Введение к работе
Актуальность темы. Проблема синтеза оптимальных систем управления или. в другой терминологии, проблема построения оптимальных управлений типа обратной связи, известна с момента постановки первых задач оптимального управления на рубеже 1940-1950 гг. Эти задачи были поставлены инженерами, которые всегда отдавали предпочтение управлениям типа обратной связи. Однако, развитие теории оптимального управления с середины 1950-х годов шло в основном по линии изучения свойств оптимальных программных управлений, которые действует по времени и жестко привязаны к начальному состоянию. В отличие от них управления типа обратной связи (синтезирующее управление) вырабатывают воздействие по состоянию и не зависят от начального состояния. Причины интереса к синтезирующим управлениям объясняются тем, что системы автоматического регулирования действуют в условиях помех или возмущений. Эти помехи (или возмущения) "сбивают" управляемый объект с расчетной траектории. Расчетное программное управление, зависящее от начального состояния, в такой ситуации бесполезно, так как не обеспечивает даже допустимость траектории. Синтезированное же управление, зависящее от текущего состояния системы, позволяет конкретизировать управляющее воздействие и для измененных состояний. Как только действие помех прекращается, оптимальная синтезированная замкнутая система продолжает функционировать наилучшим образом для измененных начальных состояний и далее до следующих возмущений.
Основные теоретические подходы к исследованию проблемы синтеза базируются на использовании принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования Беллмана, достаточных условиях оптимальности Кротова, функций Ляпунова, а также теории поля экстремалей Величенко.
Каждый из перечисленных подходов использует посылки и конструкции, которые определяют, а иногда и ограничивают область его применения. Это априорное предположение гладкости функции Беллмана, неопределенность с выбором вспомогательных функций в методе Кротова и необходимость решать семейство задач программного оптимального управления с произвольными начальными значениями траектории в теории поля экстремалей.
Проблеме построения обратных связей для обеспечения оптимальных переходных процессов посвящено большое число исследований. Тем не менее обшей теории синтеза до снх пор не создано. Проблема оказывается чрезвычайно сложной и полно изучена лишь в некоторых простых случаях. Поэтому не случайно наиболее крупные успехи современной математической теории оптимальных процессов относятся к исследованию программных управлений. Именно для них доказан знаменитый принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума позволил лучше понять и разработать методы решения сложных современных вариационных задач, определенных в замкнутых прстранствах, благодаря чему он нашел широкое применение в прикладных инженерно-технических областях ( автоматическое регулирование, робототехника, ракетодинамика и др.). Однако практическое применение принципа максимума наталкивается на ряд трудностей. Эти трудности связаны с необходимостью выражать вспомогательные сопряженные множители через фазовые координаты. Поскольку эти множители не связаны органически с содержанием вариационной задачи и не участвуют каким-либо образом в ее постановке, надежды на эффективное решение проблемы синтеза оптимальных систем с помощью принципа максимума и второго фундаментального метода теории оптимального управления - динамического программирования Беллма-на - в общем случае не оправдались.
Единственным исключением является позиционное решение Р. Кал-маном и A.M. Летовым линейно-квадратичной задачи оптимального управления. Этот успех объясняется тем, что в задаче Калмана-Летова не было прямых (геометрических) ограничений на управление. в силу чего упомянутая задача была по существу задачей классического вариационного исчисления. Исследованию этой задачи посвящены работы A.M. Летова (1960), Р. Калмана (1961), Н.Н. Красовского (1973).
Прямые ограничения на управление представляют наиболее рас-прастраненную в приложениях нелинейность и поэтому их игнорирование резко снижает ценность результата. Задача синтеза оптимальных систем с ограниченными управлениями рассматривается в сравнительно немногих работах. Эта задача решена для линейной автономной
системы
ї = At + Ви
с матрицей .4. вещественные части собственных значений которой неположительны и неуправляемая часть системы имеет собственные значения со строго отрицательными вещественными частями. Для системы
i = f{i)+G(x)u. г Є Я". «ЄГСГ
найдена явная формула для стабилизирующей обратной связи с помощью управляющих функций Ляпунова - собственных положительно определенных функций V : Ra —> R+ таких, что
Ы{а{х) + В{х)и} < О, г^О,
а(х) = VV(x)f{x), В(х) = VV"(j)G(x).
Кроме того, делаются попытки решения задач такого класса с использованием численных методов: метода нелинейного прогамирова-ния Пауэлла: метода штрафных функций.
Определенный прогресс в решении проблемы в последние годы связан с прпменепие.м методов упреждающего управления. Они исходят из проверенного практикой предположения,что робастность стабилизирующего управления в момент времени t возрастает, если учитывается будущее поведение системы на интервале (t,t + h(t)) с выбранным горизонтом планирования h(t) > 0.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование задачи стабилизации линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений, а именно:
-
построение в аналитической форме оптимального синтезированного управления на заданном интервале времени;
-
построение процедур стабилизации, учитывающих в,каждый момент времени будущее поведение системы;
-
обобщение на случай векторного управления;
-
исследование вопросов устойчивости положения равновесия замкнутой системы и робастности синтезированного управления:
-
проверка теоретических результатов с помощью численных экс-неримеигоп.
Методы исследования. При анализе задач в диссертации использовались общая теория дифференциальных уравнений, теория оптимального управления, математический анализ.
Научная новизна работы состоит в следующе.м:
предложены и теоретически исследованы новые робастные процедуры стабилизации линейных стационарных и нестационарных систем, учитывающих амплитудное ограничение на управление;
в аналитической форме построено оптимальное ограниченное скалярное управление для линейной нестационарной системы;
сделано обобщение на случай векторного управления.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют теоретический интерес как эффективное средство построения ограниченных стабилизирующих законов управления для линейных (и в дальнейшем, нелинейных) систем и практический интерес - с точки зрения непосредственного использования в задачах синтеза систем автоматического регулирования.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на
I Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997);
II Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998);
Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Золотова Е.В. (Владивосток, 1998);
Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Золотова Е.В. (Владивосток, 1999);
- 3-й Азиатской конференции по управлению (Шанхай, 2000).
Результаты работы обсуждались на семинарах Института приклад
ной математики ДВО РАН и Дальневосточного госунивеситета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 94 страницах машинописного текста, подготовленных в системе BTjjX , состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 64 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность науч-
ному руководителю Леониду Тимофеевичу Ашепкову за постановку задачи, полезные замечания и внимание к работе.