Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Оптимальные расписания для систем с равномерным износом .- 13
1 Оптимальные расписания для систем с равномерным износом.в.случае одинаковых деталей 13
2. Оптимальные расписания для систем с равномерным износом при деталях . разного типа 22
ГЛАВА 2. Оптимальные расписания для систем с износом, возрастающим по времени 36
1. Постановка задачи. Оптимальное время работы для систем с линейной скоростью износа 36
2. Оптимальные расписания в.случае произвольного 44
3. Оптимальные расписания для систем с возрастающей скоростью износа в некоторых частных случаях 64
ГЛАВА 3. Системы с износом, скорость которого растёт по доле предшествующего износа 71
1 Постановка
2. Соотношение квазиоптимальных оптимальных расписаний 87
Заключение 99
Литература
- Оптимальные расписания для систем с равномерным износом при деталях . разного типа
- Оптимальные расписания в.случае произвольного
- Оптимальные расписания для систем с возрастающей скоростью износа в некоторых частных случаях
- Соотношение квазиоптимальных оптимальных расписаний
Оптимальные расписания для систем с равномерным износом при деталях . разного типа
Во всех задачах, о которых говорилось выше, обычно предполагается, что износ элементов оборудования задан определёнными параметрами (скорость износа, срок службы, вероятность выхода из строя в определённый момент времени и т.д.) и не поддаётся каким-либо изменениям со стороны пользователя. При таких предположениях ищется оптимальная стратегия замен или ремонта. Однако, в определенннх ситуациях имеется возможность, путём соответствующей организации работы элементов оборудования, влиять на параметры износа. В частности, это можно делать тогда, когда внутри оборудования работает некоторое количество взаимозаменяемых элементов.
В свете возможности увеличения срока службы оборудования путём наилучшей организации работы взаимозаменяемых элементов, изучение таких ситуаций, постановка и решение задач нахождения оптимальной организации работы этих элементов представляются весьма актуальными. Именно такие задачи рассматриваются в настоящей работе.
Основным объектом изучения является некоторый механизм, в котором на определённых п местах А 9 #,...., Ац, работают ft взаимозаменяемых деталей. Предполагается, что в ходе работы детали изнашиваются, и что каждая деталь имеет некоторый конечный ресурс работы, исчерпав который, она выходит из строя. Весь механизм считается вышедшим из строя, если вышла из строя хотя бы одна.деталь. Предполагается также, что запасных деталей нет и что работающие детали можно в произвольные моменты времени произвольным образом менять местами. Износ детали предполагается зависящим.от того, на каком месте fll она работает (что не исключает, конечно, наличия зависимости износа ещё и от других факторов).
В качестве начальных данных мы будем обычно использовать следующую инфорляацию о работе механизма: 1) ресурс каждой детали условно равен единице, 2) в каждый момент времени t , &ї( к) - та доля j -ой детали, которая износилась в результате работы этой детали на месте tfi в промежутке времени от О до t.
Деталь считается вышедшей из.строя, если доля, на которую она износилась, равна единице.
Расписанием работы деталей будем, нестрого, называть некоторый закон, который для каждой детали указывает на каких местах, в какой последовательности и сколько времени она должна проработать. В дальнейшем в работе будет дано точное определение понятия расписание.
Временем работы механизма по данному расписанию будем считать время выхода из строя детали, первой исчерпавшей свой ресурс при работе согласно этому расписанию. .
Ясно, что выбирая то или иное расписание, мы можем изменять время работы механизма. Нашей целью является выбор такого расписания, для которого это время является максимальным.
