О способах оптимального размещения геометрических объектов Белоусов, Юрий Федорович

Введение к работе

Актуальность, тсмн, псследозання. Проблема оптимального разнесения госіалр;гевс:спх'^чобьеатоа в:ет"азт пігрокпй класс задач. Это гадзчл оятгіїальпого рас-кроя прс:,'і~лзиіпйс наторпалоп (р тс;-' пттслэ по объему я secy), оат^альнспо іпїг.е"орного прссктяроваїпія узлов, Г2."пн, цксоз, оглзодов, г/~д:ос сда:г;Я,. »;:іф"раїїоноз, городоіз, плет-::ал-загругка транспорта, !.:ггкре:.:г;:гл:;т"р.-оаг;г:;і радиоаппаратуры, мг:-:гт„н:е-ац::я дл:я: езт::» сг.гсо-га.т-.-оП лод":гг.жз обпекти; зада<п d об-» ласун судостроения, ав::астроогт::я, ра."^гоатрюп;гггі, кр::сталлогрз-с~п, :::::!і^!, 32сис«гїк:і, иатоматіттссксЛ :|:tan:o:, кодіфопап-я:, распо-с.тлпіпія образов, исмб'^чаторп.оП і-огмотртг: п ?.д.

В -ігзстсггдсЛ рабсто т:з отого инс^оетпл садач pac:-t:avp::nac:! ?о₅ ::отсрь:а относятся і; садапл:.! єпт'х=:альмого пог.рьггггл, осг?; -v.-я, р."аС-:с;г::л. Л іг^с-гпю: длл'л'сб-сго гн.тг/клаго еі'ра;:;:"е;п!сг j r^i.iirrj'iO-го п горнего 'ґала, раетюлсг.сл'ого в и -ггерпоч ог-елгдопс: пространство, тробустея маПт:: иига^ал^-*гоз гг.ггло тол :.;с-ггьлгп'_? гспоїс-тттагцх дшяісиу, целякем его локрїл^.а.дпх пля пайта ші'ііглальїіоз ':::-сло «апразлешй пучкоп параллолыпгх лутеП спота, полностью оеш-цет^ях. кзеиз позорхнесть этого ~алг>. По ::3"icv:ic:l і-іоіотззо лад?,::--repa x:n"iazLtroG чгсло гол (а о сгглу пкпппалоіггтгзстл гт попра^лг— іп;Я) ;іо прозосходпт 2 . Кро^о от:іх гадат рзсс.'огргг! р,^ родет-аеіашх,

ИнфоргзцпопіиіЗ матеріал :; результати по упомпнуті'і задача'; могло найти, і*агтрк<ер, т» работах, авторы гсоторых: О.Лввя, Г.Хэд-гагер, Л.Ф.Тот, П.Эрдаз, В.Кля, В.Г.БглтгпкпяїЯ, И.Ц.Гохберг₈ А.С.1!аркус, П,С.Солгал, В.П.Солтг.н, В.Блшко, Г.Добруїгор, В.Ррзгг-бауи, Л.Данцер, К.Родтарс, Л.Лассак а яр.

В 1954 г. ненецкий математик Ф.Левн сформуліфовая задачу о наховдения наимеиызего числа-параллельно сдвинутых экземпляров и -мерного выпуклого ограниченного замкнутого.-тела, объедикашю внутренностей которых поіфьівает пли'содержат это тело. В 1955 г. он показал, что для плоской фыгуры, отличной от параллелограмма, это число равно трем, а для параллелограмма - четырем.

В 1957 г. Г.Хадвнгер опубликовав,, список норспоішнх геометри* ческих проблем, среди которых была задача нахождения наименьшего числа тел, меньших гомотетичных данному, его покрывающих или задача определения наименьшего числа частей моньаего габарита, на которые можно разбить данное -п -мерное выпуклее ограігачепноо замкнутое тело, га высказана гипотеза, что обе эти величины не прег

)" восходят л .

В I960 г. к&аиневскио-иатсм-ітнни И.Ц.Гохберг п А.С.!ф::ус сформулировали задачу об-оптимальном покрытии выпуклых тел меньший гомотетичными.'Они показали", что для плоской выпуклой ф!гу-ры, отличной от параллелограмма, минимальное число покрывавших фигур равно трем, для параллелограмма - четырем, а для и -ыориого тола минимальное число покрывающих тел нз меньше 'n*i.

Б I960 г. В.Г.Болтянский формулирует задачу оптимального освещения извне границы п -«орного выпуклого ограннчеііного замкнутого тела. Доказывает, что минимальное число пучков параллельных лучей света полностью освещающих кэвне границу плоской выпуклой фигуры, отличной от параллелограмма, равно трем, для параллелограмма - четырем, для и -мерного тела но и&.шав и ч , а если граница тела гладкая или имеет не болов и угловых течек, то число освещающих пучков равно им. Устанавливает эквивалентность-задач оптимального освещения и покрытия и их связь с проблемой Борсука.

ІІ«.С.Солт&н догазал гкугг-залекткесть задач- осгсщеіпмі я покрутил з шг -ргзлкчньх формулировках.

