силу непрерывности a(x,t,u) по ґ на отрезке [ (х), 2(х)] из (4.3.1) следует существование функции к(х), удовлетворяющей почти всюду следующему равенству: а{х,к{х\ит{х))=Ъ{х). Докажем, что на множестве К функционал (4.3.1) достигает своего минимума при к = к. Предположим противное: пусть выполнено неравенство F(u(k)) F(u(k )) для некоторого к єК. Далее воспользуемся построениями, приведенными при доказательстве теоремы 4.2.2, а именно: у а{х, к (х), и0 (х)) а(х, к (х), их (х)) ..., 102 u0(x) u[(x) u 2(x) ..., у a{x, kx (x), u0 (x)) a(x, k2 (x), щ (x)) ..., щ{х) щ{х) и2{х) ..., где u n - решение задачи (4.2.7) при к = к . Имеем: а(x,k (x\u0(x)) max a(x,t,u0(x)) = a(x,k(x),u0(x)). Поэтому для почти всех X є Q Аи[(х) Ащ(х), и[(х) и1(х), следовательно, а(x, k (х), u[(х)) a(x, k (х), u (х)) a(x, к2 (х), щ (х)). Отсюда Аи[(х) Аи2(х), и 2(х) и2(х). Продолжая этот процесс сравнения, получим для любого п = 1,2,... Аи п(х) Аип(х\ и п(х) ип(х). Откуда в силу условий теоремы вытекает неравенство F{u n) F{un\n = \X... Переходя к пределу в этих неравенствах при « —» оо, получим: F{u{k )) F{ux) = F{u{k)\ что противоречит предположению. При доказательстве этой теоремы условие строгой вогнутости функции а(x,t,u) по t понадобилось исключительно для того, чтобы функция (p{x,u) = axgmaxa{x,t,u) є[й!».Й!»] была непрерывной функцией аргумента и, что, в свою очередь, обеспечивает измеримость функций кп{х) = argmax x,/; )) = (р(х,ип_х(х)) и, тем самым, принадлежность ее множеству (4.2.3). Это условие можно заменить на условие непрерывности функции a{x,t,u) по t для почти всех х є Q, и є і?1 и дополнительному условию, которое обеспечивает измеримость функции кп (х). Замечание 15. Доказательство теоремы 4.3.1 конструктивно и в ряде случаев позволяет найти оптимальное управление в явном виде. Например, если коэффициент а(х,р,и(х)) - монотонно неубывающая функция переменного р, то &w(x) = argmax a(x,t,un_l(x)) = 2(x), т.е. {кп{х)} - постоянная относи є[ЙО),Й!»] тельно п последовательность. Следовательно, в таком случае оптимальным является управление к(х) = 2(х), в частности, %2{х) будет оптимальным управлением, если а(х,к(х),и(х)) = к(х).