Оценка выпуклого тела на асферичность Мещерякова, Елена Александровна

Введение к работе

Актуальность темы.

Интерес математиков к оценкам и приближению выпуклого компакта шаром возник очень давно (см., например, монографии Бляшке [1], Т.Боннезена и В.Фенхеля [2], Л.Ф.Тота [27], а также библиографии в них) и возобновлялся по мере появления в математике новых средств исследования, позволяющих рассматривать как новые задачи, так и старые задачи, но на более высоком уровне. Ныне это направление поддерживается в рамках негладкого анализа и недифференцируемой оптимизации, основы которых заложены в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Н.З.Шора, Б.Т.Поляка, М.С.Никольского, Е.С.Половинкина, В.М.Миклюкова ([26], [23]-[24], [5]-[7], [14], [19]-[20], [30], [28], [21]-[22], [31]) и других отечественных и зарубежных математиков. Именно негладкий анализ дает эффективные математические инструменты для успешного исследования задач по оценкам и приближению сложных множеств множествами простой структуры.

Задачи по оценке множеств находят обширные приложения в естествознании, в том числе и в самой математике. Известны многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними эллипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (напр., работы Н.З.Шора [30], Ф.Л.Черноусько [29], А.Б.Куржанского и др.). Можно указать на работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениями. Много работ посвящено внутренним и внешним полиэдральным аппроксимациям выпуклых множеств.

Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, которыми осуществляется оценка или приближение выпуклого компакта относится шар любой нормы. Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащим оцениваемый компакт, рассматривалась Б.Н.Пшеничным в [23]. Понимаемая по аналогии задача о внутренней оценке заданного выпуклого тела рассматривалась С.И.Дудовымв[10].

Задача о наилучшем приближении в метрике Хаусдорфа выпуклого компакта евклидовым шаром была поставлена и изучалась в работе М.С.Никольского и Д.Б.Силина [18]. Эта же задача о приближении шаром произвольной нормы исследовалась СИ. Дуловым и И.В.Златорунской в [9].

К задачам такого типа можно отнести и задачу об асферичности выпуклого тела. В ней требуется найти наименьшее значение отношения радиуса описанного шара к радиусу вписанного шара за счет выбора единого центра этих шаров. Приведем ее математическую формализацию.

Пусть D - заданное выпуклое тело (то есть выпуклый компакт с непустой внутренностью) из конечномерного действительного пространства Ш^р, а функция п(х) удовлетворяет на Ш^р аксиомам нормы. Функция, определяемая как

Д(х) = maxn(x — у),

выражает радиус наименьшего шара в норме п(-) с центром в точке х Є Ш^р, содержащего тело D. Другими словами, это радиус описанного шара с центром в точке х. Для х Є D и множества П = MP\D функция

р(х) = min п(х — у),

выражает радиус наибольшего шара с центром в точке х, содержащегося в D. То есть это радиус вписанного шара с центром в данной точке.

Теперь задачу об асферичности выпуклого тела D можно записать в виде

<К*) = ~Г^ -* ^mm- (!)

р{Х) XED

Это основной объект исследования диссертации. Из непрерывности конечных функций Д(х) и р(х) легко следует, что решение задачи (1) существует. Далее понимаем под

хр* = ттхр(х), Q, = {у Є D: ip(y) = it*}.

Величину ip* договоримся называть показателем асферичности тела D, а С-ф -множеством центров асферичности.

Показатель асферичности хр* нередко используется (обычно для случая, когда п(х) - евклидова норма) при описании свойств выпуклого тела и построении методов по приближению (см., напр., [17]). Очевидно хр* = 1 тогда и только тогда, когда тело D является шаром используемой нормы п(-). Поэтому величина хр* — 1 может рассматриваться как некоторая мера отличия тела D от шара.

Несмотря на естественность постановки задачи, работ по ее исследованию найти не удалось. Близкой к ней, по постановке, является давно известная (см. [2]) задача об отыскании центра шарового слоя наименьшей толщины, содержащего границу выпуклого тела D

Ф(х) = Д(х) - р(х) —> min. (2)

В качестве близкой, по смыслу, к задаче (1) можно назвать также задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром в метрике Хаусдорфа:

ср(х,г) = h(D,Bn(x,r)) —> min . (3)

Здесь Bn{x,r) = {y ER^p:n(x — y) < r} - шар в норме n(-) с центром в точке х и радиусом г, а

h(A,B) = maxjsup infn(a — b) ,sup infn(a — b)| -

^аЄА ЬЄВ ЬЄВ аЄА >

- расстояние между множествами А и В в метрике Хаусдорфа, индуцированное используемой нормой п(-).

