Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определения и обозначения 12
Глава 2. Достаточные условия равномерности 18
2.1. Общие методы 18
2.2. Равномерность конечных систем функций из 2, в проекции порождающих класс монотонных булевых функций 26
2.3. Достаточные условия равномерности конечных систем функций из 2 28
Глава 3. Критерий квази-равномерности конечных систем монотонных функций из 2 53
3.1. Формулировки и основная лемма о квази-равномерности 53
3.2. Достаточные условия квази-равномерности конечных систем функций из 2 56
3.3. Необходимые условия квази-равномерности конечных систем монотонных функций 61
3.4. Алгоритм проверки критерия квази-равномерности . 66
Глава 4. Контрпримеры. 70
Глава 5. Основные результаты работы 77
Литература
- Равномерность конечных систем функций из 2, в проекции порождающих класс монотонных булевых функций
- Достаточные условия равномерности конечных систем функций из 2
- Достаточные условия квази-равномерности конечных систем функций из 2
- Алгоритм проверки критерия квази-равномерности
Равномерность конечных систем функций из 2, в проекции порождающих класс монотонных булевых функций
Для удобства, если это не вызывает двусмысленности, любой набор вида (а: ;,... ,а:п), элементы которого обозначены одинаковыми символами с последовательными порядковыми индексами, будем обозначать через а. Например, вместо а = («і,..., ат) Є Е мы будем использовать сокращенную запись а Є Е.
Определим сигнатуру как конечное множество функциональных символов fm }, где каждому символу fi соответствует число щ, называемое арностью этого символа. Если А = {/і(жі,..., жП1),...,fm(xi,... , жПт)} — конечная система функций из Pk, то сигнатурой А назовем множество функциональных символов {/] ,..., fm }, состоящее из символов, обозначающих функции из А. Сигнатуру системы А будем обозначать через (A). будем обозначать переменные. Пусть Е — произвольная сигнатура. Определим индуктивно понятие формулы над Е: 1) символы переменных являются формулами над Е, такие формулы называются тривиальными; 2) если Фі,... , Фп — формулы над Е, а f n — n-арный функциональный символ из Е, то выражение /(Фі,... , Фп) является формулой над Е:
Пусть X — некоторое множество переменных. Будем называть формулу формулой от переменных из X, если в этой формуле содержатся только символы переменных из X.
Будем говорить, что Ф является формулой над системой функций А, если Ф — формула над сигнатурой Е(Л). Отметим, что в качестве формулы над А, формула Ф реализует некоторую функцию /(жі,... ,хп) Є Рк от переменных входящих в Ф. В этом случае мы говорим, что функция /(жі,... ,хп) реализуется формулой Ф над системой А. Будем также полагать, что формула Ф наряду с функцией / реализует все функции, равные /. Формулы ФиФ над А, реализующие равные функции, будем называть эквивалентными над А. Если формулы ФиФ являются эквивалентными над системой А С Pfc, то будем писать Ф = Ф для системы А. В доказательстве утверждений будем также писать Ф = Ф без указания системы А, если это не вызвает двусмысленности.
Множество всех функций, реализуемых нетривиальными формулами над А, обозначается через [А] и называется замыканием А. Будем говорить, что система А порождает множество функций BCPfc если ВС [А].
Через \А\ будем обозначать максимальное число переменных, от которых зависят функции из А.
Сложностью формулы Ф назовем число входящих в Ф символов переменных. Сложность формулы Ф будем обозначать через Ь(Ф).
Дадим индуктивное определение глубины /(Ф) формулы Ф: тривиальные формулы имеют глубину 0; 2. пусть Ф — формула вида /«(Фі,..., Фто), где Фі,... , Фто — произвольные формулы. Положим где минимум берется по всем формулам Ф над А, реализующим функцию /. Величины LA{J) и 1А{/) называются сложностью и глубиной реализации функции / над системой А соответственно. В дальнейшем для удобства вместо LA{/) и 1А{/) будем писать L(f) и /(/) соответственно.
Пусть /(жі,..., хп) — функция из Pk,s, а g(xi,..., хп) — функция из PS, такие, что для любого а Є Е выполнено равенство /(5?) = gipt). Функцию д будем называть проекцией функции / и обозначать через prs/. Пусть А С Рка. Положим, prsA = {prs// Є А}. Заметим, что [prsA] = prs[A]. Если А С PS, то положим рг А = {/ Є Pk,s\pTsf 4}.
