Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 8
1.1 Метод пассификации 8
1.2 Метод бэкстеппинга 9
1.3 Метод инвариантных эллипсоидов 9
Глава 2. Пассификация и синхронизация каскадных систем 11
2.1 Постановка задачи 11
2.2 Условия пассификации и асимптотической стабилизации 11
2.3 Влияние возмущений 15
2.4 Пассификация сетевых систем Лурье 16
2.5 Пример. Синхронизация двух мобильных роботов 18
Глава 3. Пассификация и синхронизация каскадных систем с дискретизацией 21
3.1 Каскадная система в форме Лурье 21
3.1.1 Постановка задачи 21
3.1.2 Построение дискретного регулятора 21
3.1.3 Условия пассификации и асимптотической стабилизации 22
3.1.4 Условия экспоненциальной синхронизации
3.2 Сетевые каскадные системы 24
3.3 Пример. Три мобильных робота 26
Глава 4. Пассификация и синхронизация каскадных систем с квантизацией по уровню 32
4.1 Постановка задачи 32
4.2 Дискретный регулятор с возмущениями 33
4.3 Дискретный регулятор с статическим квантизатором 35
4.4 Управление нелинейными системами в форме Лурье с динамическим квантизатором 36
Глава 5. Оптимизация нелинейных каскадных систем в форме Лурье при ограниченных внешних возмущениях 40
5.1 Постановка задачи 40
5.1.1 Построение пассифицирующего регулятора 40
5.1.2 Условия пассификации и асимптотической стабилизации 41
5.1.3 Основной результат 41
5.2 Примеры 44
Глава 6. Лабораторная установка 46
6.1 Навигация и управление движением мобильных ЛЕГО-роботов с помощью видеокамеры и беспроводного Bluetooth соединения 46
6.1.1 Описание лабораторной установки 46
6.1.2 Алгоритм распознавания объектов в помощью веб-камеры. 48
6.1.3 Результаты экспериментов 48
Заключение 50
Список литературы 51
Список рисунков
- Метод бэкстеппинга
- Условия пассификации и асимптотической стабилизации
- Условия пассификации и асимптотической стабилизации
- Дискретный регулятор с статическим квантизатором
Метод бэкстеппинга
В последние годы возникает все больше задач управления, в которых объект управления описывается сложными, взаимосвязанными системами. Среди таких систем выделяются каскадные системы, которые представляют собой последовательное соединение двух или нескольких подсистем [1]. В этой работе будут рассматриваться гладкие динамические системы каскадной формы, содержащие нелинейную часть и цепь интеграторов. Вектор состояния цепи интеграторов может рассматриваться как вход нелинейной подсистемы.
Вопросам синтеза алгоритмов управления каскадными системами посвящены работы отечественных и зарубежных авторов [2–6].
При синтезе алгоритмов управления для каскадных систем оказывается удобно решать задачу поэтапно. Примером поэтапного синтеза является процедура пошагового (попятного) управления [7; 8] или, как ее еще называют, бэкстеппинг (англ. backstepping [8; 9]). Суть этого метода сводится к нахождению управления для системы с интегратором в предположении, что для системы без интегратора заранее определен стабилизирующий алгоритм – виртуальное управление. Управление выбирается таким образом, чтобы производная функции Ляпунова для системы с интегратором была строго отрицательна для ненулевых значений вектора состояния системы, тогда из теоремы Ляпунова [10] будет следовать асимптотическая устойчивость всей модели.
Синтез алгоритмов управления по выходу является достаточно сложной задачей, для которой до сих пор нет эффективного условия разрешимости [11; 12]. Однако одним из методов, позволяющий упростить решение рассматриваемой задачи, является метод пассификации, разработанный в работах [1;13;14].
Понятие пассивности означает, что система удовлетворяет интегральной связи с функцией, линейной по входу и выходу системы [1]. Можно показать, что в этом случае на пространстве состояний системы можно определить функцию, которая при определенных условиях может играть роль функции Ляпунова для замкнутой системы [15;16]. Кроме того, существуют результаты [17] о стабилизации нелинейных аффинных систем с помощью обратной связи, включающие условия пассивности объекта. Таким образом, задача стабилизации объекта проводится в два этапа. Первый этап – это задача пассификации системы, т. е. задача нахождения закона обратной связи, делающей систему пассивной [18;19]. На втором этапе при выполнении дополнительных условий типа наблюдаемости решается задача стабилизации пассивной системы.