Задача (2) для случая евклидовой нормы рассматривалась в [2] (см. также библиографию в [2]), а задача (3) в [18]. Для случая произвольной нормы свойства решения задач (2) - (3) исследовались в [8], [9], [12]. В работе [9], в частности, приводятся условия на норму п(-) и тело D, при которых задачи (2) и (3) являются эквивалентными. Установлено, что в общем случае справедливо соотношение

C₉ = C_V(]D.

Здесь С_ф = {у Є D: Ф(у) = тіп_жЄ) Ф(х)} - множество центров шаровых слоев наименьшей толщины, содержащих границу тела D. А С₉ = [у Є MP: 3f > 0, ср(у,г) = тіп_жЄКр_г>₀ ср(у,г)} - множество центров шаров наилучшего приближения в задаче (3).

Отметим, что если величина гр* — 1 выражает относительную меру отличия тела D от шара, то оптимальные значения целевых функций задач (2) и (3) выражают абсолютную меру, то есть зависящую от размера тела D. Поэтому естественно ожидать, что решения задач (2) и (3) могут не совпадать с решениями задачи (1), что и показывают примеры.

Цель работы заключалась в следующем:

изучить свойства целевой функции гр(х) задачи (1),

получить необходимые и достаточные условия ее решения,

получить условия единственности ее решения,

дать сравнение задачи (1) с задачами (2) и (3), а также задачами о внешней и внутренней оценке тела D с помощью задачи

ср(х,г) —> min (4)

^ ХЄКР ^v '

- о наилучшем приближении этого компакта шаром фиксированного радиуса г. При этом значение радиуса г будет использоваться как некоторый параметр для сравнения,

разработать и обосновать метод приближенного решения задачи (1).

Методика исследования.

Известно, что функция Д(х) выпукла на W (см., напр., [23]), а функция р(х) является вогнутой на D ([11]). Поэтому целевая функция задачи (2) также выпукла на D. В [9] показано, что целевая функция ср(х,г) задачи (3) является выпуклой по совокупности переменных (х, г) Є Ш^р х Ш₊. Таким образом задачи (2) - (3) являются задачами выпуклого программирования. Однако, как показано в диссертации, целевая функция

гр(х) задачи (1) может быть не выпуклой и не вогнутой. При исследовании в основном применялись методы выпуклого анализа, теории минимаксных задач и элементы многозначного анализа.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлены свойства целевой функции гр(х) задачи (1): ее квазивыпуклость на D и субдифференцируемость (в смысле определения В.Ф. Демьянова - A.M. Рубинова [7]).

2. Получено необходимое и достаточное условие ее решения.

3. Получены условия единственности ее решения.

4. Дано параметрическое сравнение задачи (1) с задачами (2) и (3), а так же с задачами о внешней и внутренней оценке тела D шаром используемой нормы, с помощью задачи (4), где значение радиуса г используется в качестве некоторого параметра для сравнения.

5. Разработан и обоснован метод приближенного решения.

Теоретическое значение и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании задач по оценке и приближению сложных множеств множествами простой структуры (в частности, при полиэдральном приближении выпуклых тел). Они могут найти применение при исследовании прикладных задач естествознания, а так же могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре по негладкому анализу и математической экономике кафедры математической экономики Саратовского государственного университета (руководитель - проф. Дудов СИ.) (2006-2012г.); на научных конференциях сотрудников механико-математического факультета Саратовского государственного университета (2006-2012г.); на 14-ой, 15-ой и 16-ой Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2008г., 2010г., 2012г.); на 9-ой, 10-ой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009г., 2011г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2009г.); на Суздальской международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009г.); на объединенном научном семинаре механико-математического

факультета и факультета КНИТ СГУ по дискретной математике и математической кибернетике (март 2012г.).

Публикации.

Результаты исследований опубликованы в работах [32] - [42]. Работы [39], [41] входят в список изданий, рекомендуемых ВАК РФ при защите кандидатских диссертаций.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 14 параграфов, и списка используемых источников. Работа занимает 101 страницу.