Такая постановка задачи, в определённой степени, роднит . её с задачами теории расписаний ([б, [I3,[l5,[l7 [l8,[l9,[20]). Особенно заметно это терминологическое родство при рассмотрении задач теории расписаний с учётом переналадок оборудования и задач определения оптимальной последовательности, переналадок (такие.задачи изучались,.например, в работах Б.А. ВЛасюка [5J , Ю.А. Зака [7] и [8]., В.А. Таланова [l2j ). Вместе с тем между рассматриваемой нами в настоящей работе задачей и задачами теории расписаний имеются.существенные отличия. Скажем, в большинстве .задач теории .расписаний налагаются ограничения на моменты перестановок, чего мы делать не будем. Спе цифику задаче, рассматриваемой в настоящей работе, придаёт также то обстоятельство, что время работы механизма зависит от расписания работы деталей в некотором смысле "транзитивно", через износ.
В качестве примера, рассмотрим задачу максимизации срока службы поточной линии, состоящей из fb станков. Одинаковые и взаимозаменяемые детали станков (свёрла, резцы и т.д.) могут испытывать различную технологическую нагрузку, в зависимости от того, на каком из станков они работают и, соответственно, будут изнашиваться с различными скоростями. Увеличения срока службы всей поточной линии можно достигнуть соответствующими перестановками деталей с одного станка на другой. Встаёт задача нахождения такого расписания работы деталей, при котором срок службы всей поточной линии максимален.
Оптимальные расписания в.случае произвольного
Расписанием работы деталей будем, нестрого, называть некоторый закон, который для каждой детали указывает на каких местах, в какой последовательности и сколько времени она должна проработать. В дальнейшем в работе будет дано точное определение понятия расписание.
Временем работы механизма по данному расписанию будем считать время выхода из строя детали, первой исчерпавшей свой ресурс при работе согласно этому расписанию. .
Ясно, что выбирая то или иное расписание, мы можем изменять время работы механизма. Нашей целью является выбор такого расписания, для которого это время является максимальным.
Такая постановка задачи, в определённой степени, роднит . её с задачами теории расписаний ([б, [I3,[l5,[l7 [l8,[l9,[20]). Особенно заметно это терминологическое родство при рассмотрении задач теории расписаний с учётом переналадок оборудования и задач определения оптимальной последовательности, переналадок (такие.задачи изучались,.например, в работах Б.А. ВЛасюка [5J , Ю.А. Зака [7] и [8]., В.А. Таланова [l2j ). Вместе с тем между рассматриваемой нами в настоящей работе задачей и задачами теории расписаний имеются.существенные отличия. Скажем, в большинстве .задач теории .расписаний налагаются ограничения на моменты перестановок, чего мы делать не будем. Спе цифику задаче, рассматриваемой в настоящей работе, придаёт также то обстоятельство, что время работы механизма зависит от расписания работы деталей в некотором смысле "транзитивно", через износ.
В качестве примера, рассмотрим задачу максимизации срока службы поточной линии, состоящей из fb станков. Одинаковые и взаимозаменяемые детали станков (свёрла, резцы и т.д.) могут испытывать различную технологическую нагрузку, в зависимости от того, на каком из станков они работают и, соответственно, будут изнашиваться с различными скоростями. Увеличения срока службы всей поточной линии можно достигнуть соответствующими перестановками деталей с одного станка на другой. Встаёт задача нахождения такого расписания работы деталей, при котором срок службы всей поточной линии максимален.
Аналогичные задачи возникают при рассмотрении ряда других технических систем (механизмов), содержащих изнашивающиеся, взаимозаменяемые элементы (детали). Так, при /ъ = 2, рассматриваемую задачу можно интерпретировать как задачу о перестановке шин автомобиля. Здесь степень.износа шины зависит от того, на каком мосту находится колесо: на переднем или.заднем. Сами шины предполагаются одинаковыми, а износ - равномерным, т.е. для любых
Если время работы шины.. на переднем мосту до полного износа равно . Л. , а на заднем - то за время "t шина, работая на переднем мосту, износится на величину. А}± , а на заднем - После перестановки в момент времени " первая шина сможет проработать (.{- /а ) единиц времени, вторая - %(1 /о ) Очевидно, что переставлять колёса мес - 8 тами более одного раза при сделанных нами предположениях не имеет смысла. Таким образом максимальное время работы Т определится из соотношения при этом перестановка колёс должна быть произведена че рез время после начала работы.