Научная новизна. I. Вездсно понлтаэ трзугольгака цзі.тров го-цогстзЯ, с помо^ьа которого док метется, что если г^лтуилпя фг-:гу~ рз покрывается тромя иоиілпмл, оП геме^уптап-::-:::, то- c:r:s прг:::-:-дл-~ 5Ят грауролмпіку центроп гсаотстиП, я что любая йізпукл:.ц q:jpyp.i из покрывается тремя ой гсустзтггппи:? <]лгурамп, косф^гцпенти го-нотзтиЯ которік ыенъзо ?J3_t для цсїггрольтс:?^-іотрп'-п-я:с фігур -и о ни о 3/4', Для цо{ггральноскг«мч-тричнтд -J:tryp еияснйэтся структура 4«гур» покрцзлгяціхся ?роУя"гшотеткчн:м;! с !ссз^»пцкоігоі! гемста- тті 3/4.

1. Формулируется задача о покрытии выпуклых, фигур меньшими гомотетичными с заданный количеством покрывающих фигур. Приведены примеры решения этой задачи для треугольника.

2. Формулируется и решается задача покрытия треугольника гомотеткчт>ып треугольниками со специальными коэффициентами гомотетий.

3. Найдены необходимое к достаточное условия покрытия выпуклой фигуры двумя меньшими подобными.

4. В трехмерном евклидовой пространстве получены оценки

(согласующиеся с гипотезой Уадвигера,' т.е. но превосходят восьми)

для некоторых множеств специальных тел, в частности для тел,

имеющих строго максимальное- сечоние, тол, поверхность которых

имеет полную цилиндрическую часть, цилиндров, не являющихся Пате* fi/5uMf"us

раллолепипедами^іі (при определенных условиях) тел, поверхность которых имеет два двугранных угла с параллельными ребрами, плоскости граней которых, попарно пересек.-ясь, образуют цилиндр, содержащий толо, пли - шеет двугранный угол и точку такие, что опорная плоскость, проходящая только через эту точку» пересекаясь с плоскостяж граней двуграшюго угла, образуот идясидр, со-дертлций тело.

6. Найдены оценки (рассматриваемых величин, согласующаяся .
с гипотезой Хадвпгера) для трёх- и п -иернкх тел, граница тонн'
которых удовлетворяет определенным требованиям.

7. Составлены схеии алгорктаов покрытия п освещешя по полу
ченным результата!!.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер, но ввгаду обширности возиогнис пралойэнкй, получашшо результати ыогут быть использованы в кнаёнернкх расчетах при реаешш кокк-

'»

ротных ,зодач оптимального размещения объектов. -Получению результаты использовались в научной работе со студентами Оренбургского политехнического института.

^2Е2$!ШП5«22$1У' С:нош«;о результаты диссертационной работы докладывалась на научных ссукнарах математических кгфодр Костромского пединститута С 1959г.), ІГШІ ':у. В. И. Лукина (1970 г.), ІГПИ нм.Н.К.Крупской (1970 г.), Орзкбургского полйтзхнзчоского , института (1972 г.), Рубегдиского ^лкдла Б!Л1 (1973-79 гг.), Костромского ^охнологклеского шгетктута (-1931-89 rr.V, Ленинградского ГУ (1Ш5^8 гг.)* Ккогского ИК им.В.Ц.Глуикова АН УССР (1980 г.), Киявняпского ГУ (198-8 г.), з отделах, Гйсчат-ряи .Мзтомп-тичоскоро института- км₄В,Л.Стеклом АН СССР (І97І г.), Харьковского НИ <їт?лико-мкнггг_>ского гшетктутя ин.чккх температур (1976г.), н Харьковском ИП машиностроения АН УССР (1974 г.), на ндупнях конференциях: десятой научной конференция '."і-омітпчо^кн.': кафедр педагогических кнетятутов ПояолЖья (Кострома, 20-23 мая 1059?.), научной коі(.;ор.їнцпн, посвіс;сіїисй 50-лст:та образования СССР (Оренбург, 20-23 ноября 1972 г.), пятнадцатой научне-тохничяскои конференции ярофоссорско-преподлпотольсіого состава, пссг^энясЯ ?0-лотіз» Лободи Советского народа а ВвляаоЙ Отечественной зойно 1941-45 годоз (В.Н.И., 14-18 апреля 1973 г.), седьмой научное конференции молодих учоннх ыахакцко-ма-тсм-атичвсксго фякультота п НИИ механики (Горь:сп1, уігпг.зрсптст» 27«ГЕтпр9лл I9S2 г.), научных конференциях Костромского технологического института (апрель

І9ЄІ-89ГР.).

Публикации. Основное содертяняз дкссортяцлоіяой работы от-раавно а- чаткрэх стать-Тх автора.

СтРУКТУРД.й,объеи работы. -Диссертация вкяэчао? а себя ^цту-

льный лист и следующие разделы: содержание, введение, три главы, заключение, список литературы из 66 названий, сделанный, в хронологическом порядке. Общий объем работы составляет S8 страниц машинописного текста, включая 16 рисунков. Нумерации: рисунков сплошная, формул, теорем, лемм в каждой главе своя.