Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Теория выпуклых тел 12
1.1 Опорная функция выпуклого множества 12
Приближение выпуклых тел многогранниками 18
Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с использованием опорной функции 19
Изопериметрические неравенства 24
1.2 Симметризация и родственные ей преобразования выпуклых тел 25
Симметризация Штейнера 25
Симметризация Шварца 26
Фигуры постоянной ширины 30
1.3 Формализация экстремальных задач геометрии 32
Задача о построении выпуклой фигуры F є F^(A,D), имеющей максимальную площадь поверхности S(F) 33
Задача о построении выпуклой фигуры F є F,(A,D) имеющей минимальную площадь поверхности S(F) 39
Задача о построении выпуклой фигуры Fe F^ (ДЛ), имеющей максимальный объём V(F) 41
Задача о построении выпуклой фигуры Fe F, (ДЛ), имеющей минимальный объём V(F) 43
Глава 2 Решение экстремальных пространственных задач геометрии методом штрафных функций и их аналитическое решение 46
2.1 Аналитический метод решения задач оптимального управления 46
2.2 Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур 53
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности 54
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности 56
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема 59
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимального объема 60
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры, обладающей максимальной площадью поверхности 62
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимального объема 64
2.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности методом внешних штрафных функций 65
Дискретная аппроксимация задачи 67
Алгоритм построения решения методом внешних штрафных функций 69
Влияние вычислительных параметров на решение задачи 74
2.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом штрафных функций 75
Глава 3 Построение экстремальных выпуклых фигур вращения методами нелинейного программирования 81
3.1 Решение задачи о построении центрально-симметричной выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска 80
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 83
Сравнительный анализ градиентных методов при решении задачи 90
3.2 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом градиентного спуска 91
3.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема методом градиентного спуска 96
3.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимального объема методом градиентного спуска 99
3.5 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска 102
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 106
3.6 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимального объема методом градиентного спуска 110
Глава 4 Решение задач о построении произвольных выпуклых пространственных фигур с экстремальными свойствами методами нелинейного программирования 116
4.1 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимальной площади поверхности 116
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 122
4.2 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимальной площади поверхности 126
4.3 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимального объема 131
4.4 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимального объема 135
Заключение 141
Список основной использованной литературы 143
Приложение
Результаты численных экспериментов 151
- Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с использованием опорной функции
- Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур
- Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска
- Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. В настоящее время задачи нахождения выпуклых тел с экстремальными геометрическими свойствами имеют актуальное значение, возникая в различных приложениях, таких, как проектирование электротехнических устройств, поиск оптимальных форм заготовок в раскроино-заготовительных производствах, упаковка тел и других аспектах экономного расходования материалов. Экстремальные задачи геометрии и изопериметрические неравенства имеют широкую область применения в геометрии, теории приближений, выпуклом анализе. Рассматриваемые задачи сводятся к определению формы объемной фигуры, оптимальной по заданному критерию и удовлетворяющей требованиям к ее ширине.
Под экстремальными задачами геометрии понимаются задачи нахождения выпуклых тел, обладающих максимальной или минимальной площадью поверхности либо максимальным или минимальным объемом. Решение этих задач геометрическими методами описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Данные методы не всегда позволяют найти экстремальную фигуру с заданными ограничениями. Ряд экстремальных геометрических задач для плоских фигур с дополнительными ограничениями на ширину фигуры решен методами оптимального управления и нелинейного программирования в работах Андреевой Е.А., Красножснова Г.Г. При этом ощутимой является нехватка методов решения экстремальных задач геометрии о пространственных выпуклых фигурах с заданными ограничениями на ширину.
Ввиду этого разработка и реализация методов решения экстремальных пространственных задач геометрии является актуальной научной проблемой, ее решение позволяет расширить круг решаемых практических задач, связанных с нахождением оптимальной формы тел. Формально решаемые задачи могут быть представлены задачами оптимального управления с фазовыми ограничениями. В диссертационной работе разработаны алгоритмы построения численного решения рассматриваемых задач, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Borland Delphi 7.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка и реализация аналитических и численных методов их решения.
Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:
1.Описание свойств выпуклых пространственных тел с заданными ограничениями на ширину с помощью опорных функций.
