Введение к работе
Актуальность темы. В течение последнего десятилетия большой и неослабевающий интерес проявляется специалистами по теории управления во всем мире к задачам Н оптимизации для динамических систем, который подтверждается потоком публикуемых статей и специальных секций на крупнейших международных конференциях. Постановка задачи Н00 оптимизации обладает следующими преимуществами в применении к прикладным задачам; гарантируется грубость решения на классе спектральных возмущений и оптимизируются запасы устойчивости замкнутой системы. С точки зрения теоретической популярность данной постановки состоит в том, что задача допускает эффективный критерий (необходимые и достаточные условия) разрешимости и аналитическое представление самого решения.
Теория Пю оптимального управления возникла на рубеже 70-х - 80-х годов в работах Дж. Зеймса, М. Сафонова и Дж. Дойла как развитие теории синтеза грубых систем управления. Задача управления была сведена к проблеме равномерного приближения в теории аналитических функций, восходящей к работам П.Л. Чебышева, А.А. Маркова, К. Каратеодори, Р. Неванлинны, Г. Пика. Существенный вклад в развитие этой теории был сделан М.Г. Крейном, Д. Сарасоном и 3. Нехари. Их результаты непосредственно использовались в окончательных алгоритмах решения задачи управления линейной стационарной системой дифференциальных уравнений с положительным квадратичным функционалом качества, названной позднее стандартной задачей Н оптимального управления.
В 80-е и 90-е годы среди огромного потока публикаций выделим монографию Б. Френсиса о спектральном методе синтеза Н оптимальных регул.л-оров, работы К. Гловера и Дж. Дойла о методе двух уравнений Риккати, статью П.П. Кар-гонекера по синтезу дискретных во времени управлений и, наконец, совместную работу последних четырех авторов о решении стандартной задачи методом уравнений Риккати в пространстве состояний. В отечественной литературе этой тематике посвящены обзорные работы А.С. Позняка, Г.Г. Себрякова, А.В. Семенова, Е.А. Федосова, статья А.Е. Барабанова и А.А. Первозванского о параметризации всех нелинейных решений стандартной задачи, работы В.А. Брусина о бесконечномерных системах управления, И.Г. Владимирова, А.П. Курдюкова и А.В. Семенова об информационных свойствах Н оптимальных систем. Среди других подходов к задачам Н оптимального управления отметим спектральный метод X. Кимуры и полиномиальный подход Х.Квакернаака.
В диссертации разработан новый метод расчета Н оптимальных регуляторов, который применим как к стандартным задачам Н оптимального управления, так и к бесконечномерным системам, в том числе со смешанным непрерывно-дискретным управлением. При этом не предполагается положительная определенность квадратичной формы в функционале качества. Задачи Н00 оптимального управления с квадратичной формой общего вида были названы обобщенными, поскольку они не могут быть сведены к минимизации нормы ото бражения от входных переменных к выходным в метрике пространства Харди Л'". Все известные ранее методы существенно опираются на свойства упомянутого отображения и сопряженного к нему и не могут быть приспособлены для решения обобщенной задачи. Решение задачи в столь общей постановке получено впервые.
Актуальность решения новой, обобщенной задачи Н оптимизации продиктована, в частности, последними результатами по 5-процедуре, при помощи которой задачи условной оптимизации сводятся к задачам безусловной оптимизации с новой квадратичной формой, которая может не быть положительной. Таким образом, в рамки обобщенной задачи полностью укладывается новый важный класс задач Н оптимизации с интегральными квадратичними ограничениями, решение которых в стандартной постановке возможно лишь в некоторых специальных случаях.
Кроме того, задача решается для систем в абстрактном гильбертовом пространстве, поэтому полученные результаты могут быть перенесены на некоторые типы систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задача Н оптимизации для которых тоже является актуальной.
Цель работы состоит в решении обобщенной задачи Я оптимизации, то есть задачи Н оптимизации со знаконеопределенной квадратичной формой в функционале качества, для трех типов линейных объектов управления в гильбертовом пространстве: систем с непрерывным временем, систем с дискретным временем и гибридных (непрерывно-дискретных) систем. Как и в стандартном случае лод решением задачи понимается получение необходимых и достаточных условий непустоты множества стабилизирующих 7-субопгимальных регуляторов при всех 7 > 0 и параметрическое описание этого множества.
Метод исследования. В диссертации используются методы линейно-квадратичной теории с дифференциальными уравнениями Риккати, методы функций Ляпунова и общие свойства линейных операторов в гильбертовом пространстве. Они являются развитием метода двух уравнений Риккати, предложенного К. Гло-вером и Дж. Дойлом, метода В.А. Якубовича решения линейно-квадратичных задач со знакопеременным функционалом качества, метода П.П. Каргонекера анализа гибридных систем при помощи уравнений Риккати со скачками. Методы основаны на базовых свойствах дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, описанных М.Г. Крейном и В.А. Якубовичем.
Научная новизна. На защиту выносятся следующие новые результаты:
решение обобщенной задачи W" оптимизации для линейных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве;
решение обобщенной задачи Я оптимизации для линейных разностных уравнений в гильбертовом пространстве;
решение обобщенной задачи И оптимизации для линейных дифференциально-разностных уравнений в гильбертовом пространстве;
обобщение теоремы о малом коэффициенте усиления.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты могут быть использованы при решении прикладных задач условной Н оптимизации, например, для задач Н оптимизации с интегральными квадратичными ограничениями, задач абсолютной устойчивости для конических неливейностей и т. п. Возможно непосредственное перенесение результатов диссертации на линейные системы дифференциальных уравнений в частных проюводных, которые принадлежат классу Притчарда-Соломона.
Апробацня работы. Результаты докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ; на 3-ем Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения.'', СПб, Рос-
сия, Июнь, 1995; на 3-ей Европейской конференции по управлению, Рим, Италия, Сентябрь, 1995; на 4-ом Международном семинаре "Многокритериальные и: игровые задачи при неопределенности", Орехово-Зуево, Россия, Сентябрь, 1996; на 35-ой Международной конференции по управлению и принятию решений, Кобе, Япония, Декабрь, 1996.
Публикации. Результаты работы отражены в статьях [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы на 71 наименование. Общий объем работы составляет 145 страниц.