Дадим рекурсивное определение подформулы произвольной формулы Ф. Если Ф — тривиальная формула, то она сама является своей подформулой. Подформулами формулы Ф вида /(Фі,..., Фп) будем называть саму формулу Ф и подформулы формул Фі,..., Фп. В таком случае формулы Фі,..., Фп будем называть главными подформулами формулы Ф. Подформулы, являющиеся тривиальными формулами, будем называть тривиальными подформулами.
Формулу, каждая подформула которой имеет не более одной нетривиальной главной подформулы, будем называть «-формулой.
Внешней формулой будем называть формулу, в которой выделены некоторые переменные, называемые внешними переменными, при этом каждая внешняя переменная встречается в формуле ровно один раз. Внешнюю формулу Ф с множеством {г/і,..., yt} внешних переменных будем обозначать через Ф[уі,... , yt\. Сложность внешней формулы определим как число всех (в том числе внешних) символов переменных, входящих в данную формулу. Для удобства любую обычную формулу будем рассматривать как частный случай внешней формулы с пустым множеством внешних переменных.
Внешнюю формулу Фо [у\,..., yt] будем называть внешней подформулой формулы Ф, если формула Ф может быть представлена в виде Фо[Фі,... , Фг], где Фі,..., Ф — подформулы Ф. Дадим рекурсивное определение составной подформулы произвольной формулы Ф: 1. формула Ф является своей составной подформулой; 2. если формула Ф представляется в виде Фі[Ф2[Фз]], где формула Фз является нетривиальной, то все составные подформулы формулы Фі[Фз] являются составными подформулами формулы Ф.
Достаточные условия равномерности конечных систем функций из 2
Лемма 2.12 Пусть А — конечная система монотонных функций из Pk,2, такая, что А С ([Л],г) для некоторого г 3. Пусть F— множество всех приведенных формул Ф над А, таких, что, {0, ж} Є ъй(Ф). Тогда существуют константы cud, такие, что для любой формулы Ф Є F существует формула Ф над А, удовлетворяющая следующим условиям: /(Ф) clogL ) + d и выполнено неравенство fix) д(х), где f(x) и д(х) — функции, реализуемые формулами Ф и Ф соответственно.
Доказательство. Пусть F\ —множество всех приведенных формул S над А, таких, что {1,ж} Є w(E). По лемме 2.11, существуют такие константы с\ и d\, что для любой формулы Ф Є F\ существует формула Ф" над сигнатурой (А) U {dr }, такая, что выполнено неравенство /(Ф/;) С\ logL ) + d\, и для любой функции dr(x\,..., хг) Є рг (Мої \ О00) формулы Ф и Ф" эквивалентны над A U {dr}.
По лемме 2.10 множество F всех формул S над А: таких, что «;() = {{0,1, ж}}, равномерно. Следовательно, существуют такие константы С2 и б?2, что для любой формулы S Є F существует формула над Л, эквивалентная S, такая, что /( ) С2 log b(S) + (І2-
Положим и = max 1(h)] с = wmax(ci, С2); i = wmax( ii, i2) + 1 /і(жі,...,жг)є[А] Докажем индукцией по глубине формулы Ф, что константы cud удовлетворяют условиям леммы. Если 1(Ф) = 1, то утверждение леммы очевидно вы полнено. Пусть утверждение леммы выполнено для всех формул Ф глубины не более М. Докажем это утверждение для формулы Ф, такой, что /(Ф) = М + 1. Пусть без ограничения общности Ф имеет вид h(xi,..., Xt, Фг+і, , Фп), гДе h Є А и все формулы Фг+і,... , Фп являются нетривиальными.
Так как {0, х] Є if (Ф), то существует такое г, г Є { + 1,..., п} что Mj = {О, ж}. Без ограничения общности будем считать что і = п. Рассмотрим три случая: Фп Є F, Фп Є F\ и Фп Є F . Пусть Фп Є F. Тогда по предположению индукции существует формула Ф над Л, такая, что 1{Ф п) — с 18 Ь(Фп) + d с log Ь(Ф) + (І, и выполнено неравенство f n{x) д п{х): где /4(ж) и 5п(ж) — функции, реализуе-мые формулами Фп и Фп соответственно. Следовательно, так как Mh = {0, ж}, то / f n д п: поэтому в качестве формулы Ф можно взять формулу Ф .