Первой из задач, решаемой в диссертационной работе, является задача синхронизации нелинейных каскадных систем с помощью метода бэкстеппинга, которая сводится к задаче пас-сификации и стабилизации каскадных систем с нелинейностью в интеграторe в случае, когда система описывается в форме Лурье с функциональной неопределенностью. Такой класс систем ранее в задачах пассификации не рассматривался. Этим подход, сформулированный в настоящей работе, и отличается от существующих подходов к пассификации каскадных систем [1;14;17;20;21], которые требуют полного знания всех параметров объекта и не могут быть применимы к рассматриваемым системам. На практике, однако, физические системы содержат возмущения. Таким образом, следующей задачей, решаемой в диссертационной работе, является задача синхронизации нелинейных каскадных системы в условиях ограниченных возмущений.
При реализации алгоритмов управления на различных технических системах разработчики систем сталкиваются с переходом от непрерывных систем к дискретным. Управляющие сигналы обрабатываются и формируются с помощью микропроцессоров и поэтому имеют дискретную природу. Следовательно, не всегда синтезированные алгоритмы управления непрерывными системами можно применить на практике, либо же их применение накладывает некие дополнительные условия. В диссертационной работе решается задача синхронизации нелинейных каскадных систем с дискретным управлением по времени.
В рассматриваемых системах передача сигнала от управления к системе предполагается мгновенной. Тем не менее, в реальных системах в управлении может быть задействовано стороннее оборудование, например, камера, которая считывает, обрабатывает и передает данные по беспроводным каналам на систему. Такого рода ограничения носят достаточно актуальный характер. Например, скудность данных, получаемых от датчиков. Это может быть связано с дороговизной их изготовления, сложностью их установки в труднодоступных районах или физическими ограничениями датчиков. Все еще актуальным является ограничение на возможности связи. Ограниченная пропускная способность канала приводит к невозможности получать полностью всю информацию о системе. Одни из способов учесть рассматриваемые влияния на систему является квантизация сигнала. Можно представить квантизатор как устройство, которое преобразует непрерывный сигнал в кусочно-постоянный, принимая значения из конечного множества [22–26].
Используя квантизатор, пространство состояний системы можно разделить на конечное число областей квантования, каждое из которых соответствует фиксированному значению в квантизаторе. В таком случае динамика системы может сильно поменяться, и поэтому можно говорить тогда о гибридной системе, то есть, системе, описывающей связь между непрерывной и дискретной динамикой. Появляется задача стабилизации систем управления с квантизацией по выходу или по состоянию. В рассматриваемой работе решается задача синхронизации нелинейных каскадных систем с квантизацией по выходу. Существующие подходы применены к линейным системам [27–30]. Как показано в работе Brockett R. W. и Liberzon D. [31], если линейная система может быть стабилизирована с помощью закона обратной связи, то она также может быть глобально стабилизирована с помощью гибридного управления с квантизатором. Эта задача решается в два этапа. Первый этап состоит в увеличении диапазона квантизатора, пока состояние системы не сможет быть оценено. На этом этапе система незамкнута. Второй этап включает в себя применение обратной связи и в то же время уменьшение ошибки квантизатора таким образом, чтобы состояние системы стремилось к нулю.
Следующей задачей, рассматриваемой в диссертационной работе, является задача оптимизации оценки ошибки выхода в нелинейной каскадной системе. В работе предложено решать ее на основе метода инвариантных множеств, которая сводится к оптимизации объема инвариантного эллипсоида. В диссертационной работе рассматриваются ограниченные возмущения, и поэтому подходы, которые используется при решении таких задач как - оптимизация или не могут быть применены.
Метод инвариантных множеств часто используется в различных задачах теории гаранти-рованого оценивания, фильтрации и минимаксного управления в динамических системах при наличии неопределенностей. Если к тому же выбрать в качестве инвариантных множеств эллипсоиды, то, благодаря их простой структуре и прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова, можно использовать аппарат линейных матричных неравенств (LMI) [32;33].
