Введение к работе
Актуальность проблемы. Предметом исследования теории дифференциальных игр являются математические модели конфликтно управляемых динамических процессов. Целый ряд практически важных реальных процессов, возникавших в природе и во многих областях человеческой деятельности, могут быть смоделированы дифференциальными играми. В настоянеє время наиболее полно исследованы антагонистические дифференциальные игры с полной информацией. Фундаментальные результаты в этой области связаны с работами научных вкол Л.С.Понтрягина и Н.Н.Красовского, а также с работами Санкт-Петербургских и Киевских математиков.
Одной из важнейвих проблем теории дифференциальных антагонистических игр является построение приближенных методов нахождения оптимальных стратегий и функции значения. Хорово известны обяие методы ранения, например, катод программных итераций и различные попятные конструкции. Дальнейшее развитие и разработка новых эффективных численных методов и применение их для решения конкретных примеров дифференциальных антагонистических игр, имевцих наибольшее прикладное значение, является актуальной задачей.
Основной цель» работы является разработка численного метода для приближенного ревения дифференциальных антагонистических игр с предписанной прололхителькостью, с непрерывной терминальной функцией выигрыаа, основанного на конечно-разностном методе ревения уравнения Гаиильтона-Якоби (Беллмана-Ай-зекса), соответствупяего этой игре; разработка кояечно-разнос-тного метода для приближенного ревения дифференциальной антагонистической игры, динамика которой описывается краевой задачей для уравнения теплопроводности, характеризующей некоторые
динамические процессы теплообмена; создание комплекта программ дла реализации построенных методов на ЭШ.
Научная новизна. В диссертации вводится новое понятие слабого реаения уравнения Ганильтона-Якоби (Беллмана-Лйзекса) для дифференциальной антагонистической игры с предписанной продолжительность* и непрерывной терминальной функцией выигрыша; доказывается существование и единственность слабого ранения и совпадение его с функцией значения игры; построен конечно-разностный метод для приближенного решения таких игр; разработан конечно-разностный метод для реаения задачи нахождения оптимального технологического режима управления динамическим процессом теплообмена, моделируемой дифференциальной антагонистической игрой, динамика которой описывается краевой задачей для уравнения теплопроводности; доказывается теорема о гладкой устойчивости ситуаций равновесия в матричных играх, полученные результаты применяется для построения численных методов ранения дифференциальных антагонистических игр; составлен комплект программ для реализации построенных методов на 3BU; реаены конкретные примеры дифференциальных актагонистичеких игр.
Общая методика исследования. Используется понятия и факты теории дифференциальных игр, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, топологии, дифференциальной топологии и алгебраической геометрии, теории разностных схем, методы реаения задач математической физики, дифференциальных уравнений в частных производных.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего теоретического исследования и численного решения дифференциальных игр. Результаты реаения конкретных игр могут быть использованы при
решении практических задач, например, для выявления оптимального рехима управления нехоторым технологическим процессом в строительстве, а такхе для ревения задач преследования и уклонения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Ш Шкоде "Математические проблемы экологии" (г. Чита,.1990 г.), на Ш Всесоюзной якояе "Понтрягинсхие чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ" (г. Кемерово, IS98 г.), на Ш Якутской республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов, на научных семинарах факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского госуниверситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /1-7/.
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем составляет 100 страниц мавинописного текста. Библиография содерхит 92 названий.