Введение к работе
Актуальность темы. Многие экономические,' социальные и технические проблемы, возникающие в процессе деятельности человеческого общества, могут быть сформулированы в виде конфликтных задач управления в условиях неопределенности (помех, возмущений и т.п.).. Математические модели большинства подобных задач, но без учета неопределенностей, исследуются в рамках теории бескоалиционных игр.
Отметим два обстоятельства.
Во-первых, в качестве решения бескоалиционной игры обычно используется ситуация равновесия по Нашу. Несмотря на достоинства (устойчивость относительно отклонения отдельного игрока, индивидуальная рациональность, совпадение с седловой точкой в случае антагонистической игры), равновесии по Нэшу присущ и ряд "отрицательных" свойств. Именно, равновесная по Нэшу ситуация может просто не существовать. В этом случае, очевидно, вообще "снимается вопрос" об использовании ситуации равновесия по Нашу в качестве решения игры. Кроме того, вследствие неединственности такого решения, возможно существование двух ситуаций равновесия, в одной из которых выигрыши всех игроков меньше, чем в другой (внутренняя неустойчивость множества равновесий по Нэшу). Наконец, может существовать ситуация, не обязательно равновесная по Нэшу, выигрыши всех игроков в которой больше, чем при равновесии по Нэшу ("улучшаемость" равновесной по Нэшу ситуации). Естественно возникает необходимость формализации новых решений бескоалиционной игры, которые, с одной стороны, обладают всеми "положительными" свойствами ситуации равновесия по Нэшу, с другой - снимают указанные "отрицательные". Таким решениям (равновесию угроз и контругроз и активному равновесию) и посвящена гл.1 диссертации. Обладая "положительными" свойствами, такие равновесия
"неулучшаемы" и множество их внутренне устойчиво;
существуют в ряде случаев, когда отсутствует равновесие по Нэшу;
наличие сиуации равновесия по Нэшу влечет существование активного равновесия, выигрыши всех игроков при котором не меньше чем в ситуации равновесия по Нэшу.
- A. -
Во-вторых, в системах управления, как правило, имеются помехи, возмущения, возникают ошибки в измерениях, появляется запаздывание в каналах передачи информации и другого вида неопределенности. Иногда для таких неопределенностей отсутствуют какие-либо статистические характеристики.
Учет подобного вида неопределенностей в задачах сттилалъ-ного управления приводит к максиминному решению и гарантированному результату (максимину), б многокритериальных динсшнеских задачах - к векторной гарантии *' . Исследование конфликтных задач при неопределенности не проводилось, исключение составляет лишь гл.17 книги **' , где рассмотрение ограничено рамками концепции равновесия по Нашу. Итак, при выборе своего поведения в игре при неопределен- ности игроки доляшы одновременно учитывать
диктуемый извне "характер" игры (в диссертации ограничились бескоалиционным вариантом игры и в нем - концепцией угроз и контругроз),
возможность реализации любой, заранее непредсказуемой неопределенности.
Дополнительный учет динамики (изменение управляемых систем с течением времени) приводит к дифференциальной игре со лногили участниками и при неопределенности - новому направлению теории неантагонистических дифференциальных игр. Эти игры позволяют одновременно учесть следующие три фактора:
1? наличие нескольких взаимосвязанных управляемых систем, качество функционирования каждой из которых оценивается "своим" критерием;
*' Zhukovskiy.V.I. and Salukvadze.H.E. The Vector-Valued Maxlmin. Boston, Hew York, London: Academic Press, Inc.;1994. 404 p.
"' Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 32S с.
2. системы меняются в течение игры, а управление ими строится по принципу обратной связи;
З? на управляемые системы действует1 помехи, возмущения и другого вида неопределенности.
Глава II диссертации посвящена новому направлении в таких играх - бескоалиционным дифференциальным играм при неопределенности, где при выборе своих стратегий игроки следуют концепции угроз и контругроз (из гл. I). Исследования, помещенные в гл.II, лежат на стыке теории дифференциальных игр со многими участниками и многокритериальных задач при неопределенности.
Цель работы состоит в исследовании ряда вопросов теории бескоалиционных игр таких, как формализация решений на основе концепции угроз и контругроз, их классификация, существование, построение решений, в том числе для дифференциальных позиционных линейно-квадратичных игр при неопределенности.
Методы исследования. В доказательствах используются общие понятия и факты из теории игр, теории многокритериальных задач, выпуклого анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления.
Научная новизна. В работе приведена классификация решений бескоалиционной игры на основе концепции угроз и контругроз, детальное сравнение с равновесием по Нашу. Установлены условия существования предлагаемых решений при обычных ограничениях в бескоалиционных игр.
Для дифференциальных позиционных'линейно-квадратичных игр при неопределенности формализованы новые решения, проведена их классификация. На основе динамического программирования получены достаточные условия существования, найден явный вид решений и предложен способ построения выигрышей игроков по известным ситуации и неопределенности.
Основные результаты работы являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации подходы можно использовать для общего исследования дифференциальных игр, формализованных в непрерывной схеме управления. Предлагаемые способы построения новых равновесий
- б -
дают возможность решать конкретные задачи экономики (как, например, это выполнено в диссертации для математической модели рынка с двумя товаропроизводителями).
Апробация работы. Результаты, составляющие содержание работы, обсуждались на союзных и международных конференциях, школах, семинарах. Они докладывались на III Международной конференции по глобальной оптимизации (Иркутск, 1992 г.), III Международной школе по многокритериальным задачам при неопределенности (Орехово-Зуево, 1994), III Международной конференции женщин - математиков (Воронеж, 1995), III Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления, оптимизации и их приложения" (С-Петербург, 1995), а также на научных семинарах института Кибернетики Академии Наук Украины и Санкт- Петербургского университета.
Публикации. По теме опубликовано 7 работ, приведенные в заключение автореферата. Все основные результаты, представленные в диссертации, выполнены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 7 параграфов, списка литературы, состоящего из 56 наименований. Объем диссертации составляет 127 страниц машинописного текста.