Условия пассификации и асимптотической стабилизации
По теореме [7] п— 1 корней многочлена Lia{s) + L2J3{s) приближаются к корням многочлена /3{s), а оставшийся корень равен \п « —L2/L1 при достаточно большом значении параметра Li. Таким образом, получаем гурвицев многочлен степени п. Т. е. условие гиперминимально-фазовости выполнено.
Для доказательства устойчивости замкнутой системы (2.10), (2.11) представим ее в с следующим виде: ( А —Ве 0 + КС А 0 u 1 е и 1 ) V ( \е v{t) = К\ Ki] (2.13) (2.14) (2.15) Введем обозначения: Є —— (е\ (є \ и и В этих обозначениях система (2.13) записывается в виде e(t) = Ae(t) + Bv(t), є{і) = Ce(t) (2.16) c соответствующим управлением v(t) = Кє.
В соответствии с теоремой о пассификации [7] существует положительно определенная матрица Р = Рт 0 и число К такие, что выполнено неравенство Р(А + ВКС) + (А + ВКС)ТР —т/Р, РВ = Ст. Зафиксируем К. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V{x) = є1Ре. Покажем, что если выполнены условия выше, то неравенство V{e) 0 будет верно. V = ё Ре + е Рё = е (Р(А + ВКС) + (А + ВКС) Р)е —rqV. (2.17)
Теорема 2.1. Пусть выполнены предположения (1)-(3). Тогда существуют числа К, , такие что система (2.6),(2.7) будет пассивна с квадратичной функцией запаса V{e) = ёТРё, а замкнутая система с управлением v{t) = (—7 — КСВ)и + Ке асимптотически устойчива.
Доказательство. Система (2.1) рассматривается на временной полуоси [0, оо) c начальным условием х(0) = XQ. Легко видеть, что правая часть рассматриваемой системы глобально лип-шицева по х: \Ax\(t) + В р(г/і) — Axi(t) + Вір {г/2) \ ( 4 + Ц-ВЦ С піах(а,Ь))жі — жг. Тогда для любых начальных условий х{0) = Хо решение системы (2.1) определено на полуоси [0, оо). Для доказательства асимптотической устойчивости представим систему (2.6),(2.7) в виде (
По лемме 2.1 существует положительно определенная матрица Р = Рт 0 и вектор К такие, что выполняется неравенство Р(А + ВКС) + (А + ВКС)ТР —г]Р, РВ = Ст. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V{e) = ётРё. Получим теперь условия на параметры, чтобы было выполнено условие V{e) 0. Зафиксируем параметр К. Далее следует цепочка неравенств. V — r/V + 2Р max(c, i)e + Дтах(а,Ь) з —??Amirae2 + Дтах(а,Ь)ё2 + 2Р тах(с,б?)ё2 = —#ё2, (2.20) где R = 2Р Р С. Следовательно, если выполнено условие 21Л Р С max(a,6) + 2Р max(c, i) r]\min, то V{e) 0, а это неравенство совпадает с неравенством в предположении (3). Проинтегрировав неравенство (2.20) получим: 0 V(e(t)) V(e(0)) — 5 ( \\e\\2dt 0 при достаточно большом t. Следовательно, lim oo V{t) = 0. Отсюда немедленно следует асимптотическая устойчивость по теореме Ляпунова.
Заметим, что квадратичная функция V{e) = ёТРё, играющая роль функции Ляпунова, может выступить в качестве функции запаса, когда у системы есть вход. Для доказательства пассивности системы (2.19) покажем что выполнено свойство ЯКП.
Действительно, по лемме 2.1 выполнено равенство РВ = Ст, что является вторым условием в свойстве ЯКП, а неравенство (2.20) играет роль первого условия. Справедливость неравенства (2.20) следует также из леммы 2.1 и, в частности, из теоремы о пассификации [7]. Таким образом, пассивность системы (2.19) автоматически следует из леммы 1.2.