Ясно, что рассмотренный пример, как и всякая модель, лишь приближённо описывает реальную ситуацию и основывается на ряде предпосылок (например, на равномерности износа), которые не всегда соответствуют действительности. Скажем, задача восстановления функции З ("t/ по времени у/ выхода.из строя J--ой детали при работе на месте Ді , вообще говоря, неразрешима, но в случае равномерного износа это можно сделать. Укажем, однако, что, зная функции 3(), всегда можно найти в качестве корня уравнения 3 (-6) = 1 относительно неизвестного "Ь (в-силу физических свойств износа, функции j являются строго возрастающими функциями, поэтому это уравнение имеет единственное положительное решение) В дальнейшем нам будет удобно вместо функций 3 () рассматривать их производные б. /r/s (&i W) , которые мы будем называть скоростями износа. Равномерному износу будет соответствовать постоянная скорость износа.
Оптимальные расписания для систем с возрастающей скоростью износа в некоторых частных случаях
В главе I и главе 2 мы рассмотрели ситуации, при которых скорость износа деталей, работающих в некотором механизме, была постоянна на каждом месте либо возрастала по времени. Однако, в ряде случаев, износ деталей носит несколько иной характер. В них скорость износа данной детали растёт по мере износа самой детали, иначе говоря, чем изношеннее деталь, тем быстрее она изнашивается. Естественно, в этих случаях также встаёт задача нахождения оптимального по времени расписания работы деталей. Перейдём к её точной постановке На п местах # , #2...., А К работают /г одияако-вых деталей. Пусть zj (і ) - та доля j - ой детали, которая износилась к моменту времени Ь при работе по некоторому расписанию Р (напомним, что расписанием называется произвольный набор удовлетворяющий пунктам I), 2), 4) определения I.I). Будем предполагать, что скорость износа детали в момент , при условии, что она работает в этот момент времени на месте однозначно определяется номером
Для кавдого места У?; существует некоторая функция определённая, неотрицательная, строго возрастающая на С 0, і 1 такая, что скорость износа ой детали, работающей по расписанию g в момент -fc0 на месте fi-L равна в этот момент времени значению
Иначе говоря, функция ь \А) сопоставляет каждой величине износа Л - скорость износа на I - ом месте детали, износившейся на долю А . Пусть теперь расписание J таково, что I - ая де таль в ходе всего процесса работает только на месте -L при Z =,Z,..., к, . Назовём это расписание f стацио нарным. Непосредственными измерениями из физического процес са можно вычислить функции Bt ("t) - равные доле I - ой детали, износившейся за время х при работе по стационар ному расписанию. Фактически () = Ъii"b) . При этом скорость износа детали, работающей в момент на месте Л (а это - І - ая деталь), будет иметь в этот момент времени значение Предполагая функции дифференцируемыми, мы имеем, в силу специфики стационарного расписания,
Мы будем предполагать, что, в качестве начальных данных, нам заданы именно эти функции (-Ь). Ш измерение в ходе физического процесса, очевидно, также просто, как и функций
Предположим теперь, что j - ая деталь при работе по некоторому расписанию в момент "fc0 поступает на место #/ . Пусть 6 т (4г0) - скорость износа ( - ой де-тали в момент fc0 при работе по расписанию е и пусть X - есть корень уравнения
Нетрудно видеть, что X - есть то время, за которое 1-ая деталь, работая по стационарному расписанию, изно силась бы на величину % ("t0) Поскольку, по условиям нашей задачи, скорость износа в момент t0 зависит лишь от величины %.{(o) и номера і , т.е. от той доли, на которую деталь уже износилась и от места, на котором она будет работать в момент 0 и, поскольку,. Пусть, далее j - ая деталь работает на месте А"с до момента времени Тогда при положительных справедливо равенство #; (-0 + д) = (х + ді). В дальнейшем в этой главе, если специально не будет оговорено противное, под допустимым (оптимальным) расписанием мы будем понимать допустимое (оптимальное) расписание в смысле определения 3.1.