Если Фп Є F : то существует формула Ф над А: эквивалентная Фп, такая что /(Ф„) С2Іс Ь(Фп) + с?2- Так как М п = {0, ж}, то функция реализуемая формулой Ф не превосходит функцию, реализуемую формулой Фп, и в качестве формулы Ф можно взять формулу Ф .
Если Фп Є і7!, то как указано выше существует такая формула Фп над (А) U dr , что для любой функции dr(x\,..., жг) Є рг (Мої \ О00) формулы Фп и Фп эквивалентны над A U { іг}, и выполнено неравенство
Так как А С ([А],г), то существует такая функция что для любого а Є V , где X = {xt+i,..., жп}, выполнено pr2if (й, у) Є Мої \ О00. Заменим в формуле Фп все подформулы вида ir(Si,... , Sr) на формулы
Полученную формулу обозначим через Ф . Пусть формулы Фп и Ф реализуют функции hi(xi,... , Хр) и /12( 1,..., Хр) соответственно. Тогда согласно построению формулы Ф для любого й Є V выполнено равенство
Обозначим через Ф формулу /г(жі,..., Xt, Ф„,..., Ф„). Пусть формула Ф реализует функцию f (xi,... ,Хр). Заметим, что так как М п = {0, ж}, то hi /, и, кроме того, если а Є Егк\
Следовательно, д(х) f(x). Так как w Є А, то существует формула Ф над А эквивалентная Ф , такая, что /(Ф) /(Ф/)/(и;) /(Ф )ІІ clogL ) + d.
Лемма 2.13 Пусть А — конечная система монотонных функций из Pk,2, такая, что А С ([Л],г) для некоторого г 3. Тогда существуют такие константы cиd, что для любой приведенной формулы Ф над А вида f(xi,..., хп, Фі,... , Фя, Фі,... , Фг), где q 1, t 0 и все формулы Фі,..., Фя, Фі,..., Ф являются нетривиальными и для функции f(xi,... ,хп,yi,... ,yq, Zi,... ,Zt) выполнены условия: 1. M{yh"" yq = {{0, х}}; существуют формулы Si,..., St над Л, для которых выполнено 1{ г) — clogL ) + d и Ф = f(xi,..., хп, Фі,..., Фя, Si,..., St) над А. Доказательство. Поскольку для t = 0 утверждение теоремы очевидно, будем полагать t 0. Так как Л С ([Л],г) и д 1, то существует функция ?(жі, ,хп,у\,... ,уг) Є [А], такая, что для любого й Є y{Vl,---,v Zl,---,Zt} выполнено g(a,y) Є Мої \ О00. По лемме 2.11 существуют константы с\ и d\ над А: такие, что для любой приведенной формулы Ф над А: такой, что {1,ж} Є эд(Ф), существует формула Ф над S(A) U {dr }, такая, что /(Ф ) Ci logL( ) + rfi и для любой функции іг Є рг (Мої \ О00) формулы ФиФ эквивалентны.
По лемме 2.10 существуют такие константы С2 и d i над Л, что для любой приведенной формулы Ф, такой, что ги(Ф) = {{0,1, ж}}, существует эквивалентная формула Ф над А: такая, что /(Ф ) С2Іс Ь(Ф) + d i По лемме 2.12 существуют константы сз и із, такие, что для любой приведенной формулы Ф над А: такой, что {0, х] Є ъй(Ф) существует формула Ф над А: для которой выполнено /(Ф ) Сз Ь(Ф) + (із, и выполнено неравенство h , где huh — функции реализуемые формулами Ф и Ф соответственно.
Доказательство. Так как А С ([Л],г) то существуют константы с\ и d\ удовлетворяющие условиям леммы 2.13 и константы С2 и б?2 удовлетворяющие условиям леммы 2.14. Положим с = max(ci,C2), d = max(di,d2) 8 заметим, что для каждой фломулы Ф внешняя подформула Фо[уъ ,yt] определяется однозначным образом Пусть Ф І5..., Фм все подформулы Ф, такие, что формулы из множества F = {Фі,..., ФІ} являются их главными подформулами. Заметим, что каждая подформула из множества F является главной подформулой только одной из формул из множества {Ф І5..., Ф }.
