Введение к работе
Актуальность проблемы. Теория дифференциальных игр преследования решает задачи управления непрерывно движущимися объектами в условиях конфликта, когда целью одной стороны является поимка объекта другой стороны, а целью противоположной стороны, участвующей в конфликте, является избежание встречи с объектами противника.
Вопросы наилучшего преследования и избегания встречи занимали исследователей достаточно давно. Впервые задача преследования была рассмотрена как дифференциальная игра преследовнаия в работе Штейнгауза в 1925 году. В дальнейшем вопросы теории дифференциальных игр преследования рассматривались различными авторами, и были в большей части обобщены в монографии Айзекса, переведенной на русский язык в 1967 году.
В отечественной науке фундаментальные результаты в области теории антагонистических дифференциальных игр получены в работах Л. С. Понтрягина, Н. Н. Красовского, Э. Г. Альбрехта, Н. Л. Григоренко, А. Н. Красовского, В. Н. Лагунова, О.А.Малафеева, А. А. Меликяна, Е.Ф.Мищенко, М. С. Никольского, Ю. С. Осипова, Л. А. Петросяна, Б. Н. Пшеничного, В. Б. Рихсиева, Н. Ю. Сатимова, А. И. Субботина, Г. В. Томского, Ф. Л. Черноусько, А. А. Чикрия, С. В. Чистякова.
Среди множества стратегий преследования значимое место занимает стратегия параллельного преследования, являющаяся наилучшей стратегией для широкого класса дифференциальных игр преследования. В работах Л. А. Петросяна впервые показана оптимальность стратегии параллельного сближения для игр простого преследования с линией жизни (1965), в игре с двумя преследователями и одним убегающим (1977) и в игре простого преследования в полуплоскости (1969). Однако, как правило, исследования ограни-
чивались играми на линейных многообразиях, либо на многообразиях, имеющих нулевую гауссову кривизну.
Но в некоторых играх, моделирующих, например, действия самолета-перехватчика против бомбардировщика противника, где действия разворачиваются на больших расстояниях, влияние кривизны земной поверхности оказывается существенным при отыскании наилучшей траектории преследования. Поэтому представляется важной попытка распространить результаты, полученные для игр на линейных многообразиях, на многообразие, имеющее ненулевую кривизну, в частности, на сферу.
Цель исследования. Основной задачей работы являлось построение стратегий преследования на сфере, подобных стратегии параллельного преследования на плоскости. Поскольку, как оказалось, распространить параллельную стратегию преследования с плоскости на сферу можно двумя способами, то задачей исследования являлось также изучение свойств и сравнение этих двух новых стратегий, получивших название параллельной геодезической и параллельной относительной стратегий.
Так как при малых расстояниях между объектами влияние кривизны на ход игры мало, требовалось определить, на каких расстояниях это влияние не столь существенно, а на каких — происходят качественные изменения в игре, требующие внесения соответствующих поправок в действия участников игры.
Кроме того, проводилось исследование стратегий на оптимальность в игре простого преследования на сфере и игре с линией жизни.
Научная новизна. Построены две стратегии преследования на сфере — параллельная геодезическая и параллельная относительная, каждая из которых обладает некоторыми свойствами параллельной стратегии преследования на плоскости.
Доказана невозможность поймать убегающего раньше, чем тот достигнет центра преследования, определяемого параллельной геодезической стратегией (наискорейшее свойство).
Определены расстояния между игроками, на которых параллельная геодезическая стратегия остается оптимальной в игре простого преследования на сфере, на которых эта стратегия остается оптимальной в игре с линией жизни, что равносильно сохранению вложенности стратегических петель, которыми на плоскости являются окружности. Доказана несостоятельность параллельной геодезической стратегии при больших расстояниях между игроками.
Показана оптимальность параллельной относительной стратегии при любых расстояниях между игроками в игре простого преследования на сфере. Получено доказательство успешности параллельной относительной стратегии в игре простого преследования на многомерной сфере в пространстве Rn с одним убегающим и п догоняющими при равных скоростях всех игроков.
Практическая значимость. Полученные результаты позволяют оценить применимость достижений теории дифференциальных игр преследования на плоскости к играм преследования на сфере.
Оптимальные стратегии, полученные для отдельных игр, позволяют применять их на практике в тех случаях, когда представление действительной ситуации плоской моделью дает недопустимые погрешности.
Проведенные исследования могут рассматриваться как начальные шаги в построении теории преследования на сфере и явиться основой для дальнейших исследований.
Обсуждение работы. Основные результаты работы были доложены на Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (CSAM'93) в Санкт-Петербурге, на Международной конференции по интерваль-
ныы вычислениям и методам компьютерной алгебры в науке и инженерии (Interval'94) в Санкт-Петербурге, на семинарах кафедры математической статистики, теории надежности и теории массового обслуживания факультета прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского университета и кафедры оптимального управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета.
Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано три работы. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, включающих 11 параграфов, и библиографии. Работа содержит 9 рисунков. Объем основной части работы составляет 110 страниц. Библиография включает 20 ссылок.