Введение к работе
Актуальность темы. Для исследования различных задач оптимального управления, основным источником которых являются прикладные проблемы, и преодоления трудностей в их эффективном решении в основном используются классические и специально разработанные методы теории оптимального управления, учитывающие особенности этих задач. В частности, для решения задач, связанных с функционированием системы в условиях конфликта, используется теория, дифференциальных игр. Существенное место в этих задачах занимают игры сближения-уклонения в ситуации, которую приходится описывать посредством нескольких целевых множеств с постоянной и переменной динамикой. При этом приходится учитывать зависимость поведения системы от случайных факторов. Важное теоретическое и практическое значение имеют также задачи управления, сближения и встречи, игрового взаимодействия, а также понятие области достижимости управляемых материальных точек в ньютоновском гравитационном поле. Задачи управления и наблюдения распределенными системами имеют приложения в различных областях науки и техники, в частности, в области управления современными летательными аппаратами с упругими конструкциями. Изложенные задачи и методы их исследования являются основой данной работы, которая посвящена исследованию задач оптимального управления движением и оцениванию состояния систем, описываемых сосредоточенными и распределенными параметрами, с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени при наличии конфликтных ситуаций и неопределенностей с постоянной и переменной динамикой, стоящих на стыке двух наук; математической кибернетики и теоретической механики.
Актуальность темы обусловлена широким прикладным спектром результатов работы в таких областях науки и техники, как освоение кос-
мического пространства, автоматизация управления производственными процессами с применением современных вычислительных машин, робототехника, гибкие автоматизированные производства и т.п.
Цель и задачи работы. Разработка теории дифференциальных игр с несколькими целевыми множествами поэтапно меняющихся систем и платежным функционалом, зависящим от траектории в заданные моменты времени, когда стратегии игроков формируются с учетом случайных величин, появляющихся в ходе измерений позиции:
исследование задач оптимального управления объектами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями и системами с распределенными параметрами с фазовыми ограничениями и ограничениями по отношению к части координат, заданных в промежуточные моменты времени, когда критерий качества задан на всем промежутке времени;
описание и построение области центрального гравитационного пространства, в котором может оказаться управляемый объект при заданной величине характеристической скорости, прикладываемой в любой точке исходной эллиптической орбиты;
исследование движения в гравитационном поле при малых отклонениях начальных параметров и при неточных измерениях текущих состояний;
построение и исследование математических моделей игрового взаимодействия управляемых объектов в гравитационном поле при импульсном и непрерывном управлении;
синтез и оценивание состояния систем, движения которых описываются интегро-дифференциальным уравнением и систем с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния.
Объектом исследования являются системы, описываемые сосредоточенными и распределенными параметрами при наличии конфликтных ситуаций и случайных факторов.
Методы исследования. В диссертационной работе использовались методы теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии, теории функционального анализа, оптимального управления и наблюдения для систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, теории стохастических дифференциальных игр.
Научная новизна. В диссертации разработаны методы построения стохастических частично-программных стратегии и случайных движений игроков для дифференциальных игр при нескольких целевых множествах для случая поэтапно меняющихся линейных и собственно лит нейных систем, когда платой игры является функционал, зависящий от траектории в заданные моменты времени. Построена максимизирующая последовательность, доставляющая частично-программный максимин. Исследованы ее аналитические и геометрические свойства. Получена оценка для эволюции частично-программного максимина и доказано, что он является ценой соответствующей детерминированной позиционной дифференциальной игры. Для линейной дифференциальной игры уклонения от нескольких целевых множеств и игры уклонения поэтапно меняющейся нелинейной системы построены стратегии, гарантирующие требуемые уклонения, и получены оценки для изменяющегося во времени расстояния системы от поводыря.
