Введение к работе
Актуальность темы. При моделировании, разработке методов и численном решении прикладных задач оптимального управления, как и в других областях вычислительной математики, возникает проблема выяснения близости двух математических моделей, одна из которых рассматривается как возмущенная по отношения к другой. При этом важно априори знать, является ли рассматриваемая задача устойчивой по отношению к возмущениям и иметь оценки скорости сходимости уклонения решений. Основы теории и методов устойчивости и аппроксимации экстремальных задач заложены в работах Б.М.Будака, Ф.П.Васильева, В.В.Васина, Р.Ф.Габасова, 3.В.Дикусэра, А.Дончеза, А.И.Егорова, Ю.М.Ермольева, В.Г.Карманова, Ф.М.Кирилловой, В.Б.Колмановского, А.И.Короткого, П.С.Краснощекова, А.В.Кряжимс-кого, Е.С.Левитина, Ж.Л.Лионса, В.И.Максимова, К.Н.Моисеева, Ю.С.Осипова, В.И.Плотникова, А.И.Прилепко, Т.К.Сиразетдинова, А.Н.Тихонова, В.М.Тихомирова, Р.П.Федорекко, В.В.Федорова, Ф.ЛЛерноусько и многих других. По данной тематике опубликованы монографии и большое число научных статей отечественных и зарубежных авторов, например, И 1-И71 и многие другие.
Большое многообразие задач автоматического управления, оптимального проектирования и управления системами с сосредоточенными и с распределенными параметрами вызывает необходимость в описании и в систематизации классов задач, которые являются устойчивыми по возмущениям, в получении оценок устойчивости, необходимости конструирования устойчивых аппроксимаций для них. Имеющиеся в настоящее время метода исследования устойчивости и аппроксимаций задач оптимального управления, в основном, разрабатывались применительно к системам с сосредоточенными параметрами. Для систем с распределенными параметрами, даже в линейном случае, вопросы устойчивости и аппроксимации исследованы недостаточно. Для численного решения устойчивых задач важно выбрать, сконструировать эффективные методы и аппроксимации, с целью сокращения времени вычислений. Последнее особенно актуально при разработки систем управления с обратной связью и работающих в режиме реального времени.
Здесь используются обозначения: [] - ссылка на список литературы; {} - ссылка на список основных работ автора.
Целью работы является разработка методов исследования устойчивости и построение устойчивых аппроксимации для задач оптимального управления, которые были бы эффективно применимы как в системах с сосредоточенными параметрами, гак и в системах с распределенными параметрами, описать и систематизировать классы устойчивых задач.
Метод исследования использует математический аппарат теории оптимизации, функционального анализа, численных методов решения дифференциальных уравнений с частными производными.
Научная новизна. В диссертации построена схема исследования условий устойчивости и аппроксимаций задач оптимального управления, которая применима для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, при регулярных и сингулярных возмущениях, конечно-разностных и других способов аппроксимаций. Выделены классы задач, которые устойчивы по функционалу, по управлению (в слабой и в сильной норме) и получены оценки скорости сходимости. Основные результаты диссертации.
-
Построен математический аппарат, который позволяет системати-зированно и единообразно исследовать устойчивость разнообразных задач оптимального управления, конструировать устойчивые аппроксимации для них.
-
Для абстрактных задач минимизации в гильбертовых пространствах получены условия сходимости по функционалу, слабой и сильной сходимости по управлению, выведены соответствующие оценки скорости сходимости. При этом используются также возмущения градиентов функционалов и сопряженных операторов для отображений "управление/состояние" системы. Условия устойчивости и оценки по управлению в сильной норме выведены для классов задач:
с компактными множествами допустимых элементов;
со строго равномерно выпуклыми функционалами;
'. - со строго равномерно выпуклыми множествами допустимых элементов;
- с нормально разрешимыми операторами "управление/состояние"
системы.
3. На основе обобщенного метода моментов предложены сходящиеся
аппроксимации для квадратичных задач, получены оценки скорости сходимости.
4. Описаны классы устойчивых задач для систем со сосредоточенными
параметрами и для гиперболических систем с регулярными, сингулярными и конечно-разностными возмущениями. 5. Проведено математическое моделирование задачи оптимального управления колебанием упругой пластины. Теоретическая и практическая ценность работы состоят в применимости ее результатов для математического моделирования конкретных систем управления с сосредоточенными и с распределенными параметрами, а также при конструировании аппроксимаций, разработке численных методов и соответствующего программного обеспечения.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (рук. проф. Ф.П.Васильев) - январь 1992 г.;
отдела математических методов моделирования Института проблем кибернетики РАН (рук. проф. Е.А.Гребеников) - январь 1992 г.;
на международной математической школе в Институте математики им. Банаха (г. Варшава) - март 1992 г.;
отдела прикладной математики Института проблем кибернетики РАН (рук. проф. В.Г.Карманов) - ноябрь 1992 г.;
Института математики и механики Уральского отделения РАН (рук. проф. В.В.Васин, проф. А.В.Кряжимский) - февраль 1993 г.;
на международной математической школе "Понтрягинские чтения - IV" (г. Воронеж) - май 1993 г.;
Вычислительного Центра РАН (рук. проф. Ю.Г. Евтушенко) - январь 1994 г.;
кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ (рук. проф. А.И.Прилепко) - март 1994 г.;
кафедры прикладной математики Московского энергетического института (рук. проф. Ю.А.Дубинский) - май 1994 г.;
- кафедры общих проблем управления механико-математического факуль-
тета МТУ (рук. проф. А.В.Фурсиков) - октябрь 1994 г.;
Института высокопроизводительных вычислительных систем РАН (рук. академик В.С.Бурцев) - ноябрь 1994 г.;
кафедры оптимального управления факультета БМиК МГУ (рук. проф. М.С.Никольский) - декабрь 1994 г..
Публикации. По теме диссертации опубликовано 34 работы, в том числе монография (22> и обзорная статья (24). Основные
результаты содержатся в работах СО - 26).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, содержащего 174 наименования. Объем работы - 297 страницы.