Пусть Ф — произвольная подформула из множества {Ф і,..., Фм}- Без ограничения общности формула Ф имеет вид /(жі,..., хп, Фі,..., Ф , Ф ,..., Ф« ), где іі,... ,ір Є {1,... ,t} и Vfq+e = {0, x} для всех є Є {1,..., q}. Тогда по леммам 2.13 и 2.14 существуют формулы Sj15..., j , такие, что формулы Ф и /(жі,..., жп, Фі,..., Фд, Sj15... , Sj ) эквивалентны и 1( и) clogL ) + i для всех и Є {1,... ,р}.
Применяя аналогичную процедуру для всех подформул Ф , мы сопоставем каждой формуле Ф формулу Sj, так, что формулы Фо[і,..., St] и Ф эквиваленты. Следовательно, формулы Si,..., z,t — удовлетворяют условиям леммы, лемма доказана.
Следствие 2. Пусть А — конечная система монотонных функций из Pk,2, г 3; такие, что А С ([А],г). Пусть F — множество всех приведенных формул Ф ка(? А, таких, что {0, ж} Є ъй(Ф). Тогда множество F равномерно над А.
Доказательство. Пусть FQ — множество всех формул Ф над А: таких, что И- Ф) С {0, ж}. По лемме 2.10 множество FQ равномерно. Следовательно, существуют такие константы с\ и d\, что для любой формулы Ф Є FQ существует формула Ф над А эквивалентная Ф, такая, что /(Ф) с\ logL ) + d\.
Пусть Ф Є F. Пусть Фо [у\,..., yt] — внешняя подформула формулы Ф максимальной сложности, такая, что И- Фо) = {{0,ж}}. Пусть Ф имеет вид Фо[Фі,... , Фг]. Тогда по следствию 1 из леммы 2.13 существуют такие константы С2 и б?2, зависящие только от А: и формулы Фі,..., Ф над А: для которых выполнены условия /(Фі) C2log Ь(Ф) + d i и Ф = Фо[Фі,..., Фг].
Достаточные условия квази-равномерности конечных систем функций из 2
Предположим противное. Заметим, что среди формул Фі,...Фб найдется хотя бы одна переменная х\ (в противном случае /г(2,1,1,1,..., 1) = 0) и хотя бы одна одна из переменных ж2, Жз (в противном случае /г(1, 2, 2,1,..., 1) = 0).Рассмотрим следующие случаи: 1. Пусть одна из формул Фі,...,Фв является символом переменной из множества {zi,..., zp}. Пусть без ограничения общности одна из этих формул есть z\. Тогда /г(1, 2, 2, 0,1,..., 1) = 0, следовательно pr2/i(l, 2, 2, J) Мої \ , т.е. получаем противоречие. 2. Пусть для некоторого г, г Є {1,2,3} одна из формул Фгг-ъ 2г является нетривиальной, а другая формула одной из переменных из множества {хі,Х2,Хз}- Тогда для некоторого й, й Є (2, 2,1), (1, 2, 2) выполнено рг2/і(й, 2) = 0, т.е. получаем противоречие. 3. Пусть для некоторого г, г Є {1,2,3} одна из формул Фгг-ь г» является переменной жа а другая формула переменной хъ, где а ф Ь. Тогда для некоторого й, й Є (2, 2,1), (2,1, 2), (1, 2, 2) выполнено рг2/і(й, 2) = 0, т.е. получаем противоречие. 4. Пусть формулы Фі и Ф2 есть переменные х\, а Фз, 4 нетривиальные формулы. Тогда 5, 6 являются либо переменными Х2 либо переменными Тем самым получаем противоречие. Аналогичным образом получаем противоречие в случае, когда формулы Фі и Ф2 являются переменными х\, а ФБ и Фб являются нетривиальными формулами. 5. Пусть формулы і и 2 есть переменные Х2 и формулы з и 4 являются нетрививальными. Тогда имеем: 1 =
Тем самым получаем противоречие. Аналогично рассматриваются случаи когда і и 2 есть переменные я?2, а формулы 5 и б являются нетривиальными и когда і и 2 есть переменные Жз и либо формулы з и 4 либо формулы 5 и б являются нетривиальными.
