Введение к работе
Актуальность темы и степень ее разработанности
Негладкий анализ и недифференцируемая оптимизация развивались в трудах Р. Т. Рокафеллара, Б.Н. Пшеничного, В.Ф. Демьянова, А.М. Руби-нова, Ф. Кларка, Ж.-П. Обена, И. Экланда, Ж.-Б. Ириарт-Уррути, М.С. Никольского, Е. С. Половинкина, В.М. Миклюкова, В.В. Гороховика, Л.И. Минченко, Г. Е. Иванова, М.Б. Балашова ( [28], [26]- [27], [6]- [7], [18], [21]-[22], [32]- [33], [20], [23]- [25], [19], [5], [15]) и других отечественных и зарубежных математиков.
Одним из направлений негладкого анализа является оценка и аппроксимация достаточно сложных множеств множествами простой структуры. Задачи такого типа имеют широкое применение в естественных науках, а также и в самой математике. В этом русле находятся многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (см., напр. [30], и др.). Известно также много работ по внешним и внутренним оценкам заданных множеств многогранниками (см., напр., обзор [4], [16]- [17]) и, в частности, ориентированными параллелепипедами и их приложениям.
Наряду с эллипсом и многогранником к числу простых множеств, как в наглядном геометрическом смысле, так и по числу задающих его параметров, относится шар любой нормы.
Интерес математиков к оценкам и приближению выпуклого компакта шаром возник давно (см., напр., моногр. В. Бляшке [2], Т. Боннезена, и В. Фенхеля [3], Л.Ф. Тота [29]). Этот интерес возобновлялся по мере появления в математике новых средств исследования, позволяющих рассматривать как новые задачи, так и давно известные, но на более высоком уровне. Последнее время данное направление поддерживается, главным образом, в рамках негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации, которые дают эффективные математические инструменты для успешного исследования задач такого типа.
Рассматриваемая в диссертации задача относится именно к задачам по шаровым оценкам выпуклого тела.
Приведём ее математическую формализацию.
Пусть D - выпуклое тело из конечномерного действительного пространства RP, а функция п(х) некоторая норма на №Р,
р(А, В) = sup inf п(а - Ъ)
- уклонение множества А от множества >,
h(A, В) = тах{р(А, В), р(В, А)}
- расстояние Хаусдорфа между множествами А и >, индуцированное нормой
Вп(х,г) = {уєМр:п(х-у)^г}
- шар в норме п(-) с центром в точке ж и радиусом г.
Тогда задачу о наилучшем приближении (оценке) выпуклого тела D шаром нормы п(-) с радиусом г в метрике Хаусдорфа, порождённой этой нормой, можно записать в виде
ф(х, г) ее /і(А Вп(х, г)) -> min . (1)
Это основной исследуемый объект в диссертации.
В связи с этим, прежде всего следует отметить, что впервые задача о наилучшем приближении выпуклого компакта шаром
ф(х,г)^ min , (2)
то есть когда функция ф(х,г) минимизируется не только по ж Є М.р, но и по г ^ 0, была поставлена и рассматривалась в работе М.С. Никольского, Д.Б. Силина [20] для случая евклидовой нормы. В этой работе доказаны существование и единственность решения , получено необходимое условие решения. Там же отмечено, что полученные результаты нетрудно перенести на случай более общей «эллипсоидальной» нормы, ввиду простой связи решений задач для этих норм. Поздннее СИ. Дудовым и И.В. Златорунской в работах [13], [31] задача (2) исследовалась для произвольной нормы. В [13] получены критерий решения задачи, условия единственности решения (для неевклидовой нормы задача (2) может иметь неединственное решение), условие принадлежности центра шара наилучшего приближения выпуклому компакту D.
Задача (1) интересна следующим обстоятельством. В работе СИ. Дудо-ва [11] показано, что она является «канонической» для некоторого класса задач по оценкам выпуклого компакта шаром в виде экстремальных задач, целевая функция которых выражается через функцию расстояния до наиболее удаленной точки компакта и функцию расстояния до ближайшей точки компакта или его дополнения. Доказано, что решение любой задачи из указанного в [11] класса могут быть выражены решениями задачи (1) при некоторых значениях радиуса г. Кроме того, исходя из некоторых дополнительных априорных данных, указаны диапазоны значений радиуса г в которых она выражает решения задач о вписанном и описанном шарах, задачи (2) -о равномерной оценке шаром в метрике Хаусдорфа, задачи об асферичности выпуклого тела [14], задач о шаровых оболочках наименьшей толщины [3], [9], и наименьшего объема [11], [34], [35] для границы выпуклого тела. Что касается непосредственно задачи (1), то в [11] получены лишь необходимое и
достаточное условия ее решения и указаны некоторые используемые свойства решения.
В связи с этим ставится вопрос о более полном исследовании задачи (1).
Цели и задачи диссертации
Целями и задачами диссертации являются:
получение условий единственности решения задачи (1) в зависимости от диапазонов значения параметра r,
исследование вариационных (по r) свойств решения,
рассмотрение случая редукции задачи (1) к задаче линейного программирования и, на этой основе, предложение подхода к получению приближенного решения в общем случае,
получение характеризации устойчивости решения относительно погрешности задания приближаемого выпуклого тела D и используемой нормы n().
Методология и методы исследования
В диссертации используются методы выпуклого и сильно выпуклого анализа, теории минимамаксных задач, элементы теории многозначных отображений.
Научная новизна и положения выносимые на защиту
Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
-
Получены условия единственности решения задачи (1) включающие в себя требования на значения радиуса r, используемую норму n() и приближаемое (оцениваемое) тело D.
-
Установлены вариационные свойства решения задачи (1).
-
Рассмотрен случай редукции задачи (1) к задаче линейного программирования и, на этой основе, предложен подход к получению приближенного решения в общем случае.
-
Получена характеризация устойчивости (чувствительности) решения относительно погрешности приближаемого тела D и используемой нормы.
Теоретическая ценность и практическая значимость.
Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в выпуклом и сильно выпуклом анализе, при исследовании задач негладкого анализа и теории приближений по оценке сложных множеств и многозначных отображений соответствующими объектами простой структуры, а также в учебном процессе.
Степень достоверности и апробация результатов
Достоверность результатов обоснована теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы выпуклого и сильно выпуклого анализа, теории минимаксных задач, многозначного анализа.
Основные результаты диссертации докладывались на научных конференциях сотрудников механико-математического факультета Саратовского государственного университета (2013-2016 г.); на 17-ой, 18-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2014 г., 2016 г.); на 11-ой, 12-ой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2016 г., 2014 г.); на VII Петрозаводский международной конференции «Комплексный анализ и его приложения»(Петрозаводск, 2014 г.); на 3 международной школе конференции «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград 2016 г.); на объединенном научном семинаре механико-математического факультета СГУ под руководством профессора А.П. Хромова (Саратов, 2016 г.), на научном семинаре кафедры высшей математики Московского физико-технического института (государственного университета) под руководством проф. Е.С. Половинкина (Долгопрудный, 2016 г.), на семинаре отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН ФИЦ ИУ под руководством член-корр. РАН И.Г. Поспелова (Москва, 2017 г.).
Публикации
Результаты исследований опубликованы автором в двенадцати работах, их список приводится в конце автореферата. Работы [38], [39], [43], [45] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных ВАК РФ.
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы из 68 наименований. Текст работы занимает 98 страниц.