Теорема 2.1 доказана. Замечание 2.1. Заметим, что стандартными способами интегратор можно расширить до цепи интеграторов U\,U2, , которая будет иметь вид: Щ = щ, ІІ2 = Us, т и, г=1 = У КІЩ + Кє. 2.3 Влияние возмущений Переходим к учету влияния возмущений на исходную систему (2.1)-(2.3). Ее можно переписать в виде e(t) = Ae(t) + BKsit) + fit), є if) = Ce(t), (2.21) (fiit) — /г(і) \ I e\ І є\ - ограниченное возмущение, ё = є = 0 u u Теорема 2.2. Дана система (2.21) с ограниченным возмущением /() Д/. Пусть выполнены три предположения (1)-(3). Тогда lim oolleft)!! CzAt, где С = л/ \т /и\ Доказательство. Рассмотрим квадратичную функцию Ляпунова V{e) = ёТРё с положительно определенной матрицей Р = Рт. Находясь в условиях предположений (1)-(3), имеем цепочку неравенств V —r/V + /() Рё + ё Pf(t) —r/V + 2v Vу/f (t)TРf (t). Таким образом, выполнено неравенство V{e) 0 для любого ё за исключением множества {ё : \/V(e) f] x supt \Jf\t)TPf ()} и значение lim oo supl/(e(t)) не превышает А2Лтах(Р)/г]2. Из положительной определенности матрицы Р следует неравенство Amin(-P)e(t)2 V(e(t)), где Amax(P), Am;n(P) - наибольшее и наименьшее собственное число матрицы Р соответственно. Таким образом, получаем ограниченность решений системы (2.21):
Условия пассификации и асимптотической стабилизации
Даны две динамические системы в форме Лурье с интегратором x{t) = Ах{t) + Вір(уі) + /і(і), yi(t) = Cx(t), (4.1) z(t) = Az(t) + Bip(y2) + Bu{t) + /г(і), 2/2 (і) = Cz(t), (4.2) u(t) = tfj(u,t)-\-w(t), (4.3) где ж(і), z(t) - гг-мерные векторы состояния объекта, уі{ї),у2Іі) - скалярные выходы, А - п х п матрица, В - п х 1 матрица, С - 1 х п матрица, р(у), ф{и,ї) - непрерывные нелинейности лежащие в секторе, fi(t) - ограниченные возмущения, /i(t) А/І. Систему (4.1) будем называть ведущей (master), систему (4.2) - ведомой (slave).
Рассмотрим регулятор с квантизатором w(t) = ql_t(w(t)).
Пусть z Є №.1 квантуемая переменная. Под квантизатором мы будем понимать кусочно-постоянную функцию q : Ш.1 — Q, где Q конечное подмножество из Ш.1. Это приводит к разбиению множества Ш.1 на конечное число областей квантования в виде гей1: q(z) = і, і Є Q. Когда переменная z не принадлежит объединению областей квантования, квантизатор насыщается. Более подробно: мы предполагаем что существуют положительные вещественные числа М и А такие, что выполняются следующие условия: если (4.4) є М, то (4.5) 3(є) — є\ А и є М = Q(s) М — А. Мы будем называть М и А как диапазон q и ошибку квантования соответственно ( [54]). Для алгоритма управления, представленного ниже, мы будем использовать динамический квантователь в виде qu(z) = uq(-) где іл 0 - масштабирующий параметр. Диапазон квантова-теля - М/л и ошибка квантования - А/л. Цель управления - синхронизировать две системы (4.1),(4.2) с нелинейным интегратором (4.3), т. е. выбрать функцию управления w{t) таким образом, чтобы x{t) — z{t) — 0 при t — оо.
Вводим ошибку синхронизации e{t) = x{t) — zit), а также ошибку синхронизации по выходу є{ї) = у lit) — г/2 (t) = Ce(t). С учетом этих обозначений можно ввести новую систему: ё() = Aeit) + (є(),) — Buit), є() = Ce(t) (4.6) w(t) = фіи ) + wit) (4.7) где (є,) = ріуі) — (РІУ2) – новая нелинейность. Цель управления будет выглядеть следующим образом: lim oo е() = 0. Для синтеза управления wit) воспользуемся методом бэкстеппинга [20]. ё() = Aeit) + -В(є,) — Buit), є it) = С є it) (4.8) (i) = КС Aeit) + KCB ie,t) + ipiu,t) + i (t) (4.9) где w(t) - управление.
Для начала получим вспомогательную теорему. Рассмотрим систему (4.8), (4.9) с ограниченным возмущением /() А/ и с дискретным регулятором vit) = (—7 — KCB)uitk) + Keitk), tk t tfc+i, где tfc = kh моменты времени с шагом дискретизации h.