Пусть і и 2 тривиальные формулы. Тогда либо формулы з и 4 есть переменные х\, либо формулы 5 и б есть переменные жі. Получим противоречие в предположении что з и 4 есть переменные жі, случай когда Б и е есть переменные х\ рассматривается аналогично. Имеем 1 = /І(1,2,2,1...,1) = /і(/іі(1, 2, 2,1,... ,1),/i2(1, 2, 2,1..., 1), /І5(1,2,2,1,...,1),...,/ІП(1,2,2,1...,1)) /І(1,1,1,1,/І5(1,2,2,1,...,1),..., /ІЦ(1, 2,2,1...,1)) = 0, тем самым получаем противоречие
Пусть формулы і,... , е есть переменные жі, я?2 и жз. Если хотя бы одна из переменных я?і, Ж2 или жз не встречается среди формул і, . . . , б, то для некоторого а Є {(2, 2,1), (2,1,2), (1, 2, 2)} имеем /г(й, 1,..., 1) = /і(2, 2, 2, 2, 2, 2, (й, 1,..., 1),..., /іц(5?, 1,..., 1)) = 0, получаем противоречие.
Из невозможности рассмотренных выше случаев вытекает, что пары (і, 2), (з, 4), (б, б) есть различные пары переменных (жі, Жі), ( 2, Ж2), (жз, Жз). Пусть пара (Фі,Ф2) не является парой переменных (жі, х\). Тогда нетрудно проверить, что для набора (2,1,1) выполнено pr2/i(2,1,1,5) = 0, тем самым получаем противоречие.
Таким образом получаем h Є Q. С другой стороны 1А{М) /А( ) — 1, поэтому получаем противоречие. Следовательно, по теореме 3.2 система Л не является псевдо-равномерной. Лемма доказана.
Таким образом, мы привели пример систем А и Af из Рз,2, порождающих один и тот же замкнутый класс, и таких, что А равномерна, а А не является псевдо-равномерной.
Лемма 4.4 Системы А и А не являются полиномиально эквивалентными. Доказательство. Докажем утверждение от противного. Пусть существует такая константа р, что для любой функции / Є [А] выполнено ЬА {/) LA(f). Так как система А1 не является псевдо-равномерной, то существует такая константа q и последовательность функций /і, /2,... Є [А ], такие, что ЬА (/І) і и J-A (fi) А . Заметим, что для любой / Є [А] выполнено 1А{1) = A (f). Поэтому имеем: cplogq Очевидно, что при достаточно большом данное неравенство не будет выполнено независимо от констант , и . Тем самым получаем противоречие. Лемма доказана. Глава 5 Основные результаты работы
В данной главе мы дадим формулировки основных результатов и приведем их доказательства опирающиеся на доказанные ранее факты.
Теорема 1. Пусть А — конечная система функций из Pk,s, где k s 2, такая, что множество [prsA] содержит мажоритарную функцию. Тогда система А равномерна. Доказательство этой теоремы приведено в главе 2 (см. теорему 2.1).
Следствие 1. Пусть А и В конечные системы функций из Pk,s, такие, что [prsA] = [prs ] и множество [prsA] содержит мажоритарную функцию, где к s 2. Тогда системы А и В полиномиально эквивалентны.
Теорема 2. Пусть А — конечная система функций из Pk, порождающая пред-полный класс типа С, к 3. Тогда система А равномерна. Доказательство. В [20] доказано, что все предполные классы типа С содержат мажоритарную функцию. Тогда из теоремы 1 следует, что все конечные системы, порождающие предполные классы типа С, равномерны.
Теорема 3. Пусть А — конечная система функций из Pk, где к 7, порождающая предполный класс. Тогда система А равномерна.
Доказательство. Известно, что все предполные классы Pk можно разделить на классы типов L,P,Е,В,0,С (см., например, [43, 54]). В работах [23, 24] доказано, что при к 7, все конечные системы функций порождающие классы L,P,E,B,0 равномерны. Равномерность всех конечных систем порождающих предполные классы типа С, следует из теоремы 2. Теорема доказана.
Алгоритм проверки критерия квази-равномерности
Работа относится к математической теории синтеза управляющих систем. В работе рассматривается задача о реализации функций -значной формулами над конечными системами.