В рассмотренных нами в главах I, 2 задачах (1.2) и (2.1) основной интерес с точки зрения нахождения оптимального расписания, представляли такие расписания , для которых выполнялось %і(%) = 0 (1=1 ,..,,к). Естественно по этому изучить аналогичные им расписания и в рассматриваемом случае.
Соотношение квазиоптимальных оптимальных расписаний
Укажем, что теоремы 3.3 - 3.5 не только устанавливают эквивалентность квазиоптимальных и оптимальных расписаний для соответствующих классов функций ("Ь) , но и в явном виде определяют время работы оптимальных расписаний, т.е. решения задачи (3.1) для соответствующих функций о (і ).
Как уже указывалось ранее, информацию о работе рассматриваемого механизма (или системы с износом) можно получать путём замера в определённые моменты времени доли детали, на которую она уже износилась. При этом предполагалось, что замеры производятся в ходе работы деталей по стационарному расписанию (напомним, что при работе по стационарному расписанию І - ая деталь в ходе всего процесса работает на месте fit ). Полученные при этом значения моменты замеров) можно приближать непрерывно-дифференцируемыми функциями В (т)} производные которых мы использовали в качестве начальных данных при постановке задач (2.1) и (3.1).
Однако по самим функциям нельзя судить, растёт ли скорость износа только по времени (т.е за счёт ухудшения характеристик, "старения", мест. Л-±, тгх ,...,# к ) или она растёт по доле предшествующего износа.
Между тем такая дифференциация весьма существенна. В I настоящей главы уже подчёркивалось качественное различие между задачами (2.1) и (3.1). Ещё более явным оно становится в свете результатов, полученных в 2.
В настоящей работе исследование задач нахождения оптимальных расписаний для систем с износом было систематизировано по типу скоростей износа деталей, работающих в составе некоторого механизма (технической системы).
В случае, когда износ предполагался равномерным, а детали одинаковыми, в I главы I получено в явном виде оптимальное расписание. Это расписание оказалось, в определенном смысле, минимальным по числу перестановок в классе всех оптимальных расписаний для задач с данным числом деталей и. мест, на которых они работают. Оптимальное расписание в явном виде получено также в 2 главы І в случае, когда имеются детали двух различных типов и износ равномерен..
Ситуации, в которых износ неравномерен, рассматривались при предположении одинаковости всех деталей.
В главе 2, в которой скорость износа деталей на каждом месте предполагалась растущей по времени, в общем случае. .. получен, в явном виде, класс подобия оптимального расписания и система уравнений, решение которой определяет моменты. перестановок. В 3 главы 2 получено в явном виде оптимальное расписание в случае,.когда скорости износа (i) = tLL -k + Jb . При $ilb)= оі- і +J L получено оптимальное время работы механизма.
В главе 3 скорость износа предполагалась растущей по доле предшествующего износа. В I главы 3 исследованы квазиоптимальные расписания, а также получен ряд результат тов, устанавливающих сходство и различия задач (2.1) и (3.1). В 2 главы 3 исследован вопрос о соотношении оптимальных, и квазиоптимальных расписаний для задачи (3.1). Показано, что.всякое оптимальное расписание является квазиоптималь-. ным. В случае fy ("У = ( Уть - натуральное число) показано, что и всякое квазиоптимальное расписание явзшется оптимальным, при этом получено в явном виде максимальное время работы механизма. Такие же результаты получены в случае Ш=ЛІ + Jft при условии —: = — 1(] = і7іг. В заключение автор выражает глубокую благодарность . Владимиру Константиновичу Леонтьеву, под руководством которого выполнялась работа.
Похожие диссертации на Оптимальные расписания для систем с износом