Сформулированы постановки и даны конструктивные методы решения задач оптимального управления объектами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями, а также поэтапно меняющимися линейными уравнениями и интегро-дифферен-циальными уравнениями (системами с распределенными параметрами) с фазовыми ограничениями и ограгичениями по отношению к части координат, заданных в промежуточные моменты времени, когда критерий качества процесса задан на всем промежутке времени. Показано, что, увеличивая число промежуточных моментов времени с соответствующими фазовыми ограничениями, можно получить решение задачи опти-
мального управления по заданной трубке. С такими постановками решены прикладные задачи оптимального управления для механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Проведен численный расчет и анализ полученных результатов.
Для оптимального управления системами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями, построен стохастический программный синтез и получена оценка для расстояния стохастического движения от желаемого.
Для движения управляемой материальной точки в ньютоновском гравитационном поле получено уравнение семейства траекторий, выходящих из заданной точки, при заданной величине характеристической скорости. Предложен алгоритм построения границы области достижимости в плоском случае и схема для построения алгоритма в пространственном случае. Исследовано изменение дальности полета при малых отклонениях начальных параметров. Получено кинематическое соотношение для параллельного сближения управляемых объектов. Построены оптимальное стохастическое управляющее воздействие и оптимальная стохастическая траектория для сближения космических аппаратов и получена оценка для отклонения стохастического движения от желаемого. Для случая ньютоновского центрального гравитационного поля построена модель многошаговой антагонистической игры; показано существование ситуации равновесия в чистых стратегиях; построена модель неантагонистической игры в плоском случае в классе двухим-пульсных программных стратегий; найдена парето-оптимальная ситуация; построена модель игры с "линией жизни" и получено условие, характеризующее выигрывающие множества игроков. Для случая однородного центрального поля построено решение задачи преследования с предписанной продолжительностью и на быстродействие.
Исследована задача оптимального наблюдения системами с распределенными параметрами. Построен универсальный оптимальный
фильтр, восстанавливающий состояние системы при реальном сигнале, движение которого описывается интегро-дифференциальным уравнением с симметричным ядром. Построен универсальный оптимальный фильтр для оптимального наблюдения колебаниями струны. Решена задача оптимального наблюдения управляемых колебательных движений прямоугольной мембраны, края которой закреплены.
Практическая значимость полученных результатов. Полученные результаты для решения задач сближения и уклонения при нескольких целевых множествах для широкого класса систем с постоянной и переменной динамикой имеют важное теоретическое и практическое значение. Предложенный конструктивный метод оптимального управления с фазовыми ограничениями в промежуточные моменты времени позволяет увеличить эффективность решения ряда прикладных задач управления летательными аппаратами, технологическими процессами с использованием робототехнических систем и т.п. Широкое приложение может найти описание области достижимости и построенные модели игрового взаимодействия объектов в гравитационном поле. Важное практическое значение имеет управление систем с распределенными параметрами по принципу обратной связи.
Обоснованность и достоверность. Полученные результаты базируются на обоснованном использовании строгого математического аппарата, а также сравнений решения конкретных задач и численных результатов с теоретическими выводами.
Апробация полученных результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на XVII научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления ЛГУ (1987), на семинарах кафедры механики управляемого движения (1986-1988, 1997), кафедры информационных систем (1986), кафедры МСТНМО ЛГУ (1987, 1988), на VIII конференции молодых ученых института механики НАН Армении (1991), на конференции, по-
священной 65-летию создания кафедры теоретической механики ЕГУ (1995), на конференции, посвященной 75-летию со дня рождения академика HAH РА С.А. Амбарцумяна (1997), на первой международной конференции по "Управлению колебаниями и хаосом" (1997), на республиканской конференции "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем" (1997), на республиканской конференции "Контактные и смещенные граничные задачи механики деформируемого твердого тела", посвященной 85-летию со дня рождения академика НАН РА Н.Х, Арутюняна (1997), на научной сессии Армянского математического союза (1997), на семинарах кафедры теоретической механики и факультета механики Ереванского государственного университета, на ежегодных научных семинарах профессорско-преподавательского состава Ереванского госуниверситета (1988-1999).
Публикации. По основным результатам диссертации опубликованы 21 научные статьи.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 174 наименований, изложенных на 296 стр. компьютерного текста.