Доказательство. Вводим следующее обозначение: G(e,t) = Ae{t) + Bv{t) + D(e,t) + /(і). ЭТО Липшицева функция с константой LQ - \G{x\,t) — G(x2,t)\ (11 -11 + \\В\\ \\К\\ \\С\\ + Р max(a,6)C + Р max(c, i) + А/)жі — Ж2І = ЬсІІ і — 21- Представим управление v(t) в виде v(t) = Кє{ї) — К5{і), где 5{ї) = є{ї) — e(tk) ошибка дискретизации. Для функции 6(t) выполнено неравенство: \8(t)\ = ft к G(e,t) dt\\ (t —tk)\\G(ek,tk)\\ + Jt Ьо\\5(Ь)\\ dt. Применяя лемму Гронуолла — Беллмана, получаем оценку на S(t): e,Lh — 1 o(tfc+i) G(efc,tfc) . (4-13) LG Обозначим Ch = e L l Перепишем с учетом этого обозначения оценку на функцию (fc+l) VVkCh Для начальной системы (4.10) мы выберем квадратичную фукнцию Ляпунова V{e) = ёТРё. Находясь в условиях теоремы 2.1 и использую неравенство у/ху (х + у), вычислим производную функции V{e). V — r]V + Дтах(а,Ь) з + 2Р тах(с, і) з + з PBK6-\-2f(t) Рё + 2ё Р/() T)iV + 1 ( )11- 11 ( )1 + 4\А/у/()Р/()Т —r/V + є().К"$() + 2f(t)Pf(t) . (4.14)
Введем следующие обозначения: 7 = 1 ( )11- 11 ( )1- Неравенство (4.14) может быть переписано в виде V — f)V + 7 + 2/(t)Р/ {t)T. Интегрируя его на промежутке (&, tfc+i) и учитывая оценку выхода через функцию Ляпунова e(fc) хуФь получаем следующее неравенство:
Будем требовать, чтобы неравенство q 1 было выполнено. Это условие совпадает с неравенством (3.9) в формулировке теоремы.
Значение lim oo sup V(e(tk)) не превосходит Г. Из положительной определенности матрицы Р следует неравенство Amin(P)e(tfc)2 V(e(tk)), где Атах(Р), Ат;п(Р) наибольшее и наименьшее собственные числа матрицы Р соответственно. Таким образом: lim oo e(tfc) CfcAf, где Сі. = т—ГБ\- Или более подробно
Amin(P)(?7 — Ch K) Запишем оценку на ошибку дискретизации 5(t): \\e(t) — e(tk)\\ C/je(tfc), которая эквивалентно оценке ё() (C/j + l)e(tfc). Учитывая выкладки выше, мы получаем оценку на вектор состояния limt 00e(t) CkiQh + 1)Д/ = Сё А/? ГДЄ 2Лтах(Р) / L h Сё = Т Г1г 77 77(б G + i-G !) V Ат;п(Р)Ьс(г7Ьс — eLGtlxK + хл) Теорема 4.1 доказана. П 4.3 Дискретный регулятор с статическим квантизатором Рассмотрим систему (4.8), (4.9) с дискретным регулятором и статическим квантизатором v(t) = Q((—7 KCB)u{tk) + yKeitk)), tk t ifc+ij где & = fcfa, моменты времени с шагом дискретизации Л,. Начальная система (4.8), (4.9) может быть представлена в виде ё() = Ae(t) + Bv(t) + Bip(u,t) + D (e,t), e(t) = Ce(t), v(t) = KQ(e(tk)) = Ke(tk) + Д, (4.15) и и Теорема 4.2. Рассмотрим систему (3.8) с дискретным по времени управлением и квантизатором Q. Выберем шаг дискретизации, чтобы выполнялось неравенство: (LG) 3_,?/I + (7xiT 3LG/l — (7хХ 0 (4.16) х коэффициент оценки выхода системы через функцию Ляпунова: \е\ xyV, LQ - константа Липшица правой части системы (3.8). Тогда limt 00e(t) CgA, где
Дискретный регулятор с статическим квантизатором
Для проверки работы алгоритмов были созданы универсальная лабораторная установка (см. рис. 6.1), позволяющая реализовывать не только эти, но и другие алгоритмы, а также система дистанционного управления мобильными роботами. Алгоритм распознавания реализован на С++, управление - на Java. Приложение написано под среду Linux (Ubuntu 11.10).
