Введение к работе
Актуальность темы
Понятие выпуклости (множества, функции, экстремальной задачи и т.п.) является одним из центральных понятий в математике. В конце 19-го столетия и начале 20-го столетия Г. Минковским1 был создан специальный раздел геометрии — выпуклая геометрия. В создание и развитие выпуклой геометрии наряду с Минковском большой вклад внесли Я. Штейнер, К. Каратеодори, Э. Хелли, В. Бляшке, Т. Боннезен, В.Фенхель, А. Д. Александров и другие ученые. Основные понятия выпуклой геометрии, такие как опорная функция, поляра, крайняя точка сыграли большую роль в создании в начале 20-го века функционального анализа.
После 1950-х годов интерес к проблемам выпуклости снова возрос в связи с развитием математического программирования, оптимального управления и вычислительной математики. Многие задачи имеют принципиально "выпуклые" алгоритмы решения, например линейные дифференциальные игры2. После знаменитой книги Р. Т. Рокафеллара3 словосочетание "выпуклый анализ" стало общепринятым.
Начиная с 1950-60-х годов, появляется большое количество обобщений понятия "выпуклость"4. Это было вызвано тем фактом, что свойств выпуклых множеств оказалось недостаточно для решения задач, возникающих в области оптимизации, негладкого анализа и приложений.
Вопросам обобщения понятия "выпуклость" посвящено значительное число работ как отечественных (А. Д. Александров, Ю. Г. Решетняк, В. Г. Болтянский, Б. Т. Поляк, Н. В. Ефимов, СБ. Стечкин, В. М. Тихомиров, С. С. Кутателадзе, А. Г. Кусраев, В. П. Солтан, Е. С. Половинкин, П. В. Семенов и др.), так и зарубежных (Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. К ли, Э. Майкл, Л. Сантало, Р. Т. Рокафеллар, Ч. Олех, X. Франковска, Ж.-Ф. Виаль, Ф. Кларк и др.) ученых. Основными вопросами, связанными с обобщениями выпуклости, являются вопросы характеризации и описания обобщенно выпуклых множеств, а также вопросы двойственности и тесно с ними связанные вопросы об отделимости и об опорных свойствах множеств, различные аналитические и комбинаторные вопросы (обобщение теорем о крайних/выступающих точках, комбинаторных теорем типа Каратеодори и
г]1. Minkowski, АПдетегпе Lehrsatze йЪег die konvexen Polyeder, Nachr.Ges. Wiss. Gottingen, 1897, 198-219; Gesammeite Abhandlungen. Bd.2. Leipzig-Berlin: Teubner, 1911, 103-121 и др.
2Л. С. Понтрягин, Линейные дифференциальные игры преследования, Матем. сб., 112(154):3(7) (1980), 307-330.
3Р. Т. Рокафеллар, Выпуклый анализ, М., Мир, 1973.
4В. П. Солтан, Введение в аксиоматическую теорию выпуклости, Кишинев, Изд-во "Штиинца", 1984.
Хелли ). Все эти свойства находят приложения в оптимизации (построение обобщенных градиентов6), многозначном анализе (изучение многозначных отображений с обобщенно выпуклыми значениями7), а также в задачах условной минимизации и в дифференциальных играх8 9.
Цели исследования
-
Выяснить взаимосвязь между параметрически выпуклыми множествами рассматриваемых классов, которые возникли в задачах математического программирования, оптимального управления и негладкого анализа. Исследовать новые классы выпуклых компактов со свойством открытости их проекционных отображений.
-
Установить новые свойства отделимости и новые геометрические свойства указанных множеств.
-
На основе полученных результатов выявить новые случаи решения задачи параметризации многозначного отображения и задачи расщепления для селекции.
-
Получить оценки погрешности внешних многогранных аппроксимаций строго выпуклых компактов из Шп в зависимости от модуля выпуклости этих компактов.
-
Решить ряд задач характеризации для сильно выпуклых множеств в гильбертовом пространстве.
Научная новизна и результаты
Все результаты работы являются новыми. Основные результаты работы следующие.
(1) Получена связь между слабо выпуклыми и проксимально гладкими множествами в произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве. Получен критерий на норму пространства, при котором эти два класса совпадают.
5Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Кли, Теорема Хелли и ее применения, М.: Мир, 1968.
6F. Н. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth Analysis and Control Theory, Springer-Verlag, New-York Inc., 1998. 276 p.
7П. В. Семенов, Теоремы о неподвижной точке при контролируемом отказе от выпуклости значений многозначного отображения, Матем. сб. 189:3 (1998), 141-160.
8В. Т. Polyak, Existence theorems and convergence of minimizing sequences in extremum problems with restrictions, Soviet Math, 7 (1966), 72-75.
9Г. E. Иванов, E. С. Половинкин, О сильно выпуклых линейных дифференциальных играх. Диффер. уравнения, 1995, 31:10, 1641-1648.
-
В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве доказана равномерная непрерывность метрической проекции на проксимально гладкое множество с константой R для всех точек, достаточно близких ко множеству. Равномерная непрерывность имеет место по точке и по множеству.
-
В произвольном равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом пространстве дана характеризация проксимально гладких множеств через существование и единственность метрической проекции на это множество, а также непрерывную зависимость проекции от проецируемой точки. Обобщен опорный принцип для проксимально гладких множеств из равномерно выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства.
-
Доказана теорема об отделимости сферой сильно выпуклого множества от слабо выпуклого множества.
-
Получена оценка на модуль выпуклости равномерно выпуклого множества. На основе модуля выпуклости множества получена оценка между строго выпуклыми компактами в демьяновской метрике через расстояние в метрике Хаусдорфа.
-
Введено определение слабо выпуклого множества с модулем невыпуклости и показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости второго порядка полученный класс множеств с модулем невыпуклости второго порядка входит в класс проксимально гладких множеств. Получены новые теоремы о равномерной непрерывности пересечения равномерно непрерывных многозначных отображений, одно со слабо выпуклыми и другое с сильно выпуклыми значениями.
-
Получены новые равномерно непрерывные и непрерывные по Липшицу параметризации многозначных отображений со слабо выпуклыми значениями.
-
Введен класс Р-множеств, и получены новые теоремы об открытости некоторых отображений.
-
Получены новые достаточные условия положительного решения задачи расщепления для селекции.
(10) Получены новые оценки погрешности аппроксимации строго выпуклых компактов из Шп на сетке единичных векторов заданной мелкости.
(11) В гильбертовом пространстве решен ряд задач характеризации: (і) доказано, что множество с модулем выпуклости второго порядка есть пересечение замкнутых шаров заданного радиуса и получена неулучша-емая оценка на этот радиус; (И) охарактеризованы множества в гильбертовом пространстве, которые имеют единственную точку, наиболее удаленную и липшицево зависимую от заданной точки пространства; (ііі) доказан аналог теоремы Крейна-Мильмана для сильно выпуклой оболочки; (iv) получено положительное решение задачи Данцера о существовании гладкого тела постоянной ширины 1, которое содержит данное гладкое множество диаметра 1.
Основные методы исследования
В работе используются результаты выпуклого анализа (в основном связанные с отделимостью) и теории многозначных отображений (в основном связанные с (равномерной) непрерывностью), геометрии банаховых пространств (различные свойства модулей выпуклости и гладкости, теоремы о продолжении). В некоторых разделах активно используются свойства сильно выпуклых и порождающих множеств, а также свойства слабо выпуклых по Виалю множеств в гильбертовом пространстве.
Достоверность и обоснованность результатов работы
Достоверность и обоснованность результатов работы обеспечивается наличием полных и строгих доказательств утверждений, приведенных в диссертации. Новизна результатов подтверждается сравнением с известными результатами по данной тематике.
Теоретическая и практическая значимость работы
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут применяться в дальнейших исследованиях в области выпуклого и многозначного анализа, в оптимизации и теории приближений. В работе установлена связь между разными классами множеств, возникших у разных авторов и имеющих многочисленные приложения в оптимизации, выпуклом и негладком анализе. В работе значительно развиты теоретические свойства модулей выпуклости банахова пространства и произвольного множества, что важно не только для результатов работы, но также имеет самостоятельное значение. Ряд результатов (об оценке погрешности аппроксимаций) может быть применен при оценке погрешности численных методов. Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00743, 03-01-14053, 04-01-00787, 07-01-00156, 10-01-00139-а, ФЦП "Кадры" программа 1.2.1 контракт П938, грантами Словенского исследовательского агенства BI-RU/08-09/001, BI-RU/10-11/002.
Апробация работы
Результаты работы докладывались и обсуждались на школах и конференциях:
(1) Воронежская зимняя школа по теории функций в 1999, 2001 гг.; (2) конференция по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо в 2002, 2004 гг.; (3) конференция, посвященная 80-летию Л. Д. Кудрявцева, в Москве в 2003 г.; (4) летняя школа по математическому анализу в Санкт-Петербурге в 2002, 2005 гг.; (5) конференция памяти И. Г. Петровского в Москве в 2007 г.; (6) летняя школа по теории приближений СБ. Стечкина в Алексине в 2007 г.; (7) конференция по дифференциальным уравнениям и топологии, посвященной 100-летию Л. С. Понтрягина в Москве в 2008 г.
Результаты работы докладывались на научных семинарах в Московском физико-техническом институте, в Московском государственном университете (на семинаре по теории приближений под рук. И. Г. Царькова в 2005, 2006, 2007 гг.; на семинаре по выпуклому анализу в МГУ под руководством В. М. Тихомирова в 2007 г.; на научном семинаре кафедры ОПУ под рук. В. М. Тихомирова в 2008, 2010 гг.; на научном семинаре по теории функций под рук. Б. С. Кашина, С. В. Конягина, М. И. Дьяченко, Б. И. Голубова в 2010 г.), на семинаре Математического института РАН по теории функций под рук. С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева в 2007 г.; на семинаре по геометрии и топологии факультета Математики, Физики и Механики в Любляне (Словения) под рук. Д. Реповша в 2008, 2009, 2010 гг.
Публикации
По теме диссертации автором опубликована 31 работа, основные из которых приведены в конце автореферата. Часть результатов диссертации опубликована в совместной с Е. С. Половинкиным монографии, 1-е изд. 2004 г. [1], 2-е изд. исправленное и дополненное 2007 г. [2]. Работы [3]-[15] опубликованы в журналах из Перечня рекомендованных ВАК изданий, [16]-[19] — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях. Личный вклад соискателя в работах с соавторами указан для каждой работы в списке публикаций в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников. Объем работы составляет 235 страниц текста, работа содержит 7 иллюстраций. Список литературы включает 182 наименования.