2.Постановка экстремальных задач геометрии в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
3.Вычисление аналитических решений задач о построении выпуклых экстремальных фигур вращения и произвольных выпуклых экстремальных пространственных фигур.
4.Разработка и реализация алгоритмов метода штрафных функций для вычисления оптимальных решений в задачах о построении экстремальных выпуклых фигур вращения с заданными ограничениями на ширину, исследование зависимости оптимальных решений от вычислительных параметров.
5.Аппроксимация экстремальных геометрических задач задачами нелинейного программирования, разработка и реализация численных алгоритмов их решения.
Методы исследования. В работе для формализованного описания изучаемого класса задач применяется математический аппарат теории выпуклых тел, методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, при доказательстве теорем используются методы оптимального управления, нелинейного программирования, функционального анализа. При реализации программного комплекса применены методы объектно-ориентированного проектирования.
Основными результатами диссертационного исследования,
выносимыми на защиту, являются:
1.Постановка экстремальных пространственных геометрических задач в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
2.Аналитическое решение экстремальных геометрических задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину, построение аналитического решения задач о нахождении формы произвольных выпуклых пространственных фигур максимальной площади поверхности и объема.
3.Разработка и реализация алгоритмов метода внешних штрафных функций для решения задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения максимальной и минимальной площади поверхности с заданными ограничениями на ширину.
4.Аппроксимация экстремальных пространственных геометрических
задач с заданными ограничениями на ширину задачами нелинейного программирования, разработка численных алгоритмов поиска их приближенных оптимальных решений.
5.Сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении экстремальных геометрических задач для выпуклых пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину.
Научная новизна выполненной работы заключается в следующем:
1.Впервые получено аналитическое решение задач о построении экстремальных пространственных выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину.
2.Получено аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой пространственной фигуры максимального объема и максимальной площади поверхности. 3.Произведен сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении пространственных экстремальных геометрических задач.
Практическая ценность результатов заключается в разработке, реализации и сравнительном анализе методов решения задач о построении экстремальных пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину. Разработанные алгоритмы расширяют круг методов решения прикладных задач, требующих определения оптимальной формы пространственных выпуклых тел.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических оснований при формулировании и доказательстве теорем. Достоверность алгоритмов и программ расчетов обеспечивается обоснованностью используемых допущений, проверяется сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.
Внедрение результатов работы. Научные результаты использованы в учебном процессе математического факультета Тверского государственного университета при подготовке студентов по специальности 010100 Математика, направлению 511200 - Математика. Прикладная математика.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы и отдельные положения представлены на Межвузовской научно-практической конференции, посвященной 300-летнему юбилею Л.Эйлера (Тверь, 2007г.), научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2004-2008 гг.) и ВЦ РАН (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи - в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из содержательной части, включающей введение, четыре главы и заключение, изложенной на 142 страницах, списка литературы из 100 наименований и приложения; общий объем работы - 225 страниц.
Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с использованием опорной функции
Штейнером [23] разработан процесс, который позволяет для каждого нешарообразного выпуклого тела построить другое тело с тем же объемом, но меньшей площадью поверхности.
Пусть L — выпуклое тело и Q - плоскость. Каждая перпендикулярная к Q прямая, пересекающая тело L, имеет с ним общий отрезок. Сдвинем отрезок вдоль этой прямой так, чтобы его середина попала в плоскость О. Множество полученных отрезков заполняют новое выпуклое тело Г, для которого Q является плоскостью симметрии. Говорят, что Г получается из L штейнеровской симметризацией (см. рис.2). С помощью симметризации из выпуклого тела всегда получается выпуклое тело.
Свойства штейнеровской симметризации: 1) Объем тела при симметризации не меняется. 2) Площадь поверхности выпуклого тела при симметризации относительно плоскости Q не увеличивается. Она остается неизменной только в случае, когда Q является плоскостью симметрии этого тела. 3) При симметризации тела его диаметр не увеличивается. Пусть FrF2,F},,.. - последовательность выпуклых тел, сходящихся к предельному телу L, lim/;;, = L. Симметризуем все тела последовательности относительно одной и той же горизонтальной плоскости. Получаемые при этом тела FrF2,F3,... образуют также сходящуюся последовательность и предельное тело lim Fn - L является симметризацией тела L относительно той же плоскости. Другими словами, симметризация и предельный переход перестановочны.