Модель робота сконструирована из кибернетического конструктора Lego Mindstorms NXT (см. рис. 6.2). Такой выбор объясняется, что NXT предоставляет широкий набор интересных функциональных возможностей [56].
Для построения кинематической модели тележки, был использован программируемый блок NXT, два мотора и сопутствующие детали. Тележка имеет три колеса, два ведущих и одно Рисунок 6.2 — Мобильные роботы ведомое. Ведущие колеса находятся на одной оси. Диаметр колеса равен 56 мм. Расстояние между ведущими колесами 170 мм. Для лучшего распознавания данного объекта с камеры, сверху на тележку монтируется черная матовая пластина. Для NXT существует огромнейшее количество языков программирования, основанных как C/C++, так и на Java. Для реализации алгоритма в качестве программной платформы для LEGO-роботов использовалась прошивка LEJOS NXJ (Java for LEGO Mindstorms) [57]. Программа, которая выполняется на роботе, состоит из двух основных блоков. Первый из них ожидает входящих сообщений по протоколу Bluetooth и при их получении передает управление второму блоку, после завершения выполнения которого, отсылает подтверждение о завершении выполнении команды на управляющий компьютер. После получения данных выполнение переходит во второй блок, который устанавливает текущие значения координат, уточненные с управляющего компьютера, и выполняет перемещение робота к новой точке назначения. Основой всего программного комплекса, который используется для удалённого управления роботами, является оболочка "RCShell"(или Remote Control Shell, далее Оболочка). Она была написана специально для этого проекта, чтобы обеспечить удобство управления отдельными модулями комплекса, такими как модуль видеораспознавания и модуль передачи данных на мобильных роботов. Оболочка представляет собой окно, которое предоставляет централизованный доступ к настройке и управлению модулями системы управления, например, позволяет управлять режимами работы программы видеораспознавания. Основная функциональность оболочки выражается в следующем: 1. Централизованное задание параметров, относящихся к модулям системы. К таким параметрам относятся абсолютные пути к каждому из модулей и номер видеокамеры, которая будет использована при распознавании роботов (в случае, если к компьютеру подключено несколько видеокамер). 2. Задание количества и физических адресов (MAC адресов) роботов, которые будут контролироваться системой. 3. Запрос и обработку координат робота, полученных с помощью модуля видеораспознавания. 4. Контроль движения роботов по заданной траектории и отправку каждому из них сообщений о его текущем местоположении и дальнейшем пункте назначения.
Для распознавания мобильный роботов используется хорошо зарекомендовавший себя алгоритм CAMSHIFT [56] - Continuously Adaptive Mean Shift. Он обладает высоким быстродействием и может использоваться при работе с зашумленными изображениями [56]. Для нахождения объекта он использует цвет, однако содержит механизмы, позволяющие вести слежение даже при наличии сходных по цвету объектов. Алгоритм имеет следующие плюсы: поиск объекта не зависит от фона, работает даже на входных данных плохого качества, можно вычислить ориентацию объекта, обладает высоким быстродействием, что для данной задачи особенно важно. Но также у алгоритма есть минусы, так, например, отслеживание бликующих объектов, и достаточная чувствительность к освещению. Для реализации распознавания объектов на плоскости была выбрана библиотека OpenCV. OpenCV (англ. Open Source Computer Vision Library, библиотека компьютерного зрения с открытым исходным кодом) - библиотека алгоритмов компьютерного зрения, обработки изображений и численных алгоритмов общего назначения с открытым кодом. Она реализована на C/C++, также разрабатывается для Python, Ruby, Matlab и других языков [58] и может свободно использоваться в академических и коммерческих целях - распространяется в условиях лицензии BSD. Эта библиотека была выбрана по многим причинам. Во-первых, она с открытым кодом, то есть бесплатная. Во-вторых - поддержка всех основных платформ, как Linux, Windows и MacOS. В-третьих - библиотека включает в себя огромнейшее количество алгоритмов, в том числе и используемый в данной работе алгоритм CAMSHIFT. И в-четвертых - поддерживается захват видео с веб-камеры. В данной работе, было разработано приложение, которое имеет следующую функциональность: