Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Настоящая диссертационная работа посвящена методам исследования нерегулярных выпуклых задач оптимизации. Как известно, критерий оптимальности решений задачи выпуклого программирования, доказанный еще в 50-ые годы Х.В. Куном и А.В. Таккером, справедлив лишь для задач, удовлетворяющих условию регулярности Слейтера. Вопрос о критерии оптимальности решений в нерегулярных задачах выпуклого программирования остается актуальным и в настоящее время, о чем свидетельствуют, например, работы А. Бен-Тала, А. Бен-Израэля, С. Злобека, A.M. Рубинова, Б.М. Гловера, В. Джеякумара, посвященные некоторым классам нерегулярных задач выпуклого программирования. Аналогичная ситуация характерна и для большинства других выпуклых задач оптимизации. Анализ методов вывода условий оптимальности для решений выпуклых задач оптимизации показывает, что источником возникновения условий регулярности в задачах этого класса являются классические теоремы об отделимости выпуклых множеств гиперплоскостью, лежащие в основе этих методов. Поэтому одна из основных задач данной работы состоит в том, чтобы найти такие обобщения классических теорем об отделимости выпуклых множеств, которые были бы свободны от ограничивающих их применение предположений и, вследствие этого, не приводили бы к условиям регулярности. Вторым требованием к обобщенным теоремам об отделимости является их аналитическая форма, что позволило бы в приложениях к задачам оптимизации получить аналитически выраженные двойственные критерии оптимальности. Решение этой задачи актуально не только с точки зрения теории нерегулярных выпуклых задач оптимизации, но и для развития выпуклого анализа, а также функционального анализа в целом.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования проводились в рамках следующих научных тем: "Геометрические методы исследования в теории операторов и соответствий" (договор № Ф94-190 с Белорусским республиканским
фондом фундаментальных исследований); "Методы теории упорядоченных пространств и их приложения в нелинейном анализе" (договор № Ф96-140 с Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований ).
Цель и задачи исследования. Основная цель диссертацион
ной работы — получить аналитические варианты теоремы Какута-
ни-Тьюки об отделимости выпуклых множеств полупространства
ми в вещественных векторных пространствах произвольной (конеч
ной или бесконечной) размерности и установить с их помощью двой
ственные критерии оптимальности допустимых решений в нерегу
лярных выпуклых запалах оптимизации. ' ,
Для достижения этой цели в работе решаются следующие основные задачи: на вещественном векторном пространстве определяются и исследуются новые классы веществешюзначных функций, названные ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями; осуществляется классификация полупространств бесконечномерных векторных пространств по типам и рангам; устанавливается двойственность между классом ступенчато-линейных функций и совокупностью конических полупространств, а также двойственность между классом ступенчато-аффинных функций и совокупностью всех полупространств; доказываются теоремы об отделимости выпуклых множеств ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями, являющиеся аналитическими вариантами теоремы Какутани-Тыоки; разрабатывается методика вывода условий оптимальности в нерегулярных выпуклых задачах оптимизации, основанная на теоремах об отделимости выпуклых множесті ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями, и с ее помощью доказываются критерии оптимальности решений в выпуклой задаче векторной оптимизации и нерегулярной задаче выпуклого программирования.
Объект и предмет исследования. Основными объектами исследования диссертации являются полупространства бесконечномерных векторных пространств, ступончато-линейные и ступенчато-аффинные функции, выпуклые задачи оптимизации. Предмет ис-
следования составляют двойственное соответствие между полупространствами и ступенчато-аффинными функциями, отделимость выпуклых множеств ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями, двойственные критерии оптимальности решений нерегулярных выпуклых задач оптимизации.
Методология и методы проведенного исследования. Используемая в диссертации методология исследования бесконечномерных полупространств идейно базируется на результатах и методах, разработанных В. Кли и В.В. Гороховиком при изучении семипро-странств. Методология исследования выпуклых задач оптимизации соответствует общей для теории экстремальных задач методике, основанной на отделимости выпуклых множеств. Основными методами, применяемыми в диссертации, являются методы линейной алгебры, теории векторных пространств, функционального анализа, теории упорядоченных множеств и упорядоченных векторных пространств, теории экстремальных задач, включая задачи векторной оптимизации.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
Все представленные в диссертации результаты являются новыми и имеют важное значение для развития математической теории оптимизации, теории векторных, в том числе, упорядоченных векторных пространств, выпуклого анализа и функционального анализа в целом.
В работе на вещественных векторных пространствах определены и исследованы новые классы вещественнозначных функций, названные ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями. Их значимость для теории векторных пространств и выпуклого анализа раскрывается доказательством двойственности класса ступенчато-линейных функций совокупности конических полупространств, а также двойственности класса ступенчато-аффинных функций совокупности всех полупространств. Доказательство этих фактов основано на результатах, проведенных в диссертации исследований геометрической структуры бесконечномерных полупространств и полной классификации таких полупространств по типам
и рангам.
Центральным результатом диссертации являются теоремы об отделимости выпуклых множеств ступенчато-линейными и ступенчато-аффинными функциями и доказательство с их помощью двойственных критериев оптимальности решений в выпуклой задаче векторной оптимизации, а также в классической задаче выпуклого программирования без предположений об их регулярности. Известный критерий оптимальное.ги Куна-Таккера, справедливый только для..тех задач выпуклого программирования, которые удовлетворяют условию регулярности Слейтера, входит в представленный в диссертации критерий оптимальности как частный случай. Безусловно, что доказанные двойственные критерии оптимальности решений в рассмотренных в работе конкретных выпуклых задачах оптимизации имеют важное значение для теории оптимизации. Однако, еще более важным и значимым результатом работы представляется разработанная при этом методика исследования нерегулярных выпуклых задач оптимизации.
Практическая значимость полученных результатов. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях широкого круга конкретных практических задач оптимизации (как выпуклых, так и не выпуклых), задач оптимального управления, математической экономики, теории принятия решений.
Результаты диссертации могут также найти применение в научных коллективах Белорусского, Гродненского, Московского и Санкт-Петербургского государственных университетов, а также Математического института им. В.А. Стеклова и Института математики и механики Уральского отделения РАН, ведущих исследования в области математической теории оптимизации, линейного и выпуклого анализа, а также функционального анализа в целом и их приложениях.