Если передвинуть отрезки пересечения выпуклого тела с прямыми, перпендикулярными одной и той же плоскости, вдоль содержащих их прямых так, чтобы один конец попал на плоскость и все отрезки лежали с одной стороны от плоскости, то получим опять равное по объему выпуклое тело.
Пусть даны выпуклое тело К и прямая а. Пересечение К и произвольной перпендикулярной к а плоскости Q заменим на такой лежащий в Q круг, центр которого лежит на g и площадь равна площади пересечения плоскости Q с телом К. Множество полученных кругов заполнит тело вращения L, равное по объему телу К. Говорят, что L получается из К симметризацией по Шварцу или округлением относительно прямой а.
Симметризацию Шварца [98] можно рассматривать как результат предельного перехода от симметризации Штейнера (рис.3). При симметризации Шварца из выпуклого тела всегда получается снова выпуклое тело. Свойства симметризации Шварца: 1) Объем тела при симметризации не меняется. 2) Площадь поверхности выпуклого тела при симметризации относительно плоскости Q не увеличивается. Она остается неизменной только в случае, когда К имеет ось вращения , параллельную оси вращения тела L, полученного из тела К симметризацией Шварца. 3) При симметризации тела его диаметр не увеличивается. Свойства симметризации Шварца позволяют свести пространственную задачу о теле с наименьшей поверхностью при заданном объеме к плоской задаче, а именно, к поиску формы меридиональной кривой той поверхности вращения, которая удовлетворяет минимальному условию.
С помощью (осевой) симметризации Шварца каждую выпуклую поверхность F с непрерывно меняющейся кривизной можно перевести в выпуклую поверхность вращения с непрерывно меняющейся кривизной, которая имеет тот же диаметр, что и первоначальная поверхность.
Согласно теореме Л. Бибербаха, при симметризации Штейнера диаметр уменьшается или, по крайней мере, не возрастает. Теорема 1.5. Среди всех выпуклых тел одного диаметра шар имеет наибольший объем: D -V 0, где знак равенства имеет место только в случае шара. Теорема 1.6. Если из выпуклого тела при симметризации (относительно плоскости) получен шар, то первоначальное тело, если только оно само не шар, имеет больший диаметр. При штейнеровской симметризации (относительно плоскости) выпуклого тела К, ограниченного поверхностью F с непрерывно меняющейся кривизной, мы получаем выпуклое тело К, поверхность F которого снова имеет непрерывно меняющуюся кривизну. Если, далее, \/л2Л/А - наименьшие значения гауссовых кривизн на F и F, то \/ А2 \/А . Пусть для поверхность F с непрерывно меняющейся кривизной известно, что: 1) гауссова кривизна во всех точках F удовлетворяет соотношению К \/N; 2) существует шар радиуса R, который не выходит за пределы F. С помощью симметризации Шварца выпуклую поверхность диаметра D с непрерывно меняющейся кривизной и удовлетворяющая условиям (1), (2) можно свести к выпуклой поверхности вращения, расположенной симметрично относительно ее экваториальной плоскости, полюсы Р, Q которой находятся на расстоянии D друг от друга.
Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур
В работах Е.А.Андреевой [7-13], Р.Клотцлера, Г.Г.Красноженова [52]-[58] построено аналитическое решение ряда экстремальных геометрических задач для плоских фигур с использованием приведенного выше двойственного метода оптимального управления. В [58] приведено аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности без дополнительных ограничений, в [13] описано решение задачи о построении произвольной выпуклой пространственной фигуры максимальной площади поверхности без дополнительных ограничений. При решении задач оптимального управления двойственным методом требуется определить вид 5-функции, что часто сопряжено с определенными трудностями. В указанных работах приводится общий подход к определению функции S. Заметим, что вид данной функции, в общем случае, определяется неоднозначно. В данном разделе впервые приводятся оптимальные решения и вид соответствующих им 5 - функций для задач о построении центрально-симметричных выпуклых фигур максимальной (минимальной) площади поверхности и максимального (минимального) объема с дополнительным ограничением. Впервые приводится оптимальное решение и вид 5 - функции в задаче о построении произвольного выпуклого тела максимального объема без дополнительных ограничений. Также строится вид функции S задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимальной площади поверхности без дополнительных ограничений, отличный от приведенного в [13], и находится оптимальное решение данной задачи. Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности.
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности. Заметим, что при г 1 в данной задаче также становится затруднительным нахождение вида S-функции. Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема.
Рассматриваемая задача сформулирована в 1.3 как многомерная задача оптимального управления. Приведем оптимальное решение задачи для случая, когда дополнительные ограничения на ширину фигуры отсутствуют.
Подстановка приведенного оптимального решения в условия теоремы 2.3 и (2.38) доказывает его оптимальность. Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимального объема. Подстановка приведенного оптимального решения в условия теоремы 2.3 и (2.43) доказывает его оптимальность.
Экстремальные задачи геометрии с дополнительными ограничениями на ширину не всегда могут быть решены аналитически, в то время как разработка численных методов решения задач оптимального управления позволяет получать оптимальное решение с заданной точностью.
При увеличении количества дополнительных ограничений построение аналитического решения данным методом становится нерационально громоздким. В связи с этим в работе основным направлением исследования выбрана разработка численных методов решения рассматриваемого круга задач. 1-ой категорией методов, рассматриваемых в работе, являются методы, основанные на исследовании дискретной задачи оптимального управления. Рассматриваемые задачи могут быть решены современными эффективными численными методами оптимального управления, получивших широкое развитие в работах российских и зарубежных авторов [18,19,20,21,24,29-30,34,36,37,41,60-63,66,67,70,79,99]. Применим к решению рассматриваемых задач метод штрафных функций.
Для построения численного метода решения задачи перейдём к её дискретной аппроксимации [14-17,41,45,64-65,67]. Дискретная аппроксимация основывается на схемах численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения дискретных задач оптимального управления в данной работе используем схему Эйлера, являющуюся одношаговым методом, обладающую вторым порядком точности на шаге и первым порядком аппроксимации относительно интервала интегрирования. Разобьем равномерно отрезок [0,/г] точками /,, i = 0,q.
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска
Экстремальные задачи геометрии с дополнительными ограничениями на ширину не всегда могут быть решены аналитически, в то время как разработка численных методов решения задач оптимального управления позволяет получать оптимальное решение с заданной точностью. Сложности, связанные с определением вида -функции при аналитическом решении рассматриваемых задач приводят к необходимости разработки методов приближенного построения их оптимальных решений. При этом аналитическое решение в некоторых частных случаях позволяет оценивать точность численного метода. В главе 2 приведено решение экстремальных геометрических задач методом внешних штрафных функций с использованием квадратичных функций штрафа для учета фазовых ограничений. Полученное оптимальное решение имеет значительные отклонения от аналитического.
В данной главе приводятся схемы аппроксимации экстремальных задач геометрии задачами нелинейного программирования. Указанный подход к решению оптимизационных задач предложен и широко развит в работах Ю.Г.Евтушенко [38-48]. Для решения дискретных аппроксимирующих задач в данном разделе строятся и исследуются вычислительные алгоритмы на основе метода градиентного спуска с использованием проекции градиента для учета фазовых ограничений. С использованием данного подхода для решения рассматриваемых задач приводится сравнительный анализ численных решений, полученных градиентными методами [31,32,35,72,74,79-82,89,91,92]: методом наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, Ньютона.
Заметим, что в рассматриваемом классе задач дифференциальные связи возникают из условий неотрицательности радиуса кривизны фигуры. 91 Метод Ньютона обеспечивает более высокую скорость сходимости и точность определения решения, если начальная точка, из которой запускается численный процесс оптимизации, находится в некоторой окрестности одной из точек минимума. В качестве такой точки выбирается решение, полученное методом наискорейшего спуска. Обобщая результаты, изложенные в данном разделе, сформулируем основные выводы:
Постановка экстремальных геометрических задач в форме задач оптимального управления в значительной степени расширяет круг методов их решения. Получен аналитический вид глобально-оптимальных решений задач о построении выпуклых экстремальных центрально-симметричных фигур вращения с дополнительным ограничением на ширину. Построено аналитическое решение задач о нахождении произвольных выпуклых пространственных фигур максимальной площади поверхности и объема без дополнительных ограничений. При увеличении количества дополнительных ограничений на ширину фигуры построение аналитического решения становится затруднительным, что приводит к необходимости разработки численных методов.
В данном разделе приведен алгоритм метода внешних штрафных функций для вычисления оптимальных решений задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения максимальной и минимальной площади поверхности.
При решении рассматриваемых задач методом штрафных функций оптимальное управление имеет значительные отклонения от аналитического решения, что связано с недостатком метода, использующего внешние дифференцируемые функции штрафа. При использовании квадратичного штрафа получить решение большой точности в рассматриваемой задаче не удается.
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска
Экстремальные задачи геометрии и изопериметрические неравенства имеют широкую область применения в геометрии, теории приближений, выпуклом анализе. Рассматриваемые задачи сводятся к определению формы объемной фигуры, оптимальной по заданному критерию и удовлетворяющей требованиям к ее ширине.
Под экстремальными задачами геометрии понимаются задачи нахождения выпуклых тел, обладающих максимальной или минимальной площадью поверхности либо максимальным или минимальным объемом. Решение этих задач геометрическими методами описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Данные методы не всегда позволяют найти экстремальную фигуру с заданными ограничениями. Ряд экстремальных геометрических задач для плоских фигур с дополнительными ограничениями на ширину фигуры решен методами оптимального управления и нелинейного программирования в работах Андреевой Е.А., Красножснова Г.Г. При этом ощутимой является нехватка методов решения экстремальных задач геометрии о пространственных выпуклых фигурах с заданными ограничениями на ширину. Ввиду этого разработка и реализация методов решения экстремальных пространственных задач геометрии является актуальной научной проблемой, ее решение позволяет расширить круг решаемых практических задач, связанных с нахождением оптимальной формы тел. Формально решаемые задачи могут быть представлены задачами оптимального управления с фазовыми ограничениями. В диссертационной работе разработаны алгоритмы построения численного решения рассматриваемых задач, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Borland Delphi 7. Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка и реализация аналитических и численных методов их решения. Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач: 1.Описание свойств выпуклых пространственных тел с заданными ограничениями на ширину с помощью опорных функций. 2.Постановка экстремальных задач геометрии в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. 3.Вычисление аналитических решений задач о построении выпуклых экстремальных фигур вращения и произвольных выпуклых экстремальных пространственных фигур. 4.Разработка и реализация алгоритмов метода штрафных функций для вычисления оптимальных решений в задачах о построении экстремальных выпуклых фигур вращения с заданными ограничениями на ширину, исследование зависимости оптимальных решений от вычислительных параметров.
Методы исследования. В работе для формализованного описания изучаемого класса задач применяется математический аппарат теории выпуклых тел, методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, при доказательстве теорем используются методы оптимального управления, нелинейного программирования, функционального анализа. При реализации программного комплекса применены методы объектно-ориентированного проектирования.
Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту, являются: 1.Постановка экстремальных пространственных геометрических задач в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. 2.Аналитическое решение экстремальных геометрических задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину, построение аналитического решения задач о нахождении формы произвольных выпуклых пространственных фигур максимальной площади поверхности и объема. 3.Разработка и реализация алгоритмов метода внешних штрафных функций для решения задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения максимальной и минимальной площади поверхности с заданными ограничениями на ширину. 4.Аппроксимация экстремальных пространственных геометрических задач с заданными ограничениями на ширину задачами нелинейного программирования, разработка численных алгоритмов поиска их приближенных оптимальных решений. 5.Сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении экстремальных геометрических задач для выпуклых пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину. Научная новизна выполненной работы заключается в следующем: 1.Впервые получено аналитическое решение задач о построении экстремальных пространственных выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину. 2.Получено аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой пространственной фигуры максимального объема и максимальной площади поверхности. 3.Произведен сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении пространственных экстремальных геометрических задач.
Практическая ценность результатов заключается в разработке, реализации и сравнительном анализе методов решения задач о построении экстремальных пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину. Разработанные алгоритмы расширяют круг методов решения прикладных задач, требующих определения оптимальной формы пространственных выпуклых тел.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических оснований при формулировании и доказательстве теорем. Достоверность алгоритмов и программ расчетов обеспечивается обоснованностью используемых допущений, проверяется сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.
Внедрение результатов работы. Научные результаты использованы в учебном процессе математического факультета Тверского государственного университета при подготовке студентов по специальности 010100 Математика, направлению 511200 - Математика. Прикладная математика.