Синтез и сложность управляющих систем является одним из основных направление в математической кибернетики. Класс формул над конечными системами, реализующих функции -значной логики ( 2) — один из основных модельных классов управляющих систем. Задача изучения сложности формул заключается в построении формулы, которая реализует заданную функцию и является оптимальной относительно некоторой меры сложности. Наиболее часто используемыми мерами сложности для формул являются число символов переменных входящих в формулу (называемое сложностью формулы) и глубина. Сложность формулы можно интерпретировать как ее стоимость, а глубину — как время вычисления, при условии, что все вычисления можно производить параллельно. Очевидным способом построения оптимальной формулы является перебор, но, с точки зрения практики, такой метод не может быть использован в силу экспоненциального роста объема вычислений от числа переменных данной функции. Поэтому важное значение имеет задача построения формул, близких к оптимальным, без использования перебора.
Большое число методов синтеза формул было разработано для конечных систем, состоящих из булевых функций. Для полных базисов асимптотически оптимальные методы синтеза формул (и некоторых других классов управляющих систем) были разработаны O. Б. Лупановым [12–18] (см. также [11]). Оценки глубины формул в полных базисах были получены в работах [7, 10]. Сложность и глубина формул также изучалась для случая функционально неполных систем двузначной и -значной логики при 3 (см., например, [2–4, 28, 29, 34, 35])
В последнее время все более актуальной становится проблема вычисления функций с помощью распараллеленных вычислений. Поскольку время распараллеленного вычисления формулы прямо пропорционально ее глубине, проблема минимизации таких вычислений сводится к задаче построения по заданной формуле эквивалентной формулы (то есть, формулы, реализующую ту же функцию), имеющей наименьшую возможную глубину Если функцию / можно реализовать над конечной системой А формулой глубины не более /, то несложно получить верхнюю оценку L п1 сложности L реализации функции / формулами над А, где п — максимальное число переменных у функций из А. Таким образом, глубина реализации функции формулами не может быть меньше по порядку логарифма сложности этой реализации. В случае, если эта нижняя оценка достигается, говорят о равномерности системы А. Приведем точное определение.
Конечная система функций А называется равномерной, если существуют такие константы cиd (зависящие только от А), что для любой функции /, реализуемой формулой над А, выполнено неравенство где ЬА(/) и 1А(/) есть сложность и глубина реализации функции / формулами над системой А. Таким образом, равномерные системы функций — это системы, позволяющие оптимальным образом распараллеливать вычисление функций реализуемых формулами над этими системами.
Пусть к 2. Положим Ek = {0,..., к — 1}. Обозначим через Pk множество всех функций /с-значной логики. Вопросы, связанные с равномерностью систем в Pk, изучались во многих работах. В работах В. М. Храпченко и Ф. Спиры [42, 64] независимо была доказана равномерность всех конечных полных систем булевых функций (см. также [49-51, 56]). В ряде работ [38, 39, 47, 55, 59, 63] рассматриваются методы оценки константы с из неравенства (1) для различных полных систем булевых функций. Методы, предложенные в работах [42, 64] нетрудно перенести на полные системы функций многозначной логики, однако они существенно используют полноту систем.
В работе И. Вегенера [65] установлена равномерность всех конечных систем, порождающих класс всех монотонных булевых функций. А. Б. Уголь-никовым [30] установлена равномерность всех конечных систем булевых функций и приведены примеры неравномерных систем функций из 3. Аналогичный результат был получен в работе [60].
Таким образом, вопрос о равномерности конечных систем функций из 2 решен полностью, поэтому приобретает актуальность задача исследования равномерности систем -значной логики при 2.
Данная задача является принципиально более сложной по сравнению с аналогичной задачей для 2 в связи с тем, что для замкнутых классов булевых функций существует удобное описание, приведенное в работах Э. Поста [57, 58], в то время как для замкнутых классов функций из при 3 описание отсутствует, что связано с существованием принципиальных отличий многозначных логик от двухзначной, в частности, с континуальностью [45] семейства всех замкнутых классов -значной логики при 3 и отсутствием описания всех конечно-порожденных классов -значной логики.
Ряд публикаций посвящен задаче о соотношении глубины и сложности формул над конечными системами функций, порождающими предполные классы , при 3. Изучение данных классов облегчается существованием их полного предикатного описания, полученного в работах И. Розенберга [61, 62] (см. также [